Некоммерческое акционерное общество
АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ
Кафедра высшей математики
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Методические указания и тестовые задания
для подготовки к экзамену
для студентов очной формы обучения специальностей
5В070400 - Вычислительная техника и программное обеспечение
5В070300 - информационные системы
Алматы 2010
Составители: Т.Каирбеков, О.А.Кноль. Математический анализ. Методические указания и тестовые задания для подготовки к экзамену для студентов очной формы обучения специальностей 5В070400 - Вычислительная техника и программное обеспечение , 5В070300 - Информационные системы. –Алматы: АУЭиС, 2010. – 24 с.
Методические указания содержат рекомендации для самостоятельной работы студентов при изучении дисциплины «Математический анализ». Они содержат образцы тестовых заданий рубежного контроля к первым двум модулям с ответами и образец экзаменационного теста на бумажном носителе и теста компьютерной части экзамена. Приведены теоретические вопросы , база тестовых заданий для компьютерного тестирования .
1 Модуль . Введение в математический анализ. Дифференциальное
исчисление функции одной переменной
1.1 Теоретические вопросы
1.1.1 Понятие функции. Способы задания функции. Приращение функции.
1.1.2 Числовые последовательности. Предел последовательности. Предел функции.
1.1.3 Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Свойства бесконечно малых.
1.1.4 Теоремы о пределах. Односторонние пределы. Замечательные пределы.
1.1.5 Непрерывные функции. Точки разрыва. Классификация точек разрыва.
1.1.6 Определение производной функции. Физический и геометрический смысл производной функции. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функций.
1.1.7 Правило дифференцирования функций. Производные элементарных функций.
1.1.8 Производные сложных функций.
1.1.9 Логарифмические дифференцирования. Производные высших порядков.
1.1.10 Производные параметрически и неявно заданных функций. Уравнение нормали и касательной к кривой.
1.1.11 Дифференциал функции, его геометрический смысл и применение.
1.1.12 Дифференциал высших порядков. Дифференциал сложной функции.
1.1.13 Правило Лопиталя. Теоремы о возрастании и убывании функции.
1.1.14 Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия экстремума.
1.1.15 Выпуклость и вогнутость графика кривой. Точки перегиба.
1.1.16 Асимптоты графика кривой. Полное исследование функции.
1.2 Образцы билетов рубежного контроля для модуля 1
Билет 1
Задание |
Ответы |
1 Вычислить предел: . |
0 |
2 Вычислить предел: . |
|
3 Вычислить предел: . |
|
4 Вычислить предел: . |
0 |
5 Вычислить предел: . |
2 |
Дана функция |
|
6 Вычислить предел слева в точке . |
0 |
7 Вычислить предел справа в точке . |
1 |
8 Определить разрыв функции в точке . |
Разрыв первого рода |
9 |
|
10 |
|
11 |
|
12 Найти дифференциал функции . |
|
Дана функция |
|
13 Найти абсциссу точки максимума (минимума) . |
абсцисса точки максимума |
14 Найти интервал возрастания функции. |
|
15 Найти интервал убывания функции. |
|
16 Найти абсциссу точки перегиба функции. |
|
Билет 2
Задание |
Ответы |
1 Вычислить предел: . |
|
2 Вычислить предел: . |
|
3 Вычислить предел: . |
|
4 Вычислить предел: . |
|
5 Вычислить предел: . |
|
Дана функция |
|
6 Вычислить предел слева . |
0 |
7 Вычислить предел справа . |
|
8 Определить разрыв функции в точке . |
Разрыв первого рода |
9 |
|
10 |
|
11 |
|
12 Найти производную функции . |
|
13 Найти абсциссу точки максимума . |
абсцисса точки максимума |
14 Найти асимптоту функции . |
горизонтальная асимптота, вертикальная асимптота |
15 Найти уравнение касательной к кривой ,проведённой в т. . |
|
16 Вычислить предел по правилу Лопиталя . |
|
Билет 3
Задание |
Ответы |
1 Вычислить предел: . |
0 |
2 Вычислить предел: . |
|
3 Вычислить предел: . |
|
4 Вычислить предел: . |
|
5 Вычислить предел: . |
2 |
Дана функция |
|
6 Вычислить предел справа при . |
0 |
7 Вычислить предел слева при . |
1 |
8 Определить,какого рода разрыв функции в т. . |
Разрыв второго рода |
9-12. Вычислить производную первого порядка: |
|
9 |
|
10 |
|
11 |
|
12 Найти производную функции . |
|
Дана функция |
|
13 Найти абсциссу точки максимума (минимума). |
абсцисса точки максимума |
14 Найти интервалы возрастания (убывания) функции. |
интервал возрастания |
15 Найти интервал убывания функции. |
|
16 Найти точку перегиба функции. |
|
2 Модуль. Интегральные исчисления функции одной переменной. Кратные интегралы
2.1 Теоретические вопросы
2.1.1 Первообразные функций. Неопределённый интеграл. Табличные интегралы элементарных функций.
2.1.2 Правила интегрирования функции. Метод подстановки и интегрирования по частям.
2.1.3 Интегрирование рациональных, иррациональных и тригонометрических функций.
2.1.4 Определённый интеграл, основные свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
2.1.5 Замена переменной и интегрирование по частям.
2.1.6 Кратные интегралы. Двойные и тройные интегралы и их свойства.
2.1.7 Интегрирование кратных интегралов.
2.1.8 Применение кратных интегралов.
2.1.9.Замена переменных в кратных интегралах. Якобиан.
2.2 Образцы билетов рубежного контроля для модуля 2
Билет 1
|
Задание |
Ответы |
|
1-3 Вычислить интегралы |
|
1 |
. |
|
2 |
. |
|
3 |
. |
|
4 |
. |
|
5 |
Записать вид разложения дроби на простейшие дроби. |
|
6 |
Каким методом интегрировать? Вычислить: . |
Выделение полного квадрата. |
|
7-8. Дан интеграл : . |
|
7 |
После замены интеграл имеет вид... |
|
8 |
Вычислить интеграл,полученный в п.7. |
|
9 |
Вычислить несобственный интеграл и исследовать на сходимость.
|
, сходится |
10 |
Вычислить интеграл в области . |
|
11 |
Вычислить повторный интеграл: . |
|
12 |
Вычислить повторный интеграл . |
|
|
13-14 Вычислить интеграл по области , - замена переменных .
|
|
13 |
Чему равен якобиан преобразования?
|
|
14 |
Вычислить двойной интеграл по указанной замене переменных . |
|
|
15-16 Дан интеграл:
|
|
15 |
В тройном интеграле расставить пределы интегрирования .
|
|
16 |
Вычислить тройной интеграл по области .
|
|
Билет 2
|
Задание |
Ответы |
|
1-4 Вычислить интегралы |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
Записать вид разложения дроби на простейшие дроби . |
|
6 |
Каким методом интегрировать ? Вычислить . |
интегрирование по частям |
|
7-8 Дан интеграл : |
|
7 |
После замены интеграл имеет вид... |
|
8 |
Вычислить интеграл,полученный в п.7 . |
|
9 |
Вычислить несобственный интеграл и исследовать на сходимость .
|
1, сходится |
10 |
Вычислить интеграл в области |
|
11 |
Вычислить повторный интеграл . |
|
12 |
Вычислить повторный интеграл . |
|
|
13-14 Вычислить интеграл по области , - замена переменных . |
|
13 |
Чему равен якобиан преобразования?
|
|
14 |
Вычислить двойной интеграл по указанной замене переменных .
|
|
|
15-16. Дан интеграл:
|
|
15 |
В тройном интеграле расставить пределы интегрирования .
|
|
16 |
Вычислить тройной интеграл по области .
|
|
2.3 Образцы тестовых билетов для модуля 2
Билет 1
1-3 Вычислить интегралы:
1) ; 2) ; 3) .
4 Интегрируя по частям ,какую часть надо принять за ?
5 Разложить функцию на простые множители (метод неопределённых коэффициентов).
6 Указать метод решения интеграла :
а) интегрирование по частям ;
б) выделение полного квадрата ;
в) универсальная подстановка ;
г) разложение на простые множители ;
д) другой способ.
7 Привести интеграл к новому виду путём замены переменной: .
8 Вычислить интеграл из задания 7.
9 Исследовать на сходимость несобственный интеграл .
10 Двойной интеграл , где , сводится к повторному.
11 Вычислить повторный интеграл: .
12 Вычислить повторный интеграл .
13-14. , - замена переменных .
13 Чему равен якобиан преобразования?
14 Сделать замену в двойном интеграле (не вычисляя).
15-16 Дано: .
15 Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле по области .
16 Вычислить интеграл по области .
Билет 2
1-3 Вычислить интегралы:
1) ; 2) ; 3) .
4 В интеграле , какое выражение нужно принять за , если интегрировать по частям?
5 Запишите вид разложения дроби на простейшие множители.
6 Какой метод интегрирования применяется для вычисления интеграла? .
а) интегрирование по частям ;
б) выделение полного квадрата ;
в) универсальная подстановка ;
г) разложение на простые множители ;
д) другой метод .
7 Какой вид примет интеграл после замены переменной ?
8 Вычислить интеграл из задания 7.
9 Вычислить интеграл: .
10 Вычислить двойной интеграл :
по области .
11 Вычислить повторный интеграл .
12 Вычислить повторный интеграл: .
13-14 , -замена переменных .
13 Чему равен якобиан преобразования?
14 Сделать замену в двойном интеграле.
15-16 Дан интеграл .
15 Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле по области .
16 Вычислить этот тройной интеграл по области .
Билет 3
1-3 Вычислить интегралы:
1) ; 2) ; 3) .
4 В интеграле какое выражение нужно принять за ,если интегрировать по частям?
5 Запишите вид разложения дроби на простейшие дроби.
6 Какой метод интегрирования применяется для вычисления интеграла ?
а) интегрирование по частям ;
б) выделение полного квадрата ;
в) универсальная подстановка ;
г) разложение на простые множители ;
д) другой метод .
7 Какой вид примет интеграл после замены переменной ?
8 Вычислить интеграл из задания 7.
9 Несобственный интеграл исследовать на сходимость.
10 Вычислить двойной интеграл по области .
11 Вычислить повторный интеграл .
12 Вычислить повторный интеграл .
13-14 Дан интеграл , -замена переменных .
13 Чему равен якобиан преобразования?
14 Сделать замену в повторном интеграле.
15-16 Дано: .
15 Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле по области .
16 Вычислить этот тройной интеграл по области .
3 База тестовых заданий компьютерной части к экзамену по предмету
«Математический анализ»
1 Найти область определения функции . (Ответ: ).
2 Исследовать функцию на чётность, нечётность .(Ответ: чётная).
3 График функции симметричен относительно оси или оси ? ( Ответ: ).
4 Найти точку разрыва функции . Какого рода точка разрыва? (Ответ: , первого рода).
5 В точке разрыва функции вычислить предел справа. (Ответ: 1).
6 В точке разрыва функции вычислить предел слева. (Ответ: -1).
7 Найти точку разрыва функции . Какого рода точка разрыва? (Ответ: , второго рода).
8 В точке разрыва функции найти преденл справа. (Ответ: ).
9 В точке разрыва функции найти предел слева. (Ответ: 0).
10 Найти предел: . (Ответ: 1).
11 Найти предел: . (Ответ: 0).
12 Найти предел: . (Ответ: 0).
13 Найти предел,используя эквивалентные бесконечно малые: . (Ответ: ).
14 Найти предел, используя эквивалентные бесконечно малые: . (Ответ: ).
15 Найти предел, используя эквивалентные бесконечно малые: . (Ответ: ).
16 Функция в точке не определена. Для функции при найти такое , чтобы функция была непрерывна, если: . (Ответ: 1).
17 Функция в точке не определена. Для функции при найти такое, чтобы функция была непрерывна,если : . (Ответ: ).
18 Найти: . (Ответ: ).
19 Найти: . (Ответ: ).
20 Найти : . (Ответ : -2).
21 Найти : . (Ответ : ).
22 Найти первую производную функции .
(Ответ: ).
23 Найти вторую производную функции.
(Ответ: ).
24 Найти дифференциал функции.
(Ответ: ).
25 Найти приращение функции,если .
(Ответ: ).
26 Найти первую производную функции .
(Ответ: ).
27 Дано:. Найти: . (Ответ: ).
28 Найти производную функции: (Ответ: ).
29 Найти производную функции, заданной неявно:. ( Ответ: ).
30 Найти касательную, проведённую к кривой в точке с абсциссой . (Ответ: ).
31 Найти уравнение нормали, проведённой к кривой в точке с абсциссой . (Ответ: ).
32 Найти дифференциал второго порядка функции .
(Ответ: ) .
33 Найти вторую производную функции .
(Ответ: ) .
34 Найти вторую производную функции, заданной неявно:. (Ответ: ).
35 Найти предел по правилу Лопиталя: .
(Ответ: ).
36 Найти предел по правилу Лопиталя : .
( Ответ: ).
37 Найти промежутки убывания функции .
( Ответ: ).
38 Исследовать функцию на экстремум.
( Ответ: ).
39 Исследовать функцию на экстремум.
(Ответ: ).
40 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на интервале: .
(Ответ: наибольшее значение , наименьшее значение ).
41 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на интервале: .
(Ответ:наибольшее значение , наименьшее значение ).
42 Максимальное значение функции в точке х =... (Ответ: х = -2) .
43 Минимальное значение функци в точке х =... (Ответ: х =1).
44 Найти вертикальную (горизонтальную) асимптоту функции . (Ответ: ).
45 Разложить функцию в ряд Маклорена.
(Ответ: ).
46 Вычислить интеграл: .
(Ответ : ).
47 Вычислить интеграл : .
(Ответ : ).
48 В интеграле какую часть надо взять за ,чтобы интегрировать по частям ?
(Ответ : ).
49 В интеграле какую часть надо взять за ,чтобы интегрировать по частям ?
(Ответ: ).
50 В интегралекакую часть надо взять за ,чтобы интегрировать по частям?
( Ответ: ).
51 Разложить дробь на простейшие дроби.
(Ответ: ).
52 Какой метод применяется для решения интеграла ?
( Ответ:универсальная подстановка ).
53 В интеграле можно ли сделать замену переменной : . (Ответ: нельзя).
54 Вычислить неопределённый интеграл .
( Ответ: ).
55 Вычислить двойной интеграл по области .
(Ответ: ).
56 Вычислить повторный интеграл .
( Ответ: ).
57 Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , где - область интегрирования.
( Ответ: ).
58 Найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями .
(Ответ: ).
4 Образец теста на бумажном носителе закрытого типа
Выберите один правильный ответ из вариантов ответа.
Задания |
Варианты ответов |
Дана функция |
1. |
1 Найти область определения функции . |
2. а)) б) с) д) |
2 Исследовать функцию на чётность, нечётность . |
а) чётная б) нечётная 3. с) ни чётная,ни нечётн. д) периодическая |
4. 3 График функции симметричен относительно оси 5. оси , начала координат или не симметричен?
|
6. а) б) 7. с) не симметричен д)симметричен относительно начала координат |
8. 4 Найти точки разрыва функции. Какого рода эти
точки разрыва? |
а) нет точек разрыва б) , первого рода 9. с) , второго рода д) , второго рода |
Дана функция |
|
5 Найти точки разрыва функции. Какого рода эти точки разрыва? |
а) нет точек разрыва б) , первого рода 10. с) , второго р. д) , второго рода |
6 Найти предел справа в точке разрыва . |
а) не существует б) с) д) |
7 Найти предел слева в точке разрыва . |
а) не существует б) с) д) |
8 Найти предел функции: . |
а) б) с) д) 1 |
9 Найти предел функции : .
|
а) б) с) д) 1 |
10 Найти предел функции : . |
а) б) с) д) |
11. 11 Функция в точке не определена. 12. Чтобы функция в точке была 13. непрерывной, найти, если: . |
а) б) с) д) |
12 Функция в точке не определена. Чтобы функция в точке была непрерывной, найти, если : . |
а) б) с) д) |
13 Вычислить: . |
а) б) с) д) |
14 Вычислить : . |
а) б) с) д) |
15 Вычислить : . |
а) б) с) д) |
16 Вычислить : . |
а) б) с) д) |
14. 17 Найти первую производную функции 15. . 16.
|
а)б) с)д) |
17. 18 Найти дифференциал функции .
|
а) б) с) д) |
18. 19 Дано: Найти: .
|
а) б) с) д) |
19. 20 Найти производную неявной функции 20. . 21.
|
а) б) с) д) |
21 Для функции укажите уравнение касательной, проходящей через точку . |
а) б) с) д) |
22. 22 Для функции найти дифференциал 23. второго порядка .
|
а) б) ( с) д) |
24. 23 Найти производную третьего порядка функции . |
а) б) с) д) |
25. 24 Найти производную второго порядка функции 26. .
|
а) б) с) д) |
25 Найти уравнение касательной, проведённой к кривой . |
а) в) с) д) |
26 Вычислите по правилу Лопиталя: . |
а) б) с) д) |
27 Вычислите по правилу Лопиталя: . |
а) б) с) д) |
28 Вычислите по правилу Лопиталя: . |
а) б) с) д) |
29 Найти промежутки убывания функции . |
а) б) с) д) |
30 Исследовать на экстремум функцию . |
а) б) с) д) нет экстремума |
31 Найти абсциссу точки перегиба функции . |
а) б) с) д) |
32 Найти промежуток вогнутости функции . |
А)(-1;1) б)(-6;1) В)(1;5) г)(-1;3) |
33 Горизонтальная (вертикальная) асимптота графика функции имеет вид : |
а) б) с) д) |
34 Разложить функцию в ряд Маклорена . 27.
|
а) б) с) д) |
35 Найти интеграл: . |
а) б) с) д) |
36 Найти интеграл : . |
а) б) с) д) |
37 В интеграле какую часть надо взять за , чтобы интегрировать по частям? 28. |
а) б) с) д) |
38 В интеграле какую часть надо взять за 29. , чтобы интегрировать по частям? 30. |
а) б) с) д) |
39 Указать вид разложения дроби на 31. простейшие дроби . |
а) б) с) д) |
40 Для интеграла указать метод 32. вычисления . |
а) интегрирование по частям б)выделение полного квадрата с)универсальная подстановка д) другой метод |
41 Вычислить несобственный интеграл. |
а) б) с) д) |
42 Вычислить двойной интеграл 33. по области . |
а) б) с) д) |
43 Поменять порядок интегрирования : 34. . |
а) б) с) д) |
35.44 Вычислить тройной интеграл по области, 36.перейдя к цилиндрическим координатам: 37. . |
а) б) с) д) |
38.45 Найти объём тела, ограниченного поверхностью 39. . |
а) б) с) д) |
Список литературы
1. Мустахишев К.М., Ералиев С.Е., Атабай Б.Ж. Математика (краткий курс высшей математики).-Алматы, 2009.
2. Хасеинов К.А. Каноны математики.-Алматы, 2004.
3. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов /под редакцией Б.П.Демидовича. –Москва,1966 или более позднее издание.
4. П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах. - Москва, 1986. ч.1,2.
5. Индивидуальные задания по высшей математике: Учеб.пособие. ч.1 /под ред. А.П.Рябушко.-Мн.: Высш.школа, 2000.
6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов.-М.: Наука,1985. т.1,2
Содержание
Введение
1. Модуль 1.
1.1 Теоретические вопросы 4
1.2 Образцы билетов рубежного контроля для модуля 1 4
2. Модуль 2.
2.1 Теоретические вопросы 8
2.2 Образцы билетов рубежного контроля для модуля 2 8
2.3 Образцы тестовых билетов для модуля 2 12
3. База тестовых заданий компьютерной части к экзамену по
предмету «Математический анализ» 16
4. Образец теста на бумажном носителе закрытого типа 21
5. Рекомендуемая литература 23