МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

Некоммерческое акционерное общество

«Алматинский университет энергетики и связи»

 

 

Р.Е. Ким

Математический анализ

Учебное пособие

 

Алматы 2012

 

УДК [517.1/3+517.52+517.9] (075.8)

ББК 22.161 Я 73

К 40 Математический анализ:

Учебное пособие /Р.Е. Ким;

АУЭС. Алматы, 2012.- 100с.

 

ISBN 978 – 601 – 7327 – 59 – 0

 

 

Учебное пособие представляет собой переработанные и дополненные лекции по математическому анализу, читаемые автором в АУЭС, содержит основные разделы, традиционно изучаемые в курсе математического анализа: «Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной», «Функции нескольких переменных. Интегральное исчисление функции одной и нескольких переменных», «Дифференциальные уравнения. Ряды». Содержание разделов взаимосвязано друг с другом. В доступной форме изложены основные теоретические сведения, приведены примеры и решенные задачи, иллюстрирующие изложенный материал и помогающие усвоить и закрепить изучаемый материал.

Учебное пособие предназначено для студентов всех форм обучения специальностей 5В070400 – Вычислительная техника и программное обеспечение и  5В070300 – Информационные системы.

Ил. 20, табл. 6, библиогр. –  10 назв.

ББК 22.161 Я 73

  

Рецензенты: КазНУ, канд. физ.-мат. наук, доц. У.К. Койлышов,

                  АУЭС, канд. физ.-мат. наук, проф. С.Е. Базарбаева.

 

 

Печатается по плану издания Министерства образования и науки Республики Казахстан на 2012 г.

  

ISBN 978 – 601 – 7327 – 59 – 0

 

ã НАО «Алматинский университет энергетики и связи», 2012 г.

 

Предисловие

 

Данное учебное пособие представляет собой переработанные и дополненные лекции по математическому анализу, содержит основные разделы, традиционно изучаемые в курсе математического анализа: «Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной», «Функции нескольких переменных. Интегральное исчисление функции одной и нескольких переменных», «Дифференциальные уравнения. Ряды» и соответствует учебному плану второго семестра бакалавриата всех форм обучения специальностей 5В070400 – Вычислительная техника и программное обеспечение и 5В070300 – Информационные системы. Содержание разделов взаимосвязано друг с другом. В доступной форме изложены основные теоретические сведения, приведены примеры, иллюстрирующие изложенный материал и помогающие усвоить и закрепить изучаемый материал.

Учебное пособие будет полезно преподавателям и студентам и предназначено для проведения самостоятельных работ во время аудиторных занятий по курсу математического анализа.


1 Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

 

1.1 Множество. Операции над множествами

 

Понятие множества является первичным (т.е. не определяемым с помощью других, более простых понятий).

Определение. Множеством  называется совокупность объектов произвольного рода, рассматриваемая как единое целое. Предметы, составляющие множество, называются его элементами.

Приняты следующие обозначения:

A, B, X, … – множества;

a, b, x, x1,  x2, … – элементы множеств;

 – элемент х принадлежит множеству A;

 – элемент b не принадлежит множеству А;

N – множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

I  – множество иррациональных чисел;

R – множество действительных чисел;

C – множество комплексных чисел;

Ø – пустое множество (не содержит ни одного элемента).

Исходя из количества элементов, множества могут быть конечными (состоящими из конечного числа элементов) и бесконечными (состоящими из бесконечного числа элементов).

 

Способы задания множеств:

 

а) перечислением элементов, например, 

X = {x1, x2, …, xn},

A = {1, 3, 5, 7, 9, …};

б) с помощью характеристического свойства:  A = {x| Р(x)},

где P(x) – свойство Р, которым обладает элемент x, например,

                    A = {x| х2 + х = 0} – совокупность корней уравнения   х2 + х = 0.

Часто встречается такая модификация: предположим, что задано множество А  и дано свойство P(x), тогда

{| Р(x)} – совокупность всех элементов х множества А, удовлетворяющих свойству P(x), например,

1) {| х2 + х = 0} есть множество  {–1, 0},

2) {| х2 + х = 0} есть пустое множество;

в) порождающей процедурой, которая описывает способ получения элементов из уже имеющихся элементов, например, множество В = {1, 3, 9, 27, 81, …} можно задать так:  

1) 1В;    2)  bВ → 3bВ.

Высказывания

 

Под высказыванием принимается выражение математической или другой природы, которое утверждает, что имеет место тот или иной факт.

          Высказывание Р называется истинным, если факт, который утверждается в нем, является истинным. В противном случае – ложным.

Например, 5 + 2 = 7 – истинное высказывание,  7 < 5  – ложное высказывание.

Пусть даны два высказывания  P  и  Q.

          Высказывание  Q  является  логическим следствием  высказывания  P, если из того, что Р  истинно следует, что  Q  истинно. При этом  говорят, что «из P следует Q» или «Р есть достаточное условие для  Q, а  Q – необходимое условие для Р».

Обозначение:  P  Q.

          Высказывания     P  и  Q   эквивалентны, если каждое из них является следствием другого, т.е. P  Q  и  Q  P.

Обозначение:  P  Q.

Введем понятия часто встречающихся кванторов всеобщности и существования.

Пусть А – произвольное множество, Р(x) условие, которому объект х может удовлетворять или не удовлетворять.

 

" – квантор всеобщности.

Запись  "х  Р(x) читается следующим образом: «для всех х выполнимо Р(x)».

Пример.  

"х ( хØ).

 

Запись  ": Р(x) читается следующим образом: «для всех х из А выполнимо Р(x)».

Примеры.  

1)   ": х2 ≥ 0;       

2)   ": –1 ≤ sin x ≤ 1.

 

$ – квантор существования.

Запись  $: Р(x) читается следующим образом: «существует х из А такой, что выполнимо Р(x)».

Пример.  

$: х2 = 1 (уравнение имеет решение).

 

Запись  $!: Р(x) читается следующим образом: «существует единственный х из А такой, что выполнимо Р(x)».

Пример. 

$! : 2х = 4 (уравнение имеет единственное решение).

 

Включение и равенство множеств

 

          Определение. Множество В называется подмножеством множества А (обозначается ), если каждый элемент множества В является элементом множества А: ,  – знак включения.

Определение. Множества А и В называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов:  ( и ).

Если  и , то В является собственным подмножеством множества А:  – строгое включение.

 

Пример.  

"А  Ø (пустое множество является подмножеством любого другого множества).

 

Специальные подмножества множества действительных чисел

 

Пусть .

Определение. Совокупность всех  таких, что a x b называется замкнутым промежутком или отрезком с концами  a и b, обозначается  [a;b].

Определение. Совокупность всех  таких, что a < x < b называется открытым промежутком или интервалом с концами  a и b, обозначается  (a;b).

Определение. Совокупность всех  таких, что a x < b (или             a < x b)  называется полуоткрытым промежутком или полуинтервалом с концами  a и b, обозначается  [a;b) (или (a;b]).

 

Операции над множествами

 

Пусть  А, В, А1, А2, …, Аn – произвольные множества.

Объединение множеств А и В (обозначается  АВ):

АВ = {x| xА или xВ}.

Обобщение операции объединения:        A1A2An = .

Пересечение множеств А и В (обозначается  АВ):  

АВ = {x| xА и xВ}.

Обобщение операции пересечения:        A1A2An = .

Разность множеств А и В (обозначается  А \ В):   

А \ В = {x| xА и xВ}.

Прямое (декартовое) произведение множеств А и В (обозначается А×В) – множество таких пар (х, у), что хA и уВ:       

А×В = {(х, у)| хA и уВ}.

Обобщение операции прямого произведения:

A1×A2×…×An = {(х1, х2, …, х n)| х1A1, х2A2 ,…, х nAn}.

Если   A = B, то  A×A = A2 ;   A1 = A;  A0 = Ø.

 

1.2 Функция: основные понятия и свойства

 

Определение. Переменной величиной называется всякая величина х, способная принимать различные числовые значения.

Величина, численные значения которой не меняются, называется постоянной величиной.

Определение. Переменная величина  у  называется функцией независимой переменной х, если любому определенному значению х (из множества возможных значений) соответствует единственное определенное значение у.

     Обозначение:  у = f (х).

Переменная х  называется при этом аргументом или независимой переменной,  у называют зависимой переменной.

Определение. Совокупность значений х, для которых определяются значения функции у в силу правила f (х), называют областью определения функции (обозначают D(y)), а совокупность всевозможных значений функции  у в силу правила   f (х), называют областью изменения  функции (обозначают E(y)).

 

Способы задания функции:

1)     аналитический (формулой);

2)     табличный;

3)     графический.

Определение. Графиком называется совокупность точек  (х, f (х)) плоскости  (Оху), абсциссы которых являются значениями независимой переменной, а ординаты – соответствующими  значениями функции;

4)     словесный.

 

Основные свойства функций:

1)     Четность.

Определение. Функция  у = f (х) называется четной, если  

f (– х) = f (х)   " хÎD(у)

(график функции симметричен относительно оси ординат).

2)     Нечетность.

Определение. Функция  у = f (х) называется нечетной, если  

f (– х) = – f (х)   " хÎD(у)

(график функции симметричен относительно начала координат).

3)     Монотонность.

Определение. Если функция  у = f (х) такова, что большему значению аргумента х соответствует большее (меньшее) значение функции, то функция  у = f (х) называется возрастающей (убывающей).

Определение. Функция  у = f (х) называется монотонной, если она является либо возрастающей, либо убывающей.

4)     Ограниченность.

Определение. Функция  у = f (х) называется ограниченной в данной области D (в области изменения аргумента х), если

$ М > 0| f (х)| ≤ М   " хÎD.

Если же такого М не существует, то функция  у = f (х) называется неограниченной в данной области.

5)     Периодичность.

Определение. Функция  у = f (х) называется периодической, если

$ С > 0:   f (х + С) = f (х) " хÎD(у).

Наименьшее такое число называется периодом функции.

 

Основные виды функций:

1)     Явная и неявная функции.

Функция  задана явно, если  она определена уравнением  у = f (х); функция  задана неявно, если  она определена уравнением F(x, y) = 0. 

2)     Обратная функция.

Если между значениями x и  соответствующими им значениями y = f (х) устанавливается взаимно однозначное соответствие, то, рассматривая эти значения y как значения аргумента, а значения  х как значения функции, получаем х как функцию ух = φ(y). Эта функция называется обратной для функции  у = f (х). Очевидно, что и функция  у = f (х) является обратной для функции  х = φ(y).

3)     Сложная функция (суперпозиция, композиция, функция от функции).

Если  у является функцией от и, а и в свою очередь зависит от переменной   х,  то  у  также зависит от   х,  т.е. если      у = F(и),       и = φ(х), то 

у = F [φ(х)]. Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией или суперпозицией или композицией.

 

1.3 Числовая последовательность

 

Если функция у = f (х) определена на множестве натуральных чисел (т.е. D(y) = N, где N = {1, 2, 3, …}), то мы имеем дело с упорядоченной переменной величиной,  значения   которой   образуют  числовую  последовательность    у1, у2, у3, …, уп, … (где   уп = f (n), пÎN ).

 

Предел числовой последовательности 

 

Определение. Постоянное число а называется пределом переменной величины  уп при  п → ∞, если  "e > 0   $ N  > 0 :   ½уп –  а½< e   при  п > N. (Последняя запись читается следующим образом: «Если для любого наперед заданного произвольного малого положительного числа ε существует такой номер N > 0, что будет выполняться неравенство½уп –  а½< e для всех  п > N »).

Обозначения:    или .  

Определение. Последовательность уп стремится к бесконечности, если  

" М > 0   $ N > 0½уп ½ > М    при  п > N.

Обозначения:   или .  

Примеры:

1)  уп = п, ;   

2)  уп = – п, ;  

3)  уп = (–1)п п,   .

 

1.4 Предел функции

 

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки а или в некоторых точках этой окрестности.

Определение. Функция  y = f (x) стремится к пределу  b   ( y ® b )  при  x, стремящемся к  a  (x ® a), если   

"e > 0   $ d (e) > 0: ½уп –  b½< e

при всех  х,  удовлетворяющих неравенству | х а | < d (e).

Обозначение:  f (x) ® b при x ® a    или 

Если  x стремится к  a так, что x принимает только значения меньшие (или только значения большие), чем a, то в этом случае говорят об односторонних пределах: пределе функции  f (x) в точке а слева и пределе функции  f (x) в точке а справа.

Определение. Функция y = f (x) стремится к пределу  b1   ( y ® b1 )  при x, стремящемся к  a  слева ( x ® a – 0), если 

"e > 0   $ d (e) > 0:  ½ f (x) b1½< e

при всех  х, удовлетворяющих неравенству 0 < ах < d (e).

Обозначение:    .

Определение. Функция y = f (x) стремится к пределу  b2   ( y ® b2 )  при x, стремящемся к  a  справа ( x ® a + 0), если 

"e > 0   $ d (e) > 0:  ½f (x) b2½< e

при всех  х, удовлетворяющих неравенству 0 < ха < d (e).

Обозначение:    .

Определение. Функция y = f (x) стремится к бесконечности  ( y ® ¥)  при x, стремящемся к  a ( x ® a), если   

" М > 0   $ d (М) > 0: ½f (x)½> М

при всех  х, удовлетворяющих неравенству | х а | < d (М).

Обозначение:    .

Если f (x) стремится к бесконечности  при x ® a и при этом  принимает только положительные или только отрицательные значения, то соответственно пишут     или  .

Определение. Функция y = f (x) стремится к пределу  b при x ® ¥, если 

"e > 0   $ N > 0: ½ f (x) b½< e  ,

при всех значений х, удовлетворяющих неравенству | х | > N.

Обозначения:

1)   f (x) ® b  при   x ® ¥      или     

2)   f (x) ® b  при   x ® ¥   или      

3)   f (x) ® b  при   x ® + ¥   или      

Пример.      

 

Если   f (x) ® ¥  при   x ® ¥ , то пишут      

В частности, может быть:

                          и т.д.

Примеры.

                     

 

З а м е ч а н и е.

Функция  y = f (x) при x ® a  или при   х ® ¥  может не стремиться к конечному пределу или к бесконечности.

 

Пример.  

 y = sin x. Данная функция при   х ® ¥  не стремится к конечному пределу или к бесконечности.

 

Основные теоремы о пределах

 

Пусть   а £ ¥ (константа или бесконечность). Тогда справедливы следующие теоремы.

Теорема 1.  

Предел алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме пределов этих функций:

.

Теорема 2.

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

.

Следствие. 

Постоянный множитель можно выносить за знак предела: 

С – константа.

Теорема 3.

Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля:

   если  

Теорема 4. 

Если   между соответствующими значениями трёх функций  u(x), y(x), v(x) выполняется неравенство  u(x) £ y(x) £ v(x)   и      , то     .

 

Теорема 5. 

Если между соответствующими значениями двух функций  u(x), v(x) выполняется неравенство u(x) £ v(x) и существуют пределы     то    .

 

Теорема 6. 

Если при х ® а функция  у ³ 0 и при этом  у ® b,  то b ³ 0.

 

Теорема 7. 

Если  у – возрастающая и ограниченная функция, т.е. у < M, то существует предел    где  В £ M.

 

Первый и второй замечательные пределы

 

Первый замечательный предел:  .

Следствия:  

1);    

2) ;     

3) .

Второй замечательный предел:  ,    е = 2,7182818284…,

             – обобщённая форма.

 

Техника вычисления пределов. Виды определенностей и неопределенностей и способы их раскрытия

 

При вычислении пределов, прежде всего, следует подставить предельную точку в функцию вместо переменной.

Если получено вполне определённое значение (константа или бесконечность), то это значение является ответом.

Возможные виды определённостей:  

 .

Если в результате подстановки получена одна из неопределённостей (возможны семь видов неопределённостей: ), то, говорят, следует раскрыть неопределённость, т.е. вычислить предел,

используя различные методы, приведенные в таблице 1.4.1.

 

Т а б л и ц а  1.4.1

 

 

Виды пределов

Результат подстановки предельной точки

Результат или метод вычисления предела

1

2

3

4

1

 

неопределённость

2

,  неопределённости

а) разложение на  множители;

б) правило Лопиталя;

в) умножение на сопря-жённое выражение;

г) применение эквив.  бесконечно малых;

д) правило 1 этой таблицы

продолжение таблицы 1.4.1

1

2

3

4

3

, ,

0

4

, ,

5

 

 

 

неопределённость

привести к неопределённостям вида или , затем как в 1 или 2 этой таблицы

6

,

7

,

0

8

 неопределённость

привести к неопределённостям вида или , затем как в 1 или 2 этой таблицы

9

10

 неопределённости

а) привести ко второму 

    замечательному  

    пределу

б) использовать 

    формулу      

     

11

12

1.5 Бесконечно малые и бесконечно большие функции

 

Определение. Функция  a(х)  называется бесконечно малой  (б.м.)  при    х ® а (а – вещественное число или символ ¥), если  .

Аналогично определяется бесконечно малая функция  при    х ® а – 0   и

 х ® а + 0, а также при   х ®¥  или   х ® +¥.

З а м е ч а н и е.  

Если   то  f (x) – A есть бесконечно малая.

Определение. Функция  f (х)  называется бесконечно большой  (б.б.) при х ® а (а – вещественное число или символ ¥), если  .

Лемма.

1) если  f (х) ®  при  х ® а, то     при х ® а;

2) если  a(х) ® 0  при  х ® а, то     при х ® а.

 

Основные теоремы о бесконечно малых

 

Теорема 1.

Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при    х ® а функций есть функция бесконечно малая при х ® а.

Теорема 2.

Произведение ограниченной при х ® а функции на б.м. при х ® а функцию есть функция бесконечно малая при х ® а.

Теорема 3.

Произведение конечного числа б.м. при х ® а функций есть функция бесконечно малая при х ® а.

З а м е ч а н и е 1.  

Целая   положительная  степень  [a(х)]п   б.м.  функции  a(х) ® 0  при    х ® а есть бесконечно малая функция при х ® а.

З а м е ч а н и е 2.

Отношение двух б.м. функций a(х) ® 0  и b(х) ® 0  при х ® а может быть функцией произвольного поведения при х ® а.

 

Сравнение бесконечно малых

 

Для сравнения бесконечно малых вычисляют предел их отношения. Пусть  и  бесконечно малые при х ® а, тогда если

1) , то б.м.  более высокого порядка малости, чем , в этом случае пишут ;

2) , то б.м.более низкого порядка малости, чем ;

3) , то б.м. и  одного порядка;

4) , то б.м.  и  эквивалентны, записывают ;

5) , то есть б.м. - го порядка по сравнению с .

 

Эквивалентные б.м. Их применение при вычислении пределов

 

При вычислении пределов с б.м. в ряде случаев используют теоремы об эквивалентных б.м.:

Теорема 4.

Если ,  при х ® а, то

1)  ;

2) .

 

Итак, следуя теореме, в пределах одну б.м. можно заменить другой, эквивалентной ей, при этом используют таблицу эквивалентных б.м. (см. таблицу 1.5.1).

 

Т а б л и ц а  1.5.1

, т.е.  – бесконечно малая при ,  а £ ¥.

 

1

5

9

2

6

10

3

7

11

4

8

 

 

1.6 Непрерывность функций

 

Определение. Функция у = f (x), определенная при x = х0 и всех значениях х, достаточно близких к х0 , называется непрерывной при x = х0 (в точке х0), если 

f (х0 + 0) = f (х0 – 0) = f (х0).

Это по определению предела означает, что для каждого положительного числа ε, как бы мало оно не было, можно указать такое d (e) > 0, что для всех  х, отличных от х0  и удовлетворяющих неравенству | х х0 | < d (e),  имеет место неравенство   ½f (x) –  f (х0) ½< e.   

 

Введем понятия приращений:

приращение аргумента:  ∆x = x х0;

приращение функции:  ∆у = f (x) – f (х0).

Тогда описательно геометрически непрерывность функции в точке         x = х0 означает, что бесконечно малому приращению аргумента  (от начального значения   x = х0)  соответствует бесконечно малое приращение функции.

Опираясь на свойства пределов, можно получить

 

Основные свойства непрерывных в точке функций:

1)     Если функции    f1(x)   и    f2(x)  непрерывны в точке   x = х0 ,  то сумма

(f1(x) + f2(x)) также есть непрерывная функция в точке  x = х0.

(Это свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых.)

2) Если функции     f1(x)    и    f2(x непрерывны  в  точке        x = х0 ,    то

произведение   (f1(x)∙f2(x))   также есть непрерывная функция в точке   x = х0.

(Это свойство справедливо для любого конечного числа множителей.)

3) Если функции     f1(x)    и    f2(x непрерывны  в  точке        x = х0 ,    то

частное     также есть непрерывная функция в точке   x = х0 ,                  за исключением тех значений независимой переменной, при которых знаменатель обращается в нуль.

4) Если функция  u = φ(x) непрерывна в точке x = х0 и f (u) непрерывна в точке   u0 = φ(х0), то сложная функция   f [φ(x)]   непрерывна в точке  x = х0 .

5) Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

 

непрерывные на отрезке функции  

 

Пусть   a £ x £ b.

Определение. Функция непрерывна на отрезке [a, b], если функция непрерывна при любом значении х из этого промежутка.

При этом , .

Основные свойства непрерывных на отрезке функций:

1)  Если   f (x) непрерывна на отрезке  [a, b], то существует в этом промежутке, по крайней мере, одно такое значение  х, при котором   f (x) принимает свое наибольшее значение и,  по крайней мере, одно такое значение  х, при котором   f (x) принимает свое наименьшее значение.

2)  Если  f (x) непрерывна на отрезке  [a, b], причем  f (а) = т,  f (b) = п, то для любого  k,  заключенного между числами  m и  n, найдется такая точка  x = с, что  f (с) = k.

В частности, если   f (a) и  f (b) разных знаков, то найдется такая точка              x = с, что    f (с) = 0.

 

Односторонняя непрерывность.

Точки разрыва и их классификация

 

Определение. Если в какой-то точке x = х0 для функции  у = f (x) не выполняется, по крайней мере, одно из условий непрерывности, то при x = х0 функция  у = f (x) разрывна. Точка x = х0 в этом случае называется точкой разрыва функции.

Если   пределы       f (х0 0)     и       f (х0 + 0)     существуют,  то  разность

 f (х0 + 0) – f (х0 0)     называется разрывом, или скачком, функции    f (x при

x = х0 (в точке х0).

При этом  функция f (x) имеет в точке х0  разрыв первого рода, если пределы справа и слева конечны, но не равны друг другу, т.е.

f (х0 + 0) ¹  f (х0 0).

Если f (х0 + 0) = f (х0 0) ¹ f (х0), то х0 устранимая точка разрыва первого рода.

Функция f (x) имеет в точке х0  разрыв второго рода, если хотя бы один из пределов  f (х0 0)  (или  f (х0 + 0)) бесконечен или не существует.

 

Пример.

Исследовать функции на непрерывность. Определить характер точек разрыва:  1) ;             2).

Решение.

1) , .

Так как  , то х0 = 2 точка разрыва первого рода,

                         = 1 – скачок функции в этой точке.   

2) ,       

     .

Так как один из односторонних пределов , то х0 = 5 точка разрыва второго рода.

 

 

1.7 Производная и дифференциал

 

Производная функции одной переменной

 

а) механический смысл производной

Пусть  s = f (t) путь, пройденный  за время t, D t приращение времени, D s приращение расстояния. Тогда   средняя скорость движения за промежуток времени  от D t до (t +D t),    скорость в данный момент t   или  v(t) производная от пути по времени.

б) общее определение производной

Пусть  функция  y = f (x) определена   при  х  и  (х + h) для любого достаточно малого  h: ½h½<< 1.

Тогда при условии, что  D x = h,  D y = f (x + h) f (x), получим

 .

Т.к  х фиксировано, то     функция, зависящая от h, определенная в промежутке    – e £  h £ e , кроме h = 0.

Определение. Если существует предел   то этот предел называется производной функции  f (x) при заданном  х, а сама функция  f (x) при этом называется дифференцируемой в точке х.

Обозначение:          .

Операция нахождения производной называется дифференцированием функции.

 

З а м е ч а н и е.

Если при некотором значении х производная  f¢ (x) существует, то при этом значении х функция  f (x) непрерывна. Обратное утверждение неверно.

 

в) геометрический смысл  производной

Производная f¢ (x) равна тангенсу угла a, образованного касательной к кривой в точке М(х, у) с положительным направлением оси  Ох, т.е. равна угловому коэффициенту этой касательной.

 

Уравнение касательной к графику функции одной переменной  

 

y y0 = f¢ (x0)(x x0),

 

где   y0 = f (x0),  f¢ (x0) – угловой коэффициент касательной к графику функции y = f (x)  в точке (x0 , y0).

 

Уравнение нормали к графику функции одной переменной   

 

,

где    – угловой коэффициент нормали  к графику функции y = f (x) в точке (x0 , y0); 

 – вектор нормали.

 

Основные правила дифференцирования

 

Пусть u = u(x), v = v(x), u1 = u1(х) , u2 = u2(х) , ... , un = uп(х)  – дифференцируемые функции.

Тогда имеют место равенства:

1) Производная постоянной:

          (С)¢ = 0,   С const.

2) Производная  суммы и разности:

    (u1 ± u2 ± ... ± un)¢ = u1¢ ± u2¢ ± ... ± un¢.

 

3) Производная произведения:

                (uv)¢ = u¢v + uv¢.

 

3´) (Сu)¢ = Сu¢    (следствие п.3).


4) Производная частного:

                            

         .     

4´) (следствие п.4).

 

5) Производная сложной функции:

Пусть y = f (u), u = j (x).

Тогда [ f (j (x)) ]¢ = f¢u(и)×j¢ (x)  или  y¢x = y¢u× u¢x .

6) Производная обратной функции:

Если для дифференцируемой функции  y = f (x) существует обратная функция  x = j (y), то .

Таблица производных

 

Т а б л и ц а 1.7.1

 

1

 

7

 

13

 

 

2

 

8

 

14

 

3

 

9

 

15

 

4

 

10

 

16

 

5

 

11

 

17

 

6

 

12

 

 

 

Теоремы о дифференцируемых функциях

 

1. Теорема (Правило Лопиталя).

Пусть функции f (х), g(х)  непрерывны и дифференцируемы в окрестности  точки х = а и обращаются в нуль в этой точке, т.е. f (а) = g(а) = 0. Тогда, если существует , то существует и  , причем   

=.

З а м е ч а н и е.

Правило Лопиталя применимо и для раскрытия  неопределенности вида .

Некоторые виды неопределенностей также можно свести к использованию правила Лопиталя:

1) Рассмотрим  , где

Неопределенность вида 0·∞ можно свести к неопределенности вида или, представив произведение f (х)·g(х) в одном из следующих видов:

 или .

2) Рассмотрим   , где  , .

Неопределенность  вида   1¥ (после проведения преобразований ) сводится к неопределенности  вида  0×¥ .

Аналогично, неопределенности вида ¥0 , 00 сводятся  к неопределенности  вида 0×¥.

 

2. Теорема Ферма.

Если функция f (x) непрерывна в промежутке (a, b), в каждой точке внутри этого промежутка имеет производную и в некоторой точке x = c внутри промежутка достигает наибольшего (наименьшего) значения, то          f¢ (c) = 0.

 

3. Теорема Лагранжа (Формула конечных приращений).

Если функция f (x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри [a, b] найдется, по крайней мере, одна такая точка c, a < c < b, что выполняется равенство   

 

f (b)f (a) = f¢ (c)(ba).

 


Если формулу Лагранжа записать в виде:  , где левая часть – тангенс угла наклона секущей, а правая часть – тангенс угла наклона касательной, то получаем геометрический смысл теоремы Лагранжа: найдется такая точка с, в которой касательная будет параллельна секущей.

 

                 Рисунок  1.7.1  


 

Логарифмическое дифференцирование

 

Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые функции.

Составим из них степенно-показательную функцию  y = uv.

Найдем производную у¢ (х) методом логарифмического дифференциро-вания:

1) прологарифмируем равенство  y = uv:  

ln y = ln uv = v× ln u;

2) продифференцируем:

;

3) выразим y¢ :     

y¢uv ( v¢× ln u + v× u¢ / u )v¢× uv ln u + v uv-1× u¢.

Производная функции, заданной неявно

 

Пусть функция   y = j (x) задана неявно, т.е. уравнением:   F(x, y) = 0,  

 

тогда      F¢x (x, y) + F¢y (x, y) y¢ = 0        .     

 

Пример. 

Найти производную неявной функции   x2y + y2x = 27.

Решение.

F(x, y)x2y + y2x – 27 = 0    2xy + y2 + ( x2 + 2xy)y¢ = 0   .         

 

Производная функции, заданной параметрически

Пусть функция  y от x задана параметрическими уравнениями:          

тогда производная параметрически заданной функции находится по формуле

.

Данная формула дает возможность находить производную  от функции, заданной параметрически, не находя выражения непосредственной зависимости  y от x.

 

Пример.

Найти производную параметрически заданной функции:                

Решение. 

х¢ (t) = 2t,    .

 

Дифференциал и его применение в приближенных вычислениях

 

Пусть функция  y = f (x) дифференцируема на отрезке [а, b].

Производная этой функции в некоторой точке х отрезка [а, b] определяется равенством

.

Следовательно,   где   a ® 0   при   Dх ® 0. Умножая все члены последнего равенства на Dх, получим:         

где aDх – б.м. высшего порядка относительно Dх, т.к.

Таким образом, приращение Dу функции состоит из двух слагаемых, из которых первое слагаемое есть так называемая главная часть приращения, линейная относительно Dх.

Определение. Произведение  f¢ (x)Dх называют дифференциалом функции y = f (x) и обозначают через   dy  или  df (x):        dy = f¢ (x)Dх.

 

Найдем дифференциал для функции у = х:  dy = dх = Dх.

Таким образом,  dy = f¢ (x) dх,  откуда следует, что  .

Следовательно, производная f¢ (x) есть отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

Геометрический     смысл    дифференциала:    дифференциал    функции

y = f (x) в данной точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получает приращение Dх.

Поскольку                     

где aDх – б.м. высшего порядка относительно Dх, то

Dу » dy,

или в развернутом виде           

f (x+Dx)f (x) » f¢ (x)Dx,

откуда получаем формулу для приближенного вычисления:

     

f (x+Dx) » f (x) + f¢ (x)Dx.

 

Пример.

Вычислить приближенно  (19.9)2.

Решение.     

 у = х2,   у¢ = 2хх = 20,  Dх = 0.01, x+Dx =19.99.

Используя формулу f (x+Dx) » f (x) + f¢ (x)Dx, получаем:

(19.99)2 » 400+2×20×(0.01)=399.6.

 

Свойства дифференциалов:

1)      d(u+v) = du + dv;        

2)  d(uv) = udv +vdu;         

3)  .

 

Производные и дифференциалы высших порядков

 

Пусть функция  y = f (x) дифференцируема на некотором отрезке [а, b].

Значения производной  f¢ (x), вообще говоря, зависят от х, т.е. f¢ (x) представляет собой тоже функцию от х. Дифференцируя эту функцию, получаем вторую производную от функции f (x).

Определение. Производная от производной называется производной второго порядка или второй производной от первоначальной функции и обозначается через  у¢¢ или  f ¢¢ (x):                    у¢¢ = (у¢ )¢ = f ¢¢ (x).

Определение. Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной от первоначальной функции и обозначается через у¢¢¢ или  f¢¢¢ (x):        у¢¢¢  = (у¢¢ )¢ = f¢¢¢ (x).

Определение. Производной п-го порядка от функции f (x) называется производная   (первого порядка)   от   производной   (п – 1) го   порядка   и обозначается через y(n) или  f (n) (x):                                

y(n) =  (y(n-1))¢ = f (n) (x).

Производные четвертого, пятого и высших порядков обозначаются также с помощью римских цифр:  уIV, уV, уVI, …

Определение. Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом этой функции и обозначается через  d2y:       d(dy) = d2y.

В силу общего определения дифференциала:   d2y =  f¢¢ (x) (dx)2, или в сокращенном виде   d2y =  f¢¢ (x) dx2.

Определение. Дифференциалом третьего порядка или третьим дифференциалом функции называется дифференциал от  её второго дифференциала:  

d3y = d(d2y) = f¢¢¢ (x) dx3.

Определение. Дифференциалом п-го порядка называется первый дифференциал от  дифференциала (п – 1)-го порядка:  

dny = d(dn-1y) = f (n)(x)dxn.

Пользуясь дифференциалами различных порядков, можно выразить производную любого порядка:   .

 

1.8 Исследование функций с помощью производных

 

Условия монотонности функции

 

Теорема 1 (для возрастающей функции).

Если  f (x), имеющая производную на отрезке  [a, b],  возрастает на этом отрезке, то  f¢ (x) ³ 0   на  [a, b].

Если  f (x) непрерывна на   отрезке [a, b]  и дифференцируема в промежутке (a, b), причем  f¢ (x) > 0 на  (a, b), то эта функция возрастает на  отрезке [a, b] .

Теорема 2 (для убывающей функции).

Если f (x), имеющая производную на отрезке  [a, b],  убывает на этом отрезке, то  f¢ (x) £ 0 на  [a, b].

Если f (x)  непрерывна на  отрезке [a, b] и дифференцируема в промежутке (a, b), причем f¢ (x)< 0 на (a, b), то эта функция убывает на отрезке [a, b].

 

Геометрический смысл теорем:

 

на участке возрастания функции касательная образует с осью абсцисс острый угол, тангенс (производная) которого положителен;

на участке убывания функции касательная образует с осью абсцисс тупой угол, тангенс (производная) которого отрицателен.

 

Рисунок 1.8.1

 

Экстремумы функции одной переменной

 

Определение. Функция       f (x)     имеет   максимум     при    х = х1,  если  

f (x1 + Dх) < f (x1) при любых Dх (положительных и отрицательных), достаточно малых по абсолютной величине (т.е. ½Dх½<< 1).

Определение. Функция      f (x)     имеет    минимум   при    х = х2,  если   f (x2 + Dх) > f (x2)  при любых Dх (положительных и отрицательных), достаточно малых по абсолютной величине.


З а м е ч а н и е.

Функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума при значениях  х, заключенных внутри рассматриваемого отрезка.

          Не следует думать, что максимум и минимум функции являются, соответственно, наибольшим и наименьшим значениями на рассматриваемом отрезке.

             Рисунок 1.8.2

 


Определение. Максимумы и минимумы функции называют экстремумами (экстремальными значениями) функции.

Теорема 3  (необходимое условие существования экстремума).

          Если дифференцируемая функция  y = f (x) имеет в точке  х = х1  максимум или минимум, то       f¢ (x1) = 0.

З а м е ч а н и е.

1. Условие теоремы не является достаточным.  (Пример:  y = x3).

2. Экстремум может существовать в точках, где производная не существует (терпит разрыв). (Пример:  у = ½х½,  х = 0).

 

Определение. Значения аргумента, при которых производная обращается в нуль или терпит разрыв, называются критическими точками (критическими значениями).

 

Теорема 4 (первое достаточное условие существования экстремума).

Пусть f (x) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку  х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки х1). Тогда

а) если   f¢ (x) > 0  при  х < х1   и   f¢ (x) < 0   при  х > х1,

    то в точке   х1 функция      имеет  максимум.

б) если   f¢ (x) < при  х < х1   и   f¢ (x) > 0  при  х > х1,

    то в точке   х1 функция     имеет  минимум.

 

Теорема 5 (второе достаточное условие существования экстремума).

Пусть  f¢ (x1) = 0;  f¢¢ (x)  существует и непрерывна в некоторой окрестности точки  х1. Тогда при   х = х1  функция имеет максимум, если        f¢¢ (x1) < 0 , и минимум,   если   f¢¢ (x1) > 0.

 

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

 

Пусть y = f (x) непрерывна на отрезке  [a, b] .

Тогда на этом отрезке функция достигает своего наибольшего (наименьшего) значения либо на одном из концов этого отрезка, либо в такой внутренней точке этого отрезка, которая является максимумом (минимумом).

Из предыдущего вытекает следующее правило нахождения    наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке [a, b]: 

1) найти все максимумы   (минимумы)      на  отрезке;

          2) вычислить  f (a) и  f (b);

          3) из всех полученных выше значений выбрать наибольшее (наименьшее); оно и будет представлять собой наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке.

 

Выпуклость, вогнутость и асимптоты функции

 

Пусть y = f (x) – однозначная дифференцируемая функция.

Определение. Кривая   y = f (x)  обращена выпуклостью вверх  (кривая выпуклая) на интервале (a, b), если все точки кривой лежат ниже любой касательной на этом интервале.

 


Определение. Кривая   y = f (x)  обращена выпуклостью вниз (кривая вогнутая) на интервале (b, с), если все точки кривой лежат выше любой касательной на этом интервале.

             Рисунок 1.8.3


Теорема 6.

Если   " х Î (a, b)    f ¢¢(x) < 0, то кривая    y = f (x)  выпукла на этом интервале.

Теорема 6¢.

Если   " х Î (a, b)    f ¢¢(x) > 0, то кривая    y = f (x)  вогнута на этом интервале.

Определение. Точка, отделяющая  выпуклую  часть  от  вогнутой,  называется точкой перегиба кривой.

З а м е ч а н и е.

В точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую.

 

Теорема 7 (необходимое условие существования точки перегиба).

Если дифференцируемая функция  y = f (x) имеет точку перегиба с абсциссой   x = a, то  f¢¢ (a) = 0.

Теорема 8 (достаточное условие существования точки перегиба).

Пусть кривая определяется уравнением   y = f (x).

Если   f¢¢ (a) =  или   f¢¢ (a)  не существует и при переходе через значение   x = a     f¢¢ (x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой   x = a   есть точка перегиба.

 

Пример.

Исследовать функцию  y = x 3  на выпуклость и вогнутость.

Решение.

Т.к.  y¢¢ = 6х,  то  y¢¢ < 0  при   х < 0;   y¢¢ > 0 при   х > 0.

Следовательно,  при  х < 0  кривая выпукла, при  х > 0  кривая вогнута.

При х = 0 имеется точка перегиба; это точка (0; 0).

 

Асимптоты

 

Определение. Прямая  А  называется асимптотой кривой, если расстояние d от переменной точки  М кривой до этой прямой при удалении точки  М  на бесконечность стремится к нулю.

Различают три вида асимптот: вертикальные, наклонные и горизонтальные.

 

Рисунок 1.8.4

 

1) Вертикальные асимптоты.

Если ,  или  ,   или   , то

прямая  х = а   есть асимптота кривой   y = f (x); верно и обратное утверждение.

 

2) Наклонные асимптоты.

Если существуют пределы         и     , то

прямая   y = kx + b  есть асимптота. Если хотя бы один из пределов не существует, то кривая   y = f (x)  асимптоты не имеет.             

З а м е ч а н и е.

Рассуждения справедливы и для     x ®¥.

 

3) Горизонтальные асимптоты.

Данный вид является частным случаем наклонных асимптот, а именно: если   , то прямая   y = b  есть горизонтальная асимптота.

 

Пример.

Найти асимптоты кривой      .

Решение.

1) вертикальные асимптоты:

    т.к.  у ® + ¥  при  х ® – 0 и  у ® ¥   при  х ® + 0, то  х = 0 – вертикальная    

    асимптота.

 

2) наклонные асимптоты:

    , т.е. k = 2.

    ,  т.е.  b = 4.

Следовательно,   у = 2х + 4   есть  наклонная асимптота данной кривой.

 

Проведем исследование расположения кривой и асимптоты.

Рассмотрим  разность ординат кривой и асимптоты:         

                                           .

Следовательно,  при   х < 0  кривая лежит выше асимптоты, при   х > 0  кривая ниже асимптоты.        

 

Общий план исследования функций и построения графиков

 

Для проведения полного исследования функции необходимо найти:

1) область определения функции и точки разрыва;

2) точки пересечения графика с осями координат;

3) четность, нечетность, периодичность функции;

4) интервалы монотонности, точки экстремума;

5) интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба;

6) асимптоты графика функции;

7) построить график.

 

Пример.

Исследовать функцию  и построить её график.

Решение.

1)   область определения, в неё не  входят точки, при которых знаменатель равен 0, т.е. 1 и 1, эти точки являются точками разрыва функции;

2) точки пересечения графика функции с осями координат:

с   Ох: ;

с Оу: . Таким образом, график пересекает оси координат в начале координат, точке (0; 0);

3) т.к. , то функция нечётная, её график симметричен относительно начала координат;

4) исследуем функцию на монотонность и найдём точки экстремума.

. , критические точки;  не существует при , эти точки не являются критическими, т.к. не принадлежат области определения функции. Результаты исследования сведём в таблицу.

 

Т а б л и ц а 1.8.1

х

0

+

0

0

0

+

0

 

возраст.

max

убыв.

убыв.

нет

экстр

убыв.

убыв.

min

возраст.

 

5) найдём интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

. ,  не существует при , эти точки не могут быть абсциссами точек перегиба, т.к. не принадлежат области определения функции. Результаты исследования сведём в таблицу.

 

Т а б л и ц а 1.8.2

х

0

+

0

+

у

0

 

выпукла

вогнута

перегиб

выпукла

вогнута

 

(0; 0) точка перегиба;

 

6) вычислим односторонние пределы в точках разрыва

             ,  .

Итак, точки 1 и 1 являются точками разрыва второго рода, поэтому прямые  и  будут вертикальными асимптотами.


Найдём наклонную асимптоту        ,

где      ,    

           .

Таким образом,         наклонная асимптота;

7) построим график функции:

 

 

 

 

                                               Рисунок 1.8.5  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Функции нескольких переменных. Интегральное исчисление функции одной и нескольких переменных

 

2.1 Функции нескольких переменных (ФНП)

 

Определение. Если каждой паре (x, y) значений двух, независимых друг от друга, переменных величин  x и  y, из некоторой области их изменения  D, соответствует определенное значение величины  z, то  z есть функция двух независимых переменных  х и у, определенная в области  D.

Обозначение:  z = f (x, y)

Определение. Совокупность пар (х, у),  при которых определяется функция  zf (x, y), называют  областью  определения  этой  функции  (обозначают  D( f )), а совокупность всевозможных значений функции  z  в силу правила   f (x, y), называют областью изменения  функции (обозначают  E( f )).

Если каждую пару значений  x и  y изображать точкой  М(x, y) в плоскости  Оху, то D( f ) – совокупность   точек на плоскости.

В частности, областью определения может быть:

1)  вся плоскость или 2) часть плоскости, ограниченная линией.

 

Примеры.

1.  z = f (x, y) = 2x y .      D( f )= R2   (вся плоскость Оху),  Е( f )= R.

2. ,  E( f ) = [0; 1].

3. Площадь треугольника

              ,  , E( S ) = (0; +∞).

Определение. Если каждой рассматриваемой совокупности значений независимых пе-ременных x, y, z, ..., u, t, из некоторой области их изменения  D, соответствует определенное значение величины  w, то  w  есть функция независимых переменных  x, y, z, ..., u, t, определенная в области  D.

Обозначение:  w = f (x, y, z, ..., u, t).

Так же, как и для функции двух переменных, можно говорить об области определения функции трех, четырех и более переменных.

 

Пример.

,   E(w) = [0; 1].

 

Предел функции нескольких переменных

 

Определение. e - окрестностью точки    М0 (х0, у0) называется совокупность всех точек   М(х, у),  удовлетворяющих неравенству  ½ММ0½< e ,

(где), т.е. совокупность всех точек, лежащих внутри круга радиуса e  с центром в точке М0 (х0, у0).

Определение. Число А  называется пределом  функции f (x, у) при стремлении точки  М(х, у) к точке М0 (х0, у0), если

" e > 0   $ r > 0:   ½f (x, y) A½< e    при   ½ММ0½< r.

Обозначение:  .

Пусть точка М0 (х0, у0) принадлежит области определения функции          f (x, у).

Определение. Функция   z = f (x, у)  называется непрерывной  в точке  М0 (х0, у0), если имеет место равенство       

                                                ,                                          (1)

причем   М(х, у) ® М0 (х0, у0)  произвольным образом, оставаясь в области определения функции.

Если обозначим       х = х0 + Dх,              у = у0 + Dу,

то равенство (1)    Û      Û

                     Û  .

Обозначим ,   Dz = f (х+Dх, у+Dу) – f (x, y ).

Очевидно, что равносильны следующие условия:            

Δх ® 0  и  Δу ® 0      Û     ,

поэтому равенство  (1)    Û   .

Определение. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в области.

Если в некоторой точке   N (х0, у0)   не выполняется условие  (1), то точка

N (х0, у0)  называется точкой разрыва функции  zf (x, у).

 

Частные производные ФНП первого порядка

 

Введем определение и обозначение частного и полного приращения функции z = f (x, у):

Dх z = f (х+Dх, у) f (x, y)  – частное приращение z по х;

Dу z = f (х, у+Dу) f (x, y)  – частное приращение z по у;

Dz = f (х+Dх, у+Dу) f (x, y)  – полное приращение функции.

Аналогичным образом определяются частные и полное приращения функции любого числа переменных.

Определение. Частной производной по  х от функции  z = f (x, у)  называется предел отношения частного приращения  Dх z по х к приращению Dх при стремлении Dх к нулю.

Обозначения:  z¢x , f¢x(x, у), , .

Таким образом, по определению,

.

Определение. Частной производной по  у от функции  z = f (x, у) называется предел отношения частного приращения  Dу z по у к приращению Dу при стремлении Dу к нулю.

Обозначения:  z¢у , f¢у(x, у), , .

Таким образом, по определению,

.

Заметив, что Dх z вычисляется при неизменном у, а Dу z при неизменном х, определения частных производных можно сформулировать так: частной производной по  х от функции  z = f (x, у) называется производная по  х, вычисленная в предположении, что  у – постоянная. Частной производной по  у от функции  z = f (x, у) называется производная по  у, вычисленная в предположении, что  х – постоянная.

 

Пример.

z = x2 sin y,           = 2x sin y        = x2 cos y.

 

Частные производные  для любого числа переменных определяются аналогично.

 

Пример.

 u = x2 + y2 + xtz3,  

= 2x + tz3,            = 2y,             = 3xtz2,             = xz3.

 

Частные производные различных порядков.

Смешанные производные

 

Пусть задана функция двух переменных:  z = f (x, у). Тогда частные производные  ,  являются функциями переменных  x и  у. Поэтому от них снова можно находить частные производные. Следовательно, частных производных второго порядка от функции двух переменных четыре, т.к. каждую из функций   и  можно дифференцировать как по  х, так и по у.

Вторые частные производные обозначают так:  

  ( f дифференцируется последовательно два раза по х);

  ( f сначала дифференцируется по х, а потом результат дифференцируется по  у);

  ( f сначала дифференцируется по у, а потом результат дифференцируется по  х);

  ( f дифференцируется последовательно два раза по у).

Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по х, так и по у. Получим частные производные третьего порядка.

Вообще, частная производная   n-го порядка есть первая производная от производной   (n–1)-го порядка.

Для функции любого числа переменных частные производные высших порядков определяются аналогично.

 

Пример.

Вычислить частные производные второго порядка от функции   .

Решение.

 ,                            ,   

,                            ,        

,     .

 

Теорема.

Если функция   z = f (x,y)  и ее частные производные , ,  и  определены и непрерывны в точке  М(x, у) и в некоторой ее окрестности, то в этой точке         .

Дифференцируемость и полный дифференциал ФНП

 

По определению полного приращения функции z = f (x, у):

 

                                 Dz = f (х+Dх, у+Dу) f (x, y).                                       (2)

 

Предположим, что   f (x, y) в рассматриваемой точке (x, у) имеет непрерывные частные производные.

Выразим Dz  через частные производные. Для этого в правой части равенства (2) прибавим и вычтем f (х, у+Dу):

 

           Dz =[ f (х+Dх, у+Dу) – f (х, у+Dу)] + [f (х, у+Dу) – f (x, у)] .            (3)                      

 

Тогда в силу непрерывности частных производных соотношение (3) принимает вид

Dz = Dх +Dу + g1 Dх + g2 Dу ,

где (g1 Dх + g2 Dу) – б.м. высшего порядка относительно  .

Определение. Функция  z = f (x, у), полное приращение Dz которой в данной точке (x, y) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых: выражения, линейного относительно  Dx  и  Dy, и величины б.м. высшего порядка относительно   Dr , называется дифференцируемой в данной точке, а линейная часть приращения называется полным дифференциалом  и  обозначается  dz  или   df .

По определению имеем

dz = f¢х(x, y)Dх + f¢у(x, y)Dу.

Т.о.,   

Dz = dz + g1 Dх + g2 Dу,

и с точностью до б.м. высшего порядка относительно   Dr  справедливо

приближенное равенство:                Dz » dz .

Определение. Приращения независимых переменных   Dx  и  Dy  называются  дифференциалами  независимых переменных  x и y и  обозначаются   dx  и  dy.

Тогда  выражение полного дифференциала принимает вид

                            dz = dх + dу.

Предыдущие рассуждения и определения соответственным образом обобщаются на функции любого числа переменных.

Если      w = f (x, y, z, u, ..., t) – функция любого числа переменных, причем  все  частные  производные     , , , , ...,      непрерывны

в точке  (x, y, z, u, ..., t), то выражение

dw = dx + dy + dz + du + ... + dt

является главной линейной частью полного приращения функции и называется полным дифференциалом.

 

Применение полного дифференциала для приближенных вычислений

 

Т.к.   Dz = f (х+Dх, у+Dу) f (x, y),   

то                            

f (х+Dх, у+Dу) = f (x, у) + Dz,

но                                

Dz » dzdх + dу,

откуда получаем приближенную формулу:

f (х+Dх, у+Dу)  »  f (x, у) + dх + dу,

верную с точностью до б.м. высшего порядка относительно  Dх  и  Dу .

 

Производная сложной функции

 

Пусть в уравнении  z = F(u, v)    u и v являются функциями независимых переменных  x  и  y:        u = j (x, у),    v = y (x, у).

В этом случае   z  есть сложная функция от аргументов x  и  y, т.е.

z = F [j (x, у), y (x, у)] .

Предположим, что функции F(u, v), j (x, у), y (x, у) имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам.    

Тогда    частные производные функции  z  по переменным  x  и  y вычисляются следующим образом:

 

= + ,          = + .

      

Для случая большего числа переменных данные формулы естественным образом обобщаются.

Например, если  w = F(z, u, v, s), где   z, u, v, s  зависят от  х и  у, то

 

= ++ +;

= ++ +.

Если   задана функция  z = F(x, y, u, v) , где   y, u, v   зависят от х:

у = f (x),    u = j (x),    v = y (x),

то, по сути дела, z является функцией только одного аргумента х и можно ставить вопрос о нахождении производной   .

Эта производная вычисляется следующим образом:

=  ++ + ,

но т.к.  y, u, v – функции только одного х, то частные производные обращаются в обыкновенные; кроме того, = 1; поэтому

=  ++ + .

 

Эта формула носит название формулы для вычисления  полной производной .

 

Пример.

z = x2 + y2,     y = sin x,  

= 2x,        = 2y,           = cos x,

= 2x +  2y cos x = 2x +  2 sin x cos x = 2x +  sin 2x.

 

Производная от функции, заданной неявно

 

Рассмотрим неявную функцию одного переменного, т.е. пусть некоторая функция  у от  х  определяется уравнением          F(x, у)= 0 .

Теорема.

Пусть непрерывная функция   у от  х  задается неявно:      

                                                F(x, у) = 0,                                                       (4)

где   F(x, у), F¢х (x, у), F¢у (x, у) – непрерывные функции в некоторой области  D,   содержащей точку  (x, у),  координаты которой удовлетворяют уравнению  (4); кроме того, в этой точке F¢у (x, у) ¹ 0.

Тогда функция  у от  х  имеет производную

.

 

Рассмотрим  теперь уравнение вида              F(x, y, z) = 0 .                        (5)

Найдем    z¢х   и   z¢у    неявной функции   z  от  х  и  у, определяемое уравнением  (5).

Когда ищем   , считаем   у  постоянным, поэтому

 ( по теореме для функции   z   с независимой переменной  х).

Аналогично,

.

 

Предполагается, что  F¢z ¹ 0 .

Аналогичным образом  определяются неявные функции любого числа переменных и находятся их частные производные.

 

Пример.

х2 + у2 + z2 R2 = 0,      F(x, y, z)= х2 + у2 + z2 R2,

F¢х (x, y, z) = 2х ,           F¢у (x, y, z) = 2у               F¢z (x, y, z) = 2z ,

,             .

 

Экстремум функции двух переменных

 

Определение. Функция   z = f (x, у) имеет максимум в точке  М0 (х0, у0), если  f (х0, у0) > f (x, у) для всех точек (x, у), достаточно близких к точке  (х0, у0)  и отличных от нее.

Определение. Функция   z = f (x, у) имеет минимум в точке   М0 (х0, у0), если  f (х0, у0) < f (x, у) для всех точек (x, у), достаточно близких к точке  (х0, у0)  и отличных от нее.

Определение. Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

 

Пример.

Функция    z = (x 1)2 + (y – 2)2 – 1   достигает минимума  в точке   (1, 2).  

 fmin (1, 2) = –1   (т.к. (x 1)2 + (y – 2)2 – 1 > – 1  при  х ≠ 1, у ≠ 2).

 

Данное выше определение максимума и минимума функции можно перефразировать следующим образом.

Положим      x = x0 + D x ,     y = y0 + D y ,

тогда                   f (x, у) – f (х0, у0) = f (x0+D x, y0+D y) f (х0, у0) = D f.

1) Если D f < 0  при всех достаточно малых приращений независимых переменных, то функция  f (x, у) достигает максимума в точке   М0 (х0, у0).

2) Если D f > 0  при всех достаточно малых приращений независимых переменных, то функция  f (x, у) достигает минимума в точке   М0 (х0, у0).

Эти формулировки переносятся на функции любого числа переменных.

 

Теорема 1 (необходимые условия экстремума ФДП).

Если функция   z = f (x, у) достигает экстремума при  x = x0 ,  y =  y0 , то каждая частная производная первого порядка от   z  или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.

Теорема не является достаточной.

 

Пример.

 z = x2 y2,   z¢x = 2x  z¢y = –2y,      z¢x = z¢y = 0    при  х = 0 ,  у = 0 .

Но в точке  (0, 0) функция  z  не имеет ни максимума, ни минимума.

 

Определение. Точки, в которых   z¢x = 0  (или не существует)  и   z¢y = 0  (или не существует), называются критическими точками  функции   z = f (x, у).

 

Теорема 2 (достаточное условие экстремума  ФДП).

Пусть в некоторой области, содержащей точку   М0 (х0, у0), функция        f (x, у) имеет непрерывные частные производные до  3-го порядка включительно; пусть точка   М0 (х0, у0) является критической точкой  функции  f (x, у),  т.е.      f¢x (х0, у0) = 0,   f¢у (х0, у0) = 0.

Тогда при   x = x0,  у = y0:

1)   f (x, у) имеет максимум, если

   и   ;

 

2)   f (x, у) имеет минимум, если

   и   ;

 

3)   f (x, у) не имеет ни максимума, ни  минимума, если

;

 

4) если    ,

то экстремум может быть и может не быть (в этом случае требуется  дальнейшее  исследование).

 

На практике для проверки критической точки на экстремум удобно применять следующие обозначения:

 ;            ; ;              .

Если , то М0 (х0, у0) точка минимума; если , то М0 (х0, у0)  точка максимума; если  , то в точке М0 (х0, у0) нет экстремума; если , то нужны дополнительные исследования.

 

Пример.

Исследовать на максимум и минимум функцию 

                                         z = x2 xy + y2 + 3x 2y +1.

Решение.

1)     находим критические точки:     

                z¢x = 2х у + 3 ,        z¢y = – х +2у 2 .

Решая систему уравнений  ,  получаем:            

2) находим производные второго порядка в критической точке     и определяем характер критической точки:

  ,       ,        ,

           .

Следовательно, в точке  данная функция имеет минимум, а именно,    

 

2.2 Первообразная и неопределенный интеграл

 

Определение. Функция F(x) – называется первообразной от функции      f (x) на [a, b], если     F ¢(x) = f (x)    " xÎ[a, b] .

 

Пример.

 f (x) = х2        – частные случаи общего вида первообразной:       (C const).

Теорема.  

Если F1(x), F2(x) – первообразные  от  f (x) на [a, b], то

F1(x) – F2(x) = С,   (Cconst ).

 

Определение. Если F(x) – первообразная для f (x), то выражение F(x) + С  называется  неопределенным интегралом  от   функции f (x) и обозначается    .

Таким образом, по определению,

     если  F ¢(x) = f (x).

При этом  f (x)   – подынтегральная функция,  f (x)dx – подынтегральное выражение,  –  знак интеграла.

 

Таким образом, неопределенный интеграл  – семейство функций  y = F(x) + C.

 

Для всякой ли функции  f (x) существуют первообразные?

З а м е ч а н и е.

Если функция  f (x) непрерывна на [a, b], то для этой функции существует первообразная (а значит, и неопределенный интеграл).

Определение. Нахождение первообразной для данной функции f (x) называется интегрированием  функции f (x).

 

Свойства неопределенного интеграла


1. .

2. .

3.  .

4. 

5. ,       aconst .

Если    , то

6.

7.

8.


 

Таблица интегралов

 

Т а б л и ц а 2.2.1

1

,    (a ¹  -1)

11

2

                         

11¢

3

12

 

4

13

5

13¢ 

6

14

7

15

8

16

9

17

10

18


 

Методы интегрирования

 

1)     Непосредственное интегрирование.

Интегрирование с применением таблицы интегралов.

 

2)     Внесение функции под знак дифференциала.

Для функции  у = f (x)  справедлива формула  dy = y' dx. Использование этой формулы слева направо позволяет вынести функцию из-под знака дифференциала, справа налево – внести функцию под знак дифференциала:

                     →        – вынесение (дифференцирование);       

            dy = y' dx  

                      ←        внесение (интегрирование).

Пример.   

.

 

3)     Замена переменной или способ подстановки.

Интеграл можно упростить, введя новую переменную t в виде  замены  x = j (t) или  t = ψ(x).                              

Тогда          

или       .

 

Пример.

= =.

 

4)     Интегрирование по частям.

Пусть  u = и(х),  v = v (х)  – две дифференцируемые функции от х.  

Тогда т.к.  d (uv) = u dv + v du , то   u dv = d (uv) - v du.

Интегрируя, получаем:    .  

Данный способ применяется при вычислении интегралов типа:

                  

             

 

Пример.                   

           

 

 

2.3 Интегрирование рациональных, иррациональных, тригонометрических функций

 

Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен

Рассмотрим интегралы   , ,   

                                     ,.

         

          1) С помощью выделения полного квадрата

получаем   ,      где    .

( Знак «+» берется, если ; знак «–»  –  если  ).

Таким образом, (после замены переменной: ). .

Это табличные интегралы (см. формулы 11´, 12)

 

2)     Проведем тождественное преобразование подынтегральной функции:

 

   =.

 

3) Аналогично п.1), после выделения полного квадрата получим     

.

Далее проводим преобразования в зависимости от числа а.

а < 0:           (см. формулу 13´).

а > 0:       (см. формулу 14).

 

4) Проведем преобразование, аналогично п.2): 

.

 

Разложение правильной дробно-рациональной функции на простейшие дроби

Определение. Функция вида  называется дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью).

При этом если m < n, то  рациональная дробь правильная; если m > n  – рациональная дробь неправильная.

Неправильную дробь всегда можно представить в виде:               

,

где  M(x) – многочлен,    – правильная дробь.

Среди правильных дробей различают четыре типа простейших дробей:

;     

;      

;       

,

где действительные числа;

  натуральное число.

Квадратный трёхчлен  не имеет действительных корней.

 

З а м е ч а н и е.

Любую правильную дробь  можно разложить в сумму простейших дробей. При этом вид разложения определяется корнями знаменателя  f (x).

 

1 случай. Корни знаменателя действительны и различны, т.е.

,

тогда    ,

где A, B, …, D – неопределенные коэффициенты.

 

2 случай. Корни знаменателя действительны, причем некоторые из них кратные:                              ,

тогда          

                                      ,                                     (*)

где   Ai, Bi, …, Di  – неопределенные коэффициенты.

 

3 случай. Среди корней знаменателя есть комплексные различные:

,

тогда    ,

где  Р, Q, …, S  – неопределенные коэффициенты.

 

4 случай. Среди корней знаменателя есть комплексные кратные:

,

тогда                       

,

где  Pi, Qi, …, Si  – неопределенные коэффициенты.

 

З а м е ч а н и е.

Неопределённые коэффициенты   вычисляются следующим образом: приводим к общему знаменателю сумму дробей в правой части равенства и приравниваем числители. Далее составляем систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов одним из двух способов:

1 способ: приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях  х  в левой и правой частях последнего тождества;

2 способ: придавая переменной  х  в этом тождестве произвольные числовые значения.

 

Интегрирование правильной дробно-рациональной функции

Т.к. любая правильная дробь  раскладывается в сумму простейших дробей, то ее интегрирование сводится к интегрированию простейших дробей:     

;

;              

;

    (см. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен)

 с помощью тождественных преобразований, используемых при вычислении I2, сводится к табличным интегралам типа 1 и 11′ (см.[4], с.353).

 

Интегрирование неправильной дробно-рациональной функции сводится к интегрированию многочлена и нескольких простейших дробей.

 

Интегрирование функций, содержащих иррациональные выражения

 

Интеграл вида приводится к табличному с помощью подстановки: .

Интегралы вида 

;

 

приводятся к табличным с помощью соответствующих тригонометрических подстановок:

1) x = a sin t

2) x = a tg t

3) .

 

Интегрирование тригонометрических функций

 

1.Универсальная подстановка

Интегралы вида , где R рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной

подстановки   , при этом:

                     

Универсальная подстановка часто приводит к громоздким выкладкам, поэтому её надо применять в случаях, если нельзя найти более лёгкий способ определения интеграла.

2. Интегралы вида:     .

Возможны два случая:

1) если хотя бы одно из (m, n)   нечетное, например,   п = 2р +1, тогда

,

т.е. после замены    получаем интеграл от многочлена.

2)  если оба значения т и  п – четные, т.е. т = 2рп = 2q, тогда путём понижения степени по формулам:     получим интеграл  , содержащий в себе  в четных и нечетных степенях. Члены с нечетными степенями интегрируются, как указано  в случае 1). Четные показатели степеней снова понижаем по указанным формулам. Продолжая так, дойдем до членов вида , которые легко интегрируются.

 

3. Интегралы вида:

, , .

Интегралы данного вида можно вычислить путём разложения на слагаемые по формулам:          

.

 

2.4 Определённый интеграл, основные свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Методы подстановки. Интегрирование по частям

 

Интегральные суммы

 

Пусть   y = f (x)  –  непрерывная функция на [a, b]; т, М – наименьшее  и

наибольшее значения функции на [a, b].

Разобьем [a, b] на  п частей:      a = х0 < х1 < х2 << хп = b.

Положим  х1 –  х0 = D х1,   х2 –  х1 = D х2, …,  хп –  хп-1 = D хп .

Обозначим наибольшее и наименьшее значения   f (x) на [х0, х1]  через  т1  и  М1 ,  на [х1, х2]  через  т2  и  М2 ,…, на [хп-1, хп]  через  тп  и  Мп .

Составим  интегральные суммы:

1) нижняя интегральная сумма

;

2) верхняя интегральная сумма

;

Свойства  верхней и нижней интегральных сумм:

          а)      ;                                    

          б)   ;                                                                

          в)   ;                                                            

          г)  .                                                    

 

Определенный интеграл

 

Возьмем точки    x1 , x2 , …, xп :      х0 <  x1 < х1 ,       х1 <  x2 < х2 ,    …,      хп-1 < xп < хп .

Каждой точке   xi    сопоставим значение   f (xi).

Составим  интегральную сумму для   f (x)  на [a, b]:

.

Т.к.     mi  £  f (xi ) £  Mi  "xi Î [xi-1, xi]   (),

то     mi Dxi  £  f (xi )Dxi  £  Mi Dxi  следовательно, .

Пусть  max Dxi наибольшая  из длин отрезков  [x0 , x1],   [x1 , x2],  …,   [xп-1 , xп].

Заметим, что если  max Dxi  ® 0, то п ® ¥.

Определение. Если при любых разбиениях отрезка   [a, b]  таких, что max Dxi  ® 0 , и при любом выборе точек xi на отрезках  [xi-1, xi] интегральная сумма

стремится к одному и тому же пределу s , то этот предел называют определенным интегралом от функции   f (x) на отрезке [a, b]  и обозначают

.

Таким образом, по определению, ,

где  a – нижний предел интеграла, b – верхний предел интеграла,

[a, b]  – отрезок интегрирования, х  – переменная интегрирования.

Если для функции  f (x) выше указанный предел существует, то функцию называют интегрируемой на отрезке [a, b].

 

З а м е ч а н и е. 

Т.к. ,– частные случаи интегральной суммы sп, то  ,  ® s, поэтому

                  и            .

 

Геометрический смысл определенного интеграла (в случае f (x) ³ 0):

определенный интеграл     численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой   y = f (x), прямыми  x = a, x = b и осью Ох.

             

Основные свойства определенного интеграла:                                                                                                                          

1) ;

2)     ;          

3)     ;

4)  ,      А = const;

5)  ;

6)            "  a, b, c Î R,

если только все эти три интеграла существуют;

7)  если f (x) £ j (x) на отрезке [a, b]  (a < b), то  ;

8)  если  т и М наименьшее  и наибольшее значения функции  f (x) на [a, b]  и  a £ b , то    ;  (см. рисунок 2.4.1)

 

                               

                           Рисунок 2.4.1                                       Рисунок 2.4.2                                               

                                       

 

9)  (Теорема о среднем)

Если   f (x) непрерывная функция на [a, b], то   $сÎ [a, b]:

                                   .  

При этом  f (с) называется средним значением функции на  отрезке  [a, b].   (см. рисунок 2.4.2)    

10) , если   нечётная функция;  

                 ,  если   чётная функция.

 

Вычисление определенного интеграла

 

1.     Формула  Ньютона-Лейбница

Пусть   f (x)  –  непрерывная функция на [a, b].

Рассмотрим интеграл  ,

где нижний предел  а закреплен, верхний предел  х  меняется,

т.е. интеграл   является функцией от верхнего предела.

Поэтому   называют интегралом с переменным верхним пределом. (Геометрически Ф(х) представляет площадь криволинейной трапеции с изменяющейся правой границей.)

 

Теорема 1.

Если   f (x)  – непрерывная функция и ,

то имеет место равенство   Ф¢(х) = f (x), т.е. производная от определенного интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела.

 

З а м е ч а н и е.

Из Теоремы 1 следует, что всякая непрерывная функция имеет первообразную.

 

Теорема 2.

Если  F(x) есть какая-либо первообразная от непрерывной функции         f (x), то справедлива формула

.

      

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

 

Сокращенная запись:        ,

где .

Пример.     

.

           

2.     Замена переменной в определенном интеграле

Теорема 3.

Пусть   дан   интеграл

где   f (x)  –  непрерывная функция на  [a, b]. Введем новую переменную t, связанную со старой переменной соотношением  x = j (t). Если  выполняются условия:

1) j (a) = а , j (b) = b;

  2) j (t)  и j¢ (t)  непрерывны на [a, b];

  3) f [j (t)]  определена и непрерывна на  [a, b]

то      .                                                     

 

Пример. 

.

 

3.     Интегрирование по частям в определенном интеграле

 

Пусть u и v дифференцируемые функции от x. Тогда   

 (uv)¢ = u¢v + uv¢.

Интегрируя обе части тождества, получим:

.

Т.к.    , то  ;

следовательно,    

или окончательно     .                                                           

Пример.     

.

 

2.5 Несобственные интегралы

 

При определении интеграла  предполагалось, что:

1) отрезок интегрирования [a, b] конечен;

2) f (x) непрерывная функция на [a, b].

Если нарушено условие 1), то интеграл называется несобственным интегралом первого рода (интегралом с бесконечными пределами).

Если нарушено условие 2), то интеграл называется несобственным интегралом второго рода (интегралом от неограниченной функции).

 

1) Интегралы с бесконечными пределами

           Пусть f (х) – непрерывная функция при .

Рассмотрим  интеграл  . При изменении b изменяется и сам интеграл, т.е.  он является функцией от b. Что произойдет, если  b ® +¥ ?

Определение. Если существует конечный предел     , то этот предел называют  несобственным интегралом  первого рода от функции   f (х) на  [а, +¥и обозначают   .

Следовательно, по определению, имеем    .

Говорят, что в этом случае несобственный интеграл    существует или сходится.

Если  при  b ® +¥ не имеет конечного предела,

то    не существует или расходится.

Аналогично определяются несобственные интегралы других бесконечных интервалов:

;

.

Пример.

.

При вычислении несобственных интегралов можно применять сокращенный вид записи:

 ,

где F(x) – первообразная для  f (x).

 

2)     Интегралы от неограниченных функций

          Пусть f (х) – непрерывная функция  при ,

а) если при  х = с функция  f (х)  либо не определена, либо терпит разрыв, то интеграл             

называется несобственным интегралом  второго рода, который в зависимости от существования предела может сходиться или расходиться;

 

б) если при  х = а функция  f (x) либо не определена, либо терпит разрыв, то интеграл                            

называется несобственным интегралом  второго рода, который в зависимости от существования предела может сходиться или расходиться;

 

в) если при   х = х0 Î [а, с]  функция  f (x)  терпит  разрыв, то несобственный интеграл второго рода в этом случае определяется следующим образом:

.

 

З а м е ч а н и е.

Если  аi – точки разрыва функция  f (x):

a < a1 < a2 < …< an< b,

то    ,

при этом:

а) если все слагаемые – сходящиеся несобственные интегралы, то  несобственный интеграл    сходится;

б) если хотя бы один из интегралов расходится, то несобственный интеграл     расходится.

Примеры:   

1) ;

2).

 

Если бы мы не обратили внимания на разрыв, то получили бы неверный результат:     

.

 

 

 

2.6 Двойные интегралы

 

Рассмотрим в плоскости  Oxy  замкнутую область D , ограниченную линией L.

Пусть в области  D  задана непрерывная функция  z = f (x, y).

Разобьем область D  произвольным образом на п частей:

D s1 , D s2 , D s3 , …, D sп .

Каждую часть (площадку) отождествим с ее площадью.

Выберем в каждой площадке произвольную точку  Рi Î D si  (), и сопоставим ей  значение  f (Pi).

Составим сумму:     .                                             

Эта сумма называется интегральной суммой для функции f (x, y) в области D.

Если  f  ³ 0 в области D , то геометрически каждое слагаемое  f (Pi) D si можно представить как объем малого цилиндра, высота которого есть f (Pi), а основание  D si.

Таким образом,  Vn –  объем «ступенчатого» тела. Предположим, что    diam Dsi ® 0  при  n ® ¥. Тогда справедлива следующая теорема.

 

Теорема 1.

Если функция  f (x, y) непрерывна в замкнутой области   D , то           

.

Этот предел не зависит ни от способа разбиения области D на Dsi , ни от выбора точки Рi Î D si.       

Этот предел называется двойным интегралом от функции   f (x, yв области D и обозначается:        или    .

Таким образом,       ,  

где D – область интегрирования.

 

Геометрический смысл двойного интеграла (в случае f (x, y) ³ 0):   двойной интеграл   равен объему тела V, ограниченного  поверхностью z = f (x, y), плоскостью z = 0  и цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси  Оz и направляющей  L .

 

Свойства двойного интеграла:

 

1) ;

2) ,     С  = const;

3)  Если  D  разбита на  D1  и  D2 без общих внутренних точек, то  

    .

 

Вычисление двойных интегралов

Пусть D  - замкнутая область в плоскости  Oxy.

Определение. Область D называется правильной в направлении оси Oy (Ox), если всякая прямая l, параллельная оси Oy (Ox) и проходящая через внутреннюю точку D, пересекает границу области в двух точках, т.е. .                                                                                                    

 

Таким образом,

D – правильная область в направлении оси  Оу,

если  D  ограничена  линиями:    y = j 1(x),    y = j 2(x),    x = a,    x =b,     причем

j 1(x) £ j 2(x),      a < b,

j 1(x), j 2(x) – непрерывны на [a, b] (см. рисунок 2.6.1.);

 

D – правильная область в направлении оси  Ох,

если  D  ограничена  линиями:    х = y 1(у),     х = y 2(у),    y = с  у = d,    причем

y 1(у) £ y 2(у),      с < d,

y 1(у), y 2(у) – непрерывны на [с, d] (см. рисунок 2.6.2.).

 

            Рисунок 2.6.1                                       Рисунок 2.6.2

 

Определение. Правильной областью называется область, правильная как в направлении оси Ох, так и в направлении оси Оу.

 

Пусть f (x, y)  непрерывна в  D.

Определение. Выражение   назовем двукратным интегралом от  функции   f (x, y)  по области  D.

Т.е.            , где  .             

Свойства двукратного интеграла:

1) Если правильную в направлении оси Оу область D разбить на две области Dи D2  прямой, параллельной оси Оу или Ох, то  .

Следствие.     

.

2) (оценка двукратного интеграла)

Если   m – наименьшее,   M – наибольшее значения функции  f (x, y) в  DS – площадь области  D, то      .

3) (теорема о среднем)

Существует точка  Р ÎD такая, что   .

 

Теорема 2. (Вычисление двойных интегралов)

Если   f (x, y) – непрерывная функция,  D – правильная область в направлении Оу, то      ;

если   D – правильная область в направлении Ох, то

.

З а м е ч а н и е.

а) Правые части представленных формул являются двукратными или повторными интегралами. Переход от одной формулы к другой называется изменением порядка интегрирования.

б) Если область D не является правильной, то необходимо для начала разбить ее на конечное множество правильных областей.

Пример.

Изменить порядок интегрирования в интеграле                                


                        .

Решение.    Þ

Þ                х = у,  х = у2  Þ                              

Þ         .                   

       Рисунок 2.6.3


 

 

Замена переменных в двойных интегралах

 

Пусть в плоскости Оху дана область D, ограниченная линией L.

Предположим, что координаты  х и у  являются функциями новых переменных  u и v:   x = х (u, v),   y = у (u, v),             

причем х(u, v), у(u, v) – однозначны, непрерывны и имеют непрерывные производные в некоторой области  D¢ , т.е. установлено взаимно однозначное соответствие между областями D и D¢ :  Р(x, y) «  Р¢ (u, v),

где  u, v – криволинейные координаты точки Р.

Введем обозначение:         

– функциональный определитель (якобиан) функций  х(u, v), у(u, v).

Тогда  формула замены переменных в двойном интеграле имеет вид:                          

                  

.

 

З а м е ч а н и е.

Частным случаем замены переменных в двойном интеграле является переход к полярным координатам.

 

Полярные координаты 

 

Положение точки  на плоскости определяется двумя полярными координатами  r и j , которые связаны с прямоугольными координатами х и у следующими формулами:  


                 x = r cosj ;   

                 y = r sinj,    где  0 £ j < 2p .

        

                                                   

                   .

 

 

     Рисунок 2.6.4


Следовательно, формула замены переменных принимает вид:

 

.

 

При этом, если область D соответствует рисунку 2.6.5, то                                   

;

если область D соответствует рисунку 2.6.6, то

.

         

             Рисунок 2.6.5                             Рисунок 2.6.6

 

 

2.7 Тройные интегралы

 

Пусть f (x, y, z) – непрерывная функция, определенная в трехмерной области V, ограниченной замкнутой поверхностью S.

Разобьем область V  произвольным образом на п элементарных областей:

Dv1 , Dv2 , Dv3 , …, Dvп .

Каждую область отождествим с ее объемом.

Выберем в каждой области произвольную точку  РiÎ D v i () и сопоставим ей  значение  f (Pi).

Составим сумму:     .                                             

Эта сумма называется интегральной суммой для функции f (x, y, z) в области V.

Предположим, что    diam D vi ® 0 при  n ® ¥. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 1.

Если функция  f (x, y, z) непрерывна в замкнутой области   V,

то       .

Этот предел не зависит ни от способа разбиения области   V  на D vi , ни от выбора Рi Î D vi.       

Этот предел называется тройным интегралом от функции   f (x, y, z) в области V  и обозначается:               или      .      

 

Физический смысл тройного интеграла:

если  f  ³ 0  в области  V, то можно считать, что   f (x, y, z) – плотность распределения некоторого вещества в области  V. Тогда  тройной интеграл численно равен массе вещества, заключенного в области V.

Вычисление тройных интегралов  

 

Пусть V  - область в пространстве, ограниченная замкнутой поверхностью S.

Определение. Область V  называется   правильной (трехмерной) областью, если:

1)  всякая   прямая   l,   параллельная   оси   Oz    и     проходящая    через внутреннюю точку  V,  пересекает границу области в двух точках, т.е. ;      

2)  вся  V   проектируется на  Oxy  в правильную (двумерную) область D;

3) всякая  часть  области   V , отсеченная плоскостью, параллельной любой    из  координатных  плоскостей (Оху, Оxz, Oyz), также  обладает  свойствами 1) и 2).

 

Таким образом,

V – правильная область, если  V  ограничена снизу и сверху двумя поверхностями, заданными соответственно уравнениями 

z = y1(x, y),      z = y2(x, y).

Введем понятие трехкратного интеграла.


Пусть D – проекция области V на плоскость Oxy, ограниченная линиями:    y = j 1(x),  y = j 2(x);  

          x = a,   x =b; 

                   j 1(x) £ j 2(x),      a < b.

Тогда трехкратный интеграл от функции  f (x, y, z) по области V  определяется так:    

.

 

 


 

Рисунок 2.7.1


Свойства трехкратного интеграла:

1) Если  область V разбить на области V1 ,V2  плоскостью, параллельной какой-либо из координатных плоскостей, то      .

Следствие.   

.

2) (оценка трехкратного интеграла)

Если m – наименьшее,  M – наибольшее значения функции  f (x, y, z) в  области VV – объем области V, то         

.

3) (теорема о среднем)

Существует точка  Р Î V такая, что

.

 

Теорема 2.

Если   f (x, y, z) – непрерывная функция, V – правильная

область, то           .


 

Пример.

Вычислить трехкратный интеграл от функции   f (x, y, z) = xyz по области  V, ограниченной плоскостями  x = 0,  y = 0, z = 0,   x + y + z  = 1.

Решение.

Данная область V (пирамида) является правильной.


Поэтому, применяя вышеуказанную формулу:

– интегрирование по x производится

          от точки  x = 0 до точки x = 1;

– интегрирование по y производится

          от линии  y = 0 до линии  y = 1 – х;

– интегрирование по z производится

          от поверхности   z =

          до поверхности   z = 1 хy.

     

    Рисунок 2.7.2


 

Таким образом,

 

     

 

    .

 

 

Замена переменных в тройных интегралах

 

Пусть V  – замкнутая область в пространстве.

Предположим, что координаты  х, у и  z являются функциями новых переменных  u, t, w:      x = х(u, t, w),       y = у(u, t, w),       z = z(u, t, w),

причем  х(u, t, w), у(u, t, w), z(u, t, w) однозначны, непрерывны и имеют непрерывные производные  в некоторой области  V¢, т.е. установлено взаимно однозначное соответствие между областями V¢и V¢ :  Р(x, y, z) «  Р¢ (u, t, w),

где  u, t, w – криволинейные координаты точки Р.

Введем обозначение:

      


 

 

 

 

функциональный определитель 

   (якобиан) функций

    x = х(u, t, w), y = у(u, t, w), z = z(u, t, w).


Тогда  формула замены переменных в тройном интеграле имеет вид:

 

.

 

З а м е ч а н и е.

Частным случаем замены переменных в тройном интеграле является переход к сферическим или цилиндрическим координатам.

 

Сферические координаты

 


Положение точки в пространстве определяется тремя сферическими координатами  r, j , q , которые связаны с прямоугольными координатами   х, у, z следующими формулами:     

          x = r sin j cos q

          y = r sin j sin q ;                

z = r cos j  ,

где 0 £ r < ¥ ,  0 £ j £ p , 0 £ q < 2p .

 

         Рисунок 2.7.3


.

 

Следовательно, формула замены переменных принимает вид:

.

 

Цилиндрические координаты

 

Положение точки в пространстве определяется тремя цилиндрическими координатами  r, q,  z,  которые связаны с прямоугольными координатами  х, у, z следующими формулами:   


x = r cosq,

y = r sinq,

          z = z,           где 0 £ r < ¥ , 0 £ q < 2p.

  

            .

 

          Рисунок 2.7.4  


                                      

Следовательно, формула замены переменных принимает вид:

.

Пример.

Вычислить  , где V полушар радиуса R с центром в начале координат О.


Решение.

Данная область V  ограничена

снизу поверхностью z = 0,

а сверху – поверхностью

 (в цилиндрических координатах  ).

 

Следовательно,

             Рисунок 2.7.5


 

.

 

 

3 Дифференциальные уравнения. Ряды

 

3.1  Дифференциальные уравнения, основные понятия

 

Определение. Дифференциальным уравнением (Д.У.) называется уравнение, связывающее  независимую  переменную   х, искомую  функцию   y = f (x)  и ее производные   y¢, y¢¢, …, y(n):   

                                                   F (x, y, y¢, y¢¢, …, y(n)) = 0.                                     (1)

                                                                                                                 Если это уравнение можно разрешить относительно п-ой производной, то его можно записать в виде       

    y(n) = f (x, y, y¢, y¢¢, …, y(n-1)).                                 (1¢)

 

Определение. Порядком Д.У. называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Определение. Д.У. (1) называется линейным,  если  левая  часть его есть многочлен первой степени относительно  y, y¢, y¢¢, …, y(n) (и не содержит их произведений), т.е.                          

                                               a0(x)y(n)+ a1(x)y(n-1)+…+ an(x)y = f (x) ,                          (2)  

                                                

где  a0(x), a1(x), …, an(x) – коэффициенты уравнения (определены и непрерывны в некотором интервале);

f (x) – правая часть (свободный член) уравнения.

Уравнение (2) называется однородным (без правой части), если  f (x) = 0.

Уравнение   (2)   называется   неоднородным   (с правой частью),     если  

f (x) ¹ 0. 

Определение. Решением или интегралом Д.У. называется всякая функция    y = j (x), которая, будучи подставлена в уравнение  (1), превращает его в тождество.

Решить, или проинтегрировать, данное Д.У. означает найти все его решения в заданной области.

График решения называется интегральной кривой.

 

Определение. Общим решением Д.У. (1) называется такое его решение:  

у = j ( х, С1, С2, …, Сп ),

которое содержит столько независимых произвольных постоянных   С1, С2, …, Сп , каков порядок этого уравнения.

Если общее решение задано в неявном виде   Ф(х, у, С1, С2, …, Сп ) = 0, то оно называется общим интегралом.

Определение. Всякое решение Д.У., которое получается из общего решения, если приписать определенные значения произвольным постоянным, в него входящим, называется частным решением этого Д.У. ,    

у = j ( х, С1, С2, …, Сп ),

и, соответственно,  Ф(х, у, С1, С2, …, Сп ) = 0, называется частным интегралом.

При заданных начальных условиях при  х = х0: 

     (н.у.)

постоянные           С1,  С2,  …,  Сп        можно    подобрать    так,   что    функция

у = j ( х, С1, С2, …, Сп ), являющаяся решением уравнения (1), будет удовлетворять этим условиям. Таким образом, введем новое понятие:

 

Задача Коши (начальная задача)

 

Найти решение   y = j (x)  Д.У. (1), удовлетворяющее начальному условию (н.у.).

Теорема 1.

Если в уравнении 

y(n) = f (x, y, y¢, y¢¢, …, y(n-1))

 

функция    f (x, y, y¢, y¢¢, …, y(n-1))   и  ее  частные  производные  по аргументам y, y¢, y¢¢, …, y(n-1) непрерывны в некоторой области, содержащей значения                              

х = х0y = у0y¢ = у¢0, ,

то существует и при том единственное решение  y = j (x) задачи Коши.  

Пример. 

Решениями уравнения   у¢¢  + у = 0 являются:   

общее решение:   y = C1 sin x + C2 cos x;     

частное решение:    y = 2 sin x + 5 cos x,

которое является решением следующей задачи Коши: 

 

3.2 Дифференциальные уравнения 1-го порядка

 

Д.У. 1-го порядка имеет вид:           

                                                 F(x, y, y¢ ) = 0,                                             (3)

или если уравнение разрешено относительно производной, то

                                                                y¢ = f (x, y).                                              (3¢)

Общее решение   y = j (x, C)  зависит от одного произвольного постоянного С.                                                          

Теорема 2. (о существовании и единственности решения Д.У.).

Если в уравнении    y¢ = f (x, y)   функция f (x, y) и ее частная производная  fy (x, y) непрерывны в некоторой области D, содержащей некоторую точку (x0, y0), то  существует единственное решение этого уравнения  у =j (х), удовлетворяющее начальному условию: j (x0) = у0.

Геометрический  смысл  теоремы:   существует   единственная  функция

 у =j (х), график которой проходит через точку (x0, y0).

 

Рассмотрим основные виды Д.У. 1-го порядка.

 

1) Уравнения с разделяющимися и разделенными переменными

Определение. Д.У. вида                            

          M (x) dx + N (y)dy = 0                                             (4)

называют уравнением с разделенными переменными.

Общий интеграл его есть

.

 

а) Д.У.  вида                          y¢ = f (x)g(y)                                                    (5)

можно привести к уравнению с разделенными переменными:                     

,

(предполагая, что g(y) ¹ 0).

Интегрируя, находим обший интеграл уравнения (5):                                

.

б) Д.У. вида          M1(x)N1(y)dx + M2(x)N2(y)dy = 0                                    (6)

называется уравнением с разделяющимися переменными. Его можно привести к уравнению с разделенными переменными.

Умножим  (6) на  :

.

Интегрируя, получим общий интеграл уравнения (6):

.

Пример.

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения  .

Решение.

       – уравнение с разделяющимися переменными.

Поделив обе части уравнения на  у3, получим:

  – уравнение с разделенными переменными.

Следовательно,

            .

Ответ:    – общий интеграл уравнения.

 

2) Однородные уравнения

Определение. Функция f (x, y) – однородная функция  п-го порядка относительно   х и у Û "l Î R      f (lx, ly) = ln f (x, y).

 

Примеры.

1) Функция  f (x, y) = х2ху есть однородная функция 2-го порядка.

2) Функция  есть однородная функция нулевого порядка.

 

Определение. Уравнение         

                                                    y¢ = f (x, y)                                                  (7)

называется однородным уравнением 1-го порядка, если  f (x, y) – однородная функция  нулевого порядка относительно х и у.

 

Метод решения однородного уравнения

По условию    "l Î R      f (lx, ly) = f (x, y).

Рассмотрим это тождество при     .

          Тогда уравнение (7)  примет вид:

                                                                   .                                             (7′)

Сделаем подстановку:        Û     у = их     Þ

Þ              Þ        (7′)    Û     Û

Û  – уравнение с разделенными переменными.

Интегрируя, найдем:       .

Подставляя после интегрирования вместо и отношение , получим общий интеграл уравнения (7′).  

З а м е ч а н и е. 

М(х,у)dx + N(x,y)dy = 0 однородное уравнение 1-го порядка  Û М(х,у) и N(x,y) однородные функции одного порядка.

 

Пример.

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения .

Решение.

   – однородное относительно переменных дифференциальное уравнение первого порядка.

Замена          .

Подставим в исходное уравнение:          – уравнение с разделяющимися переменными.

                                – общий интеграл.

Ответ:      общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.

 

3) Линейные уравнения

Определение. Линейным  уравнением  первого  порядка  называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид:

                                                    ,                                             (8)

где p(x) и g(x) – заданные непрерывные функции от х (или постоянные).

 

Meтоды решения линейного уравнения:

а) метод Бернулли  

Будем искать решение уравнения (8) в виде     

                                                         y(x) = u(x)v(x)                                                  (9)                        

Дифференцируя обе части равенства (9), находим:

.

Подставим полученное выражение в уравнение (8):                     или                                          .                                        (10)

Выберем функцию v такой, чтобы    .                               (11)           

Разделяя переменные в этом Д.У. относительно функции v, находим    

.

Интегрируя, получаем:     .

Так как достаточно одного отличного от нуля решения уравнения (11), то положим  C1 = 1, тогда     .                                                          (12)         

Очевидно, что     v(x) ≠ 0.

Подставляя найденное значение v(x) в уравнение (10), получим

  Þ       Þ        .

Таким образом,  

.

 

б) Метод вариации

Для решения уравнения (8) первоначально решают уравнение:                                       

и заменяют в общем решении  константу С1 на  функцию  С(х), такую, чтобы она удовлетворяла уравнению (8).

Пример.

Найти решение задачи Коши: ,   .

Решение.

Данное уравнение является линейным неоднородным уравнением. Выполним это задание двумя способами:

1 способ (метод Бернулли).

Подстановка    (где   u = u(x), v = v(x) – новые неизвестные функции)  .

Подставим в исходное уравнение:

  .

Выберем функцию v такую, чтобы  . Это уравнение с разделяющимися переменными.

                  .

С учетом выбранной функции v, из исходного уравнения получим:

           

   .

Функции  u = u(x)  и   v = v(xнайдены.

Следовательно,   – общее решение.

Используя начальное условие  , получим:     

  .

Ответ:   .

2 способ (метод вариации произвольных постоянных).

  – линейное неоднородное уравнение первого порядка.

Соответствующее однородное уравнение: . Оно является уравнением с разделяющимися переменными.

          – общее решение линейного однородного уравнения.

Ищем решение неоднородного уравнения в виде:  ,  где – неизвестная функция.

Подставим  и     в исходное уравнение:

              .

Итак,    – общее решение исходного уравнения. Используя начальное условие  , получим:     .

Ответ:   .

 

4) Уравнение Бернулли

Определение. Уравнение вида

                               , (п ≠ 0, п ≠ 1)                           (13)

называется  уравнением Бернулли.                          

 

Методы решения уравнения Бернулли:

 

а) метод  Бернулли  (поиск  решения  в  виде      y(x) = u(x)v(x)    как   для линейных уравнений);

б) подстановка     z = y -n+1     сводит уравнение (13) к линейному уравнению относительно новой функции z.

Так как    ,

то, умножив уравнение (13)  на  (–п +1)у –п, получим:             

                                    .                                  (14)

Решив это линейное уравнение относительно  z, и подставив вместо z выражение y -n+1, найдем у(х) –  решение уравнения (13).

 

Пример.

Найти общее решение дифференциального уравнения   .

Решение.

    – уравнение Бернулли.

Выполним замену        

    .

Подставим    и  в исходное уравнение:

.

Умножим полученное уравнение на :

      – линейное неоднородное уравнение первого порядка. Решаем данное уравнение методом Бернулли.

Замена      . Подставляя в уравнение, получим:

                         .                   (*)

Выберем функцию v такую, чтобы  . Это уравнение с разделяющимися переменными.

                    

.

С учетом выбранной функции v, из уравнения (*) получим:

               

.

Т.о.,   .

Функции  u = u(x)  и   v = v(xнайдены.

Следовательно,  ,

  – общее решение.

Ответ:    .

 

5) Уравнение в полных дифференциалах

Определение. Уравнение вида        P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0,                 (15)

где P(x, y), Q(x, y) – некоторые функции, непрерывные вместе со своими частными производными в некоторой области и

                                                              ,                                                 (16)      

называется уравнением в полных дифференциалах.

Выполнение условия (16) равносильно тому, что левая часть уравнения (15) есть полный дифференциал некоторой функции  u(x, y), т.е.          

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du(x, y)    Þ   (15)    Û   du(x, y) = 0     Þ  u(x, y) = C,

где     

(здесь  (х0, у0) – точка, в окрестности которой существует решение Д.У.(15))

Таким образом, получаем общий интеграл уравнения (15):

.

Пример.

Найти общий интеграл дифференциального уравнения

.

Решение.

Уравнение имеет структуру .

Найдем и :         ,

следовательно, выполнено условие полного дифференциала и: , т.е. исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Неизвестную функцию   найдем с помощью формулы:  

.

Возьмем   х0 = 0,  у0 = 0 (т.к. в точке   (0,0)  определены обе функции  Р(х, у) и  Q(x, y)):

Т.к.   , то  и = С   – общий интеграл дифференциального уравнения.

         Ответ:    .

 

3.3 Дифференциальные уравнения высших порядков

 

Т.к. основные общие понятия дифференциальных уравнений высших порядков были уже введены в п.3.1, то остановимся только на отдельных их видах и методах их решения.

1) Уравнения вида              .

Найдем общий интеграл этого уравнения.     

Т.к.    у(п) = (у(п-1))¢ , то       

где  х0 любое фиксированное значение х, а  С1 – постоянная интегрирования.

Интегрируя еще раз, получим:

.

Продолжая далее, получим, наконец, выражение общего интеграла:

Пример.

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение.

  – уравнение второго порядка вида . Понижаем порядок двукратным интегрированием.

Ответ:    .

 

2) Д.У. высших порядков, допускающие понижения порядка

          а) Уравнения вида                 у¢¢ = f (x, y¢ )                                                   (1)   

             (не содержит явным образом  у)

Введем замену: y¢ = р(х). Тогда у¢¢ = р¢. Следовательно, уравнение (1) приводится к уравнению  р¢ = f (x, р), которое является уравнением 1-го порядка.

Если р = р(х,С1) – общее решение полученного уравнения, то общий интеграл уравнения (1) имеет вид:   

З а м е ч а н и е.

Аналогичным  способом  можно  решить  уравнение       у(п) = f ( x, y(п-1)),

 полагая  y(п-1) = р.

 

б) Уравнения вида                 у¢¢ = f ( у, y¢ )                                                  (2)   

              (не содержит явным образом х)

Введем замену:  y¢ = z(у). Тогда  

Следовательно, уравнение (2) приводится к уравнению   , которое является уравнением 1-го порядка.

Если z = z( у, С1) – общее решение полученного уравнения, то поскольку

,  то   

Интегрируя это уравнение, получим общий интеграл исходного уравнения (2):                          Ф ( х, у, С1, С2) = 0.

 

Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) высших порядков

 

Определение. Д.У. п-го порядка называется линейным, если оно является многочленом первой степени относительно искомой функции y и ее производных y¢, y¢¢, …, y(n), т.е. имеет вид:

                                        a0(x)y(n) + a1(x)y(n-1) +…+ an(x)y = f (x),                           (3)

где  a0(x), a1(x), …, an(x) и  f (x) – заданные функции от х или постоянные, причем   a0(x) ¹ 0  для всех значений х из той области, в которой рассматривается уравнение (3).

Функция f (x) называется правой частью уравнения.

В дальнейшем будем предполагать, что  a0(x), a1(x), …, an(x) и  f (x) непрерывны при всех значениях х, причем a0(x)= 1.

Если  f (x) º 0, то уравнение имеет вид

                                            a0(x)y(n) + a1(x)y(n-1) +…+ an(x)y = 0                             (4)                                                                          

 

и называется линейным однородным (без правой части)

Если  f (x) ¹ 0, то уравнение называется линейным неоднородным (с правой частью).

Примем во внимание следующие сокращения по тексту:

ЛОДУ –  линейные однородные дифференциальные уравнения;

ЛНДУ – линейные неоднородные дифференциальные уравнения.

Рассмотрим некоторые свойства ЛОДУ,  ограничиваясь  уравнениями  2-го порядка.

 

Теорема 1.

Если  у1 и  у2 два частных решения ЛОДУ 2-го порядка

                                                        у¢¢ + а1у¢ + а2у = 0,                                           (5)

то  у1 + у2  – есть также решение этого уравнения.

 

Теорема 2.

Если  у1 есть решение ЛОДУ 2-го порядка (5) и  С – постоянная, то  Су1  есть также решение уравнения (5).

 

Определение. Два решения уравнения (5)  у1 и  у2  называются линейно независимыми на отрезке [a, b], если   

В противном случае решения называются линейно зависимыми,

т.е.    $ l ÎR:      у1 = l у2 .

 

Определение. Если  у1 и  у2  – функции от х, то определитель

называется определителем Вронского (вронскианом) данных функций.

 

Теорема 3.

Если  функции  у1 и  у2  линейно зависимы на отрезке [a, b], то 

Теорема 4.

Если определитель Вронского W(y1 , y2), составленный для решений y1 и y2  ЛОДУ(5), не равен нулю при  каком-нибудь значении х = х0  на отрезке     [a, b], где коэффициенты уравнения непрерывны,  то он не обращается в нуль ни при каком значении х на этом отрезке.

Теорема 5.

Если  решения  у1 и  у2 уравнения (5) линейно независимы на отрезке   [a, b], то    ни в одной точке указанного отрезка.

Теорема 6.

Если   у и  у2  –  два линейно  независимых  решения  уравнения  (5), то

у = С1у1 + С2у2 , где С1 и С2 – произвольные постоянные, есть его общее решение.

Теорема 7.

Каковы бы ни были н.у.   можно так подобрать значения С1, С2 , чтобы соответствующее частное решение   С1у1 + С2у2   удовлетворяло заданным н.у.

 

З а м е ч а н и е.

Не существует общих методов для нахождения в конечном виде общего решения ЛДУ с переменными коэффициентами. Однако для уравнений с постоянными коэффициентами такой метод существует.

 

ЛОДУ с постоянными коэффициентами

 

1. ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

                                           у¢¢ + pу¢ + qу = 0,             p, q ÎR.                                (6)

Достаточно найти два линейно независимых частных решения.

Будем искать частные решения в виде: 

                                                 y = ekx ,    где  k – const ,                                         (7)

тогда   y¢ = kekx,   y¢¢  = k2ekx

Подставляя эти выражения в (6), получим:   ekx( k2 + pk + q) = 0.

Т.к.  ekx ≠ 0 , то  

                                                       k2 + pk + q = 0.                                                  (8)

Следовательно, если k будет удовлетворять уравнению (8), то  ekx будет решением уравнения