Некоммерческое акционерное общество

АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

Кафедра высшей математики

 

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

Методические указания и задания к  расчетно-графической  работе для студентов всех форм обучения специальности 5В0602000-Информатика

Часть 1

 

Алматы 2011

         СОСТАВИТЕЛЬ: Л.Н.Ким.  Математический анализ. Введение в анализ.  Методические указания и задания к выполнению расчетно-графической     работы  для студентов всех форм обучения  специальности  5В06020-    Информатика. Часть 1.-Алматы: АУЭС, 2011.-  26 с.

 

         Методические указания и задания к расчетно-графической работе содержат программу и задания курса математического  анализа  для студентов специальности 5В0602000-Информатика. Приведены основные теоретические вопросы программы, варианты заданий первого и второго уровня и решение типового варианта.

         Методические указания предназначены для студентов первого курса всех форм обучения  специальности  5В0602000 – Информатика.

 

         Библиогр.- 5 назв.

 

         Рецензент:  ст.пр.  Малькеева  Г.А.

 

         Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества «Алматинский университет  энергетики и связи» на 2011г.

                  

         © НАО «Алматинский университет  энергетики и связи», 2011 г.

 

Введение 

         Методические указания представляют собой программу  и задания  к  модулю 1  «Математический  анализ.  Введение в  анализ.»  Задания состоят из  тридцати вариантов. Вторая цифра номера задания указывает вариант студента.

         Вариант задания  контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме, определяется как остаток от деления номера зачетной книжки на 30. Например: номер зачетной книжки равен 080612. Это число представляется в виде: 080612=2687*30+2. Следовательно, студент должен выполнить задания варианта №2. Если остаток равен нулю, то студент выполняет вариант №30. 

         Контрольная работа должна быть решена в отдельной тетради, решение задач должно быть кратким, в то же время  достаточно объяснено ссылками на теорию и сопровождено необходимыми рисунками. Примером для оформления контрольной работы может служить решение типового варианта, которое приведено в данном методическом указании.

                                                

         1  Типовой расчет . Введение в математический анализ. Вещественные числа. Числовые последовательности. Функция одной переменной

 

1.1    Теоретические вопросы

 

1        Предмет математического анализа.  Множества.   Логические

символы.

2  Вещественные числа и их основные свойства. Абсолютная

величина числа.

3   Числовые последовательности. Арифметические действия над

ними.

4  Ограниченные и неограниченные последовательности.

5  Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.

Основные свойства бесконечно малых последовательностей.

6  Сходящиеся последовательности и их основные свойства.

7   Монотонные последовательности. Число е.

8  Понятие функции одной переменной. Элементарные функции и их

графики.

9   Классификация функций. Явные, неявные, обратные, сложные

функции. Функции, заданные  параметрически  и заданные в полярных

координатах.

 

         2.1   Расчетные задания  первого уровня

 

         1  Описать перечислением всех элементов множества:   

A\B, B\A,

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

1.10

1.11

1.12

1.13

1.14

1.15

1.16

1.17

1.18

1.19

1.20

1.21

1.22

1.23

1.24

1.25

1.26

1.27

1.28

1.29

1.30

 

         2  Написать первые пять членов последовательности.

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

2.10

2.11

2.12

2.13

2.14

2.15

2.16

2.17

2.18

2.19

2.20

2.21

2.22

2.23

2.24

2.25

2.26

2.27

2.28

2.29

2.30

 

         3  Написать формулу общего члена последовательности.

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

3.10

3.11

3.12

3.13

3.14

3.15

3.16

3.17

3.18

3.19

3.20

3.21

3.22

3.23

3.24

3.25

3.26

3.27

3.28

3.29

3.30

 

         4  Доказать по определению, что   (указать) .

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

4.10

4.11

4.12

4.13

4.14

4.15

4.16

4.17

4.18

4.19

4.20

4.21

4.22

4.23

4.24

4.25

4.26

4.27

4.28

4.29

4.30

 

         5  Вычислить пределы числовых последовательностей.

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

5.11

5.12

5.13

5.14

5.15

5.16

5.17

5.18

5.19

5.20

5.21

5.22

5.23

5.24

5.25

5.26

5.27

5.28

5.29

5.30

 

         6  Вычислить пределы числовых последовательностей.

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

6.10

6.11

6.12

6.13

6.14

6.15

6.16

6.17

6.18

6.19

6.20

6.21

6.22

6.23

6.24

6.25

6.26

6.27

6.28

6.29

6.30

                 

         7  Вычислить пределы числовых последовательностей.

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

7.6

7.7

7.8

7.9

7.10

7.11

7.12

7.13

7.14

7.15

7.16

7.17

7.18

7.19

7.20

7.21

7.22

7.23

7.24

7.25

7.26

7.27

7.28

7.29

7.30

         8   Вычислить пределы числовых последовательностей.

8.1

8.2

8.3

8.4

8.5

8.6

8.7

8.8

8.9

8.10

8.11

8.12

8.13

8.14

8.15

8.16

8.17

8.18

8.19

8.20

8.21

8.22

8.23

8.24

8.25

8.26

8.27

8.28

8.29

8.30

        

         9  Вычислить пределы числовых последовательностей.

9.1

9.2

9.3

9.4

9.5

9.6

9.7

9.8

9.9

9.10

9.11

9.12

9.13

9.14

9.15

9.16

9.17

9.18

9.19

9.20

9.21

9.22

9.23

9.24

9.25

9.26

9.27

9.28

9.29

9.30

        

         10  Дана функция  Найти: 

         а) найти область определения функции;

         б) определить,  четная или нечетная функция.

 

    №              

        

 №                   

          

         

10.1

10.2

10.3

10.4

10.5

10.6

10.7

10.8

10.9

10.10

10.11

10.12

10.13

10.14

10.15

10.16

  

10.17

 

10.18

10.19

10.20

10.21

10.22

10.23

10.24

10.25

10.26

10.27

10.28

10.29

10.30

        

         11  а) сложную функцию разложить на последовательность основных

элементарных функций;

          б) последовательность основных элементарных функций записать как одну сложную функцию.

11.1

11.2

11.3

11.4

11.5

11.6

11.7

11.8

11.9

11.10

11.11

11.12

11.13

11.14

11.15

11.16

11.17

11.18

11.19

11.20

11.21

11.22

11.23

11.24

11.25

11.26

11.27

11.28

11.29

11.30

 

         12   Построить графики элементарных функций  преобразованием графика функции        

     

12.1

2

-1

1

12.2

    3

-2

1

12.3

-1

2

-3

12.4

-2

2

-2

12.5

   -3

2

-1

12.6

2

-4

-1

12.7

-2

2

12.8

    3

2

2

12.9

-2

0

2

12.10

-3

1

2

12.11

   -3

-2

-1

12.12

2

-3

-1

12.13

2

-1

4

12.14

    3

-1

-1

12.15

3

2

1

12.16

-2

1

-1

12.17

   -3

2

2

12.18

1

2

3

12.19

-2

12.20

-2

-2

12.21

12.22

3

-3

3

12.23

-2

-2

-2

12.24

1

-2

3

12.25

2

2

-1

12.26

    3

1

0

12.27

-2

-2

3

12.28

-1

-2

-3

12.29

   -3

-4

2

12.30

2

2

0

 

         13.1-13.16   Построить графики  функции  преобразованием графика функции

13.1

13.2

13.3

13.4

13.5

13.6

13.7

13.8

13.9

13.10

13.11

13.12

13.13

13.14

13.15

13.16

        

13.17-13.30    Построить графики  функции  преобразованием графика функции

13.17

13.18

13.19

13.20

13.21

13.22

13.23

13.24

13.25

13.26

13.27

13.28

13.29

13.30

        

         2.2  Расчетные задания второго уровня

 

         14  Доказать, применяя метод математической индукции.

14.1             

14.2

14.3                     

 

кратно 5

14.4

 

14.5

14.6

 

 кратно 133

14.7

 

14.8

14.9

кратно 19

14.10

14.11

14.12

кратно 6

14.13

14.14

 

14.15

кратно 24

14.16

14.17

14.18

кратно 7

14.19

14.20

14.21

кратно 6

14.22

 

 

14.23

14.24

кратно 9

14.25

14.26

14.27

кратно 11

14.28

14.29

14.30

  кратно 25

         15   Доказать по определению, что последовательность    бесконечно малая или бесконечно большая.

15.1

15.2

15.3

15.4

15.5

15.6

15.7

15.8

15.9

15.10

15.11

15.12

15.13

15.14

15.15

15.16

15.17

15.18

15.19

15.20

15.21

15.22

15.23

15.24

15.25

15.26

15.27

15.28

15.29

15.30

 

         2.3   Решение типового варианта

 

         1  Описать перечислением всех элементов множества  A\B, B\A,  если 

         Решение: 

         - найдем решения  квадратных уравнений:

Множества  А и В опишем перечислением всех своих элементов:    Симметрическая разность     определяется равенством:    

Поэтому объединение множеств, пересечение, разность и симметрическая разность есть:

2          Написать первые пять членов последовательности  

Решение:

- при    :  

         Итак,      - первые пять членов последовательности  

 

3        Написать формулу общего члена последовательности

         Решение:

               ,

так как           

         Следовательно,   

Так как     , получаем 

         4  Доказать по определению, что   (указать) .

         Решение:

         - запишем ряд членов последовательности:

     и положим   

Для всех членов данной последовательности, начиная с четвертого, выполняется неравенство   Действительно,

 

         В данном случае  N можно принять равным трем.  Найдем  общее выражение для числа  N  в зависимости  от 

         В соответствии с определением предела при    должно выполняться неравенство  или    Решая это неравенство,

получаем      Таким образом,  для любого   существует такое

    что при         выполняется  неравенство     

        

         5   Вычислить пределы числовых последовательностей.

         а) ;

         б);  

         в) .

         Решение:

          а) преобразуем  выражение   разделив  почленно числитель и знаменатель на  ( числитель и знаменатель делят почленно на  где степень многочлена в знаменателе):

          б) преобразуем выражение разделив  почленно  числитель и знаменатель на 

;

          в) преобразуем выражение разделив  почленно  числитель и знаменатель на 

         6   Вычислить предел  числовой  последовательности    .

         Решение:

         - при     имеем  неопределённость вида  , при  раскрытии

которой применяется второй замечательный предел 

 .       

         Преобразуем данный предел следующим образом:

===.

         7   Вычислить предел числовой  последовательности

         Решение:

         - при  имеем ,    поэтому  

 

         8   Вычислить предел числовой  последовательности  

         Решение:

         -при   имеем неопределённость вида  , при  раскрытии которой применяется второй замечательный предел   .

 

         9   Вычислить предел числовой  последовательности  

         Решение:   

         - при имеем неопределённость вида  , при  раскрытии которой применяется второй замечательный предел   .

         10   Дана функция . Найти:

         а) область определения ;

         б) определить чётность или нечётность функции.

         Решение:

         а)  поскольку  в данном примере содержится под радикалом чётной степени, то  будет иметь действительные значения только при тех значениях    при  которых подкоренное выражение неотрицательно, т.е. . Решая неравенство, получим .   

         Таким образом,   ;

         б)  для данной функции     ,

поэтому данная  функция общего вида  ( не симметрична относительно начала координат).

 

         11   а) сложную функцию  разложить на

последовательность основных элементарных функций.

         б)  последовательность основных элементарных функций

записать как одну сложную функцию.

         Решение:

         а) введём промежуточный аргумент, т.е. обозначим  . Таким

 образом, данная функция может быть представлена в виде следующей последовательности основных элементарных функций:;

         б) поднимаясь снизу вверх, подставим сначала промежуточный аргумент    в функцию  , а затем  значение  в функцию y. Получим искомую сложную функцию  .

         12   Построить график  элементарной  функции

         Решение:

         - графиком функции        называется множество

 где  множество точек плоскости.

         График данной функции есть  парабола  отраженная относительно оси  , сжатая вдоль оси    в два раза , смещенная вдоль оси     влево на 2 и вдоль оси   вверх на 3/2. 

От функции    к функции      можно перейти с

помощью следующей цепочки преобразований:      

 

 

            

         13   Построить график функции    преобразованием графика функции

         Решение:

         - если   Г- график функции   , то:

         1)  график функции   есть зеркальное отображение   Г относительно оси  

         2)  график функции   есть зеркальное отображение   Г относительно оси 

         3)  график функции   - смещение   Г вдоль  оси   на величину

         4)  график функции   -  смещение   Г вдоль  оси   на величину

         5)  график функции   - сжатие в    раз (при )   или растяжение  в   раз  (при )    Г вдоль  оси   

         6)  график функции   - растяжение  в    раз (при

)   или сжатие в   раз  (при )    Г вдоль  оси   

         От функции    к функции     можно перейти с помощью следующей цепочки преобразований:    

                      

               

              

 

             

            

 

             

         График данной функции есть  синусоида    сжатая вдоль оси    в два раза , вытянутая вдоль оси  в два раза, отраженная относительно оси  ,  смещенная вдоль оси     влево на 1. 

 

  

Список литературы 

         1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч.- М.: Высш. шк., 1986. – Ч.1-352 с.

         2. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: В 3 ч.

/А.П.Рябушко, В.В.Бархатов и др./ Под редакцией А.П.Рябушко.- Минск: Вышэйшая школа, 1991.-Ч.2-351 с.

         3. Кузнецов А.А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты.-М.: Высш.шк., 1983.-176 с.

         4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть.

-М.: Айрис-пресс, 2003.-256 с.

         5. Хасеинов К.А. Каноны математики. Учебник –Алматы: 2003.-686 с.

 

  

Содержание

Введение                                                                                                                

1  Типовой расчет .   Введение в математический анализ. Вещественные числа. Числовые последовательности. Функция одной переменной                 

1.1  Теоретические вопросы                                                                             

2.1   Расчетные задания  первого уровня                                                             

2.2   Расчетные задания второго уровня                                                                                      

2.3   Решение типового варианта                                                    

Список литературы