ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ

МИНИСТІРЛІГІ

"Алматы энергетика және байланыс институтының "

Коммерциялық емес акционерлік қоғамы

С.Е. Ералиев

Сызықтық алгебраның элементтері

Оқу құралы

Бұл оқулық техникалық жоғары оқу орындарының бағдарламасына сай жазылған. Оқулықта анықтауыштар, векторлар, матрицалар және сызықты теңдеулер жүйесін шешу тәсілдері қарастырылған. Тақырыптарды терең түсіну үшін таңдалынып алынған мысалдар қарастырылған және әрбір параграфтың соңында есептер берілген. Сондықтан бұл оқулықты есептер жинағы ретінде пайдалануға болады.

Оқулық техникалық жоғары оқу орындары мен колледждердің студенттеріне арналған.

1 Анықтауыштар

1.1 Екінші және үшінші ретті анықтауыштар. Қасиеттері

1- анықтама. Екінші және үшінші ретті анықтауыштар келесі теңдіктермен анықталады:

, (1) . (2)

сандары анықтауыштың элементтері деп аталады. Элементтің бірінші индексі жатық жолының нөмірін, ал екінші индексі тік жолының нөмірін анықтайды.(1)- дегі сандары және (2)- дегі сандары орналасқан диогональ негізгі, ал (1)- дегі және (2)- дегі сандары орналасқан диогональ қосалқы деп аталады.

Екінші ретті анықтауышты есептеу үшін оның негізгі диогональ элементтерінің көбейтіндісінен қосалқы диогональ элементтерінің көбейтіндісін шегеру қажет.

Үшінші ретті анықтауыштың мәні үшбұрыштар немесе Сайрюс ережесі деп аталатын сұлба бойынша алғашқы үш қосылғыш « + » таңбасымен, ал қалған үш қосылғыш «-» таңбасымен алынып, былай есептелінеді:

Төртінші және одан да жоғары ретті анықтауыштарды есептеу үшін анықтауыштың қасиеттерін білу қажет.

Екінші ретті анықтауыштың қасиеттері кез келген анықтауыштарға да орындалады, сондықтан оның қасиеттерін тек екінші ретті анықтауыш үшін дәлелдейік.

1-қасиет. Анықтауыштың жатық жолдарын оның сәйкес тік жолдарымен орын алмастырсақ ( транспонирлесек), онда оның мәні өзгермейді:

Дәлелдеуі. яғни олар тең.

2-қасиет. Анықтауыштың екі жатық (тік) жолының сәйкес элементтерінің орнын алмастырсақ, онда оның тек таңбасы өзгереді:

Дәлелдеуі. Шынында

3-қасиет. Анықтауыштың бір жатық (тік) жолының барлық элементтерін санына көбейтсек, онда анықтауыштың мәні есе артады:

Дәлелдеуі.

Салдар. Анықтауыштың жатық (тік) жолының әр элементіндегі ортақ көбейткішті анықтауыш таңбасының алдына шығаруға болады.

2-салдар. Анықтауыштың екі жатық (тік) жолының сәйкес элементтері пропорционал болса, онда ол нөлге тең болады.

4-қасиет. Анықтауыштың - жатық (тік) жолының элементтері екі қосылғыштан тұрса, онда ол анықтауыштың мәні төмендегідей екі анықтауыштың мәндерінің қосындысына тең болады:

Дәлелдеуі. Шынында

Яғни

5-қасиет. Анықтауыштың кез келген жатық (тік) жолының барлық элементтерін К санына көбейтіп, басқа кез келген жатық (тік) жолының сәйкес элементтеріне қоссақ, онда оның мәні өзгермейді:

Дәлелдеуі:

Анықтауыштың келесі екі қасиеті минор және алгебралық толықтауыш түсініктемелеріне байланысты.

2-анықтама. Анықтауыштың элементтерінің миноры деп сол элемент тұрған жатық жолымен тік жолын сызып тастағанда пайда болатын анықтауышты айтады. Мысалы, анықтауышының элементінің миноры деп анықтауышын айтады.

3-анықтама. Анықтауыштың элементінің алгебралық толықтауышы деп таңбасымен алынған осы элементтің минорын айтады, яғни

Мысалы, жоғарыдағы үшінші ретті анықтауыштың элементінің алгебралық толықтауышы деп , , элементінің алгебралық толықтауышы деп анықтауышын айтады.

6-қасиет. Анықтауыштың кез келген жатық (тік) жолының элементтері мен олардың сәйкес алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысы осы анықтауыштың мәніне тең болады:

Дәлелдеуі.

Салдар. Егер анықтауыштың - жатық жолының (тік жолының) бір элементінен өзге барлық элементтері нөлге тең болса, онда анықтауыштың мәні осы элементпен оның алгебралық толықтауышының көбейтіндісіне тең болады.

1-мысал. Есептеу керек.

Шешуі: 1- формуланы қолданамыз

2-мысал. Анықтауышты есептеу керек

Шешуі: 2-формуланы қолдансақ

3-мысал. -ң қандай мәнінде анықтауышы нөлге тең болады? Мұндағы

Шешуі: ; болады, егер

4-мысал. анықтауышын бірінші жатық жолдың элементтерінің көмегімен жіктеу арқылы есептеу керек.

Мұндағы

Шешуі: Мұндағы . Олардың алгебралық толықтауыштары:

6-қасиет бойынша

5-мысал. 4-мысалдағы анықтауышын 6-қасиеттің салдарын пайдалана отырып есептеу керек.

Шешуі:

Төмендегі анықтауыштарды есептеу керек:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

Төмендегі анықтауыштарды 6-қасиетті немесе оның салдарын пайдалана отырып есептеу керек:

10. 11. 12.

13. 14.

1.2 n ретті анықтауыш және оның қасиеттері

Жоғарыда қарастырылған анықтауыштың қасиеттері кез келген ретті анықтауыш үшін де орындалады. Оларды есептеу үшін анықтауыштың 5 және 6 - қасиеттерін пайдаланып ретін төмендетуге болады. Осы тәсілді қайталай отырып жоғары ретті анықтауыштың ретін 3 немесе 2-ретті анықтауыштарға алып келуге болады.

6- мысал. Төмендегі 4- ретті анықтауышты есептеу керек.

Шешуі: Бұл жағдайда екінші тік жолдан төртінші тік жолды шегерсек

7-мысал. 5- ретті анықтауышты есептеу керек

Шешуі: Бірінші жатық жолдағы 1 санын пайдалана отырып, 3-жатық жолдағы 4 пен 4-жолдағы 5-ті нөлге айналдырамыз.Ол үшін бірінші жатық жолды 4-ке көбейтіп, үшінші жатық жолға , 5-ке көбейтіп төртінші жатық жолға қосамыз. Одан кейін бірінші тік жол арқылы жіктеп, төртінші ретті анықтауыш аламыз:

Алынған анықтауыштың жатық жолындағы 1санын пайдалана отырып,жоғарыдағыдай осы жолдың қалған элементтерін нөлге айналдырамыз:

Соңғы анықтауыштағы 1-жатық жолды 3-жатық жолға қосып, шыққан интегралдың нөлге тең екендігін көруге болады.

Келесі интегралды есептеу керек:

15. 16.

17. 18

2 Векторлар. Оларға қолданылатын сызықтық амалдар

Таңдалынып алынған жүйелер бірлігінде бір санмен сипатталатын физикалық шама скалярлық шама деп аталады. Мысалы, тығыздық, дененің массасы, оның тампературасы электрлік заряд т.с.-скалярлық шамалар.

Тек санмен ғана емес әрі кеңістікте бағыты бар шамалар векторлық шамалар немесе векторлар деп аталады. Мұндай шамаларға жылдамдық, үдеу, күш, электрлік немесе магниттік өрістердің кернеулері т.с. жатады. Векторлар бағытталған кесінділермен бейнеленеді. Олар бір семіз әрпімен немесе сызығы бар екі әріппен яғни арқылы белгіленеді.

Мұндағы вектордың басы, ал оның соңы. Вектордың ұзындығы оның модулі деп аталады. немесе арқылы белгіленеді. Ұзындығы нөлге тең, вектор нөл- вектор деп аталып арқылы белгіленеді.

Екі вектор тең болады, егер 1) олардың ұзындығы тең, 2) олар параллель және 3) бір жаққа бағытталған болса.

Бұл анықтамадан векторды кез келген нүктеге параллель көшіруге болатындығы шығады.

Бір түзудің немесе параллель түзулердің бойында жататын векторлар коллинеарлы, ал бір жазықтықтың немесе параллель жазықтықтардың бойында жататын векторлар компланарлы векторлар деп аталады.

Ұзындығы бірге тең векторы бірлік вектор немесе орта деп аталып, арқылы белгіленеді.

2.2 Векторларға қолданылатын сызықтық амалдар

Векторларды қосу параллелограмм ережесі бойынша орындалады: және векторлары ортақ О нүктесіне орналастырылып, оларға ОАВС параллелограмы құрылады. Мұндағы оның диогоналының бойында орналасқан векторы және векторларының қосындысы деп аталады.

векторы векторына тең болғандықтан, және векторларының қосындысы деп векторының бас нүктесін оның соңғы нүктесіне жалғастырылған векторының соңғы нүктесімен қосатын векторды айтады. (үшбұрыштар ережесі). Яғни

+= (1)

Ортақ О нүктесіне келтірілген және векторларының айырымы деп алынатын векторының соңғы нүктесінен векторының соңғы нүктесіне бағытталған векторды, яғни -= айтады.

(1)-формула бойынша +=, бұдан

=- (2)

векторының санына көбейтіндісі деп төмендегі шарттарды қанағаттандыратын векторын айтады:1) векторы -ға коллинеарлы,

2) , болғанда және векторлары бір жаққа бағытталған, болғанда қарама-қарсы бағытталған.

Қасиеттері:

1) =;

2) =0, ;

3) =;

4) ;

5) .

өсімен = векторы берілсін. Вектордың басы мен соңын өсіне проекциялап , векторын аламыз.

векторының өсіне проекциясы пр арқылы белгіленіп, векторының ұзындығына тең болады, егер мен бағыттас болса; қарама-қарсы болған жағдайда теріс таңбамен алынады.

Қасиеттері:

1) пр=, мұндағы

2) пр ;

3) .

1-мысал. болу үшін және векторлары қандай шартты қанағаттандыру керек?

Шешуі: және векторларын ортақ бір О нүктесінен шығатындай етіп орналастырып, оларға параллелограмм құрастырамыз. (1- сурет). Бұл жағдайда деп отырғанымыз осы параллелограммның ОС диогоналының ұзындығы, ал -ВА диогоналының ұзындығы болады. Геометриядан параллелограммның диогоналдары тек олар тікбұрышты болғанда ғана тең болатындығы бізге мәлім. Сондықтан болу үшін және векторлары перпендикуляр болуы қажет.

2-мысал Берілген және векторлары арқылы және векторларын салыңыз.

Шешуі:

19. Берілген және векторлары арқылы ; ; векторларын салыңыз.

20. , және векторларының қосындысының өсіне проекциясын табу керек, егер , , ал осы векторлардың өсімен бұрыштары сәйкесінше ,,-ге тең.

21. Егер: 1) , 2) болса, онда және векторлары қандай шарттарды қанағаттандыруы қажет?

3. Кеңістіктегі тікбұрышты декарттық координаталар

3.1 Нүктенің координаталары

Кеңістікте тікбұрышты декарттық координаталар жүйесі ұзындықты өлшеу үшін масштаб бірлігінің және О нүктесінде қиылысатын бір-бірімен перпендикуляр үш өстің берілуімен анықталады.Біріншісі ( абсцисс өсі, екіншісі ордината өсі, үшіншісі аппликата өсі , ал О нүктесі деп аталады. Координаттық өстердің орны сәйкесінше осы (,, өстерімен бағыттас ,, бірлік векторлары арқылы анықталады. Бұл векторлар базистік векторлар деп аталады.

Кеңістікте А нүктесі берілсін (4 Сурет)

Оның өсіне проекциясын арқылы белгілейік. нүктесінің абсциссасы деп векторының ұзындығы, егер векторы векторымен бағыттас болса, оң таңбамен, ал егер қарсы бағытта болса, онда теріс таңбамен алынады. Осылайша нүктесін және өстеріне проекциялау арқылы сәйкесінше ордината және апликата алуға болады.

Сонымен кеңістіктегі әрбір нүктесіне тек бір ғана сандары сәйкестендіріледі.

Координаталар жүйесі оң деп аталады, егер өсінің ұшынан қарағанда өсінен өсіне айналдырғандағы кіші бұрыш сағат бағытына қарсы болса; теріс деп аталады, егер бағыттас болса, 4- суретте оң координаталар жүйесі бейнеленген.

координата жазықтықтары кеңістікті октанталар деп аталатын сегіз бөлікке бөледі.

1-мысал. Барлық координаттың жазықтықтармен жанасатын әрі 3- октантада орналасқан, радиусы болатын шардың центрін анықтау керек.

Шешуі: Егер шардың центрін деп белгілеп алсақ, онда бұл нүктенің координаттық жазықтығына дейінгі қашықтығы векторының ұзындығына (4 Cурет), яғни оның абсциссаның модуліне тең болады. Осылайша, нүктесінің жазықтығына дейінгі қашықтығы ал нүктесінің жазықтығына дейінгі қашықтығы тең болады.

Есептің шарты бойынша бұл қашықтықтар шардың радиусына тең болғандықтан 3-октантада болғандықтан (-5,-5,5).

22.(3,0,0),нүктелері координат жүйесінде қалай орналасқан?

23. нүктесіне симметриялы болатын нүктелердің координаталарын табу керек: 1) жазықтығына қарағанда, 2) жазықтығына қарағанда, 3) өсіне қарағанда, 4) координат жүйесінің бас нүктесіне қарағанда.

24. Қабырғалары координат өстерінің бойында жататын ұзындығы 5-ке тең 5-октантада орналасқан кубтың төбелерінің координаталарын табу керек.

3.2 Вектордың координаталары

векторының координат өстеріндегі проекциялары оның координаталары деп аталып, деп жазылады. векторының координаталары оның орталарға жіктелгендегі коэффициенттері болады:

(1)

Координаттың басында нүктесіне бағытталған векторы нүктесінің радиус-векторы деп аталады. Оның координат өстеріндегі проекциялары нүктесінің координаталарына тең, яғни

(2)

Егер және нүктелері координаталары арқылы берілсе, онда векторының координаталары төмендегі формуламен табылады:

(3)

Векторларды қосқанда (алғанда) олардың координаталары қосылады (алынады), векторды санға көбейткенде оның барлық координаталары осы санға көбейтіледі, яғни егер және болса,онда

(4)

(5)

Егер және векторлары коллинеарлы болcа, онда . Коллинеарлы векторлардың сәйкес координаталары пропорционал болады:

(6)

векторының ұзындығы (7)

формуласымен анықталады.

және нүктелерінің қашықтығы

(8)

формуласымен анықталады.

2-мысал. және нүктелерінің бір түзудің бойында жататындығын дәлелдеу керек.

Шешуі: Ол үшін және векторларының коллинеарлы болатындығын дәлелдесек болады.

Бұдан болатындығын көреміз. Яғни , және нүктелері бір түзудің бойында жатады.

3-мысал. және -ң қандай мәндерінде және векторлары коллинеарлы болады?

Шешуі: және векторларының координаталары пропорционал болуы керек: . Осыдан =2,

=-1,5. және -ң осы мәндерінде және векторлары коллинеарлы болады.

4-мысал. және нүктелерінен бірдей қашықтықта орналасқан , әрі өсінде жататын нүктені табу керек.

Шешуі: Іздеп отырған нүктесінің координатасы .

Оның және нүктелеріне дейінгі қашықтықтары:

Есептің шарты бойынша яғни немесе

25. және нүктелері берілген. -ң қандай мәндерінде С нүктесі түзуінің бойында жатады.

26. және нүктелері трапецияның төбелері болатындығын тексеру керек.

27. және нүктелерінен бірдей қашықтықта орналасқан әрі өсінде жататын нүктені табу керек.

3.3 Кесіндіні берілген қатынасқа бөлу

нүктесі және нүктелерінің арасындағы кесіндіні етіп бөлсін. Бұл жағдайда нүктесінің радиус векторы нүктелерінің радиус векторлары арқылы төмендегі формуламен өрнектеледі:

(9)

Осы теңдеуден

(10)

Дербес жағдайда, егер нүктесі кесіндісінің ортасында жатса, онда әрі (9')

(10')

5-мысал. координат жазықтығы және нүктелерінің арасындағы кесіндіні қандай қатынаста бөліп тұрғанын анықтау керек.

Шешуі: кесіндісі жазықтығын нүктесінде бөлсін. 10-формула бойынша және нүктелерінің аппликаталарын қойсақ

яғни

28. кесіндісі нүктелерінің көмегімен теңдей бес бөлікке бөлінген.және нүктелерінің координаталары белгілі. Қалған нүктелерін табу керек.

29. және нүктелері берілген. үшбұрышының медианаларының қиылысу нүктесін анықтау керек.

3.4 Бағыттаушы косинустар

векторы берілсін. векторының орты деп осы вектормен бағыттас ұзындығы бірге тең векторын айтамыз. Ол

(11)

формуласымен анықталады.

түзуі координат өстерімен сәйкесінше бұрыштарын жасасын. Осы түзудің бағыттаушы косинустары деп жоғарыдағы бұрыштардың косинустарын айтады: Егер түзуінің бағыты бірлік векторымен берілсе, онда :

(12)

Бағыттаушы косинустар бір-бірімен төмендегі формуламен байланысты.

(13)

Егер түзуінің бағыты векторымен берілсе, онда оның орты табылып, 12-формуламен салыстыру арқылы

(14)

формулалары алынады.

6-мысал. векторының ортын және оның бағыттаушы косинустарын табу керек.

Шешуі: векторының ұзындығын табамыз:

яғни, (11) -формула бойынша

бірлік векторының координаталары берілген векторының бағыттаушы косинустары болатындықтан:

7-мысал. векторы координата өстерімен сүйір бұрыш жасайды. болғандағы векторының координаталарын табу керек.

Шешуі: Алғаш (13)-теңдеуден бұрышын табамыз:

Есептің шарты бойынша сүйір бұрыш болғандықтан, Сондықтан Яғни сондықтан немесе

30. векторымен берілген түзуінің бағыттаушы векторларын табу керек, мұндағы және .

31. түзуі координат өстерімен төмендегідей бұрыштар құрай алама? а) ; б) ?

32. векторының ортын табу керек.

33. түзуі координат өстерімен теңдей сүйір бұрыш құрайды. Осы түзудің бойында жатқан вектордың ортын табу керек.

4. Векторлардың көбейтіндісі

4.1 Скалярлық көбейтінді

және векторларының скалярлық көбейтіндісі деп осы векторлардың ұзындықтарын олардың арасындағы бұрышына көбейткенде шығатын санды айтады:

(1)

Қасиеттері

1) ;

2) ;

3) ;

4) және векторлары нөлдік векторлар болмағанда, болса, онда бұл векторлар перпендикуляр болады. Егер болса, онда олардың арасындағы бұрыш сүйір, егер болса, онда доғал болады;

5) векторының скалярлық квадраты оның ұзындығының квадратына тең, яғни . Соңғы қасиеттен

. (2)

(1)-формуладан

. (3)

Геометриялық мағынасы:

векторының векторының бағытына түсірілген проекциясы

(4)

формуласымен анықталады.

Механикалық мағынасы:

күшінің векторына скалярлық көбейтіндісі осы күштің әсерінен материалдық нүктенің векторының бойында орын ауыстырғандағы жұмысына тең болады, яғни

(5)

Скалярлық көбейтіндінің анықтамасын пайдаланып, орттарының көбейтіндісінің кестесін алуға болады:

(6)

Егер векторлар өздерінің координаталарымен берілсе , , онда бұл векторлардың скалярлық көбейтіндісі

. (7)

1-мысал. және векторларының арасындағы бұрыш тең. болғандағы векторының ұзындығын табу керек.

Шешуі: векторының ұзындығын (2)-формуласымен табуға болады:

Яғни Осыдан .

2-мысал. Материалдық нүктеге күштері әсер етсін. Осы күштерге сай әсер ететін күшін анықтап, осы күштің әсерінен материалдық нүктенің -дан -ға жылжығандағы істелінетін жұмысты анықтау керек.

Шешуі: мен күштеріне тең болатын күшін тауып аламыз:

, орын ауыстыру векторы

(5)-формула бойынша істелінген жұмыс .

3-мысал. және векторлары берілген. векторының векторының бағытына түсірілген проекциясын табу керек.

Шешуі: Алғаш векторының координаталарын анықтаймыз:

(4)-формула бойынша .

34. Бір-бірімен перпендикуляр болатын және векторлары векторымен бұрыш жасасын әрі болсын. Табу керек:

1) 2).

35. Төбелері және нүктелері болатын төртбұрыш берілген. Оның диогоналдары перпендикуляр болатынын дәлелдеу керек.

36. Төбелері және нүктелері болатын ұшбұрыш берілген. Оның төбесіндегі ішкі бұрышы -ді табу керек.

37. және векторлары берілген. векторының векторының бағытына түсірілген проекциясын табу керек.

4.1 Векторлық көбейтінді

және векторларының векторлық көбейтіндісі деп төмендегі шарттарды қанағаттандыратын үшінші векторын айтамыз:

1) , мұндағы бұрышы және -ның арасындағы бұрыш;

2) векторы, және векторларының әрқайсысымен тікбұрыш жасайды;

3) векторының бағыты, оның ұшынан қарағанда векторын векторына кіші бұрыш бойынша бұру сағат бағытына қарсы бағытталады

(5-сурет).

Касиеттері:

1) ;

2) ;

3) ;

4) нөлге тең емес және векторларының векторлық көбейтіндісі нөлге тең болса, онда және векторлары коллинеарлы векторлар деп аталады. Дербес жағдайда кез келген векторы үшін болады.

5) Егер мен коллинеарлы емес болса, онда олардың векторлық көбейтіндісінің модулі сол векторларға салынған параллелограмның ауданына тең болады (5-сурет).

Механикалық мағынасы:

Егер күші нүктесіне әсер ететін болса, онда бұл күштің нүктесіне қарағандағы моменті -деп мен -тің векторлық көбейтіндісін айтамыз:

(8)

Дербес жағдайда координаттың бас нүктесіне қарағандағы моменті мұндағы - күш әсер ететін нүктенің радиус векторы.

Егер және болса, онда

. (9)

4-мысал. ,, векторлары шартын қанағаттандырады. болатындығын дәлелдеу керек.

Шешуі. теңдігінің -ға векторлық көбейтіндісін анықтаймыз:

Бұдан

Дәл осылайша болатындығын дәлелдеуге болады.

5-мысал. күші нүктесіне әсер етсін. Осы күштің нүктесімен салыстырғандағы моментін табу керек.

Шешуі: векторын анықтаймыз:

(8) және (9)- формулалар арқылы

6-мысал. Төбелері және нүктелері болатын үшбұрыштың ауданын табу керек.

Шешуі: үшбұрышының ауданы, қабырғалары және векторы болатын параллелограмның ауданының жарымына тең болатындықтан

және векторларын табамыз:

Олардың векторлық көбейтіндісі

Сондықтан квадрат бірлік.

7-мысал. векторлары берілген. Табу керек және .

Шешуі:

Осылайша

Бұдан болатындығын көреміз.

38. өрнегін ықшамдау керек.

39. және векторлары берілген. Табу керек

40. Төбелері нүктелері болатын үшбұрыш берілген. Оның ауданын табу керек.

41. күші нүктесіне әсер етсін.Осы күштің координаттың бас нүктесіне қарағандағы моментін табу керек.

42. нүктесіне әсер ететін үш күш берілген: . Осы күштерге сай әсер ететін күштің нүктесіне қарағандағы моментін анықтау керек.

4.3 Үш вектордың аралас көбейтіндісі

Үш вектордың аралас көбейтіндісі деп олардың векторлы – скалярлық көбейтіндісін айтады:

(10)

Егер болса, онда векторлары компланарлы векторлар деп аталады.

Егер компланарлы емес векторларын бір нүктеден шығатындай етіп орналастырсақ, онда олардың аралас көбейтіндісінің модулі, негізгі үш өлшемі осы векторлардың ұзындығы болатын параллелепипедтің көлемін береді ( 6 Cурет) .

Егер векторлары өздерінің координаталарымен берілсе, онда

(11)

8-мысал. , , векторларының компланарлы болатындығын дәлелдеу керек.

Шешуі:

болғандықтан ,және векторлары компланарлы.

9-мысал. Төбелері нүктелері болатын тетраэдрдің көлемін табу керек.

Шешуі: Алғаш векторларын тауып аламыз. тетраэдрадасының көлемі болатындығы белгілі. ,, векторлары арқылы құралатын параллелепипедтің биіктігімен тетраэдрдің биіктіктері тең, ал табанының ауданы екі есе үлкен болатындығын ескерсек

яғни болғандықтан,

Сонымен .

43. Төмендегі векторлар компланар бола ма, әлде болмай ма?

1) , ,

44. және нүктелерінің бір жазықтықтың бойында жататындығын дәлелдеу керек.

45. Негізгі өлшемдері , , векторларының ұзындығы болатын параллелепипедтің көлемін табу керек.

46. Тетраэдрдің төбелері берілген. төбесінен жағына жүргізілген биіктігін табу керек.

5 Матрицалар

5.1 Матрицаларға сызықтық амалдар қолдану. Транспонирлеу.

өлшемді квадраттық матрица деп жатық және тік жолда орналаласқан саннан тұратын кестесін айтамыз:

(1)

элементінің бірінші индексі жатық жолдың нөмірін, екінші индексі тік жолдың (бағананың) нөмірін көрсетеді.

диагоналы матрицасының негізгі, ал диагоналы қосалқы диагоналдары деп аталады.

Егер олардың барлық сәйкес элементтері тең болса, реттері бірдей мен матрицалары тең болады, яғни .

Матрицаларға сызықтық амалдар қолдануды оларды алгебралық қосу, санға көбейту деп түсінеміз

Матрицаларды қосу мен оларды санға көбейтудің қасиеттері:

(2)

Тек нөлдерден тұратын О матрицасын нөлдік матрица деп айтамыз. Ол үшін .

матрицасының жатық жолдарын сәйкес сол нөмірлі тік жолдарға айналдыру немесе керісінше тік жолдарды сәйкес жатық жолдарға айналдыру амалын транспонирлеу деп атап, арқылы белгілейміз. Мысалы, егер

онда .

Транспонирлеу амалының қасиеттері:

(3)

Негізгі диоганалының бойында жатпайтын элементтердің барлығы нөлге тең болатын матрицаны диоганалдық матрица деп айтамыз.

матрицасы симметриялы деп аталады, егер

-ретті матрицасының элементтерінен құралған анықтауыш арқылы белгіленеді.

1-мысал. матрицалары берілген. Табу керек .

Шешуі: сондықтан

және .

Табылған С матрицасы 2-ретті диагоналдық матрица болып табылады.

2-мысал. болғанда, матрицасы симметриялы болатындығын көрсету керек.

Шешуі:

Алынған матрицасы симметриялы, өйткені .

3-мысал. Кез келген матрицасы үшін матрицасы симметриялы болатындығын дәлелдеу керек.

Шешуі: яғни симметриялы матрица.

47. болғандағы матрицасын табу керек.

48. болғандағы матрицасын табу керек.

5.2 Матрицалардың көбейтіндісі

Реттері бірдей матрицасының матрицасына көбейтіндісі төмендегіше анықталады: оның элементтері -табу үшін матрицасының

-жатық жолының элементтерін матрицасының тік жолының сәйкес элементтеріне көбейтіп қосу қажет, яғни

(4)

Қасиеттері

(5)

мұндағы - бірлік матрица.

6) . (6)

Жалпы жағдайда .

Ескерту. а) жатық жолдан бағанадан тұратын матрицалар ретті матрицалар деп аталады.

б) Кез келген және матрицаларын көбейтуге болмайды.

Оларды көбейту үшін алғашқы көбейткіштің бағаналарының саны екінші көбейткіштің жатық жолдарының санына тең болу керек.

4-мысал.

Табу керек мен

Шешуі:

5-мысал.

берілген. Мүмкін болса мен табу керек.

Шешуі: матрицасы 2 тік жолдан, ал матрицасы 3 жатық жолдан тұратындықтан, -ны -ға көбейтуге болмайды. матрицасы екі тік жолдан, ал екі жатық жолдан тұратындықтан, олардың көбейтіндісі

49. берілген. Табу керек .

50. Төмендегі матрицаларды көбейту керек:

51. Табу керек , егер

5.3 Матрицалардың дәрежесі. Матрицалардың көпмүшелері.

Матрицаның бүтін оң дәрежесі төмендегі теңдеумен анықталады

және.

Мұнда, формуласымен есептелінеді.

Егер көпмүшелік

берілсе, онда матрицасының көпмүшелігі деп

матрицасын аламыз.

Кез келген матрицасының көпмүшеліктері үшін

теңдігі орындалады.

Егер болса, онда матрицасы көпмүшеліктің түбірі деп аталады.

6-мысал.

берілген. Табу керек

Шешуі:

7-мысал.

берілген. Табу керек

Шешуі:

яғни

8-мысал. көпмүшелігі берілген.

матрицасының көпмүшелігін табу керек.

Шешуі: матрицасы төмендегіше анықталады.

9-мысал. матрицасының көпмүшелігінің түбірі болатындығын дәлелдеу керек.

Шешуі:

Яғни матрицасы көпмүшелігінің түбірі.

52. Төмендегі матрицалар үшін табу керек:

б) в) .

53. Табу керек егер:

5.3 Кері матрица

матрицасы матрицасына кері матрица деп аталады, егер . матрицасының кері матрицасы болу үшін болуы керек. Кері матрица төмендегі формуламен анықталады

, (7)

мұндағы - алгебралық толықтауыштар.

Кері матрицаның көмегімен

(8)

түріндегі матрицалық теңдеулерді шешуге болады. Теңдеуді сол жағынан -ге көбейту арқылы оның түбірін төмендегі түрде алуға болады:

(9)

Қасиеттері

10-мысал. матрицасына кері матрицасын табу керек.

Шешуі:

Сондықтан

11-мысал. немесе матрицалық теңдеуін шешу керек.

Шешуі: 10-мысалдан . Сондықтан

54. матрицалық теңдеуін шешу керек.

55. Төмендегі матрицалардың кері матрицаларын табу керек:

56. Төмендегі матрицалық теңдеулерді шешу керек:

және егер

57. Егер болса, онда болатындығын көрсету керек.

5.4 Тікбұрышты матрицалар және оларды түрлендіру

жатық және тік жолдан тұратын тікбұрышты сандар кестесі өлшемді тікбұрышты матрица деп аталады:

(11)

матрицасының элементарлық түрлендірулері деп келесі шараларды айтады:

1) кезкелген қатарды санына көбейту;

2) параллель екі қатарды ауыстыру;

3) қатардың элементтерін соған параллель болатын қатардың сәйкес элементтерін санына көбейтіп қосу.

Элементарлық түрлендірулердің көмегімен кез келген матрицасын арнайы түрге келтіруге болады:

Бас диогоналдың бойында тұрған бір сандары матрицасын матрицасына алып келу тәсіліне байланысты болмайды және матрицасының рангы деп аталады.

Бір-бірінен элементарлық түрлендірулер арқылы алынатын матрицалар эквивалентті деп аталып, белгісімен жалғанады. Эквивалентті матрицалардың рангы тең болады.

13-мысал. Келесі матрицаның рангын табу керек

Шешуі: Бірінші жатық жолды (-1)-ге көбейтіп, екінші жатық жолға, содан кейін бірінші жатық жолды (-2)-ге көбейтіп, үшінші жатық жолға қоссақ

Енді екінші жатық жолды (-3)-ке көбейтіп үшінші жатық жолға қосамыз. Сонда

яғни берілген матрицаның рангы .

58. Төмендегі матрицалардың рангын табу керек:

6 Сызықтық теңдеулер жүйесі

6.1 Крамердің формулалары

(1)

сызықтық теңдеулер жүйесі берілсін.

Белгісіздердің алдында тұрған коэффициенттерден құралған - ретті анықтауыш , жүйенің анықтауышы деп аталады. Жүйенің анықтауышына байланысты төмендегі жағдайлардың бірі орын алады:

а) Егер (1)-жүйенің анықтауышы нөлге тең болмаса, онда жүйенің жалғыз түбірі бар болып, оны Крамер формулалары арқылы анықтауға болады:

(2)

Мұндағы - ретті анықтауыштары анықтауышының -тік жолын бос мүшелерімен ауыстыру арқылы алынады.

б) егер болып, болмағанда бір болса, онда

(1)-жүйе үйлесімсіз болады;

в) егер және болса, онда (1)-жүйенің түбірі болмайды немесе ақырсыз көп түбірі бар болады.

1-мысал. жүйесін шешу керек.

Шешуі: Жүйенің анықтауышы

сондықтан оның түбірі Крамер формулалары арқылы анықталады:

және

мұндағы сондықтан .

Берілген жүйедегі теңдеулер жазықтығындағы түзулер болғандықтан, олардың қиылысу нүктесін береді.

2-мысал. ; жүйесін шешу керек.

Шешуі: Жүйенің анықтауышы ал болғандықтан, жүйе үйлесімсіз, яғни геометриялық мағынасы бойынша берілген түзулер параллель болады.

3-мысал. жүйесін шешу керек.

Шешуі. Мұндағы жүйенің екі теңдеуі де бір түзуді анықтайды, сондықтан жүйенің шешімі осы түзудің бойында жатқан кез келген нүктенің координаталары болады, яғни жүйенің шексіз көп шешімі бар:

болғанда

4-мысал. жүйесін шешу керек.

Шешуі:

болғандықтан, жүйенің жалғыз түбірі бар. Оны Крамер формуласымен жазамыз:

Жүйелерді шешу керек:

59. 60.

6.2 Жүйені кері матрицаның көмегімен шешу

(1)- жүйені матрицалық теңдеу түрінде жазуға болады:

мұндағы - белгісіздердің жанындағы коэффициенттердің матрицасы, ал және - сәйкесінше бос мүшелерден және белгісіздерден құралған бағаналар. Егер болса, онда (3)-теңдеудің екі жағын да сол жағынан матрицасына көбейту арқылы оның шешуін матрицалық пішінде алуға болады:

(4)

5-мысал.

Шешуі: болғандықтан

яғни

6-мысал.

Шешуі:

Сондықтан

яғни

Келесі жүйелерді кері матрицаның көмегімен шешу керек:

6.3 Біртекті сызықтық теңдеулердің жүйелері

Егер (1)- жүйенің барлық бос мүшелері болса, онда ол біртекті жүйе деп аталады. Оның матрицалық теңдеуінің түрі

мұндағы 0 – нөлдік бағана (5)

. Біртекті жүйенің әр уақытта нөлдік түбірі болатындықтан ол үйлесімді жүйе.

Егер жүйенің анықтауышы болса, онда нөлдік түбір оның жалғыз түбірі болады. (5)- жүйенің нөлге тең емес түбірлері болу үшін оның анықтауышы болу керек.

Егер (5)- жүйенің нөлге тең емес бір түбірі бар болса, онда оның ақырсыз көп түбірі бар болады. Егер және болса, онда кез келген үшін .

Бізге үш белгісізі бар үш теңдеуден тұратын біртекті жүйе берілсе, онда төмендегі жағдайлардың бірі орындалады:

а) егер , онда оның жалғыз нөлдік түбірі бар;

б) егер , бірақ оның екінші ретті минорларының бірі нөлге тең емес болса, онда жүйенің бір теңдеуі қалған екі теңдеудің салдары болғандықтан, ол жүйе ақырсыз көп түбірі бар үш белгісізі бар екі теңдеуге келеді;

в) егер және оның барлық екінші ретті минорлары да нөлге тең болса, онда жүйені үш белгісізі бар бір теңдеу түрінде жазуға болады. Сондықтан берілген жүйенің нөлге тең емес ақырсыз көп түбірлері болады.

7-мысал.

біртекті жүйені шешу керек.

Шешуі: Жүйенің анықтауышын есептейміз:

Сондықтан жүйенің жалғыз нөлдік түбірі бар:

8-мысал.

жүйесінің шешімін табу керек.

Шешуі: Бұл жүйенің анықтауышы

сондықтан жүйенің нөлге тең емес түбірлері бар. Алғашқы екі жатық жолда жататын миноры нөлге тең емес болғандықтан, жүйені үш белгісізі бар екі теңдеу түрінде жазуға болады:

деп алып, жүйені түрінде жазуға болады, бұдан

яғни жүйенің шешімі . Мұндағы .

9-мысал. жүйесінің шешімін табу керек.

Шешуі: Бұл жерде жүйенің анықтауышы және оның барлық 2-ретті минорлары нөлге тең, яғни бұл жүйде бір теңдеу ғана тәуелсіз қалған екеуі оған пропорционал болады. Мысалы, бірінші теңдеуден -ті және арқылы өрнектеп, берілген жүйенің шешімін аламыз. Шешімнің жалпы түрі төмендегіше жазылады:

мұндағы және - кез келген нақты сан.

Төмендегі біртекті жүйелердің барлық түбірлерін табу керек:

6.4 Жалпы жағдай. Үйлесімділіктің шарты

белгісізі бар теңдеуден тұратын жүйе берілсін

, (6)

мұндағы - жүйенің матрицасы,

ал - жүйенің кеңейтілген матрицасы.

Жүйені шешу барысында екі жағдайболуы мүмкін:

1) матрицасының рангы кеңейтілген матрицаның рангы -дан кем болады, яғни болғанда, жүйе үйлесімсіз және түбірі болмайды.

2) болғанда жүйенің түбірі бар болады, әрі болғанда, жүйенің жалғыз түбірі болғанда, жүйенің ақырсыз көп түбірі бар болып, келесі сұлба бойынша анықталады:

а) матрицасынан реті -ге тең миноры бөлініп алынады;

б) белгісіздердің алдындағы коэффициенттері минорының құрамына кіретін теңдеулерден тұратын жүйе негізгі жүйеден бөлініп алынады;

в) коэффициенттері минорының құрамына кірмейтін айнымалыларын кез келген нақты мән қабылдайды деп алып, алынған жүйені Крамер ережесімен шешеміз.

10-мысал.

жүйесінің үйлесімді болатындығын анықтау керек.

Шешуі: және

Бұдан , яғни жүйе үйлесімді

11-мысал.

жүйесінің үйлесімді болатындығын анықтап, үйлесімді

болса түбірін табу керек.

Шешуі:

, бұдан екендігін көреміз,

яғни жүйе үйлесімді әрі жалғыз түбірі бар. Оны төмендегіше Гаусс тәсілімен шығаруға болады: соңғы матрицаның 1- бағанасын -қа, 2-бағанасын -ке , 3- бағанасын -ке көбейтіп бос мүшелерімен теңестірсек

- жүйесі шығады.

Үшінші теңдеуден екінші теңдеуге -тің мәнін қойсақ, , ; ендігі жерде пен -тің мәндерін бірінші теңдеуге қойсақ

Яғни жүйенің жалғыз түбірі бар:

12-мысал.

жүйесін шешу керек.

Шешуі: Берілген жүйенің кеңейтілген матрицасын құрамыз:

Жүйенің матрицасының рангымен кеңейтілген матрицаның рангы оның қатарларының санынан аспайтыны анық, яғни Екінші жағынан матрицаның жоғары сол бұрышында орналасқан екінші ретті минор

яғни жүйенің рангы . Кеңейтілген матрицаны төмендегіше түрлендіреміз: үшінші қатарға екінші қатарды қосамыз, одан бірінші қатарды екіге көбейтіп алып тастаймыз; осылайша төртінші қатарға екі еселенген екінші қатарды қосып, одан бірінші қатарды үшке көбейтіп алып тастаймыз. Сонда матрицамыз

түріне келеді, бұдан соңғы екі теңдеудің алғашқы екеуінің сызықтық комбинациясы болатындығын көреміз әрі сондықтан жүйенің ақырсыз көп шешімі болады.

Жүйенің алғашқы екі теңдеуінен тұратын жаңа жүйе құрып

минорының құрамына кірмейтіндіктен, белгісіздерін теңдіктің оң жағына көшіреміз:

Алынған жүйені Крамер ережесімен шешеміз:

Алынған шешім жүйенің жалпы шешімі деп аталады.

Төмендегі жүйелердің үйлесімдігін тексеру керек:

76.

в)

77. Жүйелерді шешу керек:

а)

7 Сызықтық турлендіру

7.1 Сызықтық түрлендіру және оның матрицасы

немесе (1) теңдеуімен анықталатын, векторын векторына түрлендіру жазықтықты сызықты түрлендіру деп, ал түрлендіру матрицасы деп аталады.

Егер болса, онда бұл түрлендіру және орталарын сәйкесінше және векторларына аударады. (1)- түрлендіру координаттық пішінде төмендегі формуламен анықталады:

. (2)

(3)

формулаларымен анықталатын түрлендіру, кеңістікті сызықты түрлендіру деп аталады. Бұл түрлендірудің матрицалық пішіні , мұндағы

Кез келген сызықты түрлендірудің негізгі қасиеттері төмендегіше анықталады:

Егер болса, онда сызықты түрлендіруі нұқсансыз түрлендіру деп аталады. Кез келген нұқсансыз түрлендіруіне кері жалғыз түрлендіруі бар болады. Бұл түрлендіру векторын векторына аударады әрі кері түрлендірудің матрицасы матрицасына кері болады.

Егер векторы векторына сызықты түрлендіруі арқылы аударылса, онда осы екі және сызықты түрлендірулерінің нәтижесі жалғыз түрлендіруінің нәтижесімен бірдей болады:

Сызықтық түрлендірудің қарапайым мысалдары:

1) Кеңістіктің (немесе жазықтықтың) векторына нөлдік векторды

сәйкестендіретін түрлендіру нөлдік түрлендіру деп аталады:

, мұндағы нөлдік түрлендірудің матрицасы 0 – нөлдік матрица.

2) Кеңістіктің (немесе жазықтықтың) векторына осы векторын

сәйкестендіретін түрлендіру тепе-тең түрлендіру деп аталады:

, мұндағы тепе-тең түрлендірудің матрицасы - бірлік матрица.

1- мысал.

және

сызықтық түрлендірулерінің қосындысының түрлендіру матрицасын табу керек.

Шешуі: Берілген және түрлендірулерінің сәйкес матрицалары

және .

Сызықтық түрлендірулердің қосындысының анықтамасы бойынша , сондықтан қосындының түрлендіруінің матрицасы берілген түрлендірулердің қос матрицаларының қосындысына тең болады:

2-мысал. және түрлендірулері берілген, мұндағы және . векторын векторына аударатын түрлендіру матрицасын табу керек.

Шешуі: векторының мәнін бірінші теңдеуге қою арқылы аламыз, яғни

Сонымен, және сызықтық түрлендірулерінің нәтижесі бір

түрлендіруінің матрицасына тең болады.

3-мысал.

сызық түрлендіруінің нұқсансыз болатындығын көрсетіп, оның кері түрлендіруін табу керек.

Шешуі: Берілген түрлендіруінің матрицасы нұқсансыз болады, өйткені оның анықтауышы

Сондықтан оның кері түрлендіруі . кері матрицасын есептейміз:

Яғни іздеп отырған кері түрлендіруіміз

78. және сызықтық түрлендірулері берілсін.

векторын векторына ауыстыратын түрлендірудің матрицасын табу керек.

79. түрлендіруінің нұқсансыз болатындығын көрсетіп, оның кері түрлендіруін табу керек. Мұндағы

7.2 Матрицаның меншікті векторлары және сипаттамалық сандары

(4)

шартын қанағаттандыратын нөлге тең болмайтын векторы түрлендіруінің меншікті векторы, ал саны осы векторына сай сипаттамалық сан деп аталады. матрицасының сипаттамалық сандары , оның төмендегі сипаттамалық теңдеуінің түбірлері болады:

(5)

немесе ашып жазсақ

(5')

Жалпы жағдайда (5) – теңдеудің сипаттамалық мәндері (түбірі)

болады, бірақ түбірлері еселі болғанда сипаттамалық сандар кемиді.

Сипаттамалық санына сай болатын меншікті векторы төмендегі жүйеден анықталады

(6)

(4) – теңдеумен анықталатын меншікті векторлар, сандық көбейтінді дәлдігімен анықталатындықтан, (6) – жүйені шешкенде векторының бір координатын тұрақты бір мәнге тең етіп алуымызға болады. Егер еселі түбір болса, онда (6) – жүйе біреуден артық (көп) өзіндік бағыттар анықтайды.

4- мысал. матрицасымен берілген сызықтық түрлендірудің сипаттамалық сандарымен меншікті векторларын табу керек.

Шешуі: Берілген түрлендірудің сипаттамалық теңдеуін құрамыз:

оның түбірі түрлендірудің сипаттамалық сандары болады.

сипаттамалық санына сай келетін меншікті векторы төмендегі жүйемен анықталады:

яғни .

деп алып, болатындығын көреміз. Сондықтан .

сипаттамалық санына сай келетін меншікті векторы төмендегі жүйемен анықталады:

яғни

деп алып, болатындығын көреміз. Сондықтан

5-мысал. матрицасымен берілген сызықтық түрлендіруге кері түрлендіру -дің сипаттамалық сандары бастапқы түрлендіруінің сипаттамалық сандарына кері болатындығын көрсету керек.

Шешуі: матрицасын табамыз:

Оның сипаттамалық теңдеуін құрастырамыз:

Оның түбірі . Дәлелдеу керегіде осы еді.

6-мысал.

матрицасымен берілген түрлендірудің сипаттамалық сандарымен меншікті векторларын табу керек.

Шешуі: Берілген түрлендірудің сипаттамалық теңдеуін құрамыз:

Оның түбірі түрлендірудің сипаттамалық сандары болады.

сипаттамалық санына сай келетін меншікті векторы төмендегі жүйемен анықталады:

немесе

Соңғы жүйедегі үшінші теңдеу алғашқы екеуінің сызықтық комбинациясы болады. сондықтан оны төмендегі екі теңдеудің жүйесіне келтіреміз:

деп алып жүйені шешсек,

Сонымен .

сипаттамалық санына сай келетін векторы төмендегі жүйемен анықталады:

Жүйені шешу арқылы табамыз.

сипаттамалық санына сай келетін векторы жоғарыдағыдай анықталады.

80. және матрицалары берілген, , бірақ және түрлендірулерінің сипаттамалық сандары тең болатындығын көрсету керек.

81. Симметриялық

матрицасының сипаттамалық сандарымен меншікті векторларын табу керек.

Жауаптар

1.1 2. 1 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 20. 21. және векторларының арасындағы бұрыштар: 1) сүйір, 2) доғал. 22.нүктесі өсінің бойында, өсінің бойында,өсінің бойында жатыр. нүктесі жазықтығында, жазықтығында, нүктесі 4-октантада орналасқан.

23.

24. 25.

27. 28. 29. 30. 31.құрай алмайды; б) құрай алмайды.

32. 33. 34.

36. 37. 38. 39. 40. 41.42. 43. 1) жоқ, 2) болады. 45. 46.

47. 48. 49. 50. а) б)в) г) 51. 52. а) б) в) 53. а) б) в) 54. 55. б) в) г) 56. а) б)

в) 58. а) 2, б) 1, в) 2, г) 2, д) 2, е) 4.

59. 60. 61. 62. Үйлесімсіз.

63. 64. 65.

66. 67. 68.

69. 70. 71.

72. 73. 74. 75. кез келген сандар. 76. а) үйлесімді, б) үйлесімді емес, в) үйлесімді емес, г) үйлесімді емес.

77. а)б)кез келген нақты сан. 78. 79. 81.

Әдебиеттер тізімі

1. Айдос Е.Ж. Жоғары математика (қысқаша курс). -Алматы: «Иль-Тех –Кітап».ЖШС, 2000.-744б.

2. Әубәкір С.Б. Жоғары математика.-Алматы: ҚазТУ, 2000, -254 б.

3. Дүйсек А.К., Қасымбеков С.К. Жоғары математика. – Алматы:КБГ, 2004.- 409б.

4. Ш.И.Оспанова, С.Е.Ералиев, С.Қ. Қасымбеков. Жоғары математикаға кіріспе.- Алматы: Кітап, 1989.- 88 б.

5. Хасеинов К.А. Каноны математики.- Алматы: Атамұра, - 2003.

6. А.Ф.Бермант, И.Г. Араманович. Краткий курс математического анализа.- Москва: Наука, 1966.-736с.

7. Г.И.Кручкович, Н.И.Гутарина,П.Б. Дюбюк и другие.- Москва: Высшая школа, 1973.- 576с.

8. Пискинов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.-Москва: Наука, 1998.

Мазмұны

1 Анықтауыштар....................................................................................................3

1.1 Екінші және үшінші ретті анықтауыштар. Қасиеттері..................................3

1.2 ретті анықтауыш және оның қасиеттері....................................................7

2 Векторлар. Оларға қолданылатын сызықтық амалдар.....................................8

2.1 Негізгі түсініктер...............................................................................................8

2.2 Векторларға қолданылатын сызықтық амалдар.............................................9

3 Кеңістіктегі тікбұрышты декарттық координаталар...................................... 11

3.1 Нүктенің координаталары............................................................................. 11

3.2 Векторлардың координаталары................................................................... 12

3.3 Кесіндіні берілген қатынасқа бөлу............................................................. 14

3.4 Бағыттаушы косинустар.............................................................................. 15

4 Векторлардың көбейтіндісі......................................................................... 16

4.1 Скалярлық көбейтінді.............................................................................. 16

4.2 Векторлық көбейтінді............................................................................. 18

4.3 Үш вектордың аралас көбейтіндісі........................................................ 21

5 Матрицалар( тікшемдер)........................................................................... 22

5.1 Матрицаларға сызықтық амалдар қолдану.......................................... 22

5.2 Матрицалардың көбейтіндісі............................................................... 24

5.3 Матрицалардың дәрежесі, матрицалардың көпмүшелері................... 26

5.4 Кері матрица................................................................................................ 27

5.5 Тікбұрышты матрицалар және оларды түрлендіру................................ 29

6 Сызықтық теңдеулер жүйесі.......................................................................... 30

6.1 Крамердің формулалары............................................................................ 30

6.2 Жүйені кері матрицаның көмегімен шешу............................................. 32

6.3 Біртекті сызықты теңдеулердің жүйелері................................................ 33

6.4 Жалпы жағдай. Үйлесілімділіктің шарты............................................... 35

7 Сызықтық түрлендіру................................................................................ 38

7.1 Сызықтық түрлендіру және оның матрицасы........................................ 38

7.2 Матрицаның меншікті векторлары және сипаттамалық сандары......... 41

Жауаптары........................................................................................................ 44

Әдебиеттер тізімі.............................................................................................. 46