АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС ИНСТИТУТЫ

ЖОҒАРЫ  МАТЕМАТИКА КАФЕДРАСЫ

  

Алгебра және геометрия.

Есептеу-графикалық жұмыстарды орындауға

арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар

(050704 – Есептеу техникасы және бағдарламалық қамтамасыз

ету мамандығы бойынша оқитын күндізгі бөлім студенттері  үшін)

1 бөлім

 

 Алматы 2007

  

          ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: Л.Н. Астраханцева, Л.Н.Ким,  М.Ж.Байсалова.  Алгебра және геометрия.  050704 – Есептеу техникасы және бағдарламалық қамтамасыз ету мамандығы бойынша   оқитын күндізгі  бөлім студенттері үшін есептеу-графикалық жұмыстарды  орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар - Алматы:     

          АЭжБИ, 2007.- 27 б.

  

          «Есептеу техникасы және бағдарламалық қамтамасыз ету» мамандығы бойынша оқитын күндізгі бөлім студенттеріне арналған есептеу-графикалық жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар «Алгебра және геометрия»  пәнінің №1 типтік есептеулерден тұрады. Бағдарламаның теориялық сұрақтары енгізілген. Типтік варианттың шешімі келтірілген.

Без. 1, кесте 9, әдеб. көрсеткіші - 4 атау.

 

Пікір беруші: физ.-мат.ғыл. канд., проф. С.Е.Базарбаева.

 

«Алматы энергетика және байланыс институтының» коммерциялық емес акционерлік қоғамының  2007  жылғы басылым жоспары бойынша шығарылды.

  

ã «Алматы  энергетика және байланыс институтының» КЕАҚ, 2007 ж.

 

 1 Есептік-графикалық жұмыс 1. Векторлық және сызықты алгебра

          1.1 Теориялық  сұрақтар

1 Анықтауыштар, олардың қасиеттері, есептеуі.

2 Матрицалар, оларға қолданылатын амалдар, кері матрица.

3 Матрицаның рангы және оны есептеу.

4 Векторлар, олардың ұзындығы, векторларға қолданылатын сызықты қисаптар. Векторлардың коллинеарлығы, компланарлығы, ортогональдығы, векторлар арасындағы бұрыш.

5 Векторлардың скаляр, векторлық, аралас көбейтіндісі, олардың қолданылуы.

1.2 Есептік тапсырмалар

1 Екінші ретті анықтауышты есептеу керек

1 К е с т е

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

1.10 

1.11

1.12

1.13

1.14

1.15 

1.16

1.17

1.18

1.19 

1.20 

1.21

1.22

1.23

1.24

1.25

1.26

1.27  

1.28

1.29

1.30

2  Үшінші ретті анықтауыш берілген:

а) a элементінің M миноры мен A алгебралық толықтауышын табу керек;

б) анықтауышты i-ші жол бойынша жіктеу керек;

в) анықтауышты  j-ші баған бойынша жіктеу арқылы есептеу керек;

г) анықтауышты үшбұрыш ережесі бойынша есептеу керек (Саррюс ережесі).

2 К е с т е

2.1

2.2 

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

2.10

2.11

2.12

2.13

2.14

2.15

2.16

2.17

2.18

2.19 

2.20

2.21

2.22 

2.23

2.24

2.25

2.26

2.27 

  2 кестенің жалғасы

2.28

2.29

2.30

 3 А, В, С, Д  матрицалары берілген:

а) 3С+2Д, С-4Д матрицаларын табу керек;

б) В матрицасының транспонирленген В матрицасын табу керек.

3 К е с т е

3.1  А=  В=  С=,  Д=.

3.2  А=  В=  С=  Д=

3.3  А=  В=  С=  Д=.

3.4  А=  В=  С=  Д=

3.5  А=  В=  С=  Д=.

3.6  А=  В=  С=  Д=.

3.7  А=   В=  С=  Д=

 3 кестенің жалғасы

3.8        .

3.9    В=    

3.10  ,      .

3.11     

3.12       

3.13        

3.14  А=  В=  С=  Д=

3.15  А=  В=  С=  Д=

3.16  А=  В=,  С=  Д=

 3 кестенің жалғасы

3.17  А=  В=  С=  Д=

3.18  А=  В=  С=  Д=

3.19  А=  В=  С=  Д=

3.20  А=  В=  С=  Д=

3.21  А=  В=  С=  Д=

3.22  А=  В=  С=  Д=

3.23  А=  В=  С=  Д=

3.24  А=  В=  С=  Д=

3.25  А=  В=  С=  Д=

 3 кестенің жалғасы

3.26  А=  В=  С=  Д=

3.27  А=  В=  С=  Д=

3.28  А=  В=  С=  Д=

3.29  А=  В=  С=  Д=

3.30  А=  В=  С=  Д=

 4  А, В, С   (3 тапсырмадан) матрицалары берілген:

а) АВ, ВС матрицаларын көбейтуге бола ма? Егер көбейту мүмкін болмаса, себебін түсіндіру керек; көбейту мүмкін жағдайда екі матрицаның көбейтіндісін жазу керек;

б) А матрицасына кері  матрицасын табу керек.

5        А және В нүктелері берілген:

а)  және  векторларының координаталарын табу керек;

б)  векторының ұзындығын (немесе А және В нүктелерінің арасындағы ара қашықтығын) табу керек;

в) АВ кесіндісінің ортасын табу керек.

4 К е с т е

5.1 А(5, -4, 3), В(1, 2, -8)

5.2 А(-3, 1, 0), В(7, 1, -5)

5.3 А(0, 4, 5), В(3, -2, 1)

5.4 А(3, -2, 5), В(4, 5, 7)

5.5 А(2, -3, 7), В(3, 2, 8)

5.6   А(2, -1, 7), В(6, 3, 4)

5.7  А(3, 1, 7), В(2, -3, 9)

5.8  А(2, 1, -6), В(1, 4, 9)

5.9   А(2, -4, 8), В(5, 4, 7)

4  кестенің жалғасы

5.10 А(3, 2, 5), В(4, 0, -3)

5.11А(2, 3, -1),В(-6, 4, 2)

5.12А(-4, 2, 3),В(8, 7, -2)

5.13 А(5, 3, 6), В(-2, 3, 5)

5.14 А(0, 6, 0), В(5, 3, -4)

5.15 А(4, 2, 0), В(1, -7, 8)

5.16 А(4, 2, 5), В(-1, 0, 6)

5.17 А(3,-5, 8), В(6, 3, 9)

5.18А(7, 2, 2),В(-5, 7, -7)

5.19 А(5, -3, 1), В(2, 3, 7)

5.20А(8, -6, 4),В(10, 5, 1)

5.21 А(5, 6,-8), В(8, 10,7)

5.22 А(1, -1, 3), В(6, 5, 8)

5.23 А(3, 5,-7), В(8, 4, 1)

5.24 А(6, -6, 5), В(4, 9, 5)

5.25А(4, 6, 11),В(9, 3, -4)

5.26 А(5, 7, 4),В(4,-10, 9)

5.27 А(-9, 8, 9),В(7, 1,-2)

5.28 А(5, 2, 6), В(1, 8, -2)

5.29 А(2, 8, -9),В(7, 5,-5)

5.30 А(-2, 7, 0), В(6, 3, 5)

 

6  , ,  векторлары берілген:

а)   векторының модулін (ұзындығын) табу керек;

б)  және  векторларының скаляр көбейтіндісін табу керек. Бұл  векторлар ортогональ бола ма?

в)  және  векторларының векторлық көбейтіндісін табу керек;

г) , ,  векторларының аралас көбейтіндісін табу керек. Бұл  векторлар компланар бола ма?

д)  және  векторлары коллинеар бола ма?

е)  және  векторларының арасындағы бұрыштың косинусын табу керек;

ж)  векторының  векторына  проекциясын табу керек;

5 К е с т е

6.1 =(2, -3, 1),=(0, 1, 4), =(5, 2, -3)

6.2 =(5, -3, -1),=(7, 1, 4),=(5, 8, -3)

 

6.3 =(-9, -3, 0),=(6, 4, 4),=(0, 2, -2)

6.4 =(1, -5, 4),=(5, 1, 4),=(5, -3, -3)

 

6.5 =(8, -5, 0),=(6, 4, 6), =(0, 6, -2)

6.6 =(5, -7, 0), =(4, 5, 4), =(7, 8, 5)

 

6.7 =(1, -7, 1),=(9, 1, 4), =(8, 2, -3)

6.8 =(2, -6, 4),=(1, 1, 8), =(5, -3, 9)

6.9 =(-9, 5, 0), =(6, 3, 4),=(7, 2, -2)

6.10 =(6, -3, 1), =(7, 2, 4),=(5, 8, 4)

6.11 =(9, -5, 0), =(2, 9, 6),=(0, 6, 4)

6.12 =(2, -5, 4), =(5, 3, 4),=(5, 3, 4)

6.13 =(5, 5, 0),=(6, 2, 4), =(7, 2, -7)

6.14 =(9, -7, 0),=(8, 5, 3), =(7, 8, 7)

6.15 =(7, -5, 0),=(2, 8, 6), =(0, 6, 3)

6.16 =(8, -5, 4), =(2, 1, 8), =(5, 9, 9)

5 кестенің жалғасы

6.17 =(9, 6, 8), =(7, 3, 4),=(3, 2, -2)

6.18 =(8, -7, 1), =(6, 1, 3), =(1, 8, 7)

6.19 =(1, -5, 0),=(2, 7, 6), =(7, 6, 4)

6.20 =(5, -5, 4), =(9, 1, 8), =(4, 9, 1)

6.21 =(3, 6, 7),=(1, 3, 4), =(3, 6, -2)

6.22 =(1, -7, 1), =(7, 8, 3), =(1, 8, 9)

6.23 =(2, -5, 0),=(2, 5, 6), =(7, 6, 8)

6.24 =(0, -5, 2), =(6, 1, 4), =(0, 9, 1)

6.25 =(7, -5, 0),=(3, 7, 6), =(8, 6, 4)

6.26 =(4, -5, 4), =(8, 1, 7), =(4, 5, 1)

6.27 =(6, 6, 8), =(7, 2, 4),=(5, 2, -1)

6.28 =(3, -7, 1), =(4, 2, 3), =(2, 3, 7)

6.29 =(4, -5, 6), =(8, 1, 6),=(6, 1, 4)

6.30 =(5, 6, 3), =(2, -3, 8), =(3, 9, 2)

7 Төртінші ретті анықтауышты есептеу керек

6 К е с т е

7.1

 

7.2

 

7.3

7.4

 

7.5

7.6

7.7

 

7.8

 

7.9

7.10

 

7.11

7.12

 

7.13

7.14

7.15

7.16

 

 

 6 кестенің жалғасы

7.17

7.18

7.19

7.20

7.21

7.22

7.23

 

7.24

 

 

7.25

7.26

 

7.27

7.28

 

7.29

 

7.30

7.31

7.32

 

8   және   векторларынан құрылған параллелограммның ауданын табу керек. Бұл векторлардың  базисі бойынша жіктелуі,  векторларының ұзындығы,  векторларының арасындағы бұрыш  берілген.

7 К е с т е

8.1

1

2

8.16

4

1

8.2 

5

1

8.17

4

2

8.3 

2

3

8.18

2

3

8.4  

3

2

8.19 

7

2

7 кестенің жалғасы

8.5

1

2

8.20 

6

2

8.6

5

4

8.21 

9

1

8.7

3

4

8.22 

6

7

8.8  

1

2

8.23 

2

3

8.9 

3

4

8.24 

4

1

8.10

3

1

8.25 

1

2

 

9 Пирамиданың А, В, С, D төбелерінің координаталары берілген:

а) берілген жақтың ауданын табу керек;

б) берілген  қабырғаның ортасы мен пирамиданың екі төбесі арқылы өтетін қиманың ауданын табу керек;

 в) пирамиданың  көлемін табу керек.

8 К е с т е

9.1 A(2, 1, 7), B(3, 3, 6),C(2, -3, 9), D(1, 2, 5); АСD; l=BC, A, D

9.2 A(2, -1, 7), B(6, 4, 1),C(3, 2, 8),

D(2, -3, 7); ABD; l=AD, B, C

9.3 A(4, 3, 5), B(1, 9, 7), C(0, 2, 0), D(5, 3, 10); ACD; l=BD, A, C

9.4 A(3, 2, 5), B(4, 0, 6), C(2, 6, 5),

D(6, 4, -1); BCD; l=CD, A, B

9.5 A(4, 2, 10), B(1, 2, 0),C(3, 5,7),  D(2, -3, 5); ACD; l=AB, C, D

9.6 A(2, 3, 5),  B(5, 3, -7),C(1, 2, 7),

D(4, 2, 0); ACD; l=AD, B, C

9.7 A(8, -6, 4), B(1, 5, 5),C(5, 6, 8), D(8, 10, 7); ABD; l=BD, A, C

9.8 A(1, -1, 3), B(6, 5, 8), C(3, 5,8),     D(8, 4, 1); ACD; l=BC, A, D

9.9A(0, 4, 5), B(3, -2, 1),C(4, 5, 6), D(3, 3, 2); BCD; l=BC, A, D

9.10A(2, 1, 6), B(1, 4, 9),C(2, -5,8),      D(5, 4, 2); ABD; l=AB, C, D

 8 кестенің жалғасы

9.11 A(3, 1, 4), B(-1, 6, 1),C(1,1,6), D(0, 4, -1); ACD; l=BD, A, C

9.12 A(3,-1,2), B(-1,0, 1),C(1,1,3),       D(8, 5, 8); BCD; l=AD, B, C

9.13 A(2, 4, 3), B(1,1,5), C(4,9, 3), D(3, 6, 7); ABD; l=BD, A, C

9.14 A(9, 5,5), B(-3, 7,1),C(5, 7, 8),     D(6, 9, 2); BCD; l=BC, A, D

9.15 A(5,-5, 4), B(1,-1,4),C(3, 5,1), D(5, 8, -1); ACD; l=AD, B, C

9.16 A(6,1, 1), B(4, 6,6), C(4,2,0),       D(1, 2, 6); ABD; l=BD, A, C

9.17 A(6, 8, 2), B(5, 4,7),C(2, 4, 7), D(7, 3, 7); ACD; l=BC, A, D

9.18 A(4, 2, 5), B(0, 7,1),C(0, 3, 7),     D(1, 5, 0); BCD; l=BC, A, D

9.19 A(4,6,5), B(6,9,4), C(2,10,10), D(7, 5, 9); ABD; l=AB, C, D

9.20 A(3, 5,4), B(8, 7,4),C(5,10,4),      D(4, 7, 8); ACD; l=BD, A, C

9.21 A(1, 8, 2), B(5,2, 6), C(5,7,4), D(4, 10, 9); BCD; l=AD, B, C

9.22 A(6, 6,5), B(4, 9,5), C(4,6,11),     D(6, 9, 3); ABD; l=BD, A, C

9.23 A(0, 7,1), B(2,-1,5), C(1, 6,3), D(3, -9, 8); BCD; l=BC, A, D

9.24 A(7, 5,3), B(9,4,4), C(4, 5,7), D(7, 9, 6); ACD; l=AD, B, C

9.25 A(4,4,10), B(7, 9,2), C(2,8, 4), D(9, 6, 9); ABD; l=BD, A, C

9.26 A(5, 3,7), B(-2,3,5), C(4,2,10),     D(1, 2, 7); ACD; l=BC, A, D

9.27 A(1,-2,7). B(4, 2, 1), C(2, 3,5), D(5, 3, 7); ABD; l=AC, B, D

9.28 A(7, 2,2), B(-5,7,7), C(5,-3,1),      D(2, 3, 7); ACD; l=BC, A, D

9.29 A(10,9, 6), B(2, 8,2), C(9,8,9), D(7, 10, 3); BCD; l=CD, A, B

9.30 A(3, 5,4), B(5, 8,3), C(1, 2,-1),       D(-1, 0, 2); ACD; l=AB, C, D

10 Матрицаның рангын табу керек:

а) минорларды жиектеу әдісі;

б) элементар түрлендірулер арқылы.

Базисті минорды көрсету керек.

9 К е с т е

10.1

10.2 

10.3 

 9 кестенің жалғасы

10.4

 

10.5

 

10.6

 

10.7

 

10.8 

10.9 

10.10

 

10.11

 

10.12

10.13  

10.14

 

10.15

10.16

 

10.17

10.18

10.19

 

10.20

 

10.21

 

10.22

10.23

10.24

10.25

10.26

10.27

10.28

10.29

10.30

           1.3 Типтік варианттың шешуі

1         екінші ретті анықтауышты есептеу керек.

Шешуі:

 формуласы бойынша =(-2) 7-4 5= -14-20 = -34.

2  Үшінші ретті анықтауыш берілген , i=2, j=3.

а) a элементінің M миноры мен A алгебралық толықтауышын табу керек;

б) анықтауышты i-ші жол бойынша жіктеу керек;

в) анықтауышты  j-ші баған бойынша жіктеу арқылы есептеу керек;

г) анықтауышты үшбұрыш ережесі бойынша есептеу керек (Саррюс ережесі).

Шешуі:

a) a элементінің M миноры осы элемент тұрған i-ші жол мен j-ші бағанды сызып тастағанда алынған анықтауышқа тең. Сонымен екінші жол мен үшінші бағанды сызып тастасақ,  М== 15 – 4 = 11 минорын аламыз. Осы элементтің алгебралық толықтауышын келесі формуламен есептейміз  A=(-1)M, яғни А=(-1)11= -11;

б)  n-ші ретті анықтауышты i-ші жол бойынша жіктеу формуласы = , мұндағы A– a элементінің алгебралық толықтауышы. i = 2, j = 3 болғандықтан,  формула мына түрде жазылады  . Біздің жағдайдағы жіктеу ;

в) j = 3. Үшінші баған бойынша жіктеу формуласы . Сонымен,

= 2 – 88 – 12 = - 98;

г) үшбұрыш ережесі: үшінші ретті анықтауыш алты мүшенің қосындысына тең; плюс таңбамен алынатын мүше сұлбасы бойынша  анықтауыштың үш-үштен көбейткенде алынады, ал минус таңбамен – сұлбасы бойынша.

  Сондықтан,  

3-4. А=, В=, С=, Д= матрицалары берілген:

а) 3С+2Д, С-4Д матрицаларын табу керек;

б) В матрицасының транспонирленген В матрицасын табу керек;

в) АВ, ВС матрицаларын көбейтуге бола ма? Егер көбейту мүмкін болмаса, себебін түсіндіру керек; көбейту мүмкін жағдайда екі матрицаның көбейтіндісін жазу керек;

г) А матрицасына кері  матрицасын табу керек.

6        А және В нүктелері берілген:

а)  және  векторларының координаталарын табу керек;

б)  векторының ұзындығын (немесе А және В нүктелерінің арасындағы ара қашықтығын) табу керек;

в) АВ кесіндісінің ортасын табу керек.

Шешуі:

а)  3С+2Д = 3+2=.

С - 4Д = -4==;

  б)  В матрицасының транспонирленген матрицасы оның жолын сол нөмірлі бағанмен ауыстырғанда алынады: В= ;

в)  егер А матрицасының жол саны В матрицасының баған санына тең болса, онда А, В матрицаларын көбейтуге болады. Матрицалар өлшемі: А, В, С, Д. Сонымен,  АВ=  – көбейту мүмкін емес.    ВС=  – көбейту мүмкін. АВ матрицаларының көбейтіндісі С матрицасы болады, оның жол саны А матрицасының жол санына тең, ал баған саны В матрицасының баған санына тең: . С матрицасының  элементі А матрицасының i–ші жолы мен  В матрицасының j–ші бағанына көбейткенде алынады. Сондықтан,

ВС= = .           .

Сонымен, ;

г) егер  шаршы матрицаның анықтауышы нөлден өзге болса, онда оның кері  матрицасы бар болады. Егер  анықтауыш нөлге тең болса, кері  матрицасы болмайды.

А =  матрицасының кері  матрицасы келесі формула бойынша есептелінеді  мұндағы  –А матрицасының анықтауышы,  – a элементінің алгебралық толықтауышы. А матрицасының анықтауышын табайық: =  = 880, олай болса А бар болады. А матрицасының барлық элементтері үшін алгебралық толықтауышын анықтайық

Жоғарыдағы формула бойынша А:

А= =

5 А(7, -9, 3)  және В(1, 0, -5)  нүктелері берілген:

а)  және  векторларының координаталарын табу керек;

б)  векторының ұзындығын (немесе А және В нүктелерінің арасындағы ара қашықтығын) табу керек;

в) АВ кесіндісінің ортасын табу керек.

Шешуі:

а) басы А() және ұшы  В() нүктелері болатын  векторының координаталары келесі формула бойынша табылады = (). Сонымен, = (1-7, 0-(-9), -5-3) = (-6, 9, -8); = (7-1, -9-0, 3-(-5)) = (6, -9, 8) немесе = - = - (-6, 9, -8) = (6, -9, 8);

б)  векторының ұзындығы немесе А және В нүктелерінің арасындағы ара қашықтығы  деп белгіленеді және =  формуласы бойынша есептелінеді. Біздің жағдайда  == ;

в) АВ кесіндісінің ортасының координаталары

С. Біздің есеп үшін С= С( 4, -9/2, -1 ).

6   векторлары берілген:

а)   векторының модулін (ұзындығын) табу керек;

б)  және  векторларының скаляр көбейтіндісін табу керек. Бұл  векторлар ортогональ бола ма?

в)  және  векторларының векторлық көбейтіндісін табу керек;

г) , ,  векторларының аралас көбейтіндісін табу керек. Бұл  векторлар компланар бола ма?

д)  және  векторлары коллинеар бола ма?

е)  және  векторларының арасындағы бұрыштың косинусын табу керек;

ж)  векторының  векторына  проекциясын табу керек.

Шешуі:

 векторлары үшін келесі формулалар орын алады:

а)  векторының модулі (ұзындығы)  ;

б)  және  векторларының скаляр көбейтіндісі: . Егер векторлар ортогональ болса, онда ;

в)  және  векторларының векторлық көбейтіндісін

 ;

г)  , ,  векторларының аралас көбейтіндісі  . Егер бұл векторлар компланар болса, онда  ;

д) егер векторлар  және  коллинеарлы болса, онда  немесе ;

е)  және  векторларының арасындағы    бұрыштың косинусы

 ;

ж)  векторының  векторына  проекциясы: .

Біздің вариантымыз үшін

а) ;

б) , сонымен  болғандықтан,  және  векторлар ортогональ емес;

в) ;

г)  Сонымен  болғандықтан,  векторлар компланарлы емес;

д)  және  векторлары үшін:   және  , олай болса   және  коллинеарлы емес;

е) ;

ж) .

7 Төртінші ретті анықтауышты есептеу керек

Шешуі:

анықтауыштың қасиеттерін қолданып, берілген анықтауыштың бір жолында не бір бағанында нөлдер алуымыз керек. Екі нөлі бар екінші бағанды таңдап аламыз: бірінші жолды (-2)-ге көбейтіп, соңғы жолға қоссақ  анықтауышын аламыз. Енді анықтауышты екінші баған бойынша жіктейміз

.

8 = және  = векторларынан құрылған параллелограммның ауданын табу керек. Бұл векторлардың  базисі бойынша жіктелуі, =3, =2,  векторларының ұзындығы,  векторларының арасындағы бұрыш =  берілген.

Шешуі:

          векторлық көбейтіндінің қасиеті бойынша .

 және   векторларынан құрылған параллелограммның ауданы .

 

9 Пирамиданың А(-1,0,4), В(2,1,-1), С(-3,4,5), D(0,1,-2) төбелерінің координаталары берілген:

а) берілген АВD жақтың ауданын табу керек;

б) берілген  ВD қабырғаның ортасы мен пирамиданың А, С төбесі арқылы өтетін қиманың ауданын табу керек;

 в) пирамиданың  көлемін табу керек

  Шешуі:

схемалық сүлбесін салайық

 1Сурет

а)  және  векторларында тұрғызылған үшбұрыштың ауданы , то . Векторлардың координаталарын табайық

, =(1,1,-6). .

;

           б) К(1;1;-1,5) – ВD-ның ортасы. , . . ;

           в) , ,  векторларында тұрғызылған пирамиданың көлемі . Сондықтан .

.

           Сонымен, .

10  матрицаның рангын екі әдіспен есептеу керек:

а) минорларды жиектеу әдісі;

б) элементар түрлендірулер арқылы.

Базисті минорды көрсету керек.

Шешуі:

а) жоғарғы сол бұрыштан бастайық. Екінші ретті  минор аламыз, ол нөлге тең болғандықтан басқасын аламыз .  -ге жиектеліп шыққан минорларды қарасытырамыз (яғни  миноры енетін)

.

Үшінші ретті жиектеліп шыққан минорлардың барлығы нөлге тең болғандықтан, матрицаның рангы 2-ге тең (, ранг –нөлге тең емес минордың ең үкен реті). Базистік минор ;

б) элементар түрлендірулер көмегімен матрицаны сатылы түрге келтіреміз

.

Алдымен бірінші жолды (-2)-ге көбейтіп, екінші жолға қостық (алынған нәтиже екінші жолға жазылып, бірінші жол өзгеріссіз тұрады). Содан соң  бірінші жолды (-1)-ге көбейтіп үшінші жолға қостық, сонда бірінші бағанның бірінші жолынан төмен нөлдер пайда болды. Енді екінші жолды (-2) (-1)-ге көбейтіп үшінші жолға қостық. Сатылы  матрицасын алдық. Бұл матрицаның нөлден өзге екі жолы бар, бұл дегеніміз екінші ретті минор бар екендігін білдіреді, мысалы, . Сондықтан .  және  матрицалары эквивалентті  болғандықтан, олардың рангтары тең . Базистік минор ретінде   алуға болады.

 

Әдебиеттер тізімі

         1. Апатенок Р.Ф., Маркина А.М. Сборник задач по линейной алгебре.- Мн.: Выш. Школа, 1980. – 192 с.

         2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. – М.: Высшая школа, 2003. – ч. 1,2.-352 с.

         3. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: в 3 ч. (Рябушко А.П., Бархатов В.В. и др.). Под ред. Рябушко А.П. – Минск: Высш. школа, 2000.-ч.1.-396 с.

        4. Дүйсек А.К., Қасымбеков С.К. Жоғары математика (оқу құралы) -  Алматы: ҚБТУ, 2004. - 440 б.

 

 Мазмұны

1 Теориялық сұрақтар………………………………….....………......…….….3

2 Есептік тапсырмалар………………………………….....….....………….….3

3 Типтік варианттың шешуі………………………………….....…………….15

Әдебиеттер тізімі ...............................................................................................26

  

2007 ж. жинтық жоспары, реті 140

 Астраханцева Людмила Николаевна

Ким Людмила Николаевна

Байсалова Мәншүк Жұмамұратқызы