АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС ИНСТИТУТЫ

ЖОҒАРЫ  МАТЕМАТИКА КАФЕДРАСЫ

 

 

 

 

 

Математикалық талдау

050704 – Есептеу техникасы және бағдарламалық қамтамасыз ету мамандығы бойынша оқитын барлық бөлім студенттері  үшін есептеу-графикалық жұмыстарды орындауға

арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар

 1- бөлім

 

 Алматы 2009 

 

            ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: Л.Н. Астраханцева, М.Ж.Байсалова. Математикалық талдау. 050704 – Есептеу техникасы және бағдарламалық  қамтамасыз ету мамандығы бойынша оқитын барлық бөлім студенттері  үшін есептеу-графикалық жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік  нұсқаулар мен тапсырмалар. 1-бөлім - Алматы: АЭжБИ, 2009. -  34 б.

 «Есептеу техникасы және бағдарламалық қамтамасыз ету» мамандығы  бойынша оқитын барлық бөлім студенттеріне арналған есептеу-графикалық жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар  «Математикалық талдау»  пәнінің №1 типтік есептеулеріден тұрады.   Бағдарламаның теориялық сұрақтары енгізілген. Типтік нұсқаның шешімі  келтірілген.

 

1 есептеу-графикалық жұмыс. Талдау бастамалары. Бір айнымалы функцияның дифференциалдық есептеулері

         1.1 Теориялық  сұрақтар

1 Функция ұғымы. Берілу жолдары, қасиеттері, функциялар классификациясы.

         2 Сандық тізбектер. Сандық тізбектің шегі. Функцияның шегі.

         3 Шексіз аз және шексіз үлкен шамалар. Шексіз аз шамалар туралы теоремалар.

         4 Шектер туралы теоремалар. Біржақты шектер. Бірінші және екінші тамаша шектер.

         5 Шексіз аз шамаларды салыстыру. Эквивалентті шексіз аз шамалар.

         6 Үзіліссіз функциялар. Үзіліс нүктелері, олардың классификациясы.

7 Функцияның туындысының анықтамасы, оның физикалық және геометриялық мағынасы. Дифференциалдану мен үзіліссіздіктің байланыстары.

8 Дифференциалдаудың негізгі ережелері.

9 Негізгі элементар функциялардың туындылары.

     10 Логарифмдік дифференциалдау. Жоғарғы ретті туындылар.

11   Айқын емес түрде және параметрлік түрде берілген функциялардың

туындылары. Функция графигіне жүргізілген жанама және нормаль теңдеулері.

12   Дифференциал, оның геометриялық мағынасы және қолданылуы.

13   Жоғарғы ретті  дифференциалдар. Күрделі функцияның дифферен-

циалы. Бірінші дифференциал түрінің инварианттылығы.

14   Лопиталь ережесі. Функцияның өсуі мен кемуі туралы теоремалар.

Бір айнымалылы функцияның экстремумдары. Экстремумның қажетті және жеткілікті шарттары.

15   Функция графигінің ойыстығы және дөңестігі, иілу нүктелері.

Функция графигінің асимптоталары. Функцияны толық зерттеу.

1.2 Есептік тапсырмалар

Функцияның шегін табу керек, шектік нүкте  а екі мән  а) және б) қабылдайды

1 К е с т е

 

а) а=

б) а=

 

а) а=

б) а=

1.1          

2

1

1.2

-9

2

1.3                                                                               

-2

3

1.4

-3

4

1.5                                                              

8

-1

1.6 

9

-1

 

1 кестенің жалғасы

1.7                                                     

7

0

1.8

-4

1

1.9                                            

4

1

1.10

1

5

1.11                                          

3

2

1.12

8

0

1.13                                                         

-5

1

1.14

-1

2

1.15                                              

-7

3

1.16

-2

3

1.17 

-6

1

1.18

8

1

1.19                           

-2

4

1.20

6

2

1.21                

2

-3

1.22

4

3

1.23

-1

2

1.24

-3

1

1.25

-5

3

1.26

5

-1

1.27

-1

4

1.28

-3

2

1.29

4

-1

1.30

3

-1

 

2 Шекті табу керек

2 К е с т е

2.1   а)           б)                в)                                                                                                    

2.2   а)         б)               в)                                                                        

2.3  а)           б)              в)                                                                

2.4  а)          б)              в)                                                       

 

 

2 кестенің жалғасы

2.5  а)          б)              в)                                                                 

2.6   а)         б)            в)                                                                               

2.7   а)           б)           в)                                                                                                                        

2.8   а)       б)           в)                                                                         

2.9   а)            б)         в)                                                                                           

2.10  а)           б)          в)                                                                                         

2.11  а)             б)         в)                                                                 

2.12  а)           б)         в)                                                                                                 

2.13   а)            б)        в)                                                                 

2.14   а)           б)         в)                                                                          

2.15  а)             б)         в)                                      

2.16  а)        б)           в)                                      

2.17  а)            б)             в)  

2.18  а)            б)             в)                                          

2.19  а)            б)           в)

2.20  а)          б)             в)                                         

2.21  а)            б)               в)  

2.22  а)          б)               в)                                           

2 кестенің жалғасы

2.23  а)       б)          в)

2.24 а)           б)           в)                                            

2.25 а)              б)          в)

2.26 а)            б)          в)                                          

2.27 а)            б)           в)

2.28 а)              б)          в)                                            

2.29 а)             б)            в)

2.30 а)            б)        в)

 

3 Шекті табу керек

3 К е с т е

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

3.10

3.11

3.12

3.13

3.14

3.15

3.16

3.17

3.18

3 кестенің жалғасы

3.19

3.20

3.21

3.22

3.23

3.24

3.25

3.26

3.27

3.28

3.29

3.30

 

4 Шекті табу керек

4 К е с т е

 

а)

б)

 

а)

б)

4.1 

                                      

                                     

4.2

                                    

4.3

4.4

4.5

                                   

4.6

4.7

                                   

4.8

                                     

4.9

                                    

4.10 

                                                                        

                                      

4.11

4.12

                                    

4.13

4.14

                                    

4.15

                                    

4.16

4.17

4.18

4.19 

4.20

 

4 кестенің жалғасы

4.21

4.22

4.23

4.24

4.25

4.26

4.27

4.28

4.29

4.30

         5 Эквивалентті шексіз аз шамаларды қолданып шекті табу керек

5 К е с т е

 

а)

б)

 

а)

б)

5.1 

                                       

                                  

5.2

 

        

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

5.11

5.12

5.13

5.14

5.15

5.16

5 кестенің жалғасы

5.17

5.18

5.19

5.20

5.21

5.22

5.23

5.24

5.25

5.26

5.27

5.28

5.29

5.30

 

6 Берілген f(x) және g(x) функциялары үшін

а) үзіліс нүктелерін;

б) үзіліс нүктесіндегі оң және сол жақ шектерін;

в) үзіліс нүктесінің түрін табу керек

6 К е с т е

 

f(x)

g(x)

 

f(x)

g(x)

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

6.10

6.11

6.12

6.13.

6.14

6.15

6.16

6 кестенің жалғасы

6.17

6.18.

6.19

6.20

6.21

6.22

6.23

6.24.

6.25

6.26

6.27

6.28

6.29

6.30

7 Функцияны үзіліссіздікке тексеру керек және графигін салу керек

7 К е с т е

f(x)

f(x)

7.1

7.2

7.3

7.4 

7.5

7.6

7.7

7.8

7.9

7.10

7.11

7.12

7 кестенің жалғасы

7.13

7.14

7.15

7.16

7.17

7.18

7.19

7.20

7.21

7.22

7.23

7.24

7.25

7.26

7.27

7.28

7.29

7.30

 

          8 Табу керек

          1) функцияның туындысын;

          2) б) пунктіндегі функцияның дифференциалын

 

8 К е с т е

8.1

а)

б)

в)

г)

д)

8.2

а)

б)

в)

г)

д)

8.3

а)

б)

в)

г)

д)

8.4

а)

б)

в)

г)

д)

8.5

а)

б)

в)

г)

д)

8.6

а)

б)

в)

г)

д)

8.7

а)

б)

в)

г)

д)  

8.8

а)

б)

в)

г)

д)

8.9

a)

б)

в)

г)

д)

8.10

а)

б)

 

8.11

а)

б)

 

8.12

а)

б)

 

8 кестенің жалғасы

в)

г)

д)

в)

г)

д)

в)

г)

д)

8.13

а)

б)

в)

г)

д)

8.14

а)

б)

в)

г)

д)

8.15

а)

б)

в)

г)

д)

8.16

а)

б)

в)

г)

д)

8.17

а)

б)

в)

г)

д)

8.18

а)

б)

в)

г)

д)

8.19

а)

б)

в)

г)

д)

8.20

а)

б)

в)

г)

д)

8.21

a)

б)

в)

г)

д)

 

        

8 кестенің жалғасы

8.22

а)

б)

в)

г)

д)   

8.23

а)

б)

в)

г)

д)

8.24

а)

б)

в)

г)

д)

8.25

а)

б)

в)

г)

д)

8.26

а)

б)

в)

г)

д)

8.27

а)

б)

в)

г)

д)

8.28

а)

б)

в)

г)

д)

8.29

а)

б)

в)

г)

д)

8.30

а)

б)

в)

г)

д)

          9 Логарифмдік дифференциалдау әдісімен функцияның туындысын табу керек

9 К е с т е

9.1

9.2

9 кестенің жалғасы

9.3

9.4  

9.5

9.6  

9.7 

9.8 

9.9  

9.10  

9.1

9.12 

9.13

9.14 

9.15

9.16

9.17

9.18 

9.19

9.20

9.21

9.22

9.23

9.24  

9.2

9.26

9.27

9.28  

9.29

9.30 

 

 

10 Айқын емес түрде берілген функцияның туындысын табу керек

10 К е с т е

10.1   x – y + arctg y = 0

10.2   xy =

10.3    

10.4    y = cos xy

10.5   xy = ln(1 + y)

10.6   x – y +3sin y = 0

10.7  

10.8   x – y + 4sin y = 0

10.9 

10.10 

10.11   

10.12

10.13

10.14  y + = 0

10.15  x = ln(x + y)

10.16  y - = 0

10.17  - ln xy = 0

10.18  x + y =

10.19  y = sin xy

10.20  + x = cos xy

10.21  xy = ln xy

10.22  x + y= tg(x + y)

10.23  y=

10.24  + sin(x + y) = 0

10.25  + cos(x + y) = 0

10.26  xy + sin(x + y) = 0

10.27  xy + cos(x + y) = 0

10.28  tg y = 4y – 5x

10.29  xy = ctg y

10.30  xy – 6 = cos y

11 Параметрлік түрде берілген функцияның  туындысын табу керек

11 К е с т е

11.1

11.2

11.3

11.4

11.5

11.6

11.7

11.8

11.9

11.10

11.11

11.12

11.13

11.14

11.15

11 кестенің жалғасы

11.16

11.17

11.18

11.19

11.20

11.21

11.22

11.23

11.24

11.25

11.26

11.27

11.28

11.29

11.30

12 а) абсциссасы  нүктесіндегі  функция графигінің жанама және нормаль теңдулерін құру керек;

б) дифференциал көмегімен  нүктесіндегі  функцияның жуық мәнін есептеу керек

12 К е с т е

f(x)

f(x)

12.1           

    27

 7,96

12.2     

   1

 1,02

12.3         

1

31,65

12.4         

1

16,4

12.5     

3

2,9

12.6         

-1

27,05

12.7         

9

24,95

12.8         

1

25,05

12.9       

1

1,03

12.10       

128

128,5

12.11        

1

15,98

11.12      

-1

31,85

12.13     

1

1,04

12.14       

16

1,05

12.15        

-1

32,05

12.16       

-1

31,5

12.17        

1

16,07

12.18       

1

15,95

12.19         

4

15,92

12.20        

-1

1,01

12.21        

1

31,95

12.22       

1

16,05

12.23        

1

0.95

12.24    

-1

1,03

12.25        

1

16,06

12.26       

1

64,05

12.27        

8

1,02

12.28       

-8

1,05

12.29        

1

15,91

12.30         

1

0,98

         13   кесіндідегі функцияның ең үлкен және ең кіші мәнін есептеу керек

13 К е с т е

f(x)

f(x)

13.1 

13.2 

13.3 

13.4  

13.5 

13.6 

13.7 

13.8 

13.9 

13.10 

13.11 

13.12 

13.13 

13.14

13.15 

13.16 

13.17 

13.18 

13.19 

13.20 

13.21 

13.22 

13.23 

13.24 

13.25 

13.26 

13.27 

13.28 

13.29 

13.30 

 

14 Берілген функция үшін табу керек

а) анықталу облысы және үзіліс нүктелері;

б) функция графигінің асимптоталарын;

в) графиктің координата осьтерімен қиылысу нүктелерін;

г) жұптығын және тақтығын;

д)  монотондық  интервалын, экстремум нүктелерін;

е) ойыс және дөңес интервалдарын, иілу нүктелерін;

ж) график салу керек

14  К е с т е

f(x)

f(x)

f(x)

14.1           

14.2      

14.3         

14.4        

14.5    

14.6        

14.7        

14.8       

14.9   

 

 

14 кестенің жалғасы

14.10      

14.11      

14.1

14.13  

14.14  

14.15     

14.16     

14.17       

14.18 

14.19    

14.20        

14.21      

14.22      

14.23       

14.24     

14.25  

14.26      

14.27      

14.28      

14.29        

14.30     

 

 

15 Лопиталъ ережесі бойынша шекті табу керек

15 К е с т е

15.1 а)         б)

 

15.2 а)         б)

15.3 а)         б)

15.4 а)  б)     

 

15.5 а)   б)

15.6 а)       б)

15.7 а)       б)

15.8 а)     б)

15.9 а)      б)

15.10 а)     б)

15.11 а)    б)

15.12 а)     б)

15.13 а)   б)

15.14 а)  б)

15.15 а) б)

15.16 а) б)

 

 

15 кестенің жалғасы

15.17 а)       б)

15.18 а) б)

15.19 а)  б)

15.20 а) б)

15.21 а)     б)

15.22 а)     б)

15.23 а)        б)

15.24 а)  б)

15.25 а) б)

15.26 а) б)

15.27 а)     б)

15.28 а)   

б)

15.29 а)      б)

15.30 а)     б)

 

1.3 Типтік нұсқаның шешуі

Функцияның шегін есептегенде алдымен функциядағы айнымалының орнына шектік нүктені (айнымалы ұмтылып тұрған санды) қою керек. Егер нақты сан немесе шексіздік шықса, шыққан мән жауап болып табылады. Егер шекті есептегенде анықталмағандықтың бірі, яғни:

  бірі шықса, онда әртүрлі әдістерді пайдаланып анықталмағандықты ашу керек. Бұл әдістерді мысалдарда қарастырайық.

1 Шекті есептеу керек  мұндағы

а) а=1;

б) а=5.

Шешуі:

а) функциядағы  орнына а=1 шектік нүктені қойып бірден жауап аламыз: ;

 

 

б) а=5 шектік нүктені  орнына қойғанда  түріндегі анықталмағандық аламыз  , оны екі әдістің бірін қолданып ашуға болады. Бірінші әдіс бойынша бөлшектің алымы мен бөлімін көбейткіштерге жіктеп, ортақ көбейткішке қысқарту керек: . Екінші әдіс бойынша  Лопиталь ережесі қолданылады: . Бұл ереже бойынша .

2 Шекті табу керек

а) ;

б) ;

в) .

Шешуі:

Бұл шектердің әрқайсысындағы айнымалыға  қойғанда  түріндегі анықталмағандық шығады, оны ашу үшін 18 кестесіндегі 1.7 ережесі қолданылады.. Кейбір жағдайларын қарастырайық

а) алымындағы және бөліміндегі айнымалылардың ең жоғарғы реті бірдей , сондықтан шектің мәні ең жоғарғы ретті айнымалылардың коэффициенттеріне тең: ;

ә) алымындағы айнымалының ең жоғарғы реті бөліміндегіден үлкен , сондықтан ;

б) бөліміндегі айнымалының ең жоғарғы реті алымындағыдан үлкен , сондықтан  .

3 Шекті табу керек .

Шешуі:

бұл шекте айнымалыға 4-ті қойғанда  түріндегі анықталмағандық шығады, оны ашу үшін алымын және бөлімін алымына түйіндес өрнекке көбейтіп, ал бөлімін көбейткіштерге жіктейміз. Содан соң ортақ көбейткішті қысқартамыз:

. Егер Лопиталь ережесін қолдансақ, мына нәтижені аламыз:  =.

         4 Шекті табу керек

а) ;

б) .

Шешуі:

         а) бұл шекте айнымалыға   қойғанда  түріндегі анықталмағандық шығады, оны шешу үшін келесі әдістердің бірін қолдануға болады. Біріншісі бұл берілген шекті екінші тамаша шектің түріне келтіру: ===.

Бұл жерде біз екінші тамаша шектің жалпы түрін қолдандық . Екінші әдісбұл  түріндегі анықталма-ғандықты ашу үшін қолданылатын формула:

. Бұл формула бойынша == =(шексіз аз функцияны оған эквивалентті аз функциямен айырбастасақ:  кезде   ) = = .

Жоғарыда келтірілген формуланы еске түсірмесек, ол формуланы алу әдісін қолдануға болады:  берілген болсын, бұл теңдіктен е негізі бойынша логарифмдесек  аламыз. Одан шек алсақ  =(жоғарыда есептеу жолы көрсетілген)=5/2. Сонымен, , бұдан  ;

         б) ==.

         5 Шекті табу керек

а) ;

б) , эквивалентті шексіз аз шамаларды (функцияларды) қолдану керек.

Шешуі:

егер  , онда   кезде шексіз аз функция немесе шексіз аз шамалар деп аталады (ш.а.ф.). Шексіз аз шамаларды салыстырғанда олардың қатынастарының шегін есептейді және   кезде шексіз аз шамалар болсын. Егер

1) болса, онда  ш.а.ф. -ке қарағанда дәрежесі жоғары деп аталып,  ;

2)  болса, онда  ш.а.ф. -ке қарағанда дәрежесі төмен деп аталады;

3)  болса, онда   және   ш.а.ф. реті бірдей;

4)  болса, онда   және   эквивалентті деп аталып, деп белгіленеді;

5)  болса, онда    ш.а.ф.-ке қарағанда -ші ретті ш.а.ф.

Шексіз аз шамалармен шекті есептегенде кейбір жағдайларда эквивалентті ш.а.ф. теоремалары қолданылады:

Теорема 1. Егер  кезде , , онда

1)  ;

2) .

Теорема 2. Ақырлы ш.а.ф. алгебралық қосындысы реті төмен ш.а.ф. қосындысына эквивалентті.

Сонымен, шек есептегенде осы теоремаларға сүйеніп, эквивалентті ш.а.ф. кестесін қолдануға болады (19 кестені қараңыз).

а) =(19 кесте бойынша  кезде ,  )==-8;

         б) =(алдымен түрлендіру жасап, 19-кесте бойынша =;  аламыз, сонымен бұл ш.а.ф. -пен салыстырғанда үшінші ретті,  - -пен салыстырғанда екінші ретті ш.а.ф., () – -пен салыстырғанда бірінші ретті ш.а.ф.

немесе  -пен салыстырғанда реті бірдей, сондықтан 2 теорема бойынша  қосындысы ())= эквивалентті.

6   және   функциялары үшін табу керек

а) үзіліс нүктесін;

б) үзіліс нүктесінде оң және сол жақ шектерін;

в) үзіліс нүктесінің сипаттамасын анықтау керек.

Шешуі:

элементар функция қандай да бір нүктеде анықталмаған, бірақ оның маңайында анықталған болса, ол нүкте функцияның үзіліс нүктесі деп аталады; егер функция бірнеше әртүрлі аналитикалық өрнекпен берілсе, онда аналитикалық өрнектер ауысатын нүктеде үзіліс нүктесі  болады.

 нүктесіндегі  функциясының біржақты шектері  шегімен анықталады, тек  немесе  ескеріледі. Сонымен, сол жақ шек: =; оң жақ шек:  =.

Егер  функциясы  нүктесінде үзіліссіз болса, онда = теңдіктері орындалады; егер  үзіліс нүктесі болса, онда соңғы теңдіктер орындалмайды. Егер  және  бар болса, бірақ , онда  бірінші текті үзіліс нүктесі,  - - айырымы  функциясының  нүктесіндегі секірісі; егер , онда  түзетуге келетін бірінші текті үзіліс нүктесі. Егер  немесе  шектерінің ең болмағанда біреуі болмаса немесе бар болып және  -ке  ұмтылса, онда  екінші текті үзіліс нүктесі.

1)  функциясын қарастырайық.

а) х=-6 нүктесі берілген функцияның анықталу облысына енбейді, бірақ оның маңайында анықталған, яғни х=-6 үзіліс нүктесі;

б) == 0,  = =; в) біржақты шек  болғандықтан,  х=-6 екінші текті үзіліс нүктесі.

2)  функциясын қарастырайық.

а) х=3 нүктесі берілген функцияның анықталу облысына енбейді, бірақ оның маңайында анықталған,, яғни х=3 үзіліс нүктесі;

б) == -==+;

в) біржақты шектердің екеуі де -ке ұмтылғандықтан,  х=3 екінші текті үзіліс нүктесі.

7  функцияны үзіліссіздікке зерттеп, графигін салу керек.

Шешуі:

берілген функция [0; ) аралығында анықталған және үш құраушы  функциялардан тұрады, олардың әрқайсысындағы  берілген аймақтарында анықталған. Сонымен, аналитикалық өрнектер ауысатын нүкте үзіліс нүктесі  болады, яғни х=1 және х=2,5. Осы нүктелерді зерттейік. х=1 нүктесінің біржақты шектерін есептейміз: =2;  = 2; бұл нүктедегі функцияның мәні  . Сонымен, , бұдан х=1 үзіліссіз нүкте екендігін аламыз.

Сол сияқты х=2,5 үшін:

=-1;  - 2; . Келесі өрнекті ескерсек  , онда х=2,5 бірінші текті үзіліс нүктесі,

-=-1 – функцияның  х=2,5 нүктесіндегі секірісі. Графиктің түрі:

 

1 Сурет

           

            8 Келесі функциялар үшін

1) функция туындысын

          а) ;

          б) ;

          в) ;

          г) ;

          д) ;

2)  б) пунктіндегі функцияның дифференциалын табу керек

Шешуі:

         1) анықтама бойынша  функциясының туындысы деп  шегін айтамыз. Практикада функцияның дифференциалын тапқанда туынды кестесін және негізгі дифференциалдау ережелерін қолданамыз (20- кестені қараңыз):

1) ;

2) ;

3);

4) егер  немесе   (мұндағы  аралық аргумент) болса, онда  немесе

5) егер  және өзара кері функциялар болса, онда

          а) функцияны  түрінде жазамыз, содан соң  1) ереже  мен 1), 2), 3) формулаларын, 20- кестені қолдансақ

 =;

          б) берілген күрделі функцияны   түрінде жазамыз. Сосын 4) ереже бойынша күрделі функцияның туындысын   11) формула мен 20- кестені қолдану арқылы табамыз

 ;

          в) 20 туынды кестесінен және 2) ережеден

 ;

          г) 20 туынды кестесінен және 3) ережеден

;

          г) берілген функцияны аралық аргумент енгізіп, элементар функциялардың тізбегі ретінде түрлендіруге болады  . Енді 20 туынды кестесінен және 4) ережеден күрделі функцияның туындысын табамыз        ;

          2)  функциясының дифференциалы деп   өрнегін айтамыз, сондықтан   функциясының дифференциалы .

9 Логарифмдік дифференциалдау әдісін қолданып функцияның туындысын   табу керек

а);

б) .

Шешуі:

логарифмдік дифференциалдау әдісі  түріндегі немесе тек көбейту, бөлу, дәрежеге шығару, түбір алу қисаптары бар логарифмдеуге қолайлы функциялардың туындысын табу үшін қолданады. Бұл әдіс келесі амалдарды біртіндеп қолданудан тұрады: функцияны е негізі бойынша логарифмдейміз, алынған өрнекті дифференциалдаймыз (  -тен туындыны күрделі функцияның туындысы ретінде аламыз). Соңғы өрнектен -ты табамыз.

а) берілген функцияны е негізі бойынша логарифмдейміз , нәтижені дифференциалдаймыз . Соңғы өрнектен -ті табамыз

 ;

б) логарифмдік дифференциалдау біртіндеп қолдансақ:

;

;

;

;

.

10 Айқын емес түрде берілген функцияның туындысын табу керек .

Шешуі:

Берілген теңдікті -ті -ке тәуелді функция екенін ескеріп (яғни күрделі функция): . Соңғы теңдіктен .

11 Параметрлік түрде берілген   функциядан  және  туындыларын табу керек

Шешуі:

параметрлік түрде берілген  функцияның бірінші туындысы  формуласымен табылады. Екінші туындысы – ; үшіншісі -  және с.с.  Біздің функция үшін

,  болғандықтан ;  .

 

12

а)   функциясының  графигіне абсциссасы  нүктесінде жүргізілген жанама мен нормальдың теңдеуін жазу керек;

б) дифференциал көмегімен функцияның  нүктесіндегі жуық мәнін есептеу керек.

Шешуі:

а)  нүктесінде  функциясының  графигіне жүргізілген жанама теңдеуі , нормаль теңдеуі - . Алдымен,  , , . Сонымен, жанама теңдеуі  немесе ; нормаль теңдеуі  немесе ;

б) аргументтің аз мәнінде  функцияның өсімшесін оның дифференциалымен айырбастауға болады . Жуық мәнді ашып жазсақ  (*),  бұл формула жуықтап есептеуге қолданылады. Біздің мысалда .  болсын, онда , , . Бұл мәндерді (*) формуласына қойсақ,

 .

13 [1;e] кесіндісінде функциясының ең үлкен және ең кіші мәндерін табу керек .

Шешуі:

Егер функция кесіндіде үзіліссіз болса, онда осы кесіндіде экстремум нүктесінде немесе кесінді шекара нүктелерінде оның ең үлкен және ең кіші мәні болады. Бұдан  функциясының [a;b] кесіндіде ең үлкен және ең кіші мәндерін табу үшін:

1) кесіндіге тиісті кризистік нүктелерін (яғни туындысы нөлге тең немесе туындының мәні жоқ нүктелерді) табу керек;

2) осы нүктелерде және кесінді шекара нүктелерінде функцияның ,  мәндерін табу керек;

3) алынған мәндерді салыстыру керек.

Осы ереже бойынша

1)  функциясының [1;e] кесіндіге тиісті кризистік нүктелерін табамыз: ;    нүктесінде ,  нүктесінде туындының мәні жоқ.  Бірақ  кесіндіге тиісті емес (функцияның анықталу облысына да тиісті емес), ;

2) функцияның кесінді шекара нүктелерінде және  нүктесінде есептейміз: , , ; 3). Алынған мәндерді салыстырсақ: функцияның ең үлкен ,  нүктесінде, ең кіші мәні - ,  нүктесінде.

14  функциясы үшін табу керек

а) анықталу облысын және үзіліс нүктелерін;

б) функция графигінің асимптоталарын;

в) функция графигінің координата осьтерімен қиылысу нүктелерін;

г) жұптығын және тақтығын;

д) монотондық интервалын,  экстремум нүктелерін;

е) дөңес, ойыс интервалдарын, иілу нүктелерін;

ж) графигін салу керек.

Шешуі:

а) функцияның анықталу облысы – бұл функцияны өрнектейтін формуланың мағынасы болатындай -тің мәндерінің жиыны. Сонымен біздің функция үшін  - анықталу облысы, бұл жиынға бөлімі нөлге айналатын  -2 және 2 нүктелері кірмейді;

б) үзіліс нүктелерінің біржақты шектерін есептейміз  =-,  =+. Сонымен -2 және 2 нүктелері- екінші текті үзіліс нүктелері, сондықтан  және  тік (вертикаль) асимптоталар болады. Көлбеу асимптотаны табайық , мұндағы  , . Сонымен,  - көлбеу асимптота;

в) функция графигінің координата осьтерімен қиылысу нүктелерін табамыз:  ОХ-пен: ;  ОУ-пен: . Сонымен, график координата осьтерімен  (0;0) нүктесінде қиылысады;

г)  болғандықтан, функция тақ, оның графигі координата басына қарағанда симметриялы;

д) функцияны монотондыққа зерттеп,  экстремум нүктелерін табамыз.

. , -

Кризистік нүктелері нүктесінде  табылмайды, бұл нүктелер анықталу облысына енбегендіктен кризистік нүктелер болмайды. Зерттеу нәтижесін кестеге енгізейік.

16 К е с т е

0

+

0

-

-

0

-

-

0

+

0

 

өседі

max

кемиді

кемиді

экстр

жоқ

кемиді

кемиді

min

өседі

         е) дөңес, ойыс интервалдарын, иілу нүктелерін табайық.

. ,   болғанда  мәні жоқ, бұл нүктелер анықталу облысына енбегендіктен, иілу нүктелерінің абсциссалары бола алмайды. Зерттеу нәтижелерін кестеге енгіземіз.

17 К е с т е

0

-

+

0

-

+

0

 

дөңес

ойыс

иілу

дөңес

ойыс

 (0;0) – иілу нүктесі;

         ж) функцияның графигін салайық:

 

2 Сурет

 

15 Лопиталь ережесі бойынша шекті табу керек:

а);

б) .

Шешуі:

         а) Лопиталь ережесі 1б) мысалында келтірілді. Бұл ереже бойынша ;

         б). Шектік нүктені  орнына қойғанда  түріндегі анықталмағандық аламыз, оны 4а) мысалында келтірілген  формула бойынша ашуға болады. Белгілеу енгізейік , содан соң бұл теңдіктің екі жағын е негізі бойынша логарифдейміз:  . Лопиталь ережесін қолданамыз   . Сонымен, , бұдан .

 

 

18 К е с т е

Шектердің түрі

Шектік нүктені қою нәтижесі

Шекті есептеу әдісі немесе нәтижесі

1.

 

анықталмағандық

2.

   

,

анықталмағандық

а) көбейткіштерге жіктеу;

б) Лопиталь ережесі;

в) түіндесіне көбейту;

г) эквивалентті аз шамаларды қолдану;

д) осы кестенің 1 ережесі

3.   

, ,

0

4.   

, ,

5.   

 

анықталмағандық

 немесе  түріндегі анықталмағандыққа келтіріп, осы кестенің 1 немесе 2 пункті

6.   

,

7.   

,

0

8.   

 

анықталмағандық

привести к неопределённостям вида  немесе , осы кестенің 1 немесе 2 пункті

9.   

10.  

 анықталмағандық

а) екінші тамаша шекке келтіру ;

б)  формуласын қолдану

11.  

12.

 

 

19 К е с т е

, яғни   – кезде шексіз аз шама

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

 

 

20 К е с т е

1. 

2. 

3.   

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

 

 

 

 

Әдебиеттер тізімі

         1. Хасеинов К.А. Каноны математики. Учебник -Алматы, 2003 -686 с.

         2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. – М.: Высшая школа, 2003. – ч. 1,2.-352 с.

         3. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: в 3 ч. (Рябушко А.П., Бархатов В.В. и др.). Под ред. Рябушко А.П. – Минск: Высш. школа, 2000.-ч.2,3 .-396 с.

        4. Дүйсек А.К., Қасымбеков С.К. Жоғары математика (оқу құралы) -  Алматы: ҚБТУ, 2004. - 440 б.

Мазмұны

1 Теориялық сұрақтар………………………………….....………......…….….3

2 Есептік тапсырмалар………………………………….....….....………….….3

3 Типтік нұсқаның шешуі…………………………………….....…………….20

Әдебиеттер тізімі ...............................................................................................33