АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

 

 

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Методические указания и задания  к расчетно-графической работе

(для студентов всех форм обучения специальности 050704 –

Вычислительная техника и программное обеспечение)

Часть 1

 

 

Алматы 2009 

СОСТАВИТЕЛИ: Л.Н. Астраханцева, М.Ж.Байсалова.

Математический анализ. Методические указания  и задания к выполнению    расчетно-графической работы для студентов всех форм обучения специальности 050704 – Вычислительная техника и программное       обеспечение. Часть 1. -Алматы: АИЭС, 2009.- 34 с. 

 

Методические указания и задания к расчетно-графической работе содержат типовой расчет №1 дисциплины «Математический анализ» для студентов всех форм обучения специальности 050704 – Вычислительная техника и программное   обеспечение. Приведены основные теоретические вопросы программы. Дано решение типового варианта.

 

1 Типовой расчёт 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

         1.1 Теоретические вопросы

         1. Понятие функции. Способы задания, свойства, классификация функций.

         2. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Предел функции.

         3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Теоремы о бесконечно малых.

         4. Теоремы о пределах. Односторонние пределы. Первый и второй замечательные пределы.

         5. Сравнение бесконечно малых. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых.

         6. Непрерывные функции. Точки разрыва, их классификация.

7. Определение производной, её физический и геометрический смысл. Связь дифференцируемости и непрерывности.

8. Основные правила дифференцирования.

9. Производные основных элементарных функций.

     10. Логарифмическое дифференцирование. Производные высших порядков.

11. Производные функций, заданных неявно и параметрически.

 Уравнения касательной и нормали к графику функции.

12. Дифференциал, его геометрический смысл и применение.

13. Дифференциалы высших порядков. Дифференциал сложной

функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

14. Правило Лопиталя. Теоремы о возрастании и убывании функции.

15. Экстремумы функции одной переменной. Необходимое и

 достаточные условия экстремума.

16. Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба.

17. Асимптоты графика функции. Полное исследование функции.

 

         1.2 Расчётные  задания

1. Найти пределы функции, если предельная точка а принимает два

значения а) и  б).

Т а б л и ц а 1

 

а) а=

б) а=

 

а) а=

б) а=

1.1          

2

1

1.2

-9

2

1.3                                                                               

-2

3

1.4

-3

4

1.5                                                              

8

-1

1.6 

9

-1

 

продолжение таблицы 1

1.7                                                     

7

0

1.8

-4

1

1.9                                            

4

1

1.10

1

5

1.11                                          

3

2

1.12

8

0

1.13                                                         

-5

1

1.14

-1

2

1.15                                              

-7

3

1.16

-2

3

1.17 

-6

1

1.18

8

1

1.19                           

-2

4

1.20

6

2

1.21                

2

-3

1.22

4

3

1.23

-1

2

1.24

-3

1

1.25

-5

3

1.26

5

-1

1.27

-1

4

1.28

-3

2

1.29

4

-1

1.30

3

-1

2. Найти пределы

Т а б л и ц а  2

2.1   а)           б)                в)                                                                                                    

2.2   а)         б)               в)                                                                        

2.3  а)           б)              в)                                                                

2.4  а)          б)              в)                                                       

2.5  а)          б)              в)                                                                 

продолжение таблицы 2

2.6   а)         б)            в)                                                                               

2.7   а)           б)           в)                                                                                                                        

2.8   а)       б)           в)                                                                         

2.9   а)            б)         в)                                                                                           

2.10  а)           б)          в)                                                                                         

2.11  а)             б)         в)                                                                 

2.12  а)           б)         в)                                                                                                 

2.13   а)            б)        в)                                                                 

2.14   а)           б)         в)                                                                          

2.15  а)             б)         в)                                      

2.16  а)        б)           в)                                      

2.17  а)            б)             в)  

2.18  а)            б)             в)                                          

2.19  а)            б)           в)

2.20  а)          б)             в)                                         

2.21  а)            б)               в)  

2.22  а)          б)               в)                                           

2.23  а)       б)          в)

продолжение таблицы 2

2.24 а)           б)           в)                                            

2.25 а)              б)          в)

2.26 а)            б)          в)                                          

2.27 а)            б)           в)

2.28 а)              б)          в)                                            

2.29 а)             б)            в)

2.30 а)            б)        в)

 

3. Найти пределы

Т а б л и ц а  3

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

3.10

3.11

3.12

3.13

3.14

3.15

3.16

3.17

3.18

3.19

3.20

3.21

продолжение таблицы 3

3.22

3.23

3.24

3.25

3.26

3.27

3.28

3.29

3.30

 

4. Найти пределы

Т а б л и ц а  4

 

а)

б)

 

а)

б)

4.1 

                                      

                                    

4.2

                                    

4.3

4.4

4.5

                                   

4.6

4.7

                                   

4.8

                                     

4.9

                                    

4.10 

                                                                       

                                      

4.11

4.12

                                    

4.13

4.14

                                    

4.15

                                   

4.16

4.17

4.18

4.19 

4.20

4.21

4.22

 

продолжение таблицы 4

4.23

4.24

4.25

4.26

4.27

4.28

4.29

4.30

        

5. Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые

Та б л и ц а  5

 

а)

б)

 

а)

б)

5.1 

                                       

                                  

5.2

 

        

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

5.11

5.12

5.13

5.14

5.15

5.16

 

 

продолжение таблицы 5

5.17

5.18

5.19

5.20

5.21

5.22

5.23

5.24

5.25

5.26

5.27

5.28

5.29

5.30

6. Для данных функций f(x) и g(x) найти

а) точку разрыва;

б) левый и правый пределы в точке разрыва;

в) определить характер точки разрыва.

Т а б л и ц а  6

 

f(x)

g(x)

 

f(x)

g(x)

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

6.10

6.11

6.12

6.13.

6.14

6.15

6.16

продолжение таблицы 6

6.17

6.18.

6.19

6.20

6.21

6.22

6.23

6.24.

6.25

6.26

6.27

6.28

6.29

6.30

 

7. Исследовать функцию на непрерывность и построить график.

Т а б л и ц а  7

f(x)

f(x)

7.1

7.2

7.3

7.4 

7.5

7.6

7.7

7.8

7.9

7.10

 

 

 

продолжение таблицы 7

7.11

7.12

7.13

7.14

7.15

7.16

7.17

7.18

7.19

7.20

7.21

7.22

7.23

7.24

7.25

7.26

7.27

7.28

7.29

7.30

 

 

          8. Найти

          1) производные функций;

          2) дифференциал функции из пункта б).

Т а б л и ц а  8

8.1

а)

б)

в)

г)

д)

8.2

а)

б)

в)

г)

д)

8.3

а)

б)

в)

г)

д)

8.4

а)

б)

в)

г)

д)

8.5

а)

б)

в)

г)

д)

8.6

а)

б)

в)

г)

д)

8.7

а)

б)

в)

г)

д)  

8.8

а)

б)

в)

г)

д)

8.9

a)

б)

в)

г)

д)

 

 

продолжение таблицы 8

8.10

а)

б)

в)

г)

д)

8.11

а)

б)

в)

г)

д)

8.12

а)

б)

в)

г)

д)

8.13

а)

б)

в)

г)

д)

8.14

а)

б)

в)

г)

д)

8.15

а)

б)

в)

г)

д)

8.16

а)

б)

в)

г)

д)

8.17

а)

б)

в)

г)

д)

8.18

а)

б)

в)

г)

д)

 

 

 

 

 

 

 

 

продолжение таблицы 8

8.19

а)

б)

в)

г)

д)

8.20

а)

б)

в)

г)

д)

8.21

a)

б)

в)

г)

д)

8.22

а)

б)

в)

г)

д)   

8.23

а)

б)

в)

г)

д)

8.24

а)

б)

в)

г)

д)

8.25

а)

б)

в)

г)

д)

8.26

а)

б)

в)

г)

д)

8.27

а)

б)

в)

г)

д)

 

 

 

 

 

 

 

продолжение таблицы 8

8.28

а)

б)

в)

г)

д)

8.29

а)

б)

в)

г)

д)

8.30

а)

б)

в)

г)

д)

 

9. Найти производные методом логарифмического дифференцирования.

Т а б л и ц а  9

9.1

9.2

9.3

9.4  

9.5

9.6  

9.7 

9.8 

9.9  

9.10  

9.1

9.12 

9.13

9.14 

9.15

9.16

9.17

9.18 

продолжение таблицы 9

9.19

9.20

9.21

9.22

9.23

9.24  

9.2

9.26

9.27

9.28  

9.29

9.30 

 

10. Найти производные неявных функций.

Т а б л и ц а 10

10.1   x – y + arctg y = 0

10.2   xy =

10.3    

10.4    y = cos xy

10.5   xy = ln(1 + y)

10.6   x – y +3sin y = 0

10.7  

10.8   x – y + 4sin y = 0

10.9 

10.10 

10.11   

10.12

10.13

10.14  y + = 0

10.15  x = ln(x + y)

10.16  y - = 0

10.17  - ln xy = 0

10.18  x + y =

10.19  y = sin xy

10.20  + x = cos xy

10.21  xy = ln xy

10.22  x + y= tg(x + y)

10.23  y=

10.24  + sin(x + y) = 0

10.25  + cos(x + y) = 0

10.26  xy + sin(x + y) = 0

10.27  xy + cos(x + y) = 0

10.28  tg y = 4y – 5x

10.29  xy = ctg y

10.30  xy – 6 = cos y

11. Найти производные  функций, заданных параметрически.

Т а б л и ц а  11

11.1

11.2

11.3

11.4

11.5

11.6

11.7

11.8

11.9

11.10

11.11

11.12

11.13

11.14

11.15

11.16

11.17

11.18

11.19

11.20

11.21

11.22

11.23

11.24

11.25

11.26

11.27

11.28

11.29

11.30

          

12. а) Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой ;

б) вычислить приближённое значение функции в точке  с помощью дифференциала.

 

 

Т а б л и ц а 12

f(x)

f(x)

12.1           

    27

 7,96

12.2     

   1

 1,02

12.3         

1

31,8

12.4         

1

16,04

12.5     

3

2,9

12.6         

-1

27,05

12.7         

9

24,95

12.8         

1

25,05

12.9       

1

1,03

12.10       

-128

128,5

12.11        

1

15,98

11.12      

-1

31,85

12.13     

1

1,04

12.14       

16

1,05

12.15        

-1

32,05

12.16       

-1

31,5

12.17        

1

16,07

12.18       

1

15,95

12.19         

4

15,92

12.20        

-1

1,01

12.21        

1

31,95

12.22       

1

16,05

12.23        

1

0.95

12.24    

-1

1,03

12.25        

1

16,06

12.26       

1

64,05

12.27        

8

1,02

12.28       

-8

1,05

12.29        

1

15,91

12.30         

1

0,98

 

13. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Т а б л и ц а 13

f(x)

f(x)

13.1 

13.2 

13.3 

13.4  

13.5 

13.6 

13.7 

13.8 

13.9 

13.10 

13.11 

13.12 

13.13 

13.14

13.15 

13.16 

13.17 

13.18 

13.19 

13.20 

13.21 

13.22 

13.23 

13.24  

13.25 

13.26 

продолжение таблицы 13

13.27 

13.28 

13.29 

13.30 

 

 

14. Для данной функции найти:

а) область определения и точки разрыва;

б) асимптоты графика функции;

в) точки пересечения графика с осями координат;

г) чётность и нечётность;

д) интервалы монотонности, точки экстремума;

е) интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба;

ж) построить график.

 

Т а б л и ц а 14    9(3)

f(x)

f(x)

f(x)

14.1           

14.2      

14.3         

14.4        

14.5    

14.6        

14.7        

14.8       

14.9   

14.10      

14.11      

14.12 

14.13  

14.14  

14.15     

14.16     

14.17       

14.18 

14.19    

14.20        

14.21      

14.22      

14.23       

14.24     

14.25  

14.26      

14.27      

14.28      

14.29        

14.30     

          

15 Найти пределы по правилу Лопиталя

Т а б л и ц а 15

15.1 а)         б)

 

15.2 а)         б)

15.3 а)         б)

15.4 а)  б)     

 

15.5 а)   б)

15.6 а)       б)

15.7 а)       б)

15.8 а)     б)

15.9 а)      б)

15.10 а)     б)

15.11 а)    б)

15.12 а)     б)

15.13 а)   б)

15.14 а)  б)

15.15 а) б)

15.16 а) б)

15.17 а)       б)

15.18 а) б)

15.19 а)  б)

15.20 а) б)

15.21 а)     б)

15.22 а)     б)

15.23 а)        б)

15.24 а)  б)

15.25 а) б)

15.26 а) б)

15.27 а)     б)

15.28 а)   

б)

15.29 а)      б)

15.30 а)     б)

 

 

1.3 Решение типового варианта

При вычислении пределов, прежде всего, следует подставить предельную точку в функцию вместо переменной. Если получено вполне определённое значение (константа или бесконечность), то это значение является ответом. Если в результате подстановки получена одна из неопределённостей (возможны семь видов неопределённостей: , то, говорят, следует раскрыть неопределённость, т.е. вычислить предел, используя различные методы. Рассмотрим эти методы на примерах.

1. Найти предел  при

а) а=1;

б) а=5.

Решение:

а) подставим предельную точку а=1 в функцию вместо , получим сразу ответ: ;

б) при подстановке а=5 получим неопределённость вида   , которую можно раскрыть, применяя один из двух методов. Первый состоит в разложении числителя и знаменателя дроби на множители и сокращении на общий множитель: . Во втором методе применяют правило Лопиталя: . По этому правилу имеем .

2. Найти пределы:

а) ;

б) ;

в) .

Решение:

в каждом из этих пределов после подстановки  получается неопределённость вида , для её раскрытия применяют правило 1.7 таблицы 18. В случае а) числитель и знаменатель имеют одинаковые степени , поэтому предел равен отношению коэффициентов старших степеней: ; в случае б) степень числителя больше степени знаменателя , поэтому ; в случае в) степень знаменателя больше степени числителя , поэтому .

3. Найти предел .

Решение:

при подстановке предельного значения получается неопределённость вида , которую в данном случае лучше раскрыть, умножая числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое числителю. Одновременно знаменатель следует разложить на множители и затем сократить дробь на общий множитель:

. Если применить правило Лопиталя, то получится тот же результат:  =.

         4. Найти пределы:

а) ;

б) .

         Решение:

         а) при подстановке  получим неопределённость вида , которую можно раскрыть, применяя, например, следующие методы. Первый – это приведение данного предела к форме второго замечательного предела :===.

Здесь мы использовали обобщённую форму второго замечательного предела . Второй метод – это использование формулы, которую часто применяют для раскрытия неопределённостей вида:

. По этой формуле == =(используем теорему о замене бесконечно малой функции эквивалентной ей бесконечно малой:  при ) =

= . Формулу, приведённую выше можно не помнить, но использовать приём, который привёл к этой формуле: положим , прологарифмируем это равенство по основанию е:  , и найдём  =(см. вычисление этого предела выше)=5/2. Итак, , откуда ;

         б) ==.

         5. Найти пределы:

а) ;

б) , используя эквивалентные бесконечно малые.

         Решение:

если  , то  называется бесконечно малой функцией или просто бесконечно малой (б. м.) при  . Для сравнения бесконечно малых вычисляют предел их отношения. Пусть  и  бесконечно малые при , тогда если

1) , то б.м.  более высокого порядка малости, чем , в этом случае пишут ;

2) , то б.м.  более низкого порядка малости, чем ;

3) , то б.м.  и  одного порядка;

4) , то б.м.  и  эквивалентны, записывают ;

5) , то есть б.м. - го порядка по сравнению с.

При вычислении пределов с б.м. в ряде случаев используют теоремы об эквивалентных б.м.:

Теорема 1. Если ,  при , то

1)  ;

2) .

Теорема 2. Алгебраическая сумма конечного числа б.м. эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Итак, следуя этим теоремам, в пределах одну б.м. можно заменить другой эквивалентной ей, при этом используют таблицу эквивалентных б.м. (см. таблицу 19).

а) =(по таблице 19 ,  при )=

=-8;

         б) =(с учётом таблицы 19 преобразуем =;  - т.о. эта б.м. третьего порядка по сравнению с ,  - б.м. второго порядка относительно , () – б.м. первого порядка  или одного порядка с , поэтому по теореме 2 сумма  эквивалентна ())=.

6. Для функций  и  найти:

а) точку разрыва;

б) левый и правый пределы в точке разрыва;

в) определить характер точки разрыва.

Решение:

точками разрыва элементарной функции являются точки, в которых она не определена, но определена в их окрестности; если функция задана несколькими различными аналитическими выражениями, то точками разрыва могут быть точки, в которых меняется аналитическое выражение функции.

 Односторонние пределы функции  в точке определяются как предел , вычисленный в предположении, что всегда  или . Итак, левый предел: =; правый предел:  =.

Если функция  непрерывна в точке , то выполняются равенства =; если  точка разрыва, то последние равенства нарушаются, и характер этого нарушения лежит в основе классификации точек разрыва. Если  и  существуют, но , то  точка разрыва первого рода с конечным скачком, разность - - скачок функции  в точке ; если , то  устранимая точка разрыва первого рода. Если хотя бы один из пределов  или  не существует или «равен» , то  точка разрыва второго рода.

1) Рассмотрим . а) Точка х=-6 не входит в область определения этой функции, но функция определена в её окрестности, значит х=-6 точка разрыва; б) == 0,  = =; в) так как один из односторонних пределов , то х=-6 точка разрыва второго рода.

2) Рассмотрим . а) Точка х=3 не входит в область определения этой функции, но функция определена в её окрестности, значит х=3 точка разрыва; б) == -,  ==+; в) так как оба односторонних предела «равны» , то х=3 точка разрыва второго рода.

7. Исследовать функцию  на непрерывность и построить график.

Решение:

данная функция определена на промежутке [0; ) и три составляющие её функции определены для всех  из соответствующих интервалов, таким образом, точками разрыва могут быть только точки, в которых меняется аналитическое выражение функции, т.е. х=1 и х=2,5. Исследуем эти точки. Найдём односторонние пределы в х=1: =2;  =2; значение функции в этой точке  . Итак, , поэтому х=1 точка непрерывности.

Аналогично для х=2,5: =-1; = - 2; . Так как  , то х=2,5 точка разрыва первого рода, -=-1 – скачок функции в этой точке. График имеет вид:

Рисунок 1

            8. Найти:

1) производные функций

          а) ;

          б) ;

          в) ;

          г) ;

          д) ;

2) дифференциал функции из пункта б).

          Решение:

         1) по определению производной функции  называется предел . На практике при дифференцировании функций используют таблицу производных (см. таблицу 20) и основные правила  дифференцирования: 1) ; 2) ; 3);

4) если  или  (где  промежуточный аргумент), то  или ;  5) если  и взаимно обратные функции, то

          а) Запишем функцию в виде , затем по правилу 1) и формулам 1), 2), 3), таблицы 20 имеем

 =;

          б) данную сложную функцию можно представить в виде  . По правилу 4) нахождения производной сложной функции и,  учитывая формулу 11) таблицы 20, имеем

 ;

          в) используя таблицу производных 20 и правило 2),  получим  ; г) используя таблицу производных 20 и правило 3), получим

;

г) представим данную функцию в виде цепочки элементарных функций, вводя промежуточные аргументы . Теперь находим производную, используя таблицу производных 20 и правило 4) нахождения производной сложной функции ;

          2) дифференциалом функции  называется выражение , поэтому  для функции  дифференциал равен .

9. Найти производные методом логарифмического дифференцирования а); б) .

Решение:

метод логарифмического дифференцирования применяется для определения производных функций вида  или громоздких, но удобных для логарифмирования  функций (т.е. содержащих только операции умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня). Он состоит в последовательном выполнении следующих действий: логарифмированию функции по основанию е, дифференцированию полученного выражения (при этом производная  находится как производная сложной функции) и нахождению производной  из последнего равенства, как находят неизвестные из алгебраического уравнения.

а) после логарифмирования данной функции по основанию е получим , продифференцируем результат . Из последнего равенства найдём ;

б) применяя метод логарифмического дифференцирования,

последовательно находим:

;

;

;

;

.

10. Найти производную неявной функции .

Решение:

дифференцируем данное равенство, имея в виду, что  есть функция от (т.е. сложная функция): . Из последнего равенства как из уравнения находим .

11. Найти производные  и  от функции, заданной параметрически  .

Решение:

первая производная или просто производная параметрически заданной функции  находится по формуле . Вторая производная – по формуле ; третья -  и т.д. Для нашей функции, так как

, , то ;  .

 

12. а) Составить уравнение касательной и нормали к графику функции  в точке с абсциссой ;

б) вычислить приближённое значение функции в точке  с помощью дифференциала.

Решение:

а) уравнение касательной к графику функции  в точке  имеет вид , уравнение нормали - . Найдём , , . Таким образом, уравнение касательной  или ; уравнение нормали  или ;

б) при достаточно малых значениях  приращение функции может быть заменено её дифференциалом . Развернув это приближённое равенство, получим формулу (*), которую применяют для приближённых вычислений, если требуется вычислить  и если проще вычислить  и , где  достаточно близкая к  точка. В нашем примере , пусть , тогда , , . Подставляя эти значения в формулу (*) получим .

13. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке [1;e].

Решение:

если функция непрерывна на отрезке, то она обязательно имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, которые достигаются ей или в точках экстремума, лежащих внутри отрезка, или на границах этого отрезка.

Отсюда вытекает практическое правило для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции  на отрезке [a;b]: 1) найти критические точки, лежащие внутри отрезка (т.е. точки, в которых производная функции равна 0 или не существует); 2) вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка, т.е.  и ; 3) сравнить полученные значения: самое большое будет наибольшим значением, самое маленькое – наименьшим.

1) найдём критические точки функции , лежащие внутри отрезка [1;e]: ;  при  ,  не существует при . Но  не входит в данный отрезок (и даже не входит в область определения функции), ; 2) вычислим значения функции на концах отрезка и в точке : , , ; 3) сравнивая полученные значения, делаем вывод: наибольшее значение функции равно  при , наименьшее -  при .

14. Для функции  найти:

а) область определения и точки разрыва;

б) асимптоты графика функции;

в) точки пересечения графика с осями координат;

г) чётность и нечётность;

д) интервалы монотонности, точки экстремума;

е) интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба;

ж) построить график.

Решение:

а) областью определения функции является множество таких , при которых формула, задающая функцию, имеет смысл. Итак, для нашей функции  - область определения, в неё не  входят точки, при которых знаменатель равен 0, т.е. -2 и 2, эти точки являются точками разрыва функции;

б) вычислим односторонние пределы в точках разрыва  =-,  =+. Итак, точки -2 и 2 являются точками разрыва второго рода, поэтому прямые  и  будут вертикальными асимптотами. Найдём наклонную асимптоту , где  , . Таким образом,  - наклонная асимптота;

в) точки пересечения графика функции с осями координат: с ОХ: ; с ОУ: . Таким образом, график пересекает оси координат в начале координат, точке (0;0);

г) т.к. , то функция нечётная, её график симметричен относительно начала координат;

д) исследуем функцию на монотонность и найдём точки экстремума.

. , -

критические точки;  не существует при , эти точки не являются критическими, т.к. не принадлежат области определения функции. Результаты исследования сведём в таблицу.

Т а б л и ц а 16

0

+

0

-

-

0

-

-

0

+

0

 

возраст.

max

убыв.

убыв.

нет

экстр

убыв.

убыв.

min

возраст.

         е) найдём интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

. , не существует при , эти точки не могут быть абсциссами точек перегиба, т.к. не принадлежат области определения функции. Результаты исследования сведём в таблицу.

Т а б л и ц а 17

0

-

+

0

-

+

0

 

выпукла

вогнута

перегиб

выпукла

вогнута

 (0;0) - точка перегиба;

         ж) построим график функции:

 

Рисунок 2

 

15. Найти пределы по правилу Лопиталя:

а);

б) .

        

 

 

Решение:

         а) правило Лопиталя см. в примере 1б). По этому правилу имеем ;

         б). После подстановки предельной точки в функцию получим неопределённость вида , которую можно раскрыть по формуле, приведённой в примере 4а), или с помощью приёма, указанного в этом же примере. Положим  и прологарифмируем это равенство по основанию е:  . Применим правило Лопиталя при нахождении предела   . Таким образом, , откуда .

 

Т а б л и ц а 18

Виды пределов

Результат подстановки предельной точки

Результат или метод вычисления предела

1.

 

неопределённость

2.

   

,

неопределённость

а) разложение на множители;

б) правило Лопиталя;

в) умножение на сопряжённое выражение;

г) применение эквивалентных  бесконечно малых;

д) правило 1 этой таблицы

3.   

, ,

0

4.   

, ,

5.   

 

неопределённость

привести к неопределённостям вида или , затем как в 1 или 2 этой таблицы

6.   

,

7.   

,

0

8.   

 неопределённость

привести к неопределённостям вида или , затем как в 1 или 2 этой таблицы

9.   

10.  

 неопределённость

а) привести ко второму замечательному пределу ;

б) использовать формулу

11.  

12.

 

 

Т а б л и ц а 19

, т.е.  – бесконечно малая при

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

 

 

Т а б л и ц а 20

1. 

2. 

3.   

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

 

 

 

Список литературы

       1. Хасеинов К.А. Каноны математики: Учебник. – Алматы: 2003.-686 с.

       2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. – М.: Высшая школа, 2003. – ч. 1,2.-352 с.

       3. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: в 3 ч. (Рябушко А.П., Бархатов В.В. и др.). Под ред. Рябушко А.П. – Минск: Высш. школа, 2000.-ч.2,3 .-396 с.

 

Содержание 

1 Теоретические вопросы………………………………….....…………….….3

2 Расчётные задания……………………………………..………………….….3

3 Решение типового варианта……………………………..………………….21

Список литературы ……………………………………………………………34