ҚАЗАҚСТАН  РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ  БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТІРЛІГІ

 "Алматы энергетика және байланыс институтының "

Коммерциялық емес акционерлік қоғамы

 

 

С.Е. Ералиев

 

Математикалық талдауға кіріспе

 Оқу құралы

 

Алматы 2010

Бұл оқулық техникалық жоғары оқу орындарының  бағдарламасына сәйкес  жазылған. Мұнда функцияның анықтамасы, шегі, үзіліссіздігі, туындылары,  дифференциалдары  қарастырылған.  3-тарауда дифференциалдауды шектерді есептеуде, функцияларды зерттеуде және сызбасын салуда әрі геометрияда қалай қолданалатындығы көрсетілген. Әрбір бөлімде мысалдар қарастырылып, соңында есептер берілген. Сондықтан бұл оқулықты есептер жинағы ретінде күндізгі  әрі сырттан оқитын жоғары оқу орындарының студенттері пайдалана алады.

 

I-тарау.  Талдамға кіріспе

 

1.      Функциялар (Бернелер)

1.1 Анықтамасы

 

* айнымалысының әрбір мәніне  айнымалысының белгілі бір мәні сәйкес келсе, онда у-ті х-тің функциясы деп атап, оны  немесе , т.с.с деп белгілейді. Мұндағы х- тәуелсіз айнымалы немесе аргумент айғағы деп аталады. Х аргументінің (айғағының) қабылдайтын мәндер жиыны D анықталу облысы деп, ал у функциясының  cәйкестігі бойынша қабылдайтын мәндер жиыны Е өзгеру облысы деп аталады.

Егер  функциясы үшін аргументтің үлкен мәніне функцияның үлкен мәні сәйкес келсе, онда функция өспелі; керісінше аргументтің  үлкен мәніне функцияның кіші  мәні сәйкес келсе, онда функция кемімелі функция деп аталады.

 функциясы үшін  теңдігі орындалса, онда ол тақ функция деп; ал  теңдігі орындалса жұп функция деп аталады.

Функцияның берілу тәсілдері:

а) Кестелік берілуі. Бұл жағдайда белгілі бір ретпен х-тің мәндері әрі оған сәйкес у мәндері жазылады.

  

...

...

    

б) Графиктік берілуі сан жиындарының арасындағы қатынастарды оның графигін пайдалана отырып көрсетуге болады. Ол үшін жазықтықта барлық  нүктелерін салу жеткілікті. Осы нүктелер графикпен анықталған нүктелерді береді.

в) Аналитикалық тәсілмен берілуі. Математикада екі айнымалының қатынасы (тәуелділігі) формула арқылы беріледі. Бұл тәсіл функцияның аналитикалық тәсілмен берілуі деп аталады.

Егер қандайда бір саны табылып  теңдігі орындалса, онда  функциясы периодты функция болады. Ал теңдік орындалатын ең кіші Т оның негізгі периоды деп аталады.

Мысалы,    үшін  ал   үшін  .

Қандайда бір оң М саны табылып, анықталу облысында  жататын кезкелген  үшін  теңсіздігі орындалса, онда  шектелген функция деп аталады. 

 

1.2 Негізгі элементар функциялар (қарапайым бернеулер)

Негізгі элементар функциялар деп келесі аналитикалық түрде берілген функцияларды айтады:

1. Дәрежелік функция  - нақты сан.

 

 

 


1 Сурет                                    2 Сурет                                   3 Сурет

  

2. Көрсеткіштік функция    Анықталу облысы- барлық сандар өсі

 

 

 

 

  4 Сурет                                                        5 Сурет

 

3. Логарифмдік функция         

 

 

 


                                    6 Сурет

 

4. Тригонометриялық функциялар

             

    Мұндағы     функцияларының анықталу облысы  

 функциясының анықталу облысына  

нүкелерінен басқа нүктелердің барлығы, ал  функциясының анықталу облысына     нүктелерінен  басқа нүктелердің барлығы кіреді.

 

5. Кері тригонометриялық функциялар.

    функцияларының анықталу облысы   ал    - (-.

Анықтама. Негізгі элементар функцияларға амалдар қолдану арқылы алынатын функция элементар функция деп аталады.

1. Мысал -   .

 Табу керек:      .

Шешуі:        ;         

                  

 2. Мысал -      функциясының анықталу облысын табу керек.

Шешуі:   Мұндағы    болу керек. Яғни

 

                                                   ,      

Сондықтан функцияның анықталу облысы (-                                                                                 болады.

3. Мысал -     функциясының анықталу облысын табу керек.

Шешуі:  Берілген функция анықталады, егер   Бұдан    

4. Мысал - +  функциясының анықталу облысын табу керек. 

Шешуі: Әрбір қосылғыштың анықталу облысын табамыз. Бұл облыстардың ортақ бөлігі функцияның анықталу облысы болады. Бірінші қосылғыш  интервалында анықталған. Екінші қосылғыш  (( интервалында, ал үшінші қосылғыш   интервалында анықталған. Бұл үш интервалдың ортақ бөлігі  облысы берілген функцияның анықталу облысы болады.

 

5. Мысал -  Тақ функциямен жұп функцияның көбейтіндісі, тақ функция болатындығын дәлелдеу керек.

Шешуі: -тақ, -жұп функция болсын.  функциясының тақ болатындығын  дәлелдеу керек:

 

1.  берілген. Табу керек .

2. Берілген . Табу керек      

3.  берілген. Табу керек         

4.   берілген. Табу керек 

      Келесі функциялардың анықталу облыстарын табу керек:

5                        6.  

7.                                 8.     

9.                          10 

 

11. Екі тақ функцияның көбейтіндісі жұп функция болатындығын дәлелдеу керек.

12. Екі жұп функцияның көбейтіндісі жұп функция болатындығын дәлелдеу керек.

13. Келесі функциялардың қайсысы тақ, қайсысы жұп болатындығын анықтау керек:

а)                                       б)      

в                     г)  

д)   

 

14. Келесі функциялардың қайсысы периодты болатындығын анықтап, олардың периодын табу керек:

 

а)                       б) 

в)                        д)   

 

2.               Сандық тізбектер және оның шектері

2.1. Анықтамасы

 

Реттері өсуіне қарай бүтін сандармен нөмірленген

 

                                      

сандар жиыны тізбек деп аталады. Тізбекті бүтін сандардың функциясы түрінде жазуға болады: 

Егер тізбектің әрбір мүшесі алдыңғы мүшесінен үлкен болса, онда сандық тізбек бірсарынды өспелі деп аталады. Мысалы,

Егер тізбектің әрбір мүшесі алдыңғы мүшесінен кіші болса, онда сандық тізбек бірсарынды кемімелі деп аталады. Мысалы:

        Сандық тізбек жоғарыдан шенелген деп аталады, егер М саны табылып, кез келген n үшін   .

        Сандық тізбек төменнен шенелген деп аталады, егер N саны табылып, кез келген n үшін  

        Егер сандық тізбек төменнен және жоғарыдан шенелген болса, онда ол шенелген деп аталады, Бұл жағдайда  М > 0 саны табылып, кез келген n үшін  яғни       Мысалы:   шенелген сандық қатар болады, себебі 

 

    2.2 Шектер

 

  Кез келген  > 0 саны үшін  саны табылып,  саны табылып,  болғанда    орындалса, онда А саны сандық тізбектің шегі деп аталады да

 

                                            

деп жазылады.

Сандық тізбектің тек бір ғана шегі болады.

Шегі бар болатын тізбек жинақты тізбек деп, ал шегі болмайтын тізбек жинақсыз тізбек деп аталады. Жинақты болатын тізбектер үшін келесі теңдіктер орындалады:

                                                                           (1)

                           ;                                                     (2)

        егер  .                                                (3)

 

1. Мысал -  Тізбектің шегі туралы анықтаманы пайдалана отырып, жалпы мүшесі  болатын тізбектің шегі нөлге тең болатындығын дәлелдеу керек.

Шешуі: -ға байланысты болатын  санын анықтаймыз. Кез келген  үшін    немесе  орындалады. Бұл теңсіздіктен  яғни  деп алуға болады.

      Сонымен, кезкелген  үшін  саны табылып,  болғанда  теңсіздігі  орындалады. Бұл берілген тізбектің шегі нөлге тең болатындығын көрсетеді.

2. Мысал -     тізбегінің жалпы мүшесін анықтау керек.

Шешуі:        ,         

     ,   

3. Мысал -  Жалпы мүшесі   болатын тізбектің шегін табу керек.

Шешуі:  Ол үшін бөлшектің алымы мен бөлімін қа бөліп, одан кейін шекке көшеміз:

                                                         

Келесі тізбектердің жалпы мүшелерін анықтау керек:

 

15.       

16.       .

Тізбектің шегі туралы теореманы пайдалана отырып, келесі теңдіктерді дәлелдеу керек:

17                                   18.

19.                                       20.

 

Келесі тізбектердің шектерін табу керек:

21.                                      22.  

23.                              24.

25.                         26.

 

3. Функцияның шегі

3.1 Функцияның шегінің анықтамасы

 

Егер кез келген   санына сәйкес  саны табылып,  шартын қанағаттандыратын барлық  үшін  теңсіздігі орындалса, онда  санын  функциясының  -тің -ға ұмтылғандағы шегі деп атайды да

                      

                                                       

деп жазады.

 

1. Мысал -  Функция шегінің анықтамасын пайдалана отырып,  болатындығын дәлелдеу керек.

Шешуі:   саны берілсін.    теңсіздігін қанағаттандыратын, барлық -тер үшін,    теңсіздігі орындалатын  санын табу қажет.

Егер   болса, онда  Сондықтан   

   теңсіздігі орындалу үшін,   деп алсақ жеткілікті. Бұдан                   

Сонымен кез-келген  үшін  саны табылып,  теңсіздігінен  орындалады, яғни 

                                                    

Келесі есептерде функцияның шегінің анықтамасын пайдаланып дәлелдеу керек:

27.                                           28. 

 29.                                             30. 

  

3.2        Ақырсыз кішкене және ақырсыз үлкен функциялар

 

Егер   болса, онда   функциясы ақырсыз кішкене функция деп аталады. Символмен былай анықталады:          

        Егер   болса, онда  функциясы ақырсыз үлкен функция деп аталады. Символмен былай анықталады:      ,       

*        ақырсыз кішкене және ақырсыз үлкен функциялар жоғарыдағыдай анықталады. Ақырсыз үлкен функциялармен ақырсыз кішкене функциялар тығыз байланыста болады. Егер:    болса, онда   яғни              

  Ақырысыз кішкене функциялардың қасиеттері:

а) Шектеулі ақырсыз кішкене функциялардың алгебралық қосындысы ақырсыз кішкене функция болады.

б) Шектеулі ақырсыз кішкене функциялардың көбейтіндісі ақырсыз кішкене функция болады.

в)  Ақырсыз кішкене функцияның шенелген функцияға көбейтіндісі ақырсыз кішкене функция болады. 

 

  4.  Шектерді есептеу

4.1    Негізгі теоремаларды (түйіндерді) қолдану

 

Функциялардың шектерін есептеу үшін келесі теоремаларды білу керек:

 

 мұндағы   тұрақты;                                          (1)

                                         

   мұндағы  тұрақты;                                               (2)

 

   Егер   және    бар болса, онда:

                                                           (3)

 

                                                         (4)

        егер                                         (5)

                                                              (6)

 

Барлық негізгі элементар функциялар үшін олардың анықталу облысында жататын нүктелерде:

                                                                           (7)

 

теңдігі орындалады.

Егер  болса, онда                                                    (8)

Егер  болса, онда                                                    (9)

Егер  және  болса, онда

                                                                  (10) 

 

1. Мысал -  Табу керек   

Шешуі:                    

2. Мысал -   табу керек.

Шешуі:    және   сондықтан 

3. Мысал -     табу керек.

Шешуі:     сондықтан 

4. Мысал -     табу керек.

Шешуі:       сондықтан          

 

 Келесі шектерді анықтау керек:

31.                               32.      

         

33.                                       34.  

         35.                                           36.

 

4.2        Анықталмағандықтарды ашу

 

Көп жағдайда аргументтің (айғақтың)  мәнін қою нәтижесінде

төмендегі анықталмағандықтарға келеміз:      Осындай жағдайлардағы функциялардың шегін табуды анықталмағандықтарды ашу деп атайды. Анықталмағандықтарды ашу үшін, шекке көшпестен бұрын, берілген өрнек түрлендіріледі:

 

5. Мысал -      табу керек.

Шешуі:   Берілген өрнекте аргументтің шектік мәнін қойсақ   түріндегі анықталмағандыққа келеміз. Сондықтан берілген өрнекті түрлендіреміз. Бөлшектің алымы мен бөлімі   болғанда нөлге айналатындықтан   және    көпмүшеліктері  ге қалдықсыз бөлінеді.

Сондықтан  

 

6. Мысал -     табу керек.

Шешуі:

               =                                                                                         

7. Мысал -     табу керек.

 

Шешуі:  

 

 8. Мысал табу керек.

 

 Шешуі:      

 

 

  Келесі шектерді табу керек:

 

37                        38 

 

39          40.           

 

41                42.

 

43           44

 

4.3 Бірінші және екінші тамаша шек

Берілген    функциясы   нүктесінде  түріндегі  анықталмағандық болғандықтан, оны шешу үшін бірінші тамаша шек қолданылады:

                                                                                     (11)

Берілген    функциясы   ұмтылғанда   түріндегі анықталмағандықты береді. Бұндай шектерді анықтау үшін екінші тамаша шек қолданылады:

                                                                             (12)

 

9. Мысал -   Табу керек:  

Шешуі:     ұмтылғанда   нөлге ұмтылады, сондықтан өрнектің алымы мен бөлімін 3-ке көбейтіп (11)-формуланы (кейіптемені) пайдаланамыз:

                                       =   

 

10. Мысал -   Табу керек. 

Шешуі:     болғандықтан    

 

11. Мысал -   Табу керек. 

Шешуі:              

   Келесі   шекткерді табу керек:

      45.                                            46.  

      47.                                        48.     

      49.                                      50.   

      51.                                   52.     

      53.                                     54.   

 

 5.  Ақырсыз аз функцияларды салыстыру.  Эквиваленттік (баламалық)

5.1   Ақырсыз кішкене шамаларды салыстыру

 

*  және   ақырсыз  кішкене функциялары реттері бірдей ақырсыз шамалар деп аталады, егер  Егер   болса, онда  ақырсыз кішкене шамасы  -қа қарағанда жоғары ретті ақырсыз кішкене шама деп аталады.

Кейбір жағдайда ақырсыз кішкене шаманың біреуін негізгі етіп алып, қалған кіші шамалардың реттерін негізгі кішкене шамамен салыстыра отырып анықтауға болады. Егер    және  кішкене шамаларының екіншісі негізгі болса, онда    орындалғанда    шамасы  -пен салыстырғанда  -ретті ақырсыз кішкене шама деп аталады.

  Егер   болса, онда   және    эквивалентті (баламалы) ақырсыз кішкене шамалар деп аталады да ²~² символымен белгілінеді. Яғни                            ~b(x).

Екі ақырсыз кішкене шаманың қатынасының шегі, ақырсыз кішкене шамаларды эквивалентті ақырсыз кішкене шамалармен ауыстырғаннан өзгермейді.

Егер   және b(x)  ақырсыз кішкене шамалар болса, онда олардың айырымы   b берілген  пен b қарағанда жоғары ретті ақырсыз кішкене шамалар  болады.

Керісінше, егер  b айырымы   пен  b-ға қарағанда жоғары ретті ақырсыз кішкене шама болса,онда  және  эквивалентті ақырсыз кішкене шамалар болады.

Негізгі эквиваленттіктер (баламалар):

 

                                               ~                                                  (1)

                                            *  ~                                                    (2)

                                              ~                                              (3)        

   ~                                           (4)                    

                                       1- ~                                            (5)

                                        ~                                            (6)

                                          ~                                              (7)

                                         a ~                                              (8)

                                            ~                                                 (9)

                                      ~                                          (10)

                                        ~                                           (11)

                                          ~                                            (12)

 

9-баламаны дәлелдеп көрсетейік.

 

                                

 

Олай болса, ~ егер  ұмтылғанда  

1. Мысал -   ұмтылғанда  және  функцияларының реттері

бірдей ақырсыз аз шамалар болатындығын дәлелдеу керек.

 

Шешуі: Берілген екі функцияның қатынастарының шегін анықтаймыз:

 

                                        

 Яғни берілген ақырсыз аз функциялардың реттері бірдей.

 

2. Мысал -  ұмтылғанда  функциясының реті  функциясының ретінен жоғары болатындығын дәлелдеу керек.

 

 Шешуі:              

яғни  функциясы  функциясына қарағанда жоғары ретті ақырсыз кішкене шама.

 

3. Мысал -   ұмтылғанда,  мен -ң қандай мәндерінде,

функциясы  функциясымен эквивалентті болады.

 

Шешуі: Бұл екі функция эквивалентті болу үшін  болу керек.

Бұдан   Яғни, берілген екі функция эквивалентті болу үшін   және

 

               

 ұмтылғанда келесі ақырсыз кішкене функциялардың эквивалентті болатынын дәлелдеу керек:

 

 55. және                                      56.  және

 

 57.  және                                         58.  және

 

Келесі есептерде,  ұмтылғанда  мен -ң қандай мәндерінде  функциясы  функциясымен эквивалентті болады:

 

 59.                                                 60.

                                       61.

 

 

5.2          Эквивалентті ақырсыз аз шамаларды шектерді есептеуге қолдану.

       Бізге екі ақырсыз кішкене шаманың қатынасының шегі, ақырсыз кішкене шамаларды  эквивалентті ақырсыз кішкене шамалармен ауыстырғаннан өзгермейтіндігі белгілі.

 

4. Мысал -    табу керек.

Шешуі:

 

5. Мысал -   Табу керек .

Шешуі:  

 

6. Мысал -  Табу керек  

 

Шешуі.   

 

7. Мысал -  Табу керек  .

 

Шешуі:

   

8. Мысал - Табу керек  .

 

Шешуі:    

 

9. Мысал -  Табу керек .

 

Шешуі: Бұл өрнекте  және  ақырсыз кішкене шамалар. Бірақ  ақырсыз кішкене шама емес, сондықтан  функциясы -қа эквивалентті болмайды.

     Сол себепті  ақырсыз кішкене шамасын енгіземіз. Бұдан  және

 

 

                  .

 

 

10. Мысал -  Табу керек

 

Шешуі:

     

                      

 

11. Мысал -     Табу керек .

 

Шешуі:       .

 

 

Келесі шектерді табу керек:

 

62.  .                                                    63. .

 

64. .                                                   65. .

 

66. .                                                               67. .

68. .                                                             69. .

 

70. .                                                        71. .

 

72. .                                                       73. .

 

74. .                                                            75.      

 

76. .                                                            77. .

 

 

 

6. Функцияның    үзіліссіздігі.      Үзіліс нүктелері және оларды

классификациялау.

6.1  Анықтамасы.

 

 функциясы  нүктесінде үзіліссіз функция деп аталады, егер:

1) ол осы нүктеде анықталса; 2)  бар болса; 3) осы шек функцияның  нүктесіндегі мәніне тең болса, яғни .

Егер осы үш шарттың болмағанда біреуі орындалмаса, онда функция  нүктесінде үзілісті болады, ал  нүктесі үзіліс нүктесі деп аталады.

Үзіліс нүктелері келесі түрлерге бөлінеді: а) егер  бар болып, бірақ  функциясы  нүктесінде анықталмаса немесе анықталғанмен  болса, онда  нүктесі жөнделетін үзік нүкте деп аталады. Бұл жағдайда үзікті жөндеу үшін функцияның  нүктесіндегі мәнін қосымша анықтау қажет немесе оның  нүктесіндегі мәнін  теңдігі орындалатындай етіп өзгерту керек.

б) Егер  болмаса, бірақ  нүктесіндегі функцияның сол жақты және оң жақты шектері бар болып, олар бір-біріне тең болмаса, онда  нүктесі  функциясының бірінші текті үзік нүктесі деп аталады.

в) Егер  нүктесінде  функциясының бір жақты шектерінің болмағанда біреуі болмаса немесе шексіздікке тең болса, онда  нүктесі  функциясының екінші текті үзіліс нүктесі деп аталады.

 

 

    6.2  Үзіліссіз функциялардың қасиеттері

    Келесі теоремалардың маңызы зор

   1)Негізгі элементар функциялар

 өздерінің анықталу облыстарының барлық нүктелерінде үзіліссіз болады.

2) Егер  және  функциялары  нүктесінде үзіліссіз болса, онда осы нүктеде ; мұнда  функциялары да үзіліссіз болады.

3) Егер  функциясы  нүктесінде үзіліссіз болып, ал  функциясы  нүктесінде үзіліссіз болса, онда  күрделі функциясы  нүктесінде үзіліссіз болады.

4) Кез келген элементар функция анықталу облысының әрбір нүктесінде үзіліссіз болады.

 

1. Мысал -  Келесі функцияны үзіліссіздікке тексеріп, үзік нүктелерін табу керек:

                                                 .

Шешуі: Бұл функцияны күрделі функция түріне келтіреміз:

                                               , мұнда .

Бірінші бөлшекте бөлімі ешбір нүктеде нөлге айналмайды.  функциясы  нүктесінен басқа барлық нүктелерде үзіліссіз болады.

,

 

.

 

 Сонымен, сол және оң шектері бар, бірақ олар тең емес, сондықтан нүктесі 1-текті үзік нүкте болады.

 

                                                .

 

 Функцияның сызбасы:

 

 

 

 

 

 


7 Сурет

 

 

2. Мысал -  Функцияны үзіліссіздікке тексеріп үзік нүктелерін табу керек:

                                                            

               

                                                                              

 

Шешуі.

   болғанда функция үзіліссіз болады.  болғандықтан  болады да  .  Бұл жағдайда    болғанда,  болады. Сондықтан

Енді  нүктесін зерттейміз:

 

 

 

Бұл  нүкте бірінші текті үзік нүктесі.

Функцияны келесі түрде жазуға болады:

 

 

 

 

 

 

 

 

 


                                                     8 Сурет.

 

Келесі функцияларды үзіліссіздікке тексеріп үзік нүктелерін табу керек.

 

   78. .                                                        79. .

 

   80.                                                      81.

 

 II-тарау. Туынды және дифференциал

 

1.Функциялардың туындылары

1.1          Анықтамасы

 

 функциясының  нүктесіндегі туындысы деп  нөлге ұмтылғандағы функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасының шегін айтады.  функциясының  нүктесіндегі туындысын  немесе  деп белгілейді.

                      

                           (1)

 

Егер  функциясының анықталу облысында жататын әрбір  нүктесінде туындысы бар болса, онда ол туынды  аргументінің функциясы болады, әрі

                                  

деп белгіленеді.

Функцияның туындысын табу амалын осы функцияны дифференциалдау деп атайды.

 

 

1.2           Туындының геометриялық және механикалық мағынасы

 

а) Туындының геометриялық мағынасы

 бір қисықтың теңдеуі болсын, ал - осы қисықтың бойында жататын нүкте болғандықтан  (9 сурет).   функциясының нүктесіндегі туындысының мәні қисықтың осы нүктесі арқылы өтетін жанаманың бұрыштық коэффициентіне тең болады:  мұндағы жанама мен абсцисса өсінің арасындағы бұрыш.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                            9 Сурет

                                

 қисығының  нүктесі  арқылы өтетеін жанаманың теңдеуі

 

                           .                                                            (1)

 

 Қисықтың  нүктесі арқылы өтіп, осы нүктеден өтетін жанамаға перпендикуляр болатын  түзуін нормаль (тіктеме) түзу деп аталып, оның теңдеуі                            

                                                                                     (2)

болады.

б) Туындының механикалық мағынасы

Қарапайым мысал есебінде материалдық нүктесінің түзу бойымен қозғалысын қарастырайық.  арқылы бастапқы  нүктесінен қозғалыстағы нүктеге дейінгі қашықтықты белгілейік. Уақыт -ң әрбір сәтіне -ң белгілі мәні сәйкестендіріледі.

Сондықтан                                           .

нүктесінің  аралығында жүрген жолы  болса, онда осы аралықтағы орташа жылдамдығы  , ал  уақытындағы лездік жылдамдығы

                                                                                            (3)

1. Мысал -   қисығының  нүктесі арқылы өтетін жанамамен тіктеменің теңдеулерін табу керек.

 

Шешуі: Жанаманың бұрыштық коэффициентін табу үшін берілген функцияның туындысын табамыз: . Туындының  нүктесіндегі мәні ізделінді бұрыштық коэффициентті береді. .

Сонымен жанаманың теңдеуі , немесе  ал тіктеменің теңдеуі    немесе  

 

2. Мысал -   параболасының абсцисса өсімен қандай бұрышпен қиылысатындығын анықтау керек.

 

Шешуі: Ол үшін алғаш  қисығымен абсцисса өсінің қиылысу нүктесінің абсциссасын анықтаймыз:              

Ендігі жерде, нүктелердегі параболаға жүргізілген жанамалардың бұрыштық коэффициенттерін табамыз:    

 

Сондықтан

                                                    

  3. Мысал -   қисығының бойында жататын, ординатасы абсциссасынан 3 есе жылдам өсетін нүктені табу керек.

 

Шешуі: Функцияның туындысын табамыз:

 

Туынды функцияның өсу жылдамдығының оның аргументінің өсу жылдамдығымен салыстырғандағы өзгерісті көрсететіндіктен  шарты  абсциссасы  болатын ізделінді нүктені анықтайды. Ал бұл нүктенің ординатасы  

82.  қисығының  нүктесі арқылы өтетін жанаманың теңдеуін жазу керек.

83.   қисығының  нүктесі арқылы өтетін жанаманың теңдеуін табу керек.

84.  қисығының  нүктесі арқылы өтетін жанаманың және тіктеменің теңдеулерін табу керек.

85.  қисығының абсцисса өсін қандай бұрышпен қиятындығын анықтау керек.

86.  синусойдасы абсцисса өсін координаттың бас нүктесінде қандай бұрышпен қиятындығын анықтау керек.

87.  параболасының қай нүктесінен өтетін жанама,  түзуіне параллель болатындығын анықтау керек.

 

1.3          Дифференциалдаудың  негізгі ережелері

 

 Егер  ,  функцияларының  нүктесінде шенелген туындылары бар болса, онда

 

                  (1)                                               (2)

 

                  (3)                                                (4)

 

                                                          (5)    

мұндағы С-тұрақты.

 

1.4           Негізгі элементар функциялардың туындылары  

   (1)                                                                 (10)

     (2)                                                      (11)

   (3)                                                 (12)

 (4)                                                       (13)

    (5)                                                   (14)

 (6)                                                              (15)

      (7)                                                            (16)

             (8)                                                              (17)

   (9)                                                         (18)

 

1.     Мысал -      функциясының туындысын табу керек

 Шешуі:

 2. Мысал -  . Табу керек .

 Шешуі:  

 3. Мысал -   функциясының туындысын табу керек.

Шешуі:  

4. Мысал -     функциясының туындысын табу керек.

Шешуі:  

5. Мысал -   функциясының туындысын табу керек.

 

Шешуі:  

6-мысал.   функциясының туындысын табу керек.

Шешуі:   

7-мысал. -    функциясының туындысын табу керек.

Шешуі:  

                    

 

Келесі функциялардың туындысын табу керек:

88.                           89.

90.                                       91.

92.                                        93.

94.                                   95.

96.                                            97.

98.                                            99.

100.                            101.

102.                            103.

104.                                       105.

106.                                        107.

108.                                109.

110.                                         111.

112.                                           113.

114.                                         115.

116.                                            117.

 

 

1.5                                                                                                                            Логарифимдік дифференциалдау

 

 Кейде берілген өрнектен туынды  таппастан бұрын, туындысы оңай табылатындай етіп, түрлендіріп алу қажет. Дербес жағдайда, егер көбейтінділердің, бөлінділердің, дәрежелік және түбір астындағы өрнектердің  логарифимдерінің туындыларын табу керек болғанда, алдын ала логаримфдерін тауып алу қажет. Көптеген жағдайда функцияны логарифмдеп алып туындысын тауып, одан берілген функцияның туындысын анықтап есептеуді жеңілдетеді. Бұндай әдіс  логорифмдік дифференциалдау тәсілі деп аталады.

 функциясы берілсін. Бұл функцияның екі жағында логорифмдеп, соңынан туындысын табамыз:

 

                       

 

8. Мысал -  функциясының туындысын табу керек.

Шешуі:

                                  

9. Мысал -    функциясының туындысын табу керек.

           Шешуі:

                        

10. Мысал -    функциясының туындысын табу керек

Шешуі:

 

Келесі функциялардың туындысын табу керек:

 

118.                                                    119.

120.                                            121.

122.                                                  123.

124.                                                            125.

126.                                                     127.

 

 

2.      Дифференциал және оның қолданылуы

2.1           Анықтамасы                                         

 

Егер  функциясының  нүктесіндегі  өсімшесін

                                                     (1)

түрінде өрнектеуге болатын болса, онда оны осы  нүктесінде дифференциалданатын функция деп атайды.

 

Мұндағы:                                   

                                                   

 

теңдіктегі бірінші қосылғыш ке пропорционал және оған сызықты тәуелді, ал екінші қосылғыш н салыстырғанда жоғары ретті ақырсыз кішкене шама. Осыған байланысты   қосылғышы  ұмтылғанда  функция өсімшесінің бас мүшесі дейді де, ол функцияның  нүктесіндегі дифференциалы деп аталады да  символдарының бірімен белгіленеді:

                                                                                                        (2)

 функциясының  нүктесіне  өсімше берген кездегі дифференциалдың геометриялық мағынасы функция графигінің  нүктесі арқылы жүргізілген жанаманың ординатасы болып табылады.

  Дифференциалдарды табудың негізгі ережелері:

 

                               (3)                                    (6)

             

                        (4)                               (7)

                                                                                                (5)

Мұндағы  және туындылары бар ң функциялары, ал  тұрақты.

 

1. Мысал -   функциясының дифференциалын табу керек.

 

 

Шешуі:

        1-тәсіл. Функцияның туындысын табамыз: ,

 бұдан дифференциалдың анықтамасы бойынша

                                       .

2-тәсіл. .

2. Мысал -    функциясының дифференциалын табу керек.

Шешуі: .

 

 

Келесі функциялардың дифференциалдарын табу керек:

 

128.                                     134.

129.                                          135.

130.                                                   136.  

131.                                             137.

132.                                          138.

133.

 

 

 

 

 2.2. Дифференциалды жуықтап есептеуге қолдану

 

Функция дифференциалы функция мәнін жуықтап есептеуде жиі қолданылады. Ол үшін теңдеуден

                                                                                      (8)

теңдігін алып, туындылары табылатын функциялардың  нүктесіндегі мәнін жуықтап есептеуге болады.

3. Мысал -    өрнегінің жуық мәнін табу керек.

Шешуі. Бұл жағдайда:    .

 

   деп алып, -формуланы қолданамыз:                                                                 

 

139.  өрнегінің жуық мәнін табу керек.

140.  өрнегінің жуық мәнін табу керек.

141.  өрнегінің жуық мәнін табу керек.

142.  өрнегінің жуық мәнін табу керек.

 

      3. Жоғары ретті туындылар мен дифференциалдар

     3. 1  Жоғары ретті туындылар

 

Берілген  функциясының туындысы  тәуелсіз айнымалы ң функциясы болады. Бұл бірінші ретті туынды деп аталады.

Бірінші ретті туындыдан алынған туынды екінші ретті туынды, сол сияқты ші ретті туындыдан алынған туынды ші ретті туынды деп аталады да,төмендегіше белгіленеді:

                      

 және  функцияларының көбейтіндісінің ретті туындыларын табу үшін Лейбниц формуласын қолданған дұрыс:                                        (9)

 

 

3.2               Жоғары ретті дифференциалдар

 

       Берілген  функциясының дифференциалы  тәуелсіз айнымалы -ң функциясы болады. Функцияның бірінші ретті дифференциалынан алынған дифференциал-екінші, ал екінші ретті дифференциалдан алынған дифференциал-үшінші, сол сияқты ші ретті дифференциалдан алынған дифференциал ші ретті дифференциал деп аталады.

Егер  функциясының ретті туындысы болса, онда

 

                                            

              

                                   

                                    ....................................

                                                    

теңдіктерін аламыз.

  күрделі функция болсын.  ал  болады, яғни 1-ші дифференциал үшін инвариантық қасиет орындалады. Жоғары ретті дифференциалдар үшін бұл қасиет орындалмайды:

 

                           

 

1. Мысал -        Табу керек

Шешуі:        

2. Мысал -      ші ретті туындысын табу керек.

Шешуі:      

 

3. Мысал -    ші ретті туындысын табу керек.

Шешуі:                ,

                        ,

                        ,

                        ......................................

                           

 

4. Мысал -    табу керек.

   ;  болғандағы Лейбниц формуласын жазамыз:

                        

деп алып осы формуланы қолданамыз:

 

 

143.  табу керек  

144.  табу керек

145.  табу керек

146.  табу керек

147.  табу керек

 

4. Айқын емес және параметрлік түрде берілген функциялардың туындылары

4.1           Айқын емес функциялар.

 

Егер  айнымалысының функциясы

                                                                                                     (1)

қатынасы арқылы берілсе, онда  функциясы ң айқындалмаған функциясы деп аталады. Айқындалмаған түрде берілген  функциясының туындысы төмендегіше анықталады:

          1. ші теңдеудің сол жағынан ті ң функциясы деп қарастыра отырып туынды алып, одан соң нөлге теңестіреміз.

2. Алынған теңдеуден ті табамыз:

                                                                                                       (2)

түрінде анықталады.

Айқын емес функцияның екінші ретті туындысын анықтау үшін теңдікті  тағы да дифференциалдаймыз ті ң функциясы деп қарастыра отырып, одан кейін теңдіктің оң жағында пайда болған ті -теңдіктің оң жағындағы өрнекпен ауыстырамыз. Осы тәсілмен жоғары ретті туындыларды анықтауға болады.

 

1. Мысал -    табу керек

     .

 

2. Мысал -    табу керек

Шешуі.      .

Бұл теңдеуден ті табамыз:

                            .

Соңғы өрнектегі ң орнына жоғарыда анықталған оның мәнін қоямыз:

                                 .

 

3. Мысал -    эллипсі берілген.

Эллипстің бойында жататын  нүктесі арқылы өтетін жанаманың теңдеуін жазу керек.

Шешуі:  Эллипстің теңдеуін    түрінде жазуға болады.

Бұл теңдеудің екі жағында дифференциалдасақ:

бұдан .

Туындының  нүктесіндегі мәні, эллипстің осы нүктесінен өтетін жанаманың бұрыштық коэффициенті болады: . Сондықтан нүктесінен өтетін жанаманың теңдеуі   бұдан

148.  табу керек 

 

149.  н табу керек.

 

150.   н табу керек.

 

151.  түрінде берілген  функциясының  нүктесіндегі екінші ретті туындысының мәнін табу керек.

 

152.  параболасының  нүктесі арқылы өтетін жанаманың теңдеуін жазу керек.

 

 

4.2           Параметрлік түрде берілген функциялар

 

Аргументі  болатын  функциясы

                                                                                                (3)

түрінде параметрлік қатынастар арқылы берілсін. Мұндағы  және  функциялары дифференциалданатын әрі  болсын. Бұл шарттар орындалғанда  

                                        

                                         .                                                      (4)

 

 функциясынан  айнымалысы бойынша екінші ретті туындыны алу үшін, -қатынасты  бойынша дифференциалдаймыз:

 

                                                                       (5)

4. Мысал -      берілсін. Табу керек .

Шешуі:     бұдан .

Екінші ретті туындысын табамыз:

  .

 

 

Келесі есептерде   табу керек:

153.

154.

155. .

 

Келесі есептерде  табу керек:

 

156.    157.

 

158. Жанамасы  түзуіне паралелль болатын  сызығының бойында жататын  нүктесін табу керек.

 

 

 III-тарау. Дифференциалдық есептеуді қолдану

 

1       Орта мән туралы теоремалар

Бұл теоремалар кесіндінің шеткі нүктелеріндегі функцияның мәндерін оның ішкі “ортаңғы” нүктесіндегі функцияның туындысының мәнімен байланыстырады.

Ролль теоремасы. Егер  функциясы:

1)  кесіндісінде үзіліссіз болса,

2)  аралығында дифференциалданса,

3)  болса, онда  аралығында жататын болмағанда бір  нүктесі табылып, ол нүктеде

 

Бұл теореманың геометриялық мағынасы: егер функцияның графигі үзіліссіз қисық болып, оның ішкі нүктелерінде жанама жүргізуге болса және доғаның ұшын қосатын хорда  өсіне параллель болса, онда қисықтын бойында жататын болмағанда бір нүкте табылып, сол нүкте арқылы жүргізілген жанама  өсіне параллель болады.  (10 Сурет).

 

 

 

 

 

 


   

                                                 10 Сурет

 

Лагранж теоремасы. Егер  функциясы:

1)  кесіндісінде үзіліссіз болса,

2)  аралығында дифференциалданса, онда  аралығында жататын болмағанда бір  нүктесі табылып, ол нүктеде

 

                                                                        (1)

 

Бұл теореманың геометриялық мағынасы: (1)-теңдеудің сол жағында  хордасының    өсімен жасайтын бұрыштың тангенсі, ал оң жағында бір    нүктесінде  функцияның графигіне жүргізілген жанамамен        өсінің арасындағы бұрыштың тангенсі тұр.  Теорема қисықтын тегіс доғасының бойында жататын нүкте табылып, сол нүкте арқылы өтетін жанама, доғаны керіп тұрған хордаға параллель болатындығын көрсетеді  (11 Сурет)           

 

 

 

 

 

 

 


11 Сурет

 

  Жоғарыдағы Ролль теоремасы Лагранж теоремасының дербес жағдайы болады.

Коши теоремасы. Егер  және  функциялары:

1)  кесіндісінде үзіліссіз болса,

2)  аралығында дифференциалданса,

3)  аралығында  онда аралығында жататын болмағанда бір  нүктесі табылып, ол нүктеде

 

                                                                                         (2)

 

1. Мысал - Ролль теоремасын пайдаланып,  көпмүшелігі үшін  интервалында  теңдеуінің түбірі болатындығын дәлелдеу керек.

 

Шешуі:  көпмүшелігі  нүктелерінде нөлге тең болады. әрі  аралығында дифференциалданатын функция. Сондықтан  және  аралығында  функциясына Ролль теоремасын қолдануға болады, 

          аралығында жататын  ,  аралығында жататын  табылып,

 

          кесіндісінде  функциясына Ролль теоремасын тағыда қолдануға болады. Сондықтан  аралығында жататын  нүктесі табылып

 

2 Лопиталь ережесі

2.1  және  түріндегі анықталмағандықтар

Көп жағдайларда функцияның шектерін іздеу кезінде аргументтердің шектік мәндерін қою нәтижесінде ,    , , , , ,  түріндегі өрнектер аламыз. Мұндай жағдайларда функцияның шегін анықтау анықталмағандықтарды ашу деп аталады.

Лопиталь ережесі деп аталатын келесі теорема анықталмағандықтарды ашудың негізгі жолы болып табылады.

  Теорема. Егер  және  функциялары:

1)    ұмтылғанда ақырсыз кішкене немесе ақырсыз үлкен шамалар болса,

2)    нүктесінің төңірегінде дифференциалданса,

3)    нүктесінің төңірегінде,  нүктесін есептемегенде,  болса, және

4)

шегі арқылы немесе ақырсыз болса, онда бұл функциялардың бөлінділерінің шектері олардың туындыларының бөлінділерінің шектеріне тең болады, яғни

 

                                                                                      (1)

Бұл теорема біржақты шектерді анықтауда және  ұмтылғанда да қолданылады.

Лопиталь ережесін пайдалана отырып келесі шектерді есептеу керек:

 

1. Мысал -            

2. Мысал -         

3. Мысал -          

4. Мысал -        

 

 

 

159                          160.     

 

161.                    162.

 

163.                      164.

 

2.2  және  түріндегі анықталмағандықтар

Егер   ұмтылғанда  және  ұмтылса, онда  шегін тепе-тең түрлендіру арқылы жоғарыдағы немесе  анықталмағандығына алып келуге болады:

 

 

    немесе     

Егер   ұмтылғанда  және  ұмтылса, онда шегін тепе-тең түрлендіру арқылы  анықталмағандығына алып келуге болады:

 

                      .

 

Кейбір жағдайларда басқа да түрлендірулерді қолдану ыңғайлы болады:

 

                 немесе

 

Келесі есептердегі функциялардың шектерін есептеу керек:

 

1. Мысал -

 

2. Мысал -

  

165.                                    166.

 

2.3   , ,  түріндегі анықталмағандықтар

 

 түріндегі функциялардың   ұмтылғандағы шегін табу кезінде:

 

   1)  ;

   2)     ;

   3)      .

түріндегі анықталмағандықтарға тап боламыз.

Бұл анықталмағандықтарды ашу үшін функцияларды түрлендіру арқылы  түріндегі анықталмағандыққа алып келеміз:

 

                                                               

 

Көрсеткіштік функцияның үзіліссіз болатындығын ескерсек

 

                                                                     (2)

 

Келесі есептердегі функциялардың шектерін табу керек:

1. Мысал -         

 

 

 

2. Мысал  -

 

 

3. Мысал -

 

167.                                168.

 

169.                                   170.

 

 

2.4          Шектерді есептеудің  басқа тәсілдері

 

Лопиталь ережесі шектерді есептеудің күшті құралы болғанмен, ол шектерді есептеу тәсілдерін толық қамти алмайды.

 

1. Мысал -                      

 

Соңғы өрнектің  ұмтылғанда шегі болмайды. Яғни Лопиталь ережесінің 4-шарты орындалмайды.

Дегенмен берілген функцияның шегін анықтауға болады:

 

                                      

2. Мысал -

 

Соңғы өрнектің  ұмтылғанда шегі болмайды.

Дегенмен

                                     

 

3. Туындыны функцияларды зерртеуде және графиктерін (сызбасын)  салуда  қолдану

3.1 Асимптоталар (шектемдер)

 

Функциялардың графиктерін салуда қисықтардың асимптоталарының алатын орны айырықша.  түзуі қисықтың тік асимптотасы деп аталады, егер  теңдіктерінің біреуі орындалса,

 түзуі  қисығының көлбеу асимптотасы деп аталады, егер келесі шарттар орындалса:

 

                                                                                                    (1)

 

                                                                                            (2)

сәйкесінше

                                         

Көлбеу асимптотаның болғандағы дербес жағдайы көлденең асимптота болады.

    түзуі  қисығының көлденең асимптотасы деп аталады, егер келесі шарт орындалса:

 

                                       ,                                                         (3)

сәйкесінше

                                           .

Келесі есептерде қисықтардың асимптоталарының теңдеулерін табу керек:

 

1. Мысал -   

Шешуі:  түзуі берілген қисықтың тік асимптотасы болады, себебі

          

                                                 

Бұл қисықтың көлденең асимптотасы , себебі

 

                                                   

2. Мысал  -

Шешуі:  функциясы  аралығында анықталған және үзіліссіз болдады.

 

 болатындықтан  түзуі қисықтың тік асимптотасы болады.

Енді қисықтың көлбеу  асимптотасы болар-болмастығын білу үшін  мен -ны анықтаймыз:

 

                                                

яғни  қисығының көлбеуде көлденеңде асимптотасы болмайды.

 

3.  Мысал -  

Шешуі: Функция аралығында үзіліссіз болатындықтан оның тік асимптотасы болмайды.

Қисықтын көлбеу асимптотасын табу үшін  мен -ны анықтаймыз:

 

 

               

 

яғни  көлбеу асимптота болады.

 

171.                                    172.

                                        

173.                                      174.

 

175.                                           176.

 

 

3.2 Функцияның бірсарындылық шарттары

 

  функциясы   аралығында бірсарынды өспелі функция деп аталады, егер осы аралықта жататын кезкелген  үшін

                                                                                                    (4)   

 

  функциясы   аралығында бірсарынды кемімелі функция деп аталады, егер осы аралықта жататын кезкелген  үшін

                                                                                                     (5)

 

   функциясы қатаң бірсарынды өспелі (кемімелі) болады, егер (4), (5) шарттарында теңдік белгісі болмаса.

Дифференциалданатын   функциясы   аралығында бірсарынды өспелі болады, егер  үшін

 

                                                                                                         (6)

және бірсарынды кемімелі болады, егер   үшін

 

                                                                                                        (7)

  болады, тек барлық  үшін

                                                      

(6)-формуланың геометриялық мағынасы:

а)  бірсарынды өспелі функцияның графигіне жүргізілген жанама

өсінің оң бағытымен сүйір бұрыш жасайды немесе оған параллель болады.

 б) бірсарынды кемімелі функцияның графигіне жүргізілген жанама өсінің оң бағытымен доғал бұрыш жасайды немесе оған параллель болады.

 нүктесі функцияның 1-текті күдікті нүктесі деп аталады, егер келесі шарттардың біреуі орындалса:

1)

2)

3)   функциясы нүктесінде анықталған бірақ осы нүктеде оның туындысы болмаса.

Бұл шарттардың геометриялық мағынасы:

1-шарт  орындалғанда күдікті нүктедегі жанама  өсіне параллель болады.

2-шарт орындалғанда күдікті нүктедегі жанама  өсіне параллель болады.

3-шарт орындалғанда күдікті нүктеде жанама болмайды (12 Сурет)

 

 

 

 

 

12 Сурет 

Барлық нүктелерде (6) және (7) теңсіздіктері орындалатын аралығы функциясының  бірсарынды аралығы деп аталады. Бұл аралықтарды табу үшін сандар өсіне функцияның анықталу облысының шекарасын және күдікті нүктелерін саламыз. Бұл жағдайда сандар өсі бірқатар сандық аралықтарға бөлінеді. Бұл аралықтарда туындылардың таңбалары өзгермейді, сондықтан олар бірсарынды аралықтар болады. Бұл аралықтарда функциялардың  өсетіндігін немесе кемитіндігін білу үшін функцияның туындысының осы аралықта жататын кезкелген нүктедегі мәнін білсек болғаны:егер  онда функция өспелі;  егер  , онда функция кемімелі болады.

 

  1. Мысал -  функциясының бірсарынды аралығын табу керек.

  Шешуі:

 

күдікті нүктелер. Сондықтан сандар өсі  аралықтарына бөлінеді. Бірінші аралықта жататын кезкелген нүктені аламыз. Мысалы  нүктесінде ,  сондықтан   аралығында функция кемімелі болады. Екінші аралықта жататын               нүктесінде     сондықтан  аралығында функция өспелі болады.

      Үшінші аралықта жататын  нүктесінде, сондықтан (0,1) аралығында функция кемімелі болады. Төртінші аралықта жататын  нүктесінде , сондықтан  аралығында функция өспелі болады.

Келесі функциялардың бірсарынды аралықтарын табу керек:

177.                          178.

179.                                 180.

 

3.3                                                                           Төңіректік (жергілікті) экстремум (шеттеме)

 

функциясының нүктесінде максимумы (минимумы) бар болады, егер  маңайы табылып, оның барлық нүктелерінде  . Максимум (төбелік) немесе минимум (табандық) нүктелері экстремум нүктесі деп аталады. Функцияның максимумын арқылы, ал минимумын  арқылы белгілеу қабылданған. Үзіліссіз функциялар үшін экстремум нүктелері тек күдікті нүктелерде ғана болады. 12 суреттен бұл шарттың жеткіліксіз екендігін көру қиын емес.  нүктелерінде  сәйкесінше 1,2,3 шарттары орындалады, бірақ бұл нүктелер максимумда, минимумда нүктелері емес.

Экстремумның бірінші жеткілікті шарты.

Егер функцияның туындысы күдікті нүктеден өткенде таңбасын өзгертсе,  онда бұл нүкте функцияның экстремум нүктесі деп аталады.

Күдікті нүктесі максимум нүктесі болады, егер  үшін  және .

  Күдікті  нүктесі минимум нүктесі болады, егер  үшін және .(13 сурет).

 

 

 

 

13 Сурет 

Егер функцияның бірінші ретті туындысы күдікті нүктеден өткенде таңбасын өзгертпесе, онда бұл нүктеде функцияның экстремумы болмайды.

  Егер  күдікті нүктесінде  болса және осы нүктеде функцияның жоғары ретті туындылары бар болса, онда экстремум нүктесінің  бар болуының басқа жеткілікті шартын пайдалануға болады.

 

Экстремумның екінші жеткілікті шарты.

күдікті нүктесі экстремум нүктесі болады, егер осы нүктеде алғашқы ретті жұп болатын туынды нөлге тең емес болса: егер бұл туынды теріс болса, онда  нүктесі максимум; егер туынды оң болса, онда нүктесі минимум нүктесі болады.  Мысалы,  және  болсын, бұл жағдайда

                  егер  болса, онда ;

                    егер  болса, онда

1. Мысал -     функциясының  бірсарынды   аралықтарын және экстремальды мәндерін анықтау керек.

Шешуі:    нүктелері күдікті нүктелер.

Бұл нүктелерге мінездеме беру үшін бірінші жеткілікті шартты пайдаланайық:

 

1 Кесте

 

    

   

     +

     0

       -

         0

          +

  

 

       

        -9

      

 

Сонымен,  және  аралықтарында функция өседі,  аралығында кемиді.   нүктесі максимум,  нүктесі минимум нүктесі болады. Функцияның экстремальды мәндері: максимум  минимум  

2. Мысал -  функциясының  экстремум нүктелерін табу керек.

Шешуі: Функцияның анықталу аймағы  болады. Күдікті нүктелерін анықтаймыз:

 

                          

          егер ; егер  және .

 

Сонымен  және  берілген функцияның күдікті нүктелері болады, ал  нүктесі функцияның анықталу аймағына кірмейтіндіктен күдікті нүкте болмайды. -ң таңбаларының ауысуы туралы кесте құрамыз:

2 Кесте

-

       -

  

    +

      0

      -

  

айм. жатп.

       

   

        

 

 Бұл мысалда,  күдікті нүктесіне мінездеме беру үшін, екінші жеткілікті шартты пайдалануға болмайды, өйткені бұл нүктеде функция дифференциалданбайды.

 

 Келесі есептерде функцияның экстремум нүктелерін табу керек:

 

181.                   182.        

 

183.                              184.

 

 

3.4  Кесіндідегі және аралықтағы функцияның экстремумы 

Функцияның  кесіндісіндегі ең үлкен мәні , ең кіші мәні  арқылы белгілінеді.

 кесіндісінде үзіліссіз болатын функция әр уақытта өзінің ең үлкен мәнін және ең кіші мәнін қабылдайды.  анықтау үшін функцияның  кесіндісіндегі барлық максимумдарының мәндерін әрі кесіндісінің шеткі  және  нүктелеріндегі функцияның  мәндерін есептеп, алынған мәндердің ең үлкенін алу керек (14 сурет)

 

 

 

 

 

 

 


                                                            

                                                    14 Сурет

 

  табу үшін  кесіндісіндегі функцияның барлық минимум мәндерін және тауып олардың ең кішісін алу керек (14 Сурет).

 

1. Мысал -   функциясының  кесіндісіндегі ең үлкен және ең кіші мәндерін табу керек.

 

Шешуі:

                        

 

күдікті нүктелер. Бұл нүктелерде

                             

 сондықтан                   

                      

Кесіндінің шеткі нүктелеріндегі мәндері

Сондықтан

                               

2. Мысал -  Цилиндрлік тұрпатты ашық бакқа л  сию керек. Оған жұмсалатын материалдың мөлшері ең аз болу үшін оның табанының радиусы мен биіктігі қандай болу керек?

Шешуі: Ашық бакқа жұмсалатын материалдың мөлшері

Оның көлемі   болғандықтан

                                          

Сондықтан

                

 

 

 

 

 


15 сурет

                Ал          .

   Сонымен    .

3.     Мысал -   болатын квадраттың картон парағының

бұрыштарынан бірдей квадраттарды кесіп тастап, парақты пунктирленген сызықтардың бойымен майыстыру қажет. Нәтижесінде пайда болатын қораптың көлемі ең үлкен болу үшін кесіп тасталатын квадраттың қабырғасы неге тең болу керек (16 сурет)

 

 

    

                                                               16 сурет

 

Шешуі: Кесіп тасталатын квадраттың қабырғасын -деп белгілеп аламыз. Бұл қораптың көлемі:

                                      

Сондықтан                         

                                                            

                                                          болуы мүмкін емес. Яғни                                                                                                                                                             болғанда  өзінің ең үлкен мәнін

                                                              қабылдайды.

                17 сурет                                             

   

Келесі есептерде функциялардың ең үлкен және ең кіші мәндерін табу керек.

185.  кесіндісінде

186.  кесіндісінде

187.  аралығында

188.  44 санын көбейтінділері ең үлкен санға тең болатындай екі оң саның қосындысы түрінде жазу керек.

189.  Бүйір қабырғалары -ға тең, ауданы ең үлкен болатын тең бүйірлі үшбұрышты табу керек.

 

          3.5  Иілу нүктелері  

Тегіс қисық  нүктесінде ойыс болады, егер осы нүктенің маңайында қисық осы нүкте арқылы жүргізілген жанамадан жоғары жатса (18, а) Сурет); және  нүктесінде дөңес болады, егер жанамадан төмен жатса (18, б) Сурет).

 

 

 

 

18 Сурет

  нүктесі иілу нүктесі деп аталады, егер осы нүкте арқылы жүргізілген жанама нүктенің маңайында қисықты екі бөлікке бөлсе (18, в) Сурет)

 

  Қисық  аралығында ойыс ( белгіленеді) болады, егер осы аралықтың әрбір нүктесінде

                                                                                                          (8)

және  аралығында дөңес ( белгіленеді) болады, егер осы аралықтың әрбір нүктесінде

                                                   

                                                                                                          (9)

   нүктесі 2-текті күдікті нүкте деп аталады, егер осы нүктеде келесі шарттардың біреуі орындалса:

1)  2)  3)  нүктесінде функция анықталғанмен  табылмаса.

 Функцияның иілу нүктесі бар болса ол тек 2-текті күдікті нүктелердің арасында болады. 2-текті күдікті нүктені басып өткенде функцияның екінші ретті туындысы таңбасын өзгертсе, онда ол нүкте қисықтың иілу нүктесі болады.

  Сонымен ойыс және дөңес аралықтарды анықтау үшін сандар өсіне функцияның анықталу аймағының шекарасын және 2-текті күдікті нүктелерін саламыз. Бұл жағдайларда сандар өсі бірқатар сандық аралықтарға бөлінеді. Бұл аралықтарда  таңбалары өзгермейді.

 

1. Мысал -   функциясының иілу нүктелерін табу керек.

Шешуі: Функция сандар өсінде анықталған әрі оның  екінші ретті туындысы бар.

       

 функциясын сызықтық көбейткіштерге жіктейміз:

             

Яғни  нүктелері 2-текті күдікті нүктелер болады.  функциясының таңбаларының өзгеру кестесін қарастырамыз:

3 Кесте

х

  

-

0

    +

0

-

0

     +

иілу  нүктесі

  

иілу нүктесі

иілу нүктесі

    

 

  Бұл кестеден  нүктелерінің иілу нүктелері болатындығын көреміз.

 

  Келесі есептердегі функциялардың иілу нүктелерін табу керек:

 

190.                                               191.

192.                                                   193.

 

4. Функцияның сызбасын салудың жалпы сүлбесі

          Функцияның сызбасын салудың жалпы сүлбесін негізгі үш этапқа (кезеңге) бөлуге болады:

    1)Функция сызбасына жалпы мінездемелік анықтама. Бұған функцияның анықталу аймағын анықтау; осы аймақтардағы шектік шекаралық мәндерді есептеу; егер бар болса, тік, көлбеу және көлденең асимптоталардың теңдеулерін табу; сызбаның координата өстерімен қилысу нүктелерін табу; функцияның тақтығын, жұптығын және периодтылығын анықтау жатады. Ендігі жерде өткізілген зерттеулерге сай функцияның жуық сызбасын салу.

    2) бірінші ретті туындыны пайдалана отырып функция сызбасына нақты анықталған өзгерістер енгізу (функцияның экстремумдарын тауып, өспелі және кемімелі болатын аралықтарын анықтаймыз).

    3) екінші ретті туындыны пайдалана отырып функция сызбасына өзгерістер енгізу (функцияның ойыс, дөңес болатын аралықтарын, иілу нүктелерін табу).

1. Мысал -   функциясының сызбасын салу креек.

Шешуі: 1. Функцияның анықталу аймағы . Шектік шекаралық мәндерін табамыз:

                           

Соңғы шек,  ұмтылғанда функцияның көлденең асимптотасы  болатындығын көрсетеді.

Көлбеу асимптота   формуласымен (кейіптемесімен) анықталады:

                                                    

яғни  көлбеу асимптота болмайды.

Сызбаның координат өстерімен қиылысу нүктесін табамыз:

                                   

яғни сызба координаттың бас нүктесі арқылы өтеді.

Функциямыз тақта, жұпта, периодты да болмайды.

Жүргізілген зерттеудің нәтижесінде функцияның толық сызбасын құру мүмкін емес. Дегенмен оның жуық сызбасын салуға болады (19 сурет).

 

 


   

 

 

                                            19 Сурет

 

  2. Берілген функцияның туындысын табамыз:

 деп алып,  нүктесінің 1-ретті күдікті болатындығын анықтаймыз. Бұл нүкте анықталу аймағын  аралықтарына бөледі.

 , ал  болғандықтан  нүктесі минимум нүктесі болады. Сондықтан

 Бұл зерттеудің нәтижесінде 20 суреттегі сызбаға қосымша анықтаулар енгізілді.

 

 

 

 

 

                                                              20 сурет

 

3.  функциясын анықтаймыз:

            .

                деп алып,  нүктесінің 2-текті күдікті нүкте болатындығын көреміз.

 Бұл нүкте анықталу аймағын  аралықтарына бөледі.

     ал  болғандықтан,  аралығында сызба дөңес, ал  аралығында сызба ойыс, яғни  нүктесі иілу нүктесі болады.

 Бұл зерттеудің нәтижесінде 20 суреттегі  сызбаға қосымша анықтаулар енгізіп, берілген функцияның сызбасын анықтадық.

 

  2. Мысал -   функциясының сызбасын салу керек.

  Шешуі: 1. функцияның анықталу аймағы  болады, себебі

                                                          

яғни   тік асимптота. Көлбеу асимптота  формуласымен анықталады:

сондықтан  көлденең асимптота болады.

 Функцияның шектік шекаралық мәндерін табамыз:

    Сызбаның координат өстерімен қиылысу нүктесін анықтаймыз:

                                             

яғни сызба  өсін 1 нүктесі арқылы, ал  өсін -2 нүктесі арқылы қиып өтеді.

Функциямыз тақта, жұпта әрі периодты да емес.

Жүргізілген зерттеулердің нәтижесінде функцияның жуық сызбасын салуға болады (21 Сурет).

 

 

 

 

 

 

 

 

   

                                                     21 Сурет

 

2. Берілген функцияның туындысын табамыз:

 

                     

 деп алып,  нүктесінің 1-ретті күдікті нүкте болатындығын көреміз.

4 Кесте

  

  

  

 

 -

     0

     +

      

      -

  

 

       

анықталмаған

        

 

3.  функциясын анықтаймыз:

                   

 деп алып,  нүктесінің 2-текті күдікті нүкте болатындығын көреміз. Яғни

5 Кесте

     -

0

      +

  

+

  

  иілу нүктесі

    

анықталмаған

 

  2-ші және 3- кезеңдегі зерттеудің нәтижесінде 21 Суреттегі сызбаға қосымша анықтаулар енгізіп, берілген функцияның сызбасын анықтадық.

 

  Келесі функциялардың сызбасын құру керек:

 

194.                                              195.

196.                                           197.

 

 

5. Геометриялық қолданылуы

5.1  Жазық қисықтың имектігі

 

Қисықтың имектігі деп оның түзу сызықтан ауытқуын айтады.  Қисықтың  нүктесіндегі имектігі  «сыбайлас бұрыштың», яғни және  нүктелеріне жүргізілген жанамалардың арасындағы бұрыштың  доғасының ұзындығына қатынасының, -ғы шегін айтады (22 Сурет),

 

 

 

 

 

 

 

 

 


22 Сурет                                    23 Сурет

 

яғни

 

                                                                                              (1)

 

   теңдеуімен берілген қисықтың имектілігі

                                                                                                  (2)

формуласымен (кейіптемесімен) анықталады.

Параметрлік  теңдеуімен берілген қисықтың имектілігі

 

                                                                                                 (3)

кейіптемесімен анықталады.

 

1. Мысал -   Радиусы (өрісі) -ге тең шеңбердің имектігін анықтау керек.

Шешу: (1)-формуланы қолданамыз. 23 Суреттен көрініп тұрғандай, сыбайлас  бұрышы шеңбердің орталық  бұрышына тең. Осы бұрышқа сәйкес келетін  доғасының ұзындығы

 

  

                                           

Сондықтан

                                

 

Бұдан шеңбердің имектілігі  оның радиусына кері пропорционал болатын, тұрақты шамаға тең болатындығын көруге болады.

 

  2. Мысал -   қисығының  нүктесіндегі имектігін табу керек.

  Шешуі: (2)-формуланы қолданамыз. және  табамыз:

                                  

 

198.  қисығының  нүктесіндегі имектігін табу керек.

 

199.   эллипсінің ең үлкен және ең кіші имекті нүктелерін табу керек.

 

5.2          Қисықтың өресі

Жоғарыдағы 1-мысалда, шеңбердің өресі оның имектілігіне кері пропорционал болатындығы көрсетілді. Осыған ұқсас кез келген қисық үшін қисықтың өресі  туралы түсініктеме енгізілді:

                                                                                                             (4)

мұндағы  қисықтың имектілігі.

 

1. Мысал -    қисығының  нүктесіндегі өресін табу керек.

Шешуі: Берілген қисықтың имектілігі

 

                       

Яғни              

 

 

Бұдан қисықтын өресі

                                                           

200.  қисығының  нүктесіндегі өресін табу керек.

201.  параболасының  нүктесіндегі өресін табу керек.

 

 

5.3          Қисықтың кіндігі және дөңгелегі.

Эволюта және эвольвента (жайылма және жайылғыш)

 

 Қисықтың  нүктесіндегі дөңгелегі деп қисықтың  нүктесі және оған жақын орналасқан және  нүктелері арқылы өтетін дөңгелектің  және  ұмтылғандағы шектік орнын айтады (24 Сурет)

Дөңгелектің қисықтық өресі нүктенің қисықтық өресіне тең. Дөңгелектің  қисықтық кіндігі С қисықтың  нүктесінің қисықтық                                                                    кіндігі деп аталады

.                                         

 

 

 

 

              

 

 

 

 

                                                       24 Сурет

 

  теңдеуімен берілген қисықтың имектілігінің кіндігінің координаталары

 

                                                              (5)

формулаларыменмен анықталады.

 

   параметрлік теңдеуімен берілген қисықтың имектілігінің кіндігінің координаталары

 

                                                              (6)

формулаларымен анықталады.

Қисықтың имектілігінің кіндіктерінің геометриялық орны оның эволютасы (жайылымы) деп аталады. Берілген қисық эволютасы болатын қисық оның эвольвентасы (жайылғышы) деп аталады.

 

1. Мысал -  қисығының нүктесіндегі имектілік кіндігін табу керек.

Шешуі: (6)-формулаларды пайдаланамыз.

 

                                       

 

 Бұл туындылардың  нүктесіндегі мәндері керек, яғни  болғанда:

 

                                     

 

Табылған мәндерді (6)-формулаға қойсақ

 

                                     

 

 

202.  қисығының  нүктесіндегі имектілік кіндігін табу керек.

203.  қисығының  нүктесіндегі имектілік кіндігінің координаталарын табу керек.

 

Жауаптары

1.                                    2.

3.

4. . 5. 6.. 7.      8.  

мүндағы      9.           10.       

13. а) жұп, б) тақ, тақ емес  в) жұп, г) тақта , , жұпта емес, д) тақ .

14)  а) Периодты,  б) Периодты, в) Периодты,  г) Периодты емес 

15.      16.    21.   22.   23.      24. 0    25. 0.      26. 1    31.    32.    33. 1.     34.    35. 0.  36. 0.   37. 8.    38. -1.    39. 2,5.  40. -0,5. 41. 1.  42. 4.   43. 0.   44.  3.   45. 1,5.  46. 0,5.   47. 0.    48.  0,25   49. 2.    50. 0.  51.    52. . 53. 1.   54.    55.  60.   61.   62. 0,5.     63. 0,6     64. 2.    65.0      66. 3.    67.     68.  2.     69. -2.    70.   -1,5.  71.   0.     72.  9.     73. 1.        74. -0,5.  75.            76.  1.     77. 1.     78.   екінші текті үзіліс нүктесі.    79.   нүктесі бірінші текті үздік нүкте:  80.  нүктесі бірінші текті үзік нүкте:  81.  нүктесі жөнделетін үзік:    82.      83.  84. Жанама  тектеме     85.      86. 87.           88.   89. .    90.       91. 92.  .    93.       94.      95. .

96.          97.       98.                            99.  -     100.    101.                         102.           103.      104.   105.    106.     107.        108.      109.  110.        111.  112. 113             114.  

115.    116.     117. 118..

119.                 120.

121.    122.

123 124 125.     126.

127.              128.       

129. .          130.      131.                 132.          133.                134.               135.                 136.              137.  

 138.        139.        140.           141.       

142.              143.           144.      145. .  

146.     147.         148.      149.           150.        151.        152.    153.     154.   155. 156.  157.   158 болғанда, .    159.     160.     161.

162.      163.      164. -2.      165. -1.      166.     167. 1.    168. 1.    169.      

170. .      171.  тік асимптота,   көлбеу асимптота.

172.  173. тік асимптота,  көлбеу асимптота.  174. ,  көлбеу асимптота,  тік асимптота.   175.  көлденең асимптота.  176.  тік асимптота.   177.  аралығында өспелі.   178.  аралығында өспелі.   179.  аралығында кемімелі,  аралығында өспелі.

180.  аралығында кемімелі, аралығында өспелі.    181. жоқ.

182.            183.  184.              

185.     186.      187.      188. 22+22.              189.                190. .

191.       192.       193.  

194.  иілу нүктелері.  

195. Асимптоталары:  иілу нүктелері жоқ.

196.;және  

 иілу нүктелері:    197.  жұп функция; асимптоталары:  және  иілу нүктелері жоқ.    198.

199. -эллипстің төбелері.       200.       201.   

202.    203.  

 

 

Јдебиеттер тізімі 

1.       Мустахишев К.М., Ералиев С.Е., Атабай Б.Ж., Математика (толық курс). -Алматы.: «TST-company», 2009.

2.       Аяпбергенов С.А. Аналитикалық геометрия. -Алматы: Мектеп, 1971.

3.       Касымов Қ.Ә., Касымов Е.Ә. Жоғары математика курсы Сызықты алгебра. -Алматы: «Санат», 1997.

4.       Г.И. Кручкович, и др., Сборник задач по курсу высшей математики. -М: Высшая школа, 1973.

5.        Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии.- М: Наука, 1967.

6.       Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. -М.: Наука, 1987.

7.        Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. –М.: Наука, 1978.

8.       Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов под.ред. Б.П. Демидовича. -М.: Наука, 1977.

9.       Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. -М.: Высшая школа, 1980.

10.   Берман. Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.       -М.: Наука, 1977.

11.  Мустахишев К. М., Ералиев С. Е., Атабай Б. Ж., Математика (полный курс). – Алматы.: «TST-company», 2009.

 

 

Мазмұны

 Iтарау.Талдауға кіріспе..................................................................................3

1  Функциялар. (Бернелер).............................................................................3

1.1Анықтамасы................................................................................................3

1.2 Негізгі элементар функциялар (Қарапайым бернелер).........................4

2. Сандық тізбектер және оның шектері ......................................................6

2.1 Анықтамасы...............................................................................................6

2.2 Шектері......................................................................................................7

3. Функцияның шегі........................................................................................9

3.1 Функцияның шегінің анықтамасы...........................................................9

3.2 Ақырсыз аз және ақырсызүлкен функциялар.......................................10 

4  Шектерді есептеу.......................................................................................10

4.1 Негізгі теоремаларды (түйіндерді) қолдану..........................................10

4.2 Анықталмағандықтарды ашу.................................................................12

4.3 Бірінші және екінші тамаша шек...........................................................13

5 Ақырсыз аз функцияларды салыстыру. Эквиваленттілік (баламалық) .........14    

5.1 Ақырсыз кішкене шамаларды салыстыру.............................................14

5.2 Эквивалентті ақырсыз аз шамаларды шектерді есептеуде қолдану ..17   

6  Функцияның үзіліссіздігі. Үзіліс нүктелері және оларды                                  

классификациялау.........................................................................................19

6.1 Анықтамасы.............................................................................................19

6.2 Үзіліссіз функциялардың қасиеттері.....................................................20

 II-тарау. Туынды және дифференциал.......................................................22

1  Функциялардың туындылары..................................................................22

1.1 Анықтамасы.............................................................................................22

1.2 Туындының геометриялық және механикалық мағынасы..................23

1.3 Дифференциалдаудың негізгі ережелері...............................................25

1.4 Негізгі элементар функциялардың туындылары..................................25

1.5 Логарифимдік дифференциалдау..........................................................27

2  Дифференциал және оның қолданылуы.................................................28

2.1Анықтамасы..............................................................................................28

2.2 Дифференциалды жуықтап есептеуде қолдану....................................30

3  Жоғары ретті туындылар мен дифференциалдар...................................30

3.1 Жоғары ретті туындылар........................................................................30

3.2 Жоғары ретті дифференциалдар............................................................30

4 Айқын емес және параметрлік түрде берілген функциялардың

туындлары......................................................................................................32

4.1 Айқын емес функциялар.........................................................................32

4.2 Параметрлік түрде берілген функциялар..............................................33

III-тарау. Дифференциалдық есептеуді қолдану........................................34

 1 Орта мән туралы теоремалар....................................................................34

2  Лопиталь ережесі......................................................................................36

2.1  және  түріндегі анықталмағандықтар...........................................36

         2.2   және  түріндегі анықталмағандықтар..................................37

         2.3  , ,  түріндегі анықталмағандықтар............................................38

         2.4 Шектерді есептеудің басқа тәсілдері....................................................39

         3 Туындыны функцияларды зерттеуде және графиктерін (сызбасын)

 салуда қолдану..............................................................................................40

3.1 Асимптоталар...........................................................................................40

3.2 Функцияның бірсарындылық шарттары...............................................42

3.3 Төңіректік (жергілікті) экстремум (шеттеме).......................................44

3.4 Кесіндідегі және аралықтағы функцияның экстремумы.....................46

3.5 Иілу нүктелері..........................................................................................48

4  Функцияның сызбасын салудың жалпы сүлбесі....................................50

5  Геометриялық қолданылуы......................................................................53

5.1 Жазық қисықтың имектігі................................................................... ..53

5.2 Қисықтың өресі........................................................................................55

5.3 Қисықтың кіндігі және дөңгелегі. Эволюта және эвалвента               

(жайылма және жайылғыш).........................................................................56

Жауаптары......................................................................................................58

Әдебиеттер тізімі...........................................................................................61