АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС ИНСТИТУТЫ

ЖОҒАРЫ  МАТЕМАТИКА КАФЕДРАСЫ

 

 

 

 

 

Алгебра және геометрия.

Зертханалық жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар (050704 – Есептеу техникасы және бағдарламалық қамтамасыз ету мамандығы бойынша оқитын күндізгі бөлім студенттері  үшін)

 

 

 

Алматы 2006

 

 

 

            ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: Л.Н. Астраханцева, Л.Н.Ким, М.Ж.Байсалова.

          Алгебра және геометрия. Зертханалық жұмыстарды орындауға арналған    

          әдістемелік нұсқаулар (050704 – Есептеу техникасы және бағдарламалық   

          қамтамасыз ету мамандығы бойынша оқитын күндізгі бөлім студенттері 

          үшін) - Алматы: АЭжБИ, 2006.-  50 б.

 

 

 

«Есептеу техникасы және бағдарламалық қамтамасыз ету» мамандығы бойынша оқитын күндізгі бөлім студенттеріне арналған жұмыстарға әдістемелік нұсқауларға әрқайсысы 30 нұсқадан тұратын төрт зертханалық жұмыстар енгзіліп отыр.

        

 

Пікір жазған: физ.-мат.ғыл. канд., профессор С.Е.Базарбаева

 

 

 

 

 

Алматы энергетики және байланыс институтының 2006  жылғы басылым жоспары бойынша шығарылды.

 

 

 

 

 

ã Алматы  энергетикажәне байланыс институты, 2006 ж.

          1 № 1 зертханалық жұмыс

Mathcad компъютерлік жүйесінде жұмыс. Элементар  математика есептері

1.1 Жұмыс мақсаты

Берілген зертханалық жұмыстың мақсаты  Mathcad компъютерлік жүйесімен таныстыру,  арифметикалық есептеулерде, теңдеуді шешуде, декарттық және полярлық координаталар жүйесінде элементар функциялардың  графигін салуға  дағдыландыру.

1.2 Элементар  математика есептерін шешуде негізгі сұрақтарды сипаттау.  

Алгебралық өрнекті түрлендіру үшін, функция мәнін есептеу үшін,  функцияның графигін салу үшін немесе теңдеуді шешу үшін алдымен сәйкес өрнекті  Mathcad жүйесінің жұмысшы құжатына енгізу керек. Mathcad  -тағы есептеулердің көбін үш жолмен: менюдегі операцияны таңдау арқылы, құралдар панеліндегі кнопкалар көмегімен немесе сәйкес функцияларды шақыру арқылы.

1.3  Тапсырмалар

1.3.1  Есептеу керек

 

Жеке тапсырмалардың нұсқасы 1.3.1.

№

Тапсырма

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

265

27

28

29

30

 

1.3.2  Өрнекті ықшамдау керек.

Жеке тапсырмалардың нұсқасы 1.3.2.

№

Тапсырма

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

1.3.3  Жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерін біріктіру керек.

Жеке тапсырмалардың нұсқасы 1.3.3.

№

               Тапсырма

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

         1.3.4  f(x) көпмүшесін көбейткіштерге жіктеу керек.        

            Жеке тапсырмалардың нұсқасы 1.3.4

№

                    f(x)

№

                f(x)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

        

         1.3.5  Рационал бөлшекті қарапайым бөлшектерге жіктеу керек.

            Жеке тапсырмалардың нұсқасы 1.3.5 

№

Тапсырма

№

               Тапсырма

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

1.3.6  Тапсырмаларды орындау керек:

 а) f(x)=0 теңдеуін шешу керек, мұндағы f(x) көпмүшелігі 1.3.4. тапсырмадан. Алынған нәтижені 1.3.4. тапсырмадағы жауаппен салыстыр;

б) теңдеуді шешу керек.       

Жеке тапсырмалардың нұсқасы  1.3.6 (б)

№

Тапсырма

№

Тапсырма

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

          2  № 1 зертханалық  жұмысты орындау үлгісі

1 тапсырма. Есептеу керек .

Нұсқау. Өрнекті клавиатурадан теру керек. Айта кетелік, аралас бөлшекті бүтін бөлігі мен бөлшек бөлігінің қосындысы ретінде, ал ондық бөлшекте үтірдің орнына нүкте жазылады, көбейту таңбасын ұмытпаңыз. Барлығын көк бұрышпен қоршап,  =  клавишасын басыңыз.

Тапсырманың  Mathcad жүйесінде орындалуы

 

Ескерту – Текст пен формулалардың көпшілігі WORD жүйесінде теріледі; есептеулер, теңдеулердің шешімі, график салу MATHCAD жүйесінде қатар жүргізіледі, содан соң WORD- қа көшірме жасалынады.

2-тапсырма. Өрнекті ықшамдау керек .

Нұсқау. Бірінші тапсырмадағы нұсқауды ескеріп, өрнекті клавиатурадан теру керек. Барлығын көк бұрышпен қоршап,  Символы, Упростить позициясын басыңыз немесе Символические операторы, Simplify панелін шақыруға болады.

Тапсырманың  Mathcad жүйесінде орындалуы

.

3 тапсырма. Өрнекте жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерін біріктіру керек. .

Нұсқау. Бірінші тапсырмадағы нұсқауды ескеріп, өрнекті клавиатурадан теру керек. Барлығын көк бұрышпен қоршап,  Символы, Расширить позициясын басыңыз немесе Символические операторы, Expand панелін шақыруға болады.

Тапсырманың  Mathcad жүйесінде орындалуы

 .

         4-тапсырма. 1.3.4.   көпмүшесін көбейткіштерге жіктеу керек.

           Нұсқау. Бірінші тапсырмадағы нұсқауды ескеріп, өрнекті клавиатурадан теру керек. Барлығын көк бұрышпен қоршап,  Символы, Фактор позициясын басыңыз.          

Тапсырманы  орындау: . Нұсқауды ескерсек, жауапты аламыз.

Жауабы:.

5-тапсырма.    рационал бөлшекті  қарапайым бөлшектерге жіктеу керек.

         Нұсқау. Бірінші тапсырмадағы нұсқауды ескеріп, өрнекті клавиатурадан теру керек. X айнымалысын көк бұрышпен қоршап,  Символы, Переменные, Преобразовать в частичные доли позициясын басыңыз немесе Символические операторы, Parfrac панелін шақыруға болады.

Тапсырманы орындау:

                           .               

6-тапсырма: а) f(x)=0 теңдеуін шешу керек, мұндағы f(x)=. Алынған нәтижені 4-тапсырмадағы жауаппен салыстыр;

 б)  теңдеуін шешіңіз.

Нұсқау. Теңдеуді f(x)=0 түріне келтіріп, теңдеудің сол жағын клавиатурадан теріп, Символические операторы, Solve панелін шақыруға болады. Оң жақтағы таңбаны ізделініп отырған айнымалымен толтырып, беттегі кез-келген бос жерді басыңыз.

Тапсырманы орындау:

            а)

 

 =0  теңдеуінің екі еселі екі түбірі  x=0 және  x=2 болғандықтан, теңдеудің сол жағы   көбейткіштеріне жіктеледі. Бұл 4  тапсырманың нәтижесімен сәйкес келеді;

б) 

    .

Сонымен,  теңдеуінің шешімдер жиыны:  .

          3  № 2 зертханалық жұмыс

          Векторлық және сызықтық алгебраның есептері

          3.1 Жұмыс мақсаты

Берілген зертханалық жұмыстың мақсаты  векторлармен және матрицалармен амалдар орындауда, теңделер жүйесін шешуде  Mathcad компъютерлік жүйесінің ережелері мен әдістерін қолдана білу болып табылады.

 3.2 векторлармен және матрицалармен амалдар орындауда, теңделер жүйесін шешуде негізгі сұрақтарды сипаттау. 

         ,    және   векторларын қарастырайық.

     -  векторын санына көбейту:

              ;

     -  және  векторларының скаляр көбейтіндісі

              ;

     -  векторының ұзындығы: ;

- ,    және    векторларының аралас көбейтіндісі:     ;

-  егер  ,  және векторлары бір жазықтыққа параллель болса, олар

компланарлы деп аталады. Компланарлықтың қажетті және жеткілікті шарты

;

- кез келген компланар емес үш  вектор үшөлшемді кеңістікте базис

құрайды, яғни төртінші вектордың осы үш вектор арқылы бір ғана жіктелуі болады.

, , матрицаларын қарастырайық;

         - егер , онда  матрицасының  кері матрицасы бар болады:

;

- жүйесін келесі жолмен шешуге болады:

Егер    матрицасының анықтауышы  , онда жүйенің жалғыз шешімі бар, оны Крамер формуласы бойынша табуға  болады: , мұндағы

;

- егер , онда  жүйенің жалғыз шешімін кері матрица

көмегімен табуға  болады:

          3.3  Тапсырмалар

          3.3.1   векторлары мен  сандары берілген. Табу керек:

          а) ;

         б)  ;

         в)  және   векторларының скалярлық көбейтіндісін;

         г)  және   векторларының векторлық көбейтіндісін;

         д) және алдыңғы пунктте алынған вектордың ұзындығын;

         е)  векторларының аралас көбейтіндісін;

         ж) берілген векторлар сызықтық тәуелді бола ма?

 

 

 

Жеке тапсырмалардың нұсқасы 3.3.1

№

1

(2, -3, 1)

(1, 2, 5)

(6, 2, -3)

2

1

3

2

(4, -2, 0)

(4, -2, 0)

(1, 2, -5)

1

2

2

3

(5, -1, 0)

(3, 2, 4)

(3, 2, -3)

-1

-2

1

4

(1, 2,-3)

(1, -2,5)

(4, 1, -3)

7

3

-1

5

(5, 1, 2)

(2, 1, -4)

(6, 2, -3)

2

4

-3

6

(7, -1, 0)

(3, -6, 5)

(1, 5,- 4)

5

1

2

7

(2, -3, 4)

(7, 2, 4)

(6, 2,-3)

6

2

-1

8

(5, -1, 3)

(3, -1, 6)

(7, 2,-3)

3

-3

2

9

(6, 2, -5)

(2, 2, -3)

(1,-7, 5)

4

-5

1

10

(4, -1, 0)

(3, -3, 4)

(5, 2, -1)

-2

4

2

11

(7, 0, 6)

(1, 2, -5)

(3, -2,-1)

1

3

4

12

(1, -1, 5)

(-1, -5, 1)

(1, 3,-3)

2

4

3

13

(5, -1, 2)

(-3, 2, 4)

(4, 2,-5)

4

2

5

14

(6, -1, 4)

(1, 0, 7)

(2, -1, 0)

3

-1

1

15

(5, -1, 3)

(6, 2, -3)

(-5, 1 ,-3)

5

-2

2

16

(5, -1, 0)

(1, 2, 1)

(5,2,-2)

3

-1

1

17

(5, -1, 0)

(4, 3, 1)

(4,6,-1)

2

3

1

18

(5, -1, 0)

(3, 1, 4)

(2,1,0)

1

4

2

19

(5, -5, 4)

(7, 2,6)

(1,6,-5)

-7

3

1

20

(7, 5, 0)

(3, 1,4)

(2,2,-3)

2

4

3

21

(1, -3, 2)

(1, 2,4)

(5,4,-1)

5

1

-1

22

(3, -4, 1)

(7, 2,4)

(3,2,-4)

3

-1

1

23

(4, 2, 0)

(3, 1,3)

(5,1,-1)

-2

3

4

24

(5, 6, -3)

(1, 2,0)

(6,1,-3)

1

-2

2

25

(6, -1, 2)

(7, 2,5)

(1,2,-2)

5

3

1

26

(1, -3, 1)

(3, 2,6)

(3,2,-4)

2

-1

7

27

(4, 2, -2)

(1, 2,4)

(2,1,-5)

1

-2

4

28

(7, -1, 5)

(3, 0,5)

(1,2,-2)

-3

2

1

29

(6, 2, 0)

(6, 4,1)

(4,2,-4)

1

4

-2

30

(3, -4, -1)

(1, 2,3)

(7,1,-1)

2

3

1

3.3.2  А, В, С матрицалары берілген. Табу керек:

          а)  А және С матрицаларының анықтауышын;        

          б)  матрицасын;

          в)  А және С матрицаларының кері матрицасын (егер олар бар           болса);

          г) А және С матрицаларының рангтерін ( функциясының    көмегімен);

          д) А және В матрицаларының көбейтіндісін;

          е) матрицасын.

Жеке тапсырмалардың нұсқасы 3.3.2

№

A

B

C

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

2.10

2.11

2.12

2.13

2.14

2.15

2.16

2.17

2.18

2.19

2.20

2.21

2.22

2.23

2.24

2.25

2.26

2.27

2.28

2.29

2.30

          3.3.3  теңдеулер жүйесі берілген.

          а)  осы теңдеулер жүйесін Крамер формуласы бойынша шешіңіз;

          б)  осы теңдеулер жүйесін кері матрицаның көмегімен, яғни   формуласымен шешіңіз;

          в) осы теңдеулер жүйесін операциясының көмегімен  шешіңіз.

Жеке тапсырмалардың нұсқасы 3.3.3

1 ,                2 , 

3 ,                4 , 

5 ,                  6 ,                  7 ,                 8 , 

9 ,               10 , 

11 ,             12 ,

13 ,           14 ,

   15 ,            16 ,

   17 ,              18 ,     

   19,             20 ,

  21 ,               22 ,  

 23 ,              24 ,

25 ,                 26 ,

27 ,                28 ,

29 ,                30 ,

 

          4  № 2 зертханалық жұмысты орындау үлгісі

         1-тапсырма.  векторлары және сандары берілген. Табу керек:

          а) ;

          б)  ;

          в)  және   векторларының скалярлық көбейтіндісін;

          г)  және   векторларының векторлық көбейтіндісін;

          д) және алдыңғы пунктте алынған вектордың ұзындығын;

          е)  векторларының аралас көбейтіндісін;

          ж) берілген векторлар сызықтық тәуелді бола ма?

Олар базис құра ала ма?

         Нұсқау. Матрицалар  панелінде үш векторды баған матрица ретінде (үш жол және бір баған) және үш санды енгіземіз. Содан соң ретімен 7 тапсырманы орындаймыз.

 

Тапсырманы орындау:

                       

а)-б) клавиатурадан  және   өрнегін теру керек, сан мен вектор арасындағы көбейту таңбасын ұмытпау керек. Пробел  клавишасының көмегімен барлығын көк бұрышпен қоршап, = таңбасын басу керек.

в)-г) матрицалар панелінің Скалярлық (содан соң Векторлық) көбейтінді кнопкасын басып, көбейткіштерді енгіземіз

барлығын көк бұрышпен қоршап, = таңбасын басу керек.

д) матрицалар панелінің Анықтауыштарды есептеу кнопкасын басып, қара белгінің орнына  немесе  векторларын енгізіп, барлығын көк бұрышпен қоршап, = таңбасын басу керек ;

         е) матрицалар панелінің көмегімен Скалярлық және Векторлық көбейтінді  өрнегін теріп, барлығын көк бұрышпен қоршап,  = таңбасын басу керек

немесе  

 

ж) егер берілген векторлардың координаталарынан құрылған анықтауыш (немесе олардың аралас көбейтіндісі  нөлден өзгеше болса), онда үш вектор сызықтық тәуелсіз болады; егер осы анықтауыш нөлге тең болса, олар сызықтық тәуелді болады. Сол себепті   векторларының координаталарынан тұратын матрица құрамыз да, осы матрицаның анықтауышын есептейміз.

         . Сонымен  векторлары  сызықтық тәуелсіз болады және кеңістіктің базисін құрай алады

         2-тапсырма.

, ,

матрицалары берілген:

          а)  А және С матрицаларының анықтауышын табу керек;

          б)  матрицасын анықтау керек;

          в)  А және С матрицаларының кері матрицасын (егер олар бар  болса) табу керек;

          г) А және С матрицаларының рангтерін табу керек;

         д) А және В матрицаларының көбейтіндісін табу керек;   

         е) матрицасын табу керек.

         Нұсқау. Матрицалар панелінің көмегімен үш матрицаны енгізіп, 6- тапсырманы ретімен орындауға болады:

Тапсырманы орындау:

а) А және С матрицаларының анықтауышын 1.7 тапсырмасында көрсетілгендей табуға болады: , ;

б) тапсырманы  Матрицалар, Матрицаларды транспонирлеу панелінің көмегімен орындауға болады: ;

в) тапсырманы  Матрицалар, Инверсия панелінің көмегімен орындауға болады, егер матрицаның анықтауышы нөлге тең болса, онда оның кері матрицасы болмайды:

- кері матрицасы болмайды, себебі  оның анықтауышы нөлге тең. Ал А матрицасы үшін     ;

г) матрицаның рангын rank функциясының көмегімен анықтауға болады, ол үшін бұл функцияны клавиатурадан теру керек: ;

    д)-е) тапсырманы көбейту және дәрежеге шығару операцияларын  клавиатурадан теру арқылы немесе Арифметика панелін қолдану арқылы орындауға болады:

            .

3-тапсырма.  теңдеулер жүйесі берілген, мұндағы , , .

а)  осы теңдеулер жүйесін Крамер формуласы бойынша шешіңіз;

б)  осы теңдеулер жүйесін кері матрицаның көмегімен шешіңіз,

в) осы теңдеулер жүйесін операциясының көмегімен      шешіңіз.

Нұсқау. Матрицалар панелінің көмегімен  және  матрицаларын теріп, 3- тапсырманы ретімен орындауға болады:

 

Тапсырманы орындау:

а) теңдеулер жүйесін Крамер формуласы бойынша шешу үшін тағы төрт  матрица тереміз, сосын Крамер формуласы бойынша шешуін табу керек:

   . Сонымен жүйенің бір шешімі бар ;

б) теңдеулер жүйесін кері матрицаның көмегімен шешу үшін

тағы  матрицасын тереміз, содан соң -ді -ге көбейтіп, = таңбасын басамыз

. Жауабы: ;

в) теңдеулер жүйесін операциясының көмегімен шешу үшін осы функцияны клавиатурадан тереміз. Аргументі ретінде  және  матрицаларын жазуға болады. Символдық операторлар  панелінен  таңбасын қоямыз да, беттегі кез-келген бос жерді басамыз.

Пайда болған жазулардан кейін = таңбасын басамыз

 

. Жауабы: .

5    № 3 зертханалық жұмыс

            Математикалық талдау есептері

         5.1 Жұмыс мақсаты

Берілген лабораториялық жұмыстың мақсаты студенттерге  функцияның графигін салу, шектерді есептеу, шексіз аз шамаларды салыстыру, функцияның үзіліссіздігін және үзіліс нүктелерін анықтау үшін Mathcad компъютерлік жүйесінің ережелері мен әдістерін қолдана білу болып табылады.

         5.2 Функцияның графигін салу және шектерді есептеудегі негізгі сұрақтарды сипаттау.

          аралығында функциясын қарастырайық.

          - егер  теңдіктері орындалса,  нүтесінде  функциясы үзіліссіз деп аталады;

          - егер (1) теңдіктерінің біреуі орындалмаса және   сандары шектеулі болса, онда  нүктесі I текті үзіліс нүктесі деп аталады, егер  сандарының біреуі шексіз үлкен болса, онда - II текті үзіліс нүктесі деп аталады.

         ,  функциялары  аралығында анықталған болсын және ;

     - егер , онда   кезде  шексіз аз функция деп

аталады;

     -  кезде екі шексіз аз функцияларды салыстыру үшін олардың

қатынастарының шегін қарастырады: ;

     егер , онда  және  реті бірдей шексіз аз функциялар деп

аталады;

    егер , онда  - -ға қарағанда реті жоғары шексіз аз функ-

ция, ал - -ға қарағанда реті төмен шексіз аз функция деп аталады;

    егер , онда  және   эквивалентті шамалар деп аталады:

.

    5.3  Тапсырмалар

5.3.1  Декарттық координаталар жүйесінде y=f(x) функциясының  графигін салу керек.

Жеке тапсырмалардың нұсқасы 5.3.1

№

                           f(x)

№

                              f(x)

1

16

2

17

3

18

4

19

5

20

6

21

7

22

8

23

9

24

10

25

11

26

12

27

13

28

14

29

15

30

 

5.3.2  Декарттық координаталар жүйесінде y=f(x) функциясының  графигін салу керек. Сол графикте көрсетілген нүктеде жанама мен нормальды салу керек.

Жеке тапсырмалардың нұсқасы 5.3.2

№

        f(x)

  

№

      f(x)

   

№

          f(x)

1

-10

11

10

21

-5

2

-3

12

3

22

-5

3

-8

13

8

23

-3

4

-3

14

3

24

-5

5

-2

15

2

25

-1

6

-3

16

3

26

5

7

-1

17

1

27

5

8

-2

18

2

28

3

9

0,5

19

-0,5

29

5

10

0,5

20

-0,5

30

1

 

        5.3.3 Параметр түрінде берілген функцияның  графигін салу керек.

Жеке тапсырмалардың нұсқасы 5.3.3

№

           x(t)

            y(t)

№

            x(t)

              y(t)

1

16

2

17

3

18

4

19

5

20

6

21

7

22

8

23

9

24

10

25

11

26

12

27

13

28

14

29

15

30

 

5.3.4 Полярлық координаталар жүйесінде  функцияның  графигін салу керек.

Жеке тапсырмалардың нұсқасы 5.3.4

№

          

№

          

№

            

1

11

-

21

2

12

22

3

13

23

4

14

24

5

15

25

6

16

26

7

17

27

8

18

28

9

19

29

10

20

30

 

5.3.5 f(x) функциясының  а нүктесіндегі шегін табу

Жеке тапсырмалардың нұсқасы 5.3.5

№

          f(x)

а

№

         f(x)

а

№

        f(x)

а

1

2

11

1

21

-1

2

3

12

1

22

4

3

13

23

0

4

0

14

1

24

-2

5

1

15

0

25

2

6

4

16

4

26

7

1

17

27

0

8

2

18

1

28

-1

9

b

19

-1

29

-1

10

2

20

30

 

5.3.6   кезде берілген функциялар шексіз аз шама болатындығын анықтаңыз. Осы шексіз аз функцияларды салыстырыңыз.

 

Жеке тапсырмалардың нұсқасы 5.3.6

№

       

           

№

         

            

1

16

2

17

3

18

4

19

5

20

6

21

7

22

8

23

9

24

10

25

11

26

12

27

13

28

14

29

15

30

 

 

         5.3.7 Берілген функциялардың үзіліс нүктелерін тауып, оның түрін анықтаңыз.

Жеке тапсырмалардың нұсқасы 5.3.7

№

          f(x)

        g(x)

№

         f(x)

           g(x)

1

16

2

17

3

18

4

19

5

20

6

21

7

22

8

23

9

24

10

25

11

26

12

27

13

28

14

29

15

30

          6   № 3 зертханалық  жұмысты орындау үлгісі

1- тапсырма. Декарттық координаталар жүйесінде y=f(x) функциясының  графигін салу керек.

Нұсқау. Берілген функцияны клавиатурадан теру керек. Графики  Декартов график панелін шақырамыз. Ох (көлденең) осі бойынан ортасындағы қара таңбаға x айнымалысын жазу керек, ал Оу (тік) осі бойынан f(x) функциясын енгіземіз. Қалған қара таңбаларға масштаб енгізіп, графиктен тыс жерге сырт дегізу крек.

Тапсырманың орындалуы:

         f(x)=

                                                   

2-тапсырма. Декарттық координаталар жүйесінде y=f(x) функциясының  графигін салу керек. Сол графикте көрсетілген нүктеде жанама мен нормальды салу керек.

Нұсқау. Берілген функцияны, жанаманың бұрыштық  коэффициентін және берілген нүктеде есептелінген  бұрыштық  коэффициентті, жанама мен нормаль теңдеулерін  клавиатурадан теру керек. Графики  Декартов график панелін шақырамыз. Қара таңбаларды толтырып (Оу осі бойында үш функцияны үтір арқылы теру керек),  бос жерге сырт дегізу крек.

Тапсырманың орындалуы:

,

 - жанаманың бұрыштық  коэффициенті

    -  нүктесінде есептелінген  бұрыштық  коэффициент

- жанама теңдеуі

 - нормальтеңдеуі

                                             

                                            

3-тапсырма. Параметр түрінде берілген функцияның  графигін салу керек.

Нұсқау. Берілген функцияны клавиатурадан теру керек. Графики  Декартов график панелін шақырамыз. Ох осі бойына x(t)-ті, ал Оу осі бойына y(t)-ті енгізіп, бос жерге сырт дегізу крек.

Тапсырманың орындалуы:

          

                                           

4-тапсырма. Полярлық координаталар жүйесінде  функцияның  графигін салу керек.

Нұсқау. Берілген функцияны клавиатурадан теру керек. Графики  Полярный график панелін шақырып, таңбаларды толтырған соң,  бос жерге сырт дегізу керек.

Тапсырманың орындалуы:

                                       

5- тапсырма. f(x) функциясының  а нүктесіндегі шегін табу

Нұсқау. Математический анализ панелінен Пределы таңбасын шақырып, оны толтырамыз. Символы панелінен  таңбасын қойып, бос жерге сырт дегізу крек.

Тапсырманың орындалуы:

,   a=

        

6-тапсырма.  кезде берілген функциялар шексіз аз шама болатындығын анықтаңыз. Осы шексіз аз функцияларды салыстырыңыз.

Нұсқау. Жоғарыда көрсетілгендей,  кездегі әрбір функцияның шегін есептеңіз. Содан соң осы функциялардың қатынастарының  кездегі шегін табыңыз. Қорытынды жасаңыз.

Тапсырманың орындалуы:

                  

                          

          

  - берілген функциялардың шектері. Шектер 0-ге тең болғандықтан, олардың екеуі де   кезде шексіз аз функциялар.

- бұл функциялардың қатынастарының шегі  кезде  1 тең болғандықтан,  шексіз аз функциялар эквивалентті.

         7- тапсырма. Берілген функциялардың үзіліс нүктелерін тауып, оның түрін анықтаңыз.

Нұсқау. Үзіліс нүктелерінде (функция анықталмаған нүктелерде) берілген функциялардың біржақты шектерін табу керек. Ол үшін  Математический анализ панелінен Оң  және Сол Шектері бар таңбаны шақыру керек. Табылған шектерге байланысты үзіліс нүктелерінің ретін анықтау керек.

Тапсырманың орындалуы:

Берілген функция үшін х=-6 нүктесі анықталу облысына кірмейді.  Бірақ функция бұл нүктенің маңайында анықталған, яғни х=-6 -үзіліс нүктесі.

- үзіліс нүктесінде біржақты шектерін есептеу.

Сол жақ шегі 0-ге тең, оң жақ шегі -. Біржақты шектердің біреуі -ке тең болғандықтан, х=-6 – екінші текті үзіліс нүктесі.

          7    № 4 зертханалық  жұмыс

         Функцияны зерттеу  және  графигін салу

         7.1  Жұмыс мақсаты

Берілген зертханалық жұмыстың мақсаты  бір айнымалылы функцияның туындысын есептеу, туынды көмегімен функцияны зерттеу және графигін салу болып табылады.

7.2 Функцияны толық зерттеудегі және графигін салудағы негізгі сұрақтарды сипаттау.

         функциясы  аралығында анықталған болсын:

     - егер  онда функцияның графигі  нүктесінде абсцисса осімен қиылысады;

     - егер  нүктесінде функция шексіз үзілісті болса, онда функция

графигінің   тік (вертикаль) асимптотасы болады;

     - егер   шектері бар және шектеулі

болса, онда - функция графигінің   кезде көлбеу асимптотасы

болады;

          - егер  және , орындалатындай саны табылса, онда зерттеліп отырған  периоды болатын  периодты  функция болады. Бұл жағдайда функция графигін   аралығында салып, периодтылығы бойынша сан осінің қалған бөлігіне салуға болады;

          - егер ,   онда берілген функция жұп. Бұл жағдайда график ордината осіне қатысты  симметриялы; функция графигін   аралығына салып, (-,0) аралығында ордината осіне қатысты  симметриялы бейнелеу жеткілікті;

          - егер   онда берілген функция тақ. Бұл жағдайда график координата басына қатысты  симметриялы; функция графигін   аралығына салып, (-,0) аралығында координата басына  қатысты  симметриялы бейнелеу жеткілікті;

          - егер  болғанда  және  болғанда  болатындай  нүктесінің аймағы бар болса, онда функция үшін  максимум нүктесі. Егер

 болғанда   және  болғанда болса, онда  минимум нүктесі;

          - егер  аралығында екі рет  дифференциалданатын  функциясы осы аралықта болса, онда  -да функция ойыс. Егер  аралығында  болса, онда  -да функция дөңес.

          Егер функцияның екінші ретті туындысы  нүктесінде нөлге тең болса, ал оның оң және сол жақтарындағы мәндері  әртүрлі таңбалы болса, онда - иілу нүктесі болады.

7.3  Тапсырмалар

7.3.1  f(x) функциясы мен  нүктесі берілген.

Анықтамасы бойынша f(x) функциясының  туындысын табу керек

7.3.2   туындыларын табу керек

Жеке тапсырмалардың нұсқасы 7.3.1 және 7.3.2

№

    

  

№

          

 

№

1

2

1

3

0

4

0

5

0

6

0

7

8

1

9

2

10

0

11

0

12

2

13

14

15

16

17

1

18

0

19

0

20

1

21

0

22

2

23

24

25

26

0

27

28

2

29

0

30

 

7.3.3  f(x) функциясы берілген.  f(x) функциясының графигінің координата осьтерімен қиылысу нүктелерін табу керек.

7.3.4  f(x) функциясының графигінің асимптоталарын табу керек.

7.3.5  f(x) функциясының графигін салу керек және алынған нәтижені графиктегімен салыстыру керек.

Жеке тапсырмалардың нұсқасы 7.3.3,  7.3.4  және  7.3.5.

№

         

№

           

№

           

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

7.3.6  f(x) функциясы берілген. f(x) функциясының экстремум нүктелері мен  экстремал мәндерін табу керек.

7.3.7   f(x) функциясының графигін салу керек және алынған нәтижені графиктегімен салыстыру керек.

Жеке тапсырмалардың нұсқасы 7.3.6 және 7.3.7.

№

                    

№

                      

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

7.3.8  f(x) функциясы берілген. Функция графигінің ойыс және дөңес аралықтарын, иілу нүктелерін табу керек.

7.3.9  f(x) функциясының графигін салу керек және алынған нәтижені графиктегімен салыстыру керек.

Жеке тапсырмалардың нұсқасы 7.3.8 және 7.3.9.

№

        

№

       

№

         

  1

       

  2

         

  3

   

  4

     

  5

       

  6

   

     

  7

      

  8

     

     

  9

       

10

     

11

   

    

12

      

13

 

    -

14

       

15

        

16

    

    

17

         

18

          

19

 

     

20

         

21

22

23

24

25

26

27

-

28

29

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.3.10 f(x) функциясын толық зерттеп, графигін салу керек.

 

Жеке тапсырмалардың нұсқасы 7.3.10

 

         

№

         

№

          

1

    

2

      

3

       

4

       

5

    

6

     

7

       

8

     

9

 

   

10

       

11

 

    

12

        

13

       

14

      

15

       -

16

      

17

     

18

     

19

   

20

     

21

     

22

   

23

     

24

    

25

   

26

     

27

      

28

   

29

        

30

      

 

          8   № 4  зертханалық  жұмысты орындау үлгісі

1-тапсырма.  функциясы мен = нүктесі берілген:

а)  анықтамасы бойынша f(x) функциясының  туындысын табу керек;

б)   туындыларын табу керек.

Нұсқау. Клавиатурадан берілген функцияны теріңіз. Математический анализ панелінде Шектер таңбасын шақырып, оны толтырып,  ұмтылғандағы функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасын есептеу керек. Алынған өрнек анықтама бойынша функцияның туындысы болады. Содан соң  Математический анализ панелінен Туынды таңбасын шақырып, оны толтырып,  MATHCAD жүйесінің құралдарымен туындыны есептеу керек. Клавиатурадан  нүктесін теріп, төменде көрсетілгендей туындыны есептеу керек.

 

Тапсырманы орындау:

2-тапсырма.  функциясы берілген:

а) f(x) функциясының графигінің координата осьтерімен қиылысу нүктелерін табу керек;

б) f(x) функциясының графигінің асимптоталарын табу керек;

в) f(x) функциясының графигін салу керек және алынған нәтижені графиктегімен салыстыру керек.

Нұсқау: а) клавиатурадан берілген функцияны теріңіз. f(0) мәнін есептеу керек – бұл  ОУ-пен қиылысу нүктелері. f(x)=0 теңдеуін шешу керек  – оның түбірлері ОХ-пен қиылысу нүктелері;

б) f(x) үзіліс нүктесін және осы нүктедегі біржақты шектерін табу керек. Тік асимптота теңдеуін жазу керек. ,  шектерін есептеңіз. y=kx+b көлбеу асимптотаның (егер k=0, онда көлденең) теңдеуін құрыңыз;

в) f(x) графигін салыңыз. Жоғарыда жасалынған зерттеулердің салынған графикпен сәйкес келе ме, жоқ па қорытынды жасаңыз.

Ескерту- қолдануға ұсынып отырған амалдар № 1, 2, 3 зертханалық жұмыстарда көрсетілді.

Тапсырманы орындау:

а)

     

Сонымен ОХ осімен қиылысу нүктесі– (-3;0), ОУ осімен - (0;2,25);

б) х=-4 функцияның үзіліс нүктесі болып табылады, себебі функция бұл нүктеде анықталмаған. Осы нүктедегі біржақты шектерін есептейік: .

            Сонымен, х=-4 – тік асимптота.

y=kx+b көлбеу асимптотаны табайық:

 

Сонымен, y=x+2 – көлбеу асимптота;

в) функция графигін және оның асимптоталарын салыңыз:

 f1(x)=x+2,   f2(x)=x+4.

 

3-тапсырма.  функциясы берілген.

а) f(x) функциясының экстремум нүктелері мен  экстремал мәндерін табу керек;

б) f(x) функциясының графигін салу керек және алынған нәтижені графиктегімен салыстыру керек.

Нұсқау: а)  функцияның туындысын табыңыз. =0 орындалатын кризистік нүктелерін немесе орындалуы мүмкін емес нүктелерді табу керек. Анықталу облысын осы нүктелермен бөліп, әрқайсысына туындының таңбасын қойып шығу керек. Қорытынды жасаңыз. Алынған мәліметтерді кестеге енгізу керек.

Ескерту- MATHCAD жүйесінде қолдануға ұсынып отырған амалдар алдыңғы зертханалық жұмыстарда көрсетілді.

Тапсырманы орындау:

а) 

x

  -1

0

  

+

   0

-

   0

+

   y

            

  -4

              

  -5

            

Сонымен, (-1;-4)- максимум нүктесі; (0;-5) - минимум нүктесі. Өсу аралығы -   және , кему аралығы - ;

б) функцияның графигін саламыз:

 

График берілімдері зерттеу нәтижесімен сәйкес келеді.

4-тапсырма. функциясы берілген:

а) функция графигінің ойыс және дөңес аралықтарын, иілу нүктелерін табу керек;

б) f(x) функциясының графигін салу керек және алынған нәтижені графиктегімен салыстыру керек.

Нұсқау: а)  екінші ретті туындысын табу керек. =0 орындалатын немесе орындалуы мүмкін емес нүктелерді табу керек.  Анықталу облысын осы нүктелермен бөлу керек. Ойыстығы, дөңестігі және иілу нүктелер жөнінде қорытынды жасаңыз. Алынған мәліметтерді кестеге енгізу керек;

б) f(x) функциясының графигін салу керек және алынған нәтижені графиктегімен салыстыру керек.

Ескерту-  MATHCAD жүйесінде қолдануға ұсынып отырған амалдар алдыңғы зертханалық жұмыстарда көрсетілді.

Тапсырманы орындау:

  а)                

               

x

1

-

-

0

+

y

-0,111

Сонымен , (1,-0.111)- үзіліс нүктесі.

 және  - дөңес аралығы, - ойыс аралығы;

б)

 

                         

      Құрылған график көрнекілеу болу үшін орындалу жұмысы екі масштабта жасалынды.

5-тапсырма. f(x)=  функциясы берілген. f(x) функциясын толық зерттеп, графигін салу керек.

            Нұсқау.  Табу керек: а) анықталу облысын және үзіліс нүктелерін;

б) функция графигінің асимптоталарын; в) графиктің координата осьтерімен қиылысу нүктелерін; г) жұптығы және тақтығы; д) монотондық  интервалын, экстремум нүктелерін; е) ойыс, дөңес аралықтарын, иілу нүктелерін;  

ж) функция графигін салу керек.

 

 

 

Тапсырманы орындау:

Ескерту- текст пен  формулалардың көпшілігі WORD жүйесінде теріледі; есептеулер, теңдеулердің шешімі, график салу MATHCAD жүйесінде қатар жүргізіледі, содан соң WORD-қа көшірме жасалынады. MATHCAD жүйесінде қолдануға ұсынып отырған амалдар алдыңғы зертханалық жұмыстарда көрсетілді:

а) f(x)= ,   ,   -үзіліс нүктелері. Д(f):;

         б) f(x)= , 

    болғандықтан - тік асимптоталар.

y=kx+b көлбеу асимптотаны табайық:

, сонымен,  y=x - көлбеу асимптота;

         в) функция графигінің координата осьтерімен қиылысу нүктелері:

с OX: y=0 ,

c OY: x=0y=0;

         г)  болғандықтан, функция тақ;

         д) монотондық интервалдарын, экстремум нүктелерін табайық: ,

 болғандықтан, f(x) функциясы анықталу обласында өседі. Экстремум нүктесі жоқ;

         е) ойыс, дөңес аралықтарын, үзіліс нүктесін табайық:

 

 

f2(x)=0:

 , бұл х=0 - үзіліс нүктесінің абсциссасы болатындығын көрсетеді.  Кестені толтырайық:

 

x

   

       

  0

          

          

+

-

  0

+

-

y

  0

            

              

 

         Берілген аралықта екінші туындының таңбасын анықтау: . Сонымен, (0,0) – иілу нүктесі;

        

ж) функцияның графигін және асимптоталарын саламыз: .

 

 

 

 

           

 

 

 

Әдебиеттер тізімі

 

     1. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MathCAD 7.0 в математике, физике и в Internet. – М.: Нолидж, 1998. -352 с.

     2. Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad: математический практикум для экономистов и инженеров: Учеб. Пособие. –М.: Финансы и статистика, 1999. – 656 с.

     3. Хасеинов К.А. Каноны математики. – Алматы, 2003. – 686 с.

     4. Кирьянов Д.В. Mathcad 12. – СПб.: БХВ – Петербург, 2005. -576 с.

 

 

 

 

Мазмұны

1    № 1 зертханалық  жұмыс                                                                          3

2    № 1 зертханалық жұмысты орындау үлгісі                                          10

3    № 2 зертханалық жұмыс                                                                         13

4   № 2 зертханалық жұмысты орындау үлгісі                                           20

5    № 3 зертханалық жұмыс                                                                         25

6    № 3 зертханалық жұмысты орындау үлгісі                                          32

7    № 4 зертханалық жұмыс                                                                         36

8    № 4 зертханалық жұмысты орындау үлгісі                                          41

Әдебиеттер тізімі                                                                                           49

 

 

 

 

 

 

2006 ж. жинтық жоспары, реті 113

 

Астраханцева Людмила Николаевна

Ким Людмила Николаевна

Байсалова Мәншүк Жұмамұратқызы

 

                                                            

 

 

 

 

Алгебра және геометрия

Зертханалық жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар (050704 – Есептеу техникасы және бағдарламалық қамтамасыз ету мамандығы бойынша оқитын күндізгі бөлім студенттері  үшін)

 

 

 

 

 

 

Редакторы Ж.А.Байбураева

 

Басуға қол қойылды “___”_____               Пішімі 6084      1/16

Тиражы ____ дана                                      №1 типография қағазы

Көлемі 3,1 оқу- баспа т.                             Тапсырыс ___Бағасы 175 т.        

 

 

 

 

 

 

Алматы энергетика және байланыс институтының

көшірмелі -көбейткіш бюросы

050013, Алматы, А.Байтұрсынұлы көшесі, 126 үй