Некоммерческое акционерное общество
АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ
Кафедра высшей математики
МАТЕМАТИческий анализ
анализ функций одной переменной
Методические указания и Задания к расчетно-графической работе для студентов всех форм обучения специальности 5В060200 – «Информатика» Часть 1
Алматы 2011
СОСТАВИТЕЛЬ: Дулэпо В.М. Математический анализ. Анализ функции одной переменной. Методические указания и задания к расчетно-графической работе для студентов всех форм обучения специальности 5В060200 – «Информатика». Часть 1. – Алматы: АУЭС, 2011.- 24 с.
Настоящее методические указания содержат задания и методические указания для выполнения расчетно-графической работы по следующим разделам интегрального исчисления функции одной переменной: «Неопределённый интеграл», «Определённый интеграл» и «Несобственные интегралы». Приведены основные теоретические вопросы программы обучения и решение типового варианта РГР.
Методические указания предназначены для студентов первого курса специальности «Информатика».
Ил. - 1, библиогр.- 9 назв.
Рецензент:
ст. преподаватель. кафедры высшей математики АУЭС
Г.А.Малькеева
Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества «Алматинскй университет энергетики и связи» на 2011 г.
ã НАО «Алматинский университет энергетики и связи», 2011 г
Сводный план 2011 г, поз. 233
Введение
Основной целью выполнения данной работы является самостоятельная подготовка и закрепление собственных знаний и умений студента перед соответствующими по учебному плану проверками достижений учащегося – ближайшим рубежным контролем и будущим экзаменом по дисциплине. Сопутствующей целью является допуск на экзамен, получение баллов за качество выполненной работы для исчисления рейтинга допуска и выведения итог Данные методические указания содержат 15 заданий первого и второго уровней сложности, каждое из которых состоит из 25 вариантов. Из каждого задания студентом для выполнения выбирается номер варианта, соответствующий его номеру в списке учебной группы. После выполнения и оформления РГР работа сдаётся преподавателю для проверки.
1 Расчётно-графическая
работа № 1.
Интегралы от функции одной переменной
1.1 Теоретические вопросы
1 Понятие первообразной функции. Определение неопределённого интеграла. Основные свойства неопределённого интеграла. Таблица основных интегралов. Интегрирование методами подстановки и по частям.
2 Интегрирование рациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций и некоторых иррациональных функций..
3 Интегральные суммы. Определение определённого интеграла. Условие существования интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определённом интеграле. Несобственные интегралы.
4 Некоторые физические и геометрические приложения определённого интеграла (площадь плоской фигуры, длина дуги кривой, объём тела вращения, площадь поверхности вращения, работа переменной силы)
1.2 Задания первого уровня сложности
Задание 1. Вычислить неопределённые интегралы с помощью непосредственного интегрирования
№ |
Варианты |
№ |
Варианты |
1.1 |
|
1.14 |
|
1.2 |
|
1.15 |
|
1.3 |
|
1.16 |
|
1.4 |
|
1.17 |
|
1.5 |
|
1.18 |
|
1.6 |
|
1.19 |
|
1.7 |
|
1.20 |
|
1.8 |
|
1.21 |
|
1.9 |
|
1.22 |
|
1.10 |
|
1.23 |
|
1.11 |
|
1.24 |
|
1.12 |
|
1.25 |
|
1.13 |
|
|
|
Задание 2. Вычислить неопределённые интегралы
№ |
Варианты |
№ |
Варианты |
2.1 |
|
2.14 |
|
2.2 |
|
2.15 |
|
2.3 |
|
2.16 |
|
2.4 |
|
2.17 |
|
2.5 |
|
2.18 |
|
2.6 |
|
2.19 |
|
2.7 |
|
2.20 |
|
2.8 |
|
2.21 |
|
2.9 |
|
2.22 |
|
2.10 |
|
2.23 |
|
2.11 |
|
2.24 |
|
2.12 |
|
2.25 |
|
2.13 |
|
|
|
Задание 3. Вычислить неопределённые интегралы
№ |
Варианты |
№ |
Варианты |
3.1 |
|
3.14 |
|
3.2 |
|
3.15 |
|
3.3 |
|
3.16 |
|
3.4 |
|
3.17 |
|
3.5 |
|
3.18 |
|
3.6 |
|
3.19 |
|
3.7 |
|
3.20 |
|
3.8 |
|
3.21 |
|
3.9 |
|
3.22 |
|
3.10 |
|
3.23 |
|
3.11 |
|
3.24 |
|
3.12 |
|
3.25 |
|
3.13 |
|
|
|
Задание 4. Вычислить неопределённые интегралы
№ |
Варианты |
№ |
Варианты |
№ |
Варианты |
4..1 |
|
4.10 |
|
4.19 |
|
4.2 |
|
4.11 |
|
4.20 |
|
4.3 |
|
4.12 |
|
4.21 |
|
4.4 |
|
4.13 |
|
4.22 |
|
4.5 |
|
4.14 |
|
4.23 |
|
4.6 |
|
4.15 |
|
4.24 |
|
4.7 |
|
4.16 |
|
4.25 |
|
4.8 |
|
4.17 |
|
|
|
4.9 |
|
4.18 |
|
|
|
Задание 5. Вычислить неопределённые интегралы внесением функции под знак
дифференциала
№ |
Варианты |
|
5.1 |
а)
|
б)
|
5.2 |
а)
|
б)
|
5.3 |
а)
|
б)
|
5.4 |
а)
|
б)
|
5.5 |
а)
|
б)
|
5.6 |
а)
|
б)
|
5.7 |
а)
|
б)
|
5.8 |
а)
|
б)
|
5.9 |
а)
|
б)
|
5.10 |
а)
|
б)
|
5.11 |
а)
|
б)
|
5.12 |
а)
|
б)
|
5.13 |
а)
|
б)
|
5.14 |
а)
|
б)
|
5.15 |
а)
|
б)
|
5.16 |
а)
|
б)
|
5.17 |
а)
|
б)
|
5.18 |
а)
|
б)
|
5.19 |
а)
|
б)
|
5.20 |
а)
|
б)
|
5.21 |
а)
|
б)
|
5.22 |
а)
|
б)
|
5.23 |
а)
|
б)
|
5.24 |
а)
|
б)
|
5.25 |
а)
|
б)
|
Задание 6. Вычислить неопределённые интегралы методом по частям
№ |
Варианты |
|
6.1 |
а)
|
б)
|
6.2 |
а)
|
б)
|
6.3 |
а)
|
б)
|
6.4 |
а)
|
б)
|
6.5 |
а)
|
б)
|
6.6 |
а)
|
б)
|
6.7 |
а)
|
б)
|
6.8 |
а)
|
б)
|
6.9 |
а)
|
б)
|
6.10 |
а)
|
б)
|
6.11 |
а)
|
б)
|
6.12 |
а)
|
б)
|
6.13 |
а)
|
б)
|
6.14 |
а)
|
б)
|
6.15 |
а)
|
б)
|
6.16 |
а)
|
б)
|
6.17 |
а)
|
б)
|
6.18 |
а)
|
б)
|
6.19 |
а)
|
б)
|
6.20 |
а)
|
б)
|
6.21 |
а)
|
б)
|
6.22 |
а)
|
б)
|
6.23 |
а)
|
б)
|
6.24 |
а)
|
б)
|
6.25 |
а)
|
б)
|
Задание 7. Вычислить неопределённые интегралы от выражений, содержащих
квадратный трёхчлен
|
Варианты |
№ |
Варианты |
7.1 |
|
7.14 |
|
7.2 |
|
7.15 |
|
7.3 |
|
7.16 |
|
7.4 |
|
7.17 |
|
7.5 |
|
7.18 |
|
7.6 |
|
7.19 |
|
7.7 |
|
7.20 |
|
7.8 |
|
7.21 |
|
7.9 |
|
7.22 |
|
7.10 |
|
7.23 |
|
7.11 |
|
7.24 |
|
7.12 |
|
7.25 |
|
7.13 |
|
|
|
Задание 8. Вычислить определённый интеграл
№ |
Задание |
№ |
Задание |
№ |
Задание |
8.1 |
|
8.10 |
|
8.18 |
|
8.2 |
|
8.11 |
|
8.19 |
|
8.3 |
|
8.12 |
|
8.20 |
|
8.4 |
|
8.13 |
|
8.21 |
|
8.5 |
|
8.14 |
|
8.22 |
|
8.6 |
|
8.15 |
|
8.23 |
|
8.7 |
|
8.16 |
|
8.24 |
|
8.8 |
|
8.17 |
|
8.25 |
|
8.9 |
|
|
Задание 9. Вычислить определённый интеграл
№ |
Задание |
№ |
Задание |
№ |
Задание |
9.1 |
|
910 |
|
9.18 |
|
9.2 |
|
9.11 |
|
9.19 |
|
9.3 |
|
9.12 |
|
9.20 |
|
9.4 |
|
9.13 |
|
9.21 |
|
9.5 |
|
9.14 |
|
9.22 |
|
9.6 |
|
9.15 |
|
9.23 |
|
9.7 |
|
9.16 |
|
9.24 |
|
9.8 |
|
9.17 |
|
9.25 |
|
9.9 |
|
|
Задание 10. Вычислить определённый интеграл с помощью указанной замены
№ |
Варианты |
№ |
Варианты |
10.1 |
|
10.14 |
|
10.2 |
|
10.15 |
|
10.3 |
|
10.16 |
|
10.4 |
|
10.17 |
|
10.5 |
|
10.18 |
|
10.6 |
|
10.19 |
|
10.7 |
|
10.20 |
|
10.8 |
|
10.21 |
|
10.9 |
|
10.22 |
|
10.10 |
|
10.23 |
|
10.11 |
|
10.24 |
|
10.12 |
|
10.25 |
|
10.13 |
|
|
|
1.2 Задания второго уровня сложности
Задание 1. Вычислить неопределённый интеграл
№ |
Варианты |
|
1.1 |
а)
|
б)
|
1.2 |
а)
|
б)
|
1.3 |
а)
|
б)
|
1.4 |
а)
|
б)
|
1.5 |
а)
|
б)
|
1.6 |
а)
|
б)
|
1.7 |
а)
|
б)
|
1.8 |
а)
|
б)
|
1.9 |
а)
|
б)
|
1.10 |
а)
|
б)
|
1.11 |
а)
|
б)
|
1.12 |
а)
|
б)
|
1.13 |
а)
|
б)
|
1.14 |
а)
|
б)
|
1.15 |
а)
|
|
1.16 |
а)
|
б)
|
1.17 |
а)
|
б)
|
1.18 |
а)
|
б)
|
1.19 |
а)
|
б)
|
1.20 |
а)
|
б)
|
1.21 |
а)
|
б)
|
1.22 |
а)
|
б)
|
1.23 |
а)
|
б)
|
1.24 |
а)
|
б)
|
1.25 |
а)
|
б)
|
Задание 2. Вычислить неопределённый интеграл
№ |
Варианты |
№ |
Варианты |
2.1 |
|
2.14 |
|
2.2 |
|
2.15 |
|
2.3 |
|
2.16 |
|
2.4 |
|
2.17 |
|
2.5 |
|
2.18 |
|
2.6 |
|
2.19 |
|
2.7 |
|
2.20 |
|
2.8 |
|
2.21 |
|
2.9 |
|
2.22 |
|
2.10 |
|
2.23 |
|
2.11 |
|
2.24 |
|
2.12 |
|
2.25 |
|
2.13 |
|
|
|
Задание 3. Вычислить площадь фигуры
D, ограниченной
заданными линиями
№ |
Задание |
№ |
Задание |
№ |
Задание |
3.1 |
D: |
3.10 |
D: |
3.19 |
D: |
3.2 |
D: |
3.11 |
D: |
3.20 |
D: |
3.3 |
D: |
3.12 |
D: |
3.21 |
D: |
3.4 |
D: |
3.13 |
D: |
3.22 |
D: |
3.5 |
D: |
3.14 |
D: |
3.23 |
D: |
3.6 |
D: |
3.15 |
D: |
3.24 |
D: |
3.7 |
D: |
3.16 |
D: |
3.25 |
D: |
3.8 |
D: |
3.17 |
D: |
|
|
3.9 |
D: |
3.18 |
D: |
|
|
Задание 4. Вычислить несобственные интегралы 1-го рода или доказать их
расходимость
№ |
Варианты |
№ |
Варианты |
№ |
Варианты |
4.1 |
|
4.10 |
|
4.19 |
|
4.2 |
|
4.11 |
|
4.20 |
|
4.3 |
|
4.12 |
|
4.21 |
|
4.4 |
|
4.13 |
|
4.22 |
|
4.5 |
|
4.14 |
|
4.23 |
|
4.6 |
|
4.15 |
|
4.24 |
|
4.7 |
|
4.16 |
|
4.25 |
|
4.8 |
|
4.17 |
|
|
|
4.9 |
|
4.18 |
|
|
|
Задание 5. Вычислить приближенно определённый интеграл по формуле трапеций при n =10
№ |
Варианты |
№ |
Варианты |
№ |
Варианты |
5.1 |
|
5.10 |
|
5.19 |
|
5.2 |
|
5.11 |
|
5.20 |
|
5.3 |
|
5.12 |
|
5.21 |
|
5.4 |
|
5.13 |
|
5.22 |
|
5.5 |
|
5.14 |
|
5.23 |
|
5.6 |
|
5.15 |
|
5.24 |
|
5.7 |
|
5.16 |
|
5.25 |
|
5.8 |
|
5.17 |
|
|
|
5.9 |
|
5.18 |
|
|
|
Указания к решению некоторых заданий типового варианта
Задания 1- 4 решим с помощью непосредственного интегрирования, то есть с использованием тождественных преобразований подинтегральных функций, правил интегрирования и табличных интегралов.
1. Вычислить интеграл
.
Решение
.
2. Вычислить интеграл
.
Решение.
Ответ:
3. Вычислить интеграл
.
Решение.
Ответ:
4.
а) Вычислить интеграл
Решение.
Ответ:
б) Вычислить интеграл
Решение.
Ответ:
.
5.
а) Вычислить интеграл
Задание выполним внесением функции под знак
дифференциала.
Решение.
Ответ:
б) Вычислить интеграл
Решение.
6. Вычислить интеграл
Применим способ интегрирования по частям.
Решение.
Ответ:
7. Вычислить интеграл
.
Решение.
Применим методы решения из темы «Интегрирование дробно-рациональных функций».
Степень числителя подинтегральной
функции равна 3, степень знаменателя равна 8. Следовательно, подинтегральная
дробь является правильной и выделение целой части дроби здесь не требуется.
Знаменатель дроби уже разложен на множители, поэтому переходим к
следующему этапу – исходную дробь разлагаем на сумму простейших дробей:
,
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
Таким образом,
.
Ответ:
8. Вычислить определённый интеграл
Решение.
Ответ: .
9. Вычислить определённый интеграл
используя указанную замену
переменной.
Решение.
Ответ:
10. Вычислить площадь фигуры D, ограниченной указанными линиями
D:
Решение.
Построим фигуру
D (см.
рисунок)
Ответ:
6.
11. Вычислить определённый интеграл
Решение.
Ответ:
12. Вычислить несобственный интеграл (либо
доказать его расходимость)
Интеграл
является несобственным интегралом первого рода.
Решение.
13. Вычислить приближенно определённый
интеграл по формуле трапеций
при
n =10 .
Формула трапеций:
.
Разобьем отрезок
интегрирования точками деления на
n
= 10 частей:
Вычислим приближённо с
помощью калькулятора значения подинтегральной функции
в этих точках (шесть знаков после запятой):
;
Подставим найденные значения в формулу трапеций:
Абсолютная величина погрешности вычисления определённого
интеграла по формуле трапеций , где
. Так как
для всех х из
.
Ответ:
Приложение
Основные
сведения для выполнения раздела «Интегралы от функции одной переменной»
Неопределённый интеграл
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если F¢(x) = f(x) . Неопределённым интегралом от функции f(x) называется совокупность всех её первообразных. Обозначение: ò f(x)dx = F(x) + C.
Свойства неопределённого интеграла
- формула замены переменной
- формула интегрирования по
частям
Определенный интеграл
- определение
определённого интеграла.
Свойства:
|
Правила вычисления определённых интегралов
1. Формула Ньютона-Лейбница: , где
F(x) -
первообразная для
f(x).
2. Интегрирование по частям:
3. Замена переменной:
Приложения определённых интегралов Площади плоских фигур:
а) В прямоугольных координатах:
y
y=f(x)
y =f2(x)
a b x a b
y =f1(x)
Длина дуги плоской кривой:
Объём тела по площади его
поперечного сечения:
Формула трапеций
для
приближённого вычисления определённого интеграла:
Оценка погрешности вычислений: если функция
f(x) имеет
на
непрерывную вторую производную и
, то абсолютная величина погрешности формулы
трапеций
Список литературы
1. Бугров
Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное
исчисление. - М.: Наука, 1980.
- 432 с.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях
и задачах. В 2-х ч. Ч.1. – М.: Высш. шк., 1986. – 304 с.
4. Дулэпо В.М. Высшая математика. Основы дифференциального исчисления
(конспект лекций). – Алматы: Алматинский институт энергетики и связи, 2001.
– 80 с.
5. Дулэпо В.М. Высшая математика. Справочные материалы (части 1,2,3).
– Алматы: Алматинский институт энергетики и связи, 2005. – 80 с.
6. Индивидуальные задания по высшей математике: Учеб. пособие/А.П.
Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть. – Мн.: Высш. шк., 2000. –
396 с.
7. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики.
- СПб.:
Издательство Лань, 1997.
- 736 с.
8. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для
втузов, т. 1 - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы,
1985. - 432 с.
9. Хасеинов К.А. Каноны математики: Учебник.- Алматы, 2003.– 686 с.
Содержание
Введение 3
1 Расчётно-графическая работа № 1 3
1.1 Задания первого уровня сложности 3
1.2 Задания второго уровня сложности 12
1.3 Указания к решению некоторых заданий 17
Приложение 24
Список литературы 27