АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

Кафедра физики

ФИЗИКА 2

Конспект лекций

для студентов всех форм обучения специальностей

050718 – Электроэнергетика, 050717 – Теплоэнергетика

Алматы, 2009

СОСТАВИТЕЛИ: Л.В. Завадская, Л.А. Тонконогая. Физика 2. Конспект лекций для студентов всех форм обучения специальностей 050718 – Электроэнергетика, 050717 – Теплоэнергетика. – Алматы: АИЭС, 2009. – 77 с.

Излагается краткое содержание лекций по дисциплине «Физика 2» для энергетических специальностей бакалавриата.

Конспект лекций «Физика 2» представляет собой еще один элемент системы методического обеспечения учебного процесса по дисциплине и может быть использован в качестве раздаточного материала на лекционных занятиях, а также в СРС над теоретическим материалом при подготовке к практическим, лабораторным занятиям и экзаменам.

Содержание

Содержание ……………………………………………………………………. 3

Введение ………………………………………………………………………. 5

1 Лекция 1. Электромагнитная индукция …………………………………… 6

1.1 Электромагнитная индукция. Закон электромагнитной индукции 6

1.2 Явление самоиндукции. Индуктивность …………………………. 7

1.3 Явление взаимной индукции ……………………………………… 8

1.4 Энергия магнитного поля …………………………………………. 9

2 Лекция 2. Основы теории Максвелла …………………………………….. 10

2.1 Вихревое электрическое поле …………………………………….. 11

2.2 Ток смещения ………………………………………………………. 12

2.3 Система уравнений Максвелла …………………………………… 13

3 Лекция 3. Колебательные процессы ………………………………………. 14

3.1 Свободные гармонические колебания ……………………………. 14

3.2 Энергия гармонических колебаний ……………………………….. 17

4 Лекция 4. Сложение колебаний. Затухающие и вынужденные колебания 18

4.1 Сложение колебаний одинакового направления ………………… 18

4.2 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний ……………… 20

4.3 Свободные затухающие электромагнитные колебания …………. 21

4.4 Вынужденные электромагнитные колебания. Резонанс ………… 22

5 Лекция 5. Волновые процессы ……………………………………………… 24

5.1 Упругие волны ………………………………………………………. 24

5.2 Уравнение волны ……………………………………………………. 25

5.3 Волновое уравнение ………………………………………………… 26

5.4 Энергия волны. Вектор Умова ……………………………………… 27

5.5 Волновой пакет. Групповая скорость. Дисперсия волн …………... 29

6 Лекция 6. Электромагнитные волны ………………………………………... 30

6.1 Дифференциальное уравнение электромагнитной волны и

ее свойства ……………………………………………………………… 30

6.2 Энергия электромагнитной волны. Вектор Пойнтинга …………… 32

6.3 Излучение электромагнитных волн ………………………………… 32

7 Лекция 7. Волновая оптика …………………………………………………... 33

7.1 Световая волна ……………………………………………………….. 33

7.2 Интерференция света. Когерентность ……………………………… 34

7.3 Дисперсия света ……………………………………………………… 36

8 Лекция 8. Квантовые представления о природе света. Тепловое излучение 38

8.1 Свойства и характеристики теплового излучения …………………. 38

8.2 Законы теплового излучения черного тела ………………………… 40

8.3 Формула Рэлея-Джинса. Ультрафиолетовая катастрофа …………. 40

8.4 Гипотеза и формула Планка ………………………………………… 41

9 Лекция 9. Корпускулярные свойства электромагнитного излучения …… 42

9.1 Фотоны ……………………………………………………………….. 42

9.2 Фотоэффект …………………………………………………………... 42

9.3 Эффект Комптона ………………………………………………….. 44

9.4 Единство волновых и корпускулярных свойств электромагнитного излучения (света) … 45

10 Лекция 10. Волновые свойства вещества …………………………………. 46

10.1 Гипотеза де Бройля ………………………………………………... 46

10.2 Соотношение неопределенностей ………………………………… 47

10.3 Статистическое толкование волн де Бройля ……………………… 49

11 Лекция 11. Уравнение Шредингера и его решения ………………………. 49

11.1 Состояние частицы в квантовой механике. Волновая функция … 49

11.2 Уравнение Шредингера ……………………………………………. 50

11.3 Примеры решений уравнения Шредингера ………………………. 51

11.4 Принцип соответствия Бора ……………………………………….. 54

12 Лекция 12. Решение уравнения Шредингера для атома водорода ……….. 55

12.1 Энергетический спектр атома водорода …………………………... 55

12.2 Орбитальное и магнитное квантовые числа. Спин электрона …… 56

12.3 Оптический спектр атома водорода ……………………………….. 57

12.4 Спин электрона ……………………………………………………... 58

13 Лекция 13. Квантовые статистики и их применение ……………………… 59

13.1 Неразличимость одинаковых квантовых частиц. Принцип Паули 59

13.2 Квантовые распределения …………………………………………. 60

13.3 Распределение Ферми-Дирака для электронов в металле ………. 61

14 Лекция 14. Зонная теория твердых тел ……………………………………. 63

14.1 Зонная структура энергетического спектра электронов в

кристаллах ……………………………………………………………….. 63

14.2 Энергетические зоны в металлах, диэлектриках и

полупроводниках ………………………………………………………... 64

14.3 Проводимость полупроводников ………………………………… 65

15 Лекция 15. Ядерная физика ………………………………………………. 66

15.1 Состав и характеристики атомного ядра …………………………. 67

15.2 Масса и энергия связи ядра ……………………………………….. 68

15.3. Ядерные силы ……………………………………………………… 69

16 Лекция 16. Радиоактивные превращения ядер …………………………… 71

16.1 Закон радиоактивного распада ……………………………………. 71

16.2 Закономерности – распада ……………………………………….. 72

16.3 Бета – распад ……………………………………………………….. 73

16.4 Гамма – излучение …………………………………………………. 75

Заключение ……………………………………………………………………… 76

Список литературы ……………………………………………………………... 76

Введение

Конспект лекций «Физика 2» представляет собой краткое изложение содержания лекций по этой дисциплине для энергетических специальностей бакалавриата.

В каждой лекции отражены основные вопросы темы в их логической связи и структурной целостности, но без детальной проработки математических выкладок или примеров. Поэтому данная учебно-методическая разработка может и должна служить лишь ориентировочной основой для учебной деятельности студента как на лекционном занятии, так и вне аудитории.

Форма изложения учебного материала, адекватная, на наш взгляд, его содержанию, делает этот материал хорошо воспринимаемым, организованным внешне, что, в конечном счете, будет способствовать лучшему его усвоению, систематизации СРС по освоению курса.

Настоящий конспект лекций предназначен студентам электро- и теплоэнергетических специальностей. Программы «Физика 2» для этих специальностей имеют общее содержание, отличающееся лишь глубиной проработки некоторых разделов, что достигается всей системой учебно-методического обеспечения учебного процесса по каждой специальности и в краткой учебно-методической разработке не может быть отражено.

1 Лекция 1. Электромагнитная индукция

В [1] рассмотрена связь между электрическими и магнитными явлениями: 1) электрический ток и движущийся электрический заряд создают магнитное поле; 2) со стороны магнитного поля на электрический ток или на движущийся электрический заряд действует сила. Исходя из взаимосвязи электрических и магнитных явлений, была выдвинута гипотеза о существовании обратного явления – возникновение электрического тока под действием магнитного поля, что было обнаружено в явлениях электромагнитной индукции.

1.1 Электромагнитная индукция. Закон электромагнитной индукции

Электромагнитной индукцией называется возникновение электродвижущих сил под действием магнитных полей.

Различают два вида явления электромагнитной индукции:

1) индукционная ЭДС (индукционный ток) возникает под действием переменных магнитных полей;

2) индукционные электрические напряжения возникают при движении материальных тел в магнитных полях.

Электромагнитная индукция была открыта Фарадеем в 1831 г. В его трактовке электромагнитная индукция сводится к возбуждению токов в проводниках под воздействием магнитного поля. Максвеллом показано, что причина возникновения электромагнитной индукции в создании магнитным полем вихревого электрического поля, что является более общей трактовкой электромагнитной индукции.

Фарадеем обнаружено, что индукционный ток можно вызывать двумя различными способами (рисунок 1.1).

1 способ – перемещение рамки Р (или отдельных её частей) в поле неподвижной катушки К.

2 способ – рамка Р неподвижна, но изменяется магнитное поле либо за счёт движения катушки К, либо вследствие изменения силы тока в ней.

В результате был получен закон электромагнитной индукции (или закон Фарадея) для явлений первого рода:

Рисунок 1.1 ЭДС электромагнитной индукции в замкнутом контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную этим контуром, что выражается в виде:

. (1.1)

Направление индукционного тока определяется по правилу Ленца: индукционный ток всегда направлен так, что его действие противоположно действию причины, вызывающей ток.

Примером индукционных явлений второго рода является движущийся проводник без тока длиной в однородном магнитном поле, со скоростью , перпендикулярной вектору магнитной индукции . На каждый электрон, движущийся с проводником, со стороны магнитного поля действует сила Лоренца. В результате между концами проводника образуется разность потенциалов (напряжение)

Индуцируемое при этом электрическое напряжение равно взятой с обратным знаком скорости изменения магнитного потока через площадь, пересеченную проводником при движении

что совпадает с законом электромагнитной индукции для явлений первого рода (1.1).

Если замкнутый контур содержит N последовательно соединенных витков (катушка или соленоид), то ЭДС индукции равна сумме ЭДС каждого витка

(1.2)

где - потокосцепление, т.е. суммарный магнитный поток сквозь витков.

1.2 Явление самоиндукции. Индуктивность

Электромагнитная индукция возникает во всех случаях, когда изменяется магнитный поток сквозь контур, при этом совершенно не важна причина изменения потока.

Если в электрической цепи течёт изменяющийся во времени ток, то магнитное поле этого тока будет изменяться, что влечёт за собой изменение магнитного потока, появление ЭДС индукции. Данное явление называется самоиндукцией.

ЭДС самоиндукции определяется из закона Фарадея (1.1)

Магнитный поток через контур, если нет ферромагнетиков, пропорционален силе тока I

(1.3)

где - коэффициент, называемый индуктивностью контура, единицей которого в системе СИ является генри (Гн). Согласно (1.3) индуктивностью 1 Гн обладает контур, магнитный поток через который при токе 1А равен 1 Вб.

Индуктивность контура зависит от формы и размеров контура, а также от магнитных свойств окружающей среды.

Если среда ферромагнитная, то индуктивность контура меняется с изменением силы тока и нарушается пропорциональность между потокосцеплением и силой тока (1.3).

Формулу индуктивности длинного соленоида можно найти, используя соотношения для индукции магнитного поля , потокосцепления , потока через один виток ,

(1.4)

где - линейная плотность витков;

- объём соленоида.

При изменении тока возникает ЭДС самоиндукции :

. (1.5)

Знак минус показывает, что всегда направлена так, чтобы препятствовать изменению силы тока (в соответствии с правилом Ленца), стремится сохранить ток неизменным, т.е. противодействует току. В явлениях самоиндукции ток обладает «инерцией», т.к. речь идёт о стремлении эффектов индукции сохранить магнитный поток постоянным, а индуктивность является мерой инертности контура по отношению к изменению силы тока (аналогия с механической инерцией при стремлении сохранить скорость тела неизменной). При (отсутствуют ферромагнетики)

. (1.6)

Характерные проявления самоиндукции наблюдаются при замыкании и размыкании тока в цепи. Изменение силы тока в контуре приводит к возникновению , в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Установление тока при замыкании цепи и убывание тока при её размыкании происходит не мгновенно, а постепенно. Эти эффекты замедления тем значительнее, чем больше индуктивность цепи. Законы изменения силы тока в замкнутой цепи, обладающей постоянным сопротивлением и индуктивностью , при включении в эту цепь и выключении из неё источника постоянной ЭДС позволяет найти формула

(1.7)

Рисунок 1.2

Первое слагаемое относится к экстратокам размыкания, а второе – к экстратокам замыкания. На рисунке 1.2. приведены графики зависимости от времени: кривая 1 – убывания силы тока при размыкании цепи; кривая 2 – возрастания силы тока при её замыкании, представляет собой установившийся ток (при ).

Скорость изменения тока (убывания или установления) характеризует постоянная, имеющая размерность времени,

называемая постоянной времени или временем релаксации.

1.3 Явление взаимной индукции

ЭДС индукции в каждом контуре возникает не только за счёт изменения магнитного потока, создаваемого током этого контура, но и за счёт изменения потока индукции магнитного поля, создаваемого током, текущем в другом контуре. В последнем случае речь идёт о взаимной индукции.

Рассмотрим два неподвижных близко расположенных контура (рисунок 1.3). Если в контуре 1 течёт ток , создающий полный магнитный поток через второй контур

, (1.8)

то аналогичным образом, электрический ток контура 2 порождает полный магнитный поток через контур 1

. (1.9)

Такие контуры называют магнитосвязанными, а коэффициенты и - взаимной индуктивностью первого контура относительно второго и второго относительно первого соответственно. В линейных средах, например, при отсутствии ферромагнетиков, .

Взаимная индуктивность зависит от геометрических размеров магнитосвязанных контуров, их взаимного расположения и магнитных свойств среды.

Согласно закону электромагнитной индукции ЭДС, возникающие в контурах 1 и 2 равны соответственно:

, . (1.10)

На явлении электромагнитной индукции основано действие трансформаторов – устройств, служащих для преобразования токов и напряжений.

1.4 Энергия магнитного поля

Если в контуре с индуктивностью течёт ток , то в момент размыкания цепи возникает индукционный ток, совершающий работу за счёт энергии исчезнувшего при размыкании цепи магнитного поля. Согласно закону сохранения и превращения энергии энергия магнитного поля в основном превращается в энергию поля электрического, за счёт чего происходит нагревание проводников.

Работа определяется из соотношения . Используя (1.6), получим .

Уменьшение энергии магнитного поля равно работе тока, поэтому

. (1.11)

Таким образом, контур с индуктивностью , по которому течёт ток , обладает энергией

Энергию можно выразить через магнитную индукцию , используя выражение индуктивности длинного соленоида и .

В результате получим формулу для энергии однородного поля, заполняющего объём

. (1.12)

Магнитная энергия локализована в пространстве, занимаемом магнитным полем, и распределена в нём с объёмной плотностью

(1.13)

где - объём малого участка магнитного поля, в пределах которого объёмную плотность энергии можно считать всюду одинаковой.

Соответственно энергия, локализованная во всём поле объёмом , равна

2 Лекция 2. Основы теории Максвелла

Максвелл, основываясь на идеях Фарадея об электрическом и магнитном полях, обобщил экспериментальные законы и разработал теорию единого электромагнитного поля. Эта теория является обобщением таких важнейших законов электро- и магнитостатики, как теорема Гаусса и закон полного тока [1], основной закон электромагнитной индукции. В теории Максвелла решается основная задача электродинамики: нахождение характеристик электромагнитного поля заданной системы электрических зарядов и токов.

Теория Максвелла является феноменологической теорией электромагнитного поля, т.к. в ней не рассматриваются молекулярное строение среды и внутренний механизм процессов, происходящих среде в электромагнитном поле. Электрические и магнитные свойства среды характеризуются тремя величинами, относительной диэлектрической проницаемостью , относительной магнитной проницаемостью и удельной электрической проводимостью .

В ней рассматриваются макроскопические электромагнитные поля макроскопических зарядов и токов, систем покоящихся и движущихся зарядов, пространственная протяженность которых много больше размеров отдельных атомов и молекул.

При переходе от закона электромагнитной индукции к первому уравнению Максвелла было введено вихревое электрическое поле, от закона полного тока к второму уравнению – ток смещения.

2.1 Вихревое электрическое поле

При изучении явления электромагнитной индукции было обнаружено, что в контуре, покоящемся в переменном магнитном поле, возникает индукционный ток. Причиной появления последнего является действие сторонних сил. Это не магнитные силы, т.к. они не могут привести в движение покоившиеся заряды (). Остаются силы электрического поля , именно это поле ответственно за появление ЭДС индукции в неподвижном контуре при изменении во времени магнитного поля. Максвелл предположил, что проводник является лишь индикатором индуцированного электрического поля. Поле приводит в движение свободные электроны в проводнике и тем самым обнаруживает себя, но оно существует и без проводника, обладая запасом энергии.

В отличие от электростатического поля, индуцированное электрическое поле является непотенциальным вихревым, так как работа, совершаемая в этом поле при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому контуру, равна ЭДС индукции, а не нулю,

(2.1)

где - напряженность электрического поля, индуцированного переменным магнитным полем.

Исходя из закона электромагнитной индукции (1.1), можно записать

. (2.2)

В общем случае электрическое поле может слагаться из электростатического поля и поля, обусловленного изменяющимся во времени магнитным полем. Так как циркуляция электростатического поля равна нулю, уравнение (2.2) можно переписать для общего случая, когда поле представляет собой векторную сумму этих двух полей,

. (2.3)

В уравнении (2.3) учтено, что контур и поверхность неподвижны, вектор зависит как от времени, так и от координат, .

Первое уравнение Максвелла (2.3) показывает, что циркуляция вектора по произвольному неподвижному замкнутому контуру мысленно приведенному в электромагнитном поле, равна взятой с обратным знаком скорости изменения магнитного потока через поверхность , натянутую на этот контур.

Отсюда вытекает первое положение теории Максвелла: всякое изменение магнитного поля вызывает появление вихревого электрического поля.

2.2 Ток смещения

Максвелл обобщил закон полного тока [1], предположив, что переменное электрическое поле так же, как и электрический ток, является источником магнитного поля. Для количественной характеристики «магнитного действия» переменного электрического поля им было введено понятие тока смещения.

Известно, что конденсатор в цепи постоянного тока является разрывом, а переменный ток в цепи с конденсатором протекает.

Сила квазистационарного тока проводимости во всех последовательно соединенных элементах цепи является одной и той же. В конденсаторе ток проводимости, связанный с движением электронов, не может существовать, поскольку обкладки конденсатора разделены диэлектриком. Отсюда следует, что в конденсаторе происходит некоторый процесс, который как бы замыкает ток проводимости, - это ток смещения.

В цепи переменного тока (рисунок 2.1) между обкладками конденсатора имеется электрическое поле с напряженностью . В этой формуле - поверхностная плотность заряда на обкладке, - диэлектрическая проницаемость вещества между обкладками. Электрическое смещение между обкладками конденсатора с зарядом и площадью пластин равно .

Рисунок 2.1

Сила тока в цепи равна , отсюда следует, что

, (2.4)

т.е. процессом, замыкающим ток проводимости в цепи, является быстрота изменения электрического смещения между обкладками конденсатора. Тогда плотность тока смещения в пространстве между обкладками равна

. (2.5)

Согласно Максвеллу (второе положение) ток смещения, подобно токам проводимости, является источником вихревого магнитного поля (рисунок 2.1).

Второе уравнение Максвелла можно записать в виде

(2.6)

где - плотность полного тока.

Уравнение (2.6) показывает, что циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному неподвижному замкнутому контуру, мысленно проведенному в электромагнитном поле, равна алгебраической сумме токов проводимости и смещения сквозь поверхность, натянутую на этот контур.

2.3 Система уравнений Максвелла

Система уравнений Максвелла представлена в таблице 2.1.

Т а б л и ц а 2.1

Интегральная форма	Дифференциальная форма
1.
2.
3.
4.
5. 6. 7.

Из первых двух уравнений следует важный вывод: переменные электрические и магнитные поля неразрывно связаны друг с другом, образуя единое электромагнитное поле.

Третье и четвертое уравнения свидетельствует о том, что электрическое поле имеет источники – электрические заряды, а магнитные заряды отсутствуют, поэтому уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Соотношения (5,6,7) в таблице 2.1 называют материальными уравнениями, так как они учитывают индивидуальные свойства среды.

Теория Максвелла объяснила все известные в то время экспериментальные факты и предсказала ряд новых явлений. Основным следствием его теории был вывод о существовании электромагнитных волн, распространяющихся со скоростью света, что привело к созданию электромагнитной теории света.

3 Лекция 3. Колебательные процессы

Колебаниями называются процессы (движения или изменения состояния), в той или иной степени повторяющиеся во времени.

Свободными (собственными) называются колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как она была выведена из состояния равновесия.

Вынужденными колебаниями называются колебания, возникающие в какой-либо системе под влиянием внешнего переменного воздействия.

Автоколебания, как и вынужденные, сопровождаются воздействием на колебательную систему внешних сил, но моменты времени осуществления этих воздействий задаются самой системой – система сама управляет внешним воздействием.

При параметрических колебаниях периодическое изменение какого-либо параметра системы происходит за счёт внешнего воздействия. Колебания называются периодическими, если значения всех физических величин, характеризующих колебательную систему и изменяющихся при её колебаниях, повторяются через равные промежутки времени.

Гармоническими называются колебания, которые происходят по закону косинуса (или синуса).

3.1 Свободные гармонические колебания

Выражение для гармонически колеблющейся величины можно представить в виде:

(3.1)

где - амплитуда колебаний, максимальное значение изменяющейся величины ;

- собственная круговая (или циклическая частота), равная числу полных колебаний, совершающихся за секунд;

- фаза колебаний, определяющая значение в произвольный момент ;

- начальная фаза, т.е. значение фазы колебаний в момент начала отсчёта времени.

Время, в течение которого совершается полное колебание, называется периодом , .

Число полных колебаний, совершаемых за единицу времени, называют частотой , .

Гармонические свободные колебания описываются однородным дифференциальным уравнением второго порядка

(3.2)

Решением уравнения (3.2) является уравнение гармонического колебания (3.1).

В зависимости от физической природы колебательного процесса и «механизма» его возбуждения различают механические колебания, электромагнитные, электромеханические и др.

Колебательную систему принято называть осциллятором, а систему, совершающую гармонические колебания, - гармоническим осциллятором. Примером осцилляторов являются маятники, колебательный контур, молекулы и атомы твердых тел и т.д. Изучение колебательных процессов облегчается тем, что между процессами различной природы существует формально – математическая аналогия, поэтому они описываются одинаковым по виду дифференциальным уравнением. В таблице 3.1 приведены дифференциальные уравнения и характеристики различных осцилляторов. Из таблицы видно, что собственная циклическая частота осциллятора зависит от его параметров. В таблице 3.1 - скорость (линейная или угловая ) механического осциллятора и сила тока в колебательном контуре; - ускорение (линейное или угловое ) механического осциллятора; - напряжение на конденсаторе. Амплитуды величины соответственно равны , , , , . Их фазы отличаются (рисунок 3.1), фаза величины отличается от фазы величины на (отстаёт), а фаза величины от фазы на (опережает).

В случае математического и пружинного маятников возвращающая сила . Для физического маятника вводят величину , называемую приведенной длиной физического маятника (длина такого математического маятника, период которого равен периоду данного физического маятника). Тогда период физического маятника записывается в виде:

Рисунок 3.1

Т а б л и ц а 3.1

Осциллятор Характеристики, уравнения колебаний	Маятники			Идеальный колебательный контур
Осциллятор Характеристики, уравнения колебаний	математический	физический	пружинный	Идеальный колебательный контур
основное уравнение системы
дифференциальное уравнение
в (3.1)
уравнение колебаний
циклическая частота, период Т

3.2 Энергия гармонических колебаний

Полная энергия механических колебаний определяется суммой кинетической и потенциальной энергии. Используя формулы из таблицы 3.1, можно записать:

, (3.3)

(3.4)

и . (3.5)

Графики зависимости , и от времени приведены на рисунке 3.2.

Рисунок 3.2

Из графика следует, что кинетическая энергия материальной точки изменяется от 0 до , совершая гармонические колебания с частотой и амплитудой , около среднего значения, равного .

Колебания потенциальной энергии происходят подобно, но со сдвигом фаз, равном . Полная энергия остается постоянной.

Полная энергия электромагнитного поля колебательного контура . При зарядке конденсатора между его обкладками появляется электрическое поле с энергией . При его разрядке в катушке индуктивности возникает магнитное поле с энергией .

Для энергии магнитного поля

, (3.6)

для энергии электрического поля

(3.7)

и полной энергии

. (3.8)

Из сравнения уравнений (3.3-3.5) и (3.6-3.8) следует, что законы изменения со временем кинетической энергии и энергии магнитного поля, потенциальной энергии и энергии электрического поля подобны, а полная энергия в обоих случаях сохраняется, что показано на рисунке 3.2.

4 Лекция 4. Сложение колебаний. Затухающие и вынужденные колебания

Под сложением колебаний понимают нахождение закона результирующих колебаний системы в тех случаях, когда эта система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах. Различают два предельных случая: сложение колебаний одинакового направления и сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

4.1 Сложение колебаний одинакового направления

Гармоническое колебание можно представить посредством вращающего вектора амплитуды (рисунок 4.1). Рассмотрим колебание, происходящее вдоль оси х по закону

(14.1)

В качестве опорной оси выбирается ось х.

Гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде А колебания, а направление вектора образует с осью х угол, равный начальной фазе колебания. Проекция вектора на ось х

Рисунок 4.1

Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью , то проекция вектора на ось будет совершать гармоническое колебание, описываемое уравнением (4.1), в пределах от +А до –А. Циклическая частота этих колебаний равна угловой скорости вращения, а начальная фаза - углу, который образуется вектором с опорной осью в начальный момент времени.

Если система одновременно участвует в двух колебаниях, уравнения которых имеют вид:

, , (4.2)

то сложение можно произвести, воспользовавшись методом векторных диаграмм (рисунок 4.2). Проекция результирующего вектора на ось х равна сумме проекций слагаемых векторов

Результирующая амплитуда, как видно из построения на рисунке 4.2, определяется по теореме косинусов

, (4.3)

а начальная фаза результирующего колебания по тангенсу:

. (4.4)

Уравнение результирующего гармонического колебания

Рисунок 4.2

Проанализируем уравнения (4.2) и (4.3).

4.1.1 При сложении колебаний одинаковой частоты и сдвиге фаз результирующая амплитуда . Колебания находятся в одной фазе (синфазны). Если сдвиг фаз , то , колебания находятся в противофазе. В обоих случаях амплитуда результирующего колебания не изменяется со временем. Два колебательных процесса называются когерентными колебаниями, если они согласованно протекают во времени, так что разность их фаз остается постоянной.

4.1.2 При сложении колебаний различной частоты векторы и имеют различные угловые скорости. Результирующий вектор изменяется по величине и вращается с переменной скоростью. Эти колебания некогерентны, наблюдается не гармонический, а более сложный процесс.

4.1.3 При сложении двух гармонических колебаний одного направления, но мало отличающихся по частотам, наблюдается колебание с амплитудой, изменяющейся периодически от некоторого максимального значения до нуля. Такие колебания называют биениями.

Пусть частота одного колебания , а другого , начальные фазы колебаний равны нулю, амплитуды одинаковы , тогда , . Результирующее колебание удовлетворяет соотношению . (4.5)

Величина изменяется в пределах от 0 до 2А с циклической частотой , называемой циклической частотой биений. Т.к. частота биений , переменную величину, указанную выше, называют амплитудой (условной) биений. Период биений .

4.2 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Если колебания одновременно совершаются вдоль оси х и вдоль оси у, то их уравнения могут быть записаны в виде

, (4.6)

где - разность фаз двух колебаний (сдвиг фаз).

Такие колебания можно наблюдать, если на управляющие горизонтальные и вертикальные пластины осциллографа подать периодические гармонические сигналы. Для определения траектории результирующего колебания нужно из уравнений (4.6) исключить время. Для этого следует выразить и , .

Исключив из (4.6) время, получим уравнение траектории

. (4.7)

Т а б л и ц а 4.1

Разность фаз	Уравнение траектории	Графическое представление

Уравнение (4.7) представляет собой уравнение эллипса с произвольно расположенными полуосями. Частные случаи, вытекающие из этого уравнения, представлены в таблице 4.1.

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектории результирующего движения имеют вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу.

4.3 Свободные затухающие электромагнитные колебания

В 3.1 рассмотрены колебания идеальных систем, в которых запасенная системой энергия не переходит в другие виды энергии, т.е. в системе не происходит диссипация энергии.

В реальных процессах потери энергии не избежать, в электромагнитном колебательном контуре причиной потерь является наличие электрического сопротивления.

Реальный колебательный контур в отличие от идеального (таблица 3.1) содержит резистор сопротивления R, соединенный последовательно с конденсатором и катушкой индуктивности.

Обобщенный закон Ома для участка 1-2 с учетом сопротивления R принимает вид:

где , ,

то получим

(4.8)

где введено - коэффициент затухания, .

Уравнение (4.8) – дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

Решением уравнения (4.8) является уравнение затухающих колебаний

(4.9)

где постоянные (начальная амплитуда) и (начальная фаза) зависят от начальных условий, т.е. от значений и в начальный момент времени. График зависимости изображен на рисунке 4.3.

Затухающие колебания (4.9) не являются периодическими, т.к. максимальное значение колеблющейся величины, в данном случае , никогда не повторяется, но обращается в нуль и достигает максимальных и минимальных значений через равные промежутки времени:

(4.10)

и с одинаковой частотой

. (4.11)

Величины и поэтому и называют периодом (условным периодом) и циклической (условной циклической) частотой затухающих колебаний.

Используя ранее введенные величины, можно записать период и частоту электромагнитных затухающих колебаний в виде:

и . (4.12)

Промежуток времени, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в раз, называется временем релаксации .

Для количественной характеристики быстроты убывания амплитуды затухающих колебаний пользуются понятием логарифмического декремента затухания.

Логарифмическим декрементом затухания называется натуральный логарифм отношения значения амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период:

(4.13)

где - число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в раз.

Реальный колебательный контур характеризуется добротностью , равной произведению на отношение энергии колебаний системы в произвольный момент времени к убыли этой энергии за условный период затухающих колебаний

Можно показать, что добротность контура

, (4.14)

т.е. добротность контура тем выше, чем больше число колебаний совершается, прежде чем амплитуда колебания уменьшится в раз.

4.4 Вынужденные электромагнитные колебания. Резонанс

Чтобы вызвать вынужденные электромагнитные колебания, нужно включить последовательно с элементами контура переменную ЭДС:

В данном случае уравнение колебательного контура записывается как

или

. (4.15)

Т.к. в случае вынужденных колебаний интересуют только установившиеся колебания, т.е. частное решение этого уравнения, то

(4.16)

где - амплитуда заряда на конденсаторе;

- разность фаз между колебаниями заряда и внешней ЭДС.

Продифференцировав (4.16) по , получим силу тока в контуре:

(4.17)

Продифференцировав (4.16) по еще раз, запишем

(4.18)

Подставив (4.16)-(4.18) в (4.15), можно убедиться в том, что является суммой трех гармонических колебаний той же частоты, осуществляемых со сдвигом фаз, векторная диаграмма сложения этих колебаний представлена на рисунке 4.4. Из рисунка 4.4 следует:

, (4.19)

Рисунок 4.4

Если учесть, что , ,

то ,

. (4.20)

Анализ выражения (4.19) показывает, что при заданных значениях амплитуда колебаний заряда (и фаза ) вынужденных колебаний определяется частотой ЭДС. Чем меньше разность собственной частоты и частоты переменной ЭДС, тем больше амплитуда . Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при определенном значении частоты внешнего воздействия называют резонансом. Частоту внешнего воздействия (ЭДС), при которой наступает резонанс, называют резонансной частотой.

Для определения резонансной частоты для заряда (напряжения) нужно найти минимум функции, являющейся знаменателем в формуле (4.19), для резонансной частоты силы тока – минимум функции в знаменателе (4.20).

Резонансные частоты для заряда (напряжения на конденсаторе) и силы тока определяются следующими формулами:

. (4.21)

Рисунок 4.5

Резонансные кривые для и тока приведены на рисунках 4.5 а,б. Максимум при резонансе тем выше и острее, чем меньше , т.е. чем меньше активное сопротивление. В отличие от резонансных кривых для силы тока при резонансные кривые для сходятся в точке . - напряжение, возникающее на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения.

Амплитудное значение силы тока достигается при , амплитудное значение достигается при .

При рассмотрении электрических колебаний применялся обобщенный закон Ома, установленный для постоянного тока. Это возможно, т.к. электромагнитные возмущения распространяются в цепи с огромной скоростью, равной скорости света . Поэтому, если линейные размеры контура не слишком велики (, - частота колебаний в контуре), то можно считать, что в каждый момент времени сила тока во всех частях контура одинакова. Такой переменный ток называется квазистационарным.

5 Лекция 5. Волновые процессы

5.1 Упругие волны

Процесс распространения возмущения называется волновым. Упругой волной называют процесс распространения механического возмущения в упругой среде. Если в упругой среде возбудить колебание её частиц, то из-за взаимодействия между ними это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью.

При этом частицы не перемещаются, а лишь колеблются у положения равновесия. Поэтому основным свойством волн является перенос энергии без переноса вещества.

Различают волны продольные и поперечные, в зависимости от направления движения частиц около своих положений равновесия (вдоль и ли поперек направления распространения волны).

Поперечные волны распространяются в средах, обладающих сопротивлением к сдвигу (в твердых телах). Продольные – в средах, обладающих сопротивлением к сжатию и растяжению (в жидких, газообразных и твердых телах).

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называют волновой поверхностью, а геометрическое место точек, до которых дошло возмущение к данному моменту времени, - фронтом волны. Волновых поверхностей может быть множество, а волновой фронт один. Волновые поверхности неподвижны, а волновой фронт перемещается. В зависимости от формы волновой поверхности (фронта волны) волны могут быть плоскими или сферическими.

Волна характеризуется следующими параметрами: - длина волны, это расстояние, которое проходит волна за один период колебания; - период, время одного колебания; - частота, число колебаний в единицу времени. Между ними существует зависимость, выражаемая формулами

, .

5.2 Уравнение волны

Возмущение, происшедшее в какой-либо точке среды в некоторый момент времени, проявляется через определенное время на некотором расстоянии от нее, т.е. передается с определенной скоростью.

В общем виде уравнение волны представляет собой функцию времени и трех пространственных координат. При распространении возмущения вдоль оси х смещение частицы среды из положения равновесия является функцией координаты х и времени , т.е. .

Если колебания точек, лежащих в плоскости х=0, описываются функцией , то на некотором расстоянии х от источника колебания частиц будут отставать по времени на , - скорость распространения волны. Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид

Для характеристики волн используется волновое число

, (5.1)

которое показывает, сколько длин волн укладывается на отрезке длиной .

Следовательно, можно записать

(5.2)

где - начальная фаза волны;

- фаза плоской волны.

Уравнение (5.2) – уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся вдоль оси х в среде, не поглощающей энергию.

Бегущими называют волны, переносящие энергию в пространстве. Скорость в уравнении (5.1) – фазовая скорость волны, т.е. скорость, с которой распространяется определенное значение фазы волны.

Если происходит потеря энергии в среде, поглощение её средой, то

где - коэффициент затухания волны.

При распространении плоской волны в произвольном направлении, характеризуемом единичным вектором , перпендикулярным фронту волны, вводят волновой вектор

В этом случае уравнение плоской волны принимает вид

где .

5.3 Волновое уравнение

Аналогично основному уравнению динамики, которое описывает все возможные движения материальной точки, в области волновых процессов существуют уравнения, являющиеся обобщенным выражением волн, независимо от их вида. Это дифференциальные уравнения в частных производных, связывающих изменения функций, характеризующих волну, во времени и пространстве.

Они называются волновыми уравнениями. Для получения волнового уравнения дважды продифференцируем уравнение (5.2) сначала по , а затем по х. В результате получим

, .

Подставив первое уравнение во второе, получим волновое уравнение плоской бегущей волны вдоль оси х:

. (5.3)

Уравнение плоской волны (5.2) является решением волнового уравнения (5.3).

В общем случае, когда смещение является функцией четырех переменных, оно примет вид

(5.4)

где

5.4 Энергия волны. Вектор Умова

Упругая среда, в которой распространяются волны, обладает как кинетической энергией колебательного движения частиц, так и потенциальной энергией, обусловленной деформацией среды.

Мысленно выделим малый объем , во всех точках которого скорость движения и деформацию можно считать одинаковыми и равными соответственно и для волны, распространяющейся вдоль оси .

Выделенный объем обладает кинетической энергией

где - масса вещества в объеме , .

Подставив в уравнение значение , получим

Рассматриваемый объем обладает потенциальной энергией

где - модуль Юнга;

- относительное удлинение или сжатие.

Учитывая, что скорость продольных волн , , находим .

Анализ уравнений кинетической и потенциальной энергии частиц объема среды показывает, что их максимумы совпадают, и являются одинаковыми функциями времени. Эта закономерность справедлива для любых бегущих волн в упругой среде. Она вытекает из закона сохранения энергии применительно к процессу распространения колебаний в упругой среде. Для вовлечения в колебательное движение все более удаленных от источника волн областей среды необходима затрата энергии, которая сообщается среде источником. Следовательно, распространение упругих волн неразрывно связано с передачей энергии от одних участков среды к другим, поэтому энергия зависит от координат и времени.

Полная энергия равна сумме и

. (5.5)

Разделив эту энергию на объем, в котором она содержится, получим плотность энергии

В каждой точке среды плотность энергии изменяется по закону квадрата синуса, поэтому средняя плотность энергии в каждой точке среды равна

. (5.6)

Энергия , переносимая волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии через эту поверхность:

Поток энергии в разных точках поверхности может быть различным, поэтому вводится понятие плотности потока энергии. Это поток энергии через единичную площадку, перпендикулярную к направлению переноса энергии:

. (5.7)

Для гармонических (синусоидальных) волн скорость переноса энергии волной равна фазовой скорости . Энергия , заключенная внутри косого цилиндра (рисунок 5.1) с основанием площадью и образующей длиной ,

Подставив эту формулу в (5.7), получим формулу для плотности потока энергии:

Для определения плотности потока и его направления вводят вектор Умова :

(5.8)

где - вектор скорости, нормальный к волновой поверхности в данном месте, модуль которого равен фазовой скорости волны.

Среднее по времени значение плотности потока энергии называют интенсивностью волны:

5.5 Волновой пакет. Групповая скорость. Дисперсия волн

Распространение волнового сигнала определяется перемещением энергии колебаний, переносимой группой волн (волнового пакета). Излучение чаще всего не является монохроматическим, содержит узкий спектральный интервал частот. Совокупность значений этих частот называют спектром частот. В зависимости от характера колебаний, возбуждаемых волной, спектр может быть дискретным или непрерывным.

Рассмотрим простейшую группу волн – квазисинусоидальную волну, распространяющуюся в линейной среде, представляющую собой суперпозицию двух плоских волн с близкими частотами:

где , , , .

В результате сложения колебаний получим

Эта волна отличается от синусоидальной тем, что ее амплитуда

(5.9)

медленно изменяющаяся функция координаты х и времени t.За скорость распространения волнового пакета принимают скорость перемещения точки, в которой амплитуда имеет какое-либо фиксированное значение, чаще максимальное (центр волнового пакета). Т.к. в этой точке максимальна и плотность энергии, то групповая скорость – скорость переноса энергии волны.

Центр волнового пакета движется по закону , откуда групповая скорость

Так как , , ( - длина волны),

то . (5.10)

Из (5.10) следует, что групповая скорость может быть как меньше, так и больше фазовой скорости , что связано с зависимостью фазовой скорости от длины (частоты) волны, т.е. от свойств среды.

Зависимость фазовой скорости монохроматических волн от частоты (или длины волны) называется дисперсией.

Если среда обладает дисперсией (диспергирующая), то форма волнового пакета есть наложение гармонических волн с различными частотами. Результирующее возмущение (огибающая) по мере распространения «расплывается», а «форма» сигнала изменяется.

При отсутствии дисперсии, например, распространение электромагнитных волн в вакууме или акустических в воздухе , волна сохраняет свою форму.

6 Лекция 6. Электромагнитные волны

Из теории Максвелла (2,3) следует, что переменное магнитное поле порождает переменное электрическое, и наоборот. Если в какой-либо точке пространства возбудить вихревое электрическое поле, то в окружающем заряды пространстве возникнет последовательность взаимных превращений электрических и магнитных полей, т.е. возникнет переменное магнитное поле, распространяющееся во времени и в пространстве. Этот процесс является периодическим и представляет собой электромагнитную волну.

6.1 Дифференциальное уравнение электромагнитной волны и ее свойства

Согласно теории Максвелла для электромагнитного поля, вдали от порождающих его свободных электрических зарядов и макроскопических токов уравнения (1-4 в таблице 1.1) имеют вид

, ,

, .

С учетом и эти уравнения можно переписать в форме:

, , , (6.1)

где и - постоянные проницаемости среды.

При распространении плоской волны вдоль положительного направления оси х векторы и , а значит, и их компоненты по координатным осям, не будут зависеть от координат y и z. В этом случае из уравнений (6.1), представленных в проекциях на оси координат, можно получить две независимые группы уравнений:

, , (6.2)

, , (6.3)

и уравнения

, . (6.4)

Уравнения (6.2) можно привести к виду:

и . (6.5)

Сравнение (6.5) с (5.3) показывает, что уравнения (6.5) являются волновыми уравнениями электромагнитной волны.

Решениями этих уравнений являются функции

и (6.6)

Из уравнений (6.2)-(6.6) вытекают основные свойства электромагнитных волн.

6.1.1 Из уравнений (6.4) следует, что и не зависят ни от х, ни от t. Поэтому для переменного поля плоской волны и векторы и перпендикулярны к направлению распространения волны, т.е. электромагнитные волны поперечны.

6.1.2 Сравнение уравнений (6.5) с (5.3) показывает, что фазовая скорость электромагнитной волны

(6.7)

зависит от свойств среды.

Скорость электромагнитной волны в вакууме .

6.1.3 Уравнения (6.5) свидетельствуют о том, что векторы и поля электромагнитной волны взаимно перпендикулярны: ,, образуют правовинтовую систему (рисунок 6.1).

6.1.4 Показано, что начальные фазы в уравнениях (6.6) равны и .

Следовательно, колебания векторов и происходят синфазно (в одной фазе) (рисунок 6.2) и их мгновенные значения связаны соотношением

. (6.8) Уравнения плоской волны, распространяющейся в однородной изотропной среде, в векторном виде имеют вид:

, .

6.1.5 В каждой точке электромагнитного поля векторы и совершают гармонические колебания одинаковой частоты (частоты волны), поэтому электромагнитная волна монохроматическая.

6.2 Энергия электромагнитной волны. Вектор Пойнтинга

С электромагнитной волной связан перенос энергии. В изотропной среде плотность энергии электромагнитного поля равна сумме плотностей энергии электрического и магнитного полей:

Из соотношения между векторами и поля электромагнитной волны (6.8) следует, что объемная плотность энергии электромагнитных волн

(6.9)

где - скорость волны (6.7).

Умножив выражение (6.9) на , получим плотность потока энергии:

. (6.10)

Так как векторы и взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распространения правовинтовую систему (рисунок 6.1), то (6.10) можно представить как

. (6.11)

Вектор называют вектором Пойнтинга. Он направлен в сторону распространения электромагнитной волны, а его модуль равен энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени сквозь единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.

В случае бегущей гармонической электромагнитной волны плотность потока энергии

Интенсивность волны равна среднему значению плотности потока энергии:

, (6.12)

т.к. среднее значение квадрата косинуса равно 1/2.

6.3 Излучение электромагнитных волн

Процесс возбуждения электромагнитных волн какой-либо системой в окружающем пространстве называется излучением этих волн, а сама система называется излучающей системой. Поле электромагнитных волн называется полем излучения.

Согласно классической электродинамике электромагнитные волны возбуждаются ускоренно движущимися электрическими зарядами. Простейшей излучающей системой является электрический диполь, момент которого изменяется с течением времени. Такой диполь называется элементарным вибратором. Если излучающая система электронейтральна, а ее размеры малы по сравнению с длиной излучаемых волн, то в волновой зоне (, где - расстояние от системы) поле излучения близко к полю излучения осциллятора с электрическим моментом как у излучающей системы.

Момент линейного гармонического осциллятора изменяется со временем по закону

. (6.13)

В однородной изотропной среде время прохождения волны до точек, удаленных от диполя на расстояние , одинаково, фаза колебаний тоже. Поэтому в волновой зоне волновой фронт сферический. Амплитуда волны уменьшается с ростом расстояния от диполя как

где - угол между осью диполя и радиусом вектором точки (рисунок 6.3).

Из рисунка следует, что вектор в каждой точке волновой поверхности направлен по касательной к меридиану, а вектор - по касательной к параллели, составляя правую тройку с вектором Пойнтинга . Интенсивность волны

~. (6.13)

Эту зависимость изображают с помощью диаграммы направленности излучения диполя (рисунок 6.4). Из (6.14) и приведенной диаграммы следует, что диполь максимально излучает в экваториальной плоскости , а вдоль оси он не излучает. Мощность излучения зависит от частоты колебаний, пропорциональна .

Наличие такого электромагнитного поля позволяет осуществлять передачи на большие расстояния, всякая передающая антенна может рассматриваться как совокупность точечных диполей. При решении отдельных оптических проблем атом рассматривается как излучающий диполь, в котором электрон совершает колебания около ядра.

7 Лекция 7. Волновая оптика

7.1 Световая волна

В 6.1 получено, что скорость электромагнитных волн в вакууме выражается

Совпадение этой скорости с измеренной астрономическими методами скоростью света послужило основанием для вывода о том, что свет – электромагнитная волна. Все свойства электромагнитных волн справедливы для световых.

Величина

(7.1)

называется показателем преломления. Скорость электромагнитных волн в среде

. (7.2)

Для большинства прозрачных веществ практически не отличается от единицы, поэтому

. (7.3)

Длина световой волны в среде

где - длина волны в вакууме.

Интенсивность света определяется вектором Пойнтинга (6.11), поэтому

~, (7.4)

т.е. пропорциональна показателю преломления среды и квадрату амплитуды световой волны.

В качестве светового вектора используется вектор напряженности электрического поля, т.к. физиологическое, фотохимическое, электрическое и другие действия света вызываются колебаниями электрического вектора.

Световые волны поперечны, но в естественном свете (свете, испускаемым обычными источниками) совершаются колебания в самых различных направлениях, перпендикулярных лучу – линии, вдоль которой распространяется световая энергия. Наличие этих колебаний объясняется тем, что излучение светящегося тела состоит из волн, испускаемых его атомами. Процесс излучения отдельного атома продолжается около с. За это время успевают образоваться цуги волн (прерывистое излучение атомов в виде отдельных импульсов). Цуги, налагаясь друг на друга, образуют испускаемую телом световую волну. Плоскость колебаний для каждого цуга ориентирована случайным образом, поэтому в результирующей волне колебания различных направлений равновероятны.

7.2 Интерференция света. Когерентность

Явление интерференции света состоит во взаимном усилении световых волн в одних точках пространства и ослаблении – в других при их наложении. Необходимым условием интерференции волн является их когерентность.

Когерентность - это согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов.

Этому условию удовлетворяют монохроматические волны строго определенной частоты и постоянной амплитуды. Реальный источник не дает строго монохроматического света (7.1), т.к. излучения отдельных атомов не находятся в согласии друг с другом, фазы их волн сдвинуты на случайные величины. Следовательно, для устойчивой картины интерференции необходима согласованность волн во времени и длине.

Согласованность, заключающаяся в том, что разность фаз двух колебаний остается неизменной с течением времени в данной точке пространства, называется временной когерентностью. Время, в течение которого начальная фаза из-за случайных изменений примет значение отличное на от первоначального значения, называется временем когерентности.

Согласованность, заключающаяся в том, что остается постоянной разность фаз колебаний, в разных точках волновой поверхности, называется пространственной когерентностью. Расстояние, на котором достигаемые значения разности фаз составляют , называется длиной когерентности.

За пределами времени когерентности и длины когерентности создаваемые волной колебания не являются когерентными.

Следовательно, необходимым условием интерференции волн являются равенство частот и постоянная во времени разность фаз (когерентность волн). Создать когерентные световые колебания с помощью обычных источников света можно лишь одним способом – «расщеплением» одной и той же световой волны на две и затем их соединением.

При наложении световых волн справедлив принцип суперпозиции и в каждой точке пространства результирующая напряженность . Если векторы и колеблются вдоль одного направления, можно применять метод векторных диаграмм (рисунок 4.2). С учетом выражений (4.3) и (7.4) интенсивность результирующей волны

. (7.5)

В точках пространства, где , интенсивность , где , интенсивность .

Разность фаз колебаний в точке наблюдения интерференционной картины

где - пути, пройденные двумя когерентными волнами от точки их разделения до точки наблюдения интерференционной картины;

и - фазовые скорости этих волн в средах с соответственными показателями преломления и ;

- длина волны в вакууме.

Произведение геометрической длины пути световой волны на показатель преломления среды называется оптической длиной пути, а - оптической разностью хода.

Разность фаз и оптическая длина пути связаны соотношением

. (7.6)

Исходя из выражения (7.5), можно получить условия максимумов и минимумов интенсивности результирующего колебания:

при , где

и .

При наложении световых колебаний они усиливают друг друга в тех точках, где оптическая разность хода равна четному числу полуволн или целому числу волн и ослабляют в тех точках, где оптическая разность хода равна нечетному числу полуволн.

7.3 Дисперсия света

Дисперсией света называются зависимость показателя преломления от частоты. Дисперсия света является результатом взаимодействия электромагнитных волн с оптическими электронами, входящими в состав вещества. Оптические электроны – обобществленные электроны, слабо связанные с атомами и молекулами.

Поэтому макроскопическая электромагнитная теория Максвелла не могла объяснить это явление. Согласно классической электронной теории Лоренца, дисперсия есть результат взаимодействия электромагнитных волн с веществом. Под действием гармонической электромагнитной волны оптические электроны (гармонические осцилляторы) совершают вынужденные колебания, излучая при этом свои электромагнитные волны, образующие в совокупности вторичную волну.

На электрон действует три силы: квазиупругая, возвращающая сила , обусловленная его взаимодействием с ядром и остальными электронами; сила сопротивления , выражающая потерю энергии на излучение и переход части колебательной энергии электрона в энергию поступательного движения атома; вынуждающая сила, обусловленная действием электрического поля падающей электромагнитной волны.

В таких условиях дифференциальное уравнение вынужденных колебаний может быть представлено в виде:

где - смещение оптического электрона;

и - его масса и собственная частота колебаний;

- коэффициент затухания свободных колебаний электрона;

и - вектор амплитуды напряженности и частота переменного поля.

Если среда не поглощает свет , то амплитуда вынужденных колебаний

При смещении оптических электронов происходит поляризация среды, поляризованность которой

где - электрическая восприимчивость вещества;

- концентрация атомов (молекул среды).

Тогда

Согласно формуле (7.3)

. (7.6)

На рисунке 7.1 представлена кривая зависимости , соответствующая уравнению (7.6). По мере увеличения от 0 до монотонно возрастает от значения, близкого 1, до . При значение скачкообразно изменяется от до , а затем по мере дальнейшего увеличения от до вновь монотонно возрастает от до 1. Неограниченное возрастание при физически бессмысленно.

Рисунок 7.1

Такой результат получен из-за того, что не учтены потери энергии, связанные с излучением вторичных волн, соударениями между атомами и другими причинами. Сплошная кривая на рисунке 7.1 проведена с учетом потерь. В области частоты, близкой к собственной, где , имеет место аномальная дисперсия, а в остальных, где , - нормальная дисперсия.

У вещества может быть не одна, а несколько резонансных частот, что связано с тем, что каждый атом (или молекула) вещества является системой гармонических осцилляторов, совершающих колебания со своими собственными частотами. Все эти осцилляторы под действием электрического поля световой волны совершают вынужденные колебания, тогда областей аномальной дисперсии будет несколько.

8 Лекция 8. Квантовые представления о природе света. Тепловое излучение

Физику принято разделять на классическую и современную (квантовую, или физику микромира). Датой рождения квантовой теории считается 1900 год, когда М. Планк сформулировал гипотезу квантов, а к 1926 году была построена последовательная и непротиворечивая теория микромира.

Здание классической физики казалось прочно и надежно выстроенным, и основные усилия физиков XIX в были направлены на уточнение законов взаимодействия корпускул между собой и электромагнитным излучением. Но на рубеже XIX – XX вв. были сделаны важнейшие открытия, поставившие неразрешимые проблемы перед классической физикой и приведшие к необходимости пересмотра представлений о строении вещества, формулированию новых понятий и принципов, чуждых классической физике.

8.1 Свойства и характеристики теплового излучения

Тепловым излучением называется электромагнитное излучение, испускаемое веществом и возникающее за счет изменения его внутренней энергии (энергии теплового движения атомов и молекул).

Тепловое излучение свойственно всем телам в любом агрегатном состоянии при температуре выше абсолютного нуля. Интенсивность теплового излучения (которую будем характеризовать потоком энергии Ф, измеряемым в ваттах) и его спектральный состав зависят от температуры и оптических свойств излучающего тела. При нормальных температурах все тела излучают невидимые инфракрасные волны, при высоких (порядка 1000 К) – начинают светиться (красное свечение). При температурах выше 2000 К тела испускают желтый или беловатый свет. Для теплового излучения справедливы те же законы распространения, отражения и преломления, что и для световых лучей.

Тепловое излучение – единственное излучение, способное находиться в термодинамическом равновесии с веществом. Если нагретое тело поместить в полость, ограниченную непроницаемой для излучения оболочкой, то с течением времени установится статистическое равновесие: тело будет получать от поглощаемого излучения в единицу времени столько же энергии, сколько оно будет излучать само. При этом распределение энергии между телом и излучением будет оставаться неизменным для каждой длины волны, а плотность излучения в пространстве между телом и стенками достигнет некоторой определенной величины, соответствующей данной температуре. Установившееся в этой полости излучение, находящееся в статистическом равновесии с нагретым телом, есть равновесное тепловое излучение. Всякое другое излучение, возбуждаемое не за счет хаотического теплового движения атомов, не приводит к установлению статистического равновесия. Нетепловое излучение всегда неравновесно.

Тепловое излучение имеет сплошной спектр частот (длин волн) с максимумом интенсивности при некоторой частоте (длине волны).

Тепловое излучение любого тела характеризуется:

Энергетической светимостью _, равной полному потоку энергии , испускаемому наружу единицей поверхности излучающего тела по всем направлениям (в пределах телесного угла )

(8.1)

Обозначим часть потока энергии, излучаемой единицей поверхности тела в интервале частот вблизи частоты , через _. Поток пропорционален

(8.2)

Величина называется испускательной способностью тела (спектральной плотностью энергетической светимости). Испускательная способность является функцией распределения энергии излучения по частотам (длинам волн). Энергетическая светимость связана с испускательной способностью

(8.3)

Пусть на площадку dS поверхности тела падает поток излучения _.Часть этого потока поглощается телом, а часть – отражается. Долю поглощенной и отраженной энергии соответственно характеризуют безразмерные величины – поглощательная способность тела и отражательная способность

, (8.4)

Очевидно, что

(8.5)

Тело называется абсолютно черным, если оно полностью поглощает падающее на него излучение всех частот: , . Хорошей моделью абсолютно черного тела может служить небольшое отверстие в непрозрачной замкнутой полости.

Между испускательной и поглощательной способностями непрозрачных тел существует взаимосвязь

(8.6)

впервые установленная Г. Кирхгофом (1859 г.), и названная законом Кирхгофа:

отношение спектральной плотности энергетической светимости тела к его поглощательной способности не зависит от материала тела и является одинаковой для всех тел функцией температуры и частоты

Функция называется функцией Кирхгофа. Из формулы (8.6) следует, что испускательная способность любого тела не может превосходить испускательную способность черного тела при тех же значениях температуры.

8.2 Законы теплового излучения черного тела

Экспериментальное исследование теплового излучения абсолютно черного тела позволило установить вид зависимости при различных температурах (рисунок 8.1). Из рисунка видно, что энергетическая светимоть абсолютно черного тела, которая равна площади под кривой , увеличивается с температурой, а максимум испускательной способности по мере повышения температуры смещается в сторону больших частот (более коротких волн): ω_{m 1}< ω_{m 2}<ω_m
3.

Экспериментально установлено, что

, (8.7)

(8.8)

где – постоянная Стефана-Больцмана, – постоянная Вина. Соотношение (8.7) называется законом Стефана-Больцмана, а соотношение (8.8) – законом смещения Вина. Эти два закона важны в практическом отношении и сыграли существенную роль в развитии теории теплового равновесного излучения.

8.3 Формула Рэлея-Джинса. Ультрафиолетовая катастрофа

Рэлеем и Джинсом была предпринята попытка теоретически объяснить закономерности теплового излучения, исходя из теоремы классической статистики о равнораспределении энергии по степеням свободы. При этом рассматривалось равновесное тепловое излучение в замкнутой полости. Для функции Кирхгофа они получили

(8.9)

Сравнивая график функции (8.9) с экспериментом, видим, что совпадение наблюдается лишь в области малых частот. В области больших частот наблюдается принципиальное отличие: при , (пунктирная кривая на рисунке 8.1). Энергетическая светимость абсолютно черного тела в теории Рэлея-Джинса также оказывается бесконечной, что физически бессмысленно.

Совокупность всех фактов показала, что классическая физика неправильно описывает тепловое излучение в области высоких частот. Сложившаяся ситуация в теории излучения, известная в истории физики как «ультрафиолетовая катастрофа», привела к необходимости пересмотра основ физики.

8.4 Гипотеза и формула Планка

Найти правильное выражение для функции Кирхгофа и дать теоретическое обоснование спектральным закономерностям черного излучения впервые удалось немецкому физику М. Планку. Для этого ему пришлось сделать предположение, что энергия гармонического осциллятора (атома – микроскопической излучающей системы), колеблющегося с частотой ω, может принимать лишь определенные дискретные значения, равные целому числу элементарных порций – квантов энергии :

(8.10)

где – универсальная постоянная, имеющая размерность энергия ∙ время, получившая название постоянной Планка;

- целое число.

На основании этого предположения Планком была получена формула для испускательной способности абсолютно черного тела

(8.11)

Формула Планка полностью согласуется с экспериментальными данными во всем интервале частот от 0 до ∞. На ее основе были объяснены все экспериментально открытые законы теплового излучения, вычислены константы в законах Стефана-Больцмана и Вина, в области малых частот она переходит в формулу Рэлея-Джинса.

Все эти факты говорят о том, что гипотеза Планка о корпускулярном характере электромагнитного излучения верна. Именно эта идея Планка стала первым толчком для развития квантовой физики.

9 Лекция 9. Корпускулярные свойства электромагнитного излучения

Квантовая гипотеза получила свое дальнейшее развитие и экспериментальное подтверждение при изучении взаимодействия электромагнитного излучения с веществом, в частности, при изучении фотоэлектрических явлений, эффекта Комптона, явления рождения электронно-позитронных пар.

9.1 Фотоны

Развивая идею М. Планка, А.Эйнштейн предположил, что свет не только испускается и поглощается, но и распространяется квантами, то есть дискретность присуща самому свету – он состоит из отдельных частиц – фотонов. Энергия фотона (кванта света), согласно гипотезе Эйнштейна, равна

(9.1)

где – циклическая частота световой волны.

Фотон движется всегда со скоростью с = 3∙10⁸м/с. Импульс фотона

(9.2)

где – модуль волнового вектора , направленного вдоль вектора скорости распространения световой волны. В векторной форме эта формула имеет вид

. (9.3)

Связь между энергией и импульсом фотона

. (9.4)

Из связи массы с энергией следует, что фотон обладает массой

, (9.5)

но в отличие от других частиц фотон не имеет массы покоя .

Итак, фотон есть квант электромагнитного излучения. Подобно любой частице он обладает энергией, импульсом и массой. Эти корпускулярные характеристики фотона связаны с волновыми характеристиками волны – частотой и волновым вектором.

9.2 Фотоэффект

Фотоэффект состоит в том, что под действием электромагнитного излучения происходит испускание (эмиссия) электронов в вакуум (внешний фотоэффект) или выбивание электронов из связанных состояний внутри вещества без эмиссии наружу (внутренний фотоэффект). Фотоэффект наблюдается в твердых и жидких веществах. Фотоэффект в газах, который заключается в выбивании электронов из отдельных атомов и молекул, называется фотоионизацией.

Впервые внешний фотоэффект обнаружил Г. Герц. Детально это явление было экспериментально исследовано А.Г. Столетовым в 1888 – 1889 годах. Результаты, полученные экспериментально, иллюстрирует рисунок 9.1, на котором представлены вольт-амперные характеристики фотоэлемента (зависимость фототока от приложенного между катодом и анодом напряжения при одинаковой частоте ω = const, но при различных потоках света Φ₁<Φ₂<Φ₃). Из графиков видно:

- при часть испущенных катодом электронов достигают анода. Если приложить достаточное по величине отрицательное напряжение , задерживающее напряжение, то фототок обращается в нуль. Задерживающее напряжение не зависит от светового потока, а определяется только частотой света;

Рисунок 9.1

- при некотором положительном напряжении фототок достигает насыщения I_нас.. Ток насыщения тем больше, чем больше световой поток (больше выбивается электронов в единицу времени);

- если освещать катод светом различной частоты, то, как показывает эксперимент, при частотах , меньших некоторой, характерной для материала катода частоты _, фотоэффект не наблюдается при любых световых потоках. Частота и соответствующая ей длина волны называются красной границей фотоэффекта.

Заметим, что факт испускания электронов твердыми или жидкими телами не противоречит классическим представлениям о волновой природе света. Однако объяснить количественные закономерности фотоэффекта (законы фотоэффекта) в рамках этих представлений оказалось невозможно.

Законы внешнего фотоэффекта впервые объяснил А. Эйнштейн в 1905 году.

Фотон, попадая в металл, передает всю свою энергию электрону (происходит нерезонансное поглощение фотона электроном). Если эта энергия достаточно велика, то электрон может преодолеть удерживающие его в металле силы и выйти из металла. В этом процессе соблюдается закон сохранения энергии, который можно записать в виде:

(9.6)

где – – максимальная скорость электрона, покинувшего металл;

– работа выхода электрона из металла;

– масса электрона.

Соотношение (9.6) называется уравнением Эйнштейна для фотоэффекта.

Эта формула правильно описывает все закономерности фотоэффекта, не находящие объяснения в рамках классической физики:

- если интенсивность излучения не очень высока, то каждый фотоэлектрон выбивается одним фотоном. В этом случае максимальная скорость электрона зависит только от энергии фотона, которая пропорциональна частоте излучения;

- интенсивность излучения с фиксированной частотой изменяется только за счет плотности потока фотонов, от которой зависит число их соударений с электронами. Поэтому сила фототока насыщения изменяется пропорционально интенсивности излучения;

- наконец, при уравнение Эйнштейна становится бессодержательным, (кинетическая энергия электрона не может быть отрицательной), что указывает на существование красной границы фотоэффекта.

9.3 Эффект Комптона

В 1922 году А. Комптон показал экспериментально, что при рассеянии рентгеновских лучей свободными электронами происходит изменение их частоты (длины волны) в соответствии с законами упругого столкновения двух частиц – фотона и электрона. Принципиальная схема опыта Комптона приведена на рисунке 9.2.

Рисунок 9.2

Характерной особенностью эффекта Комптона является то, что изменение длины волны не зависит ни от длины волны падающего излучения, ни от вещества, на котором происходит рассеяние, а определяется

лишь углом рассеяния

(9.7)

где – некоторая постоянная, называемая комптоновской длиной волны электрона, равная .

Для объяснения эффекта Комптона рассмотрим упругое столкновение рентгеновского фотона с покоящимся квазисвободным электроном (энергия связи электрона в атоме много меньше энергии, которую может передать фотон электрону).

Запишем законы сохранения энергии и импульса

(9.8)

(9.9)

где и – энергия рентгеновского фотона до и после столкновения соответственно;

– энергия электрона до столкновения;

- энергия электрона после столкновения;

– импульс электрона после столкновения;

и - импульс фотона до и после столкновения соответственно.

Векторная диаграмма уравнения (9.9) представлена на рисунке 9.3.

С помощью этой диаграммы перейдем к скалярному виду уравнения (9.9) и, решая его совместно с (9.8), получим

Рисунок 9.3 где величина

. (9.10)

Формула (9.10) великолепно согласуется с экспериментальными результатами Комптона. Это доказывает правильность представлений о корпускулярных свойствах электромагнитного излучения. Корпускулярные свойства света нашли подтверждение и в ряде других экспериментов.

9.4 Единство волновых и корпускулярных свойств электромагнитного излучения (света)

Вся совокупность экспериментальных данных приводит к выводу, что свет является реальным физическим объектом, который не сводится ни к волне, ни к частице в обычном классическом понимании. Волны и частицы представляют собой лишь две формы, в которых проявляется одна и та же физическая сущность. Однако в проявлении этих противоположных свойств есть определенная закономерность. В определенных физических ситуациях свет в своей существенной части может быть представлен как волна, в других – как частица. В этих случаях он приобретает наглядный классический образ и хорошо описывается соответствующей классической моделью.

Одновременное обладание физическим объектом корпускулярными и волновыми свойствами называется корпускулярно – волновым дуализмом. Это понятие выражает особенность нашего мышления, которое формируется на основе классических представлений, образов и понятий.

Нельзя представить себе фотон в виде точечного объекта, который в каждый момент времени занимает определенное положение в пространстве. Но нельзя представить себе фотон и как некоторую пространственную область, заполненную электромагнитным полем. Отдельному фотону нельзя соотнести напряженность электрического поля, которой характеризуется электромагнитная волна.

Под фотоном понимается физический объект, связанный с электромагнитным излучением, который при взаимодействии излучения с веществом выступает всегда как единое целое, характеризуемое энергией и импульсом. Соотношение волновой и корпускулярной картин описания свойств электромагнитного излучения носит статистический характер.

10 Лекция 10. Волновые свойства вещества

В классической физике существовало представление о принципиальном различии природы частиц и волн. Частица дискретна, сосредоточена в очень малом объеме, волна же всегда занимает конечную часть пространства (может быть, и очень большую). При встрече с преградой волны частично проходят во вторую среду, частично отражаются, могут интерферировать между собой. Частица всегда проявляет себя как единое целое, неспособна к интерференции. Но в 20-х годах ХIX века в полном соответствии с опытными фактами в физике микромира было осуществлено объединение представлений о волнах и частицах – был открыт фундаментальный закон природы, который называется корпускулярно-волновым дуализмом вещества.

10.1 Гипотеза де Бройля

Дуализм волн и частиц впервые был сформулирован в 1924 году Луи де Бройлем. Идея де Бройля состояла в том, что дуализм не является особенностью одних только оптических явлений, но имеет универсальное значение. Допуская, что частицы вещества наряду с корпускулярными свойствами имеют также и волновые, де Бройль перенес на случай частиц вещества те же правила перехода от одной картины к другой, какие справедливы для света (электромагнитного излучения).

Таким образом, если частица имеет корпускулярные характеристики – энергию и импульс, модуль которого равен , то соответствующие волновые характеристики частицы – частота и длина волны связаны с корпускулярными соотношениями

, . (10.1)

Волны, ассоциированные со свободно движущимися частицами, получили название волн де Бройля.

Для каждой частицы между ее энергией W и импульсом р существует зависимость . Эта зависимость не универсальна, то есть для частиц разной природы различна (например, для нерелятивистской частицы ). Для каждой волны также существует зависимость – ее частоты ω от волнового вектора , которая называется законом дисперсии. Этот закон различен для разных волн и является характеристическим признаком каждой волны. На рисунке 10.1 универсальные связи показаны широкими горизонтальными стрелками, индивидуальные – вертикальными узкими.

Таким образом, движущемуся электрону или какой-либо другой частице с не очень высокой энергией (v<<c) соответствует волновой процесс, длина волны которого равна

(10.2)

где и – масса и скорость частицы.

Волновые свойства несущественны и никак не проявляются в механике макроскопических тел. Например, частице с массой 1 г, движущейся со скоростью 10 м/с, соответствует волна де Бройля с . В настоящее время в физике элементарных частиц экспериментально доступны расстояния только до м. Для микроскопических частиц, например, электронов с энергиями от 10 эВ до эВ длины волн де Бройля лежат в интервале ≈ м, что соответствует диапазону длин волн рентгеновского излучения. Поэтому волновые свойства таких электронов, если они имеют место, должны проявиться при рассеянии их на тех же кристаллах, на которых наблюдается дифракция рентгеновских лучей.

Гипотеза де Бройля очень скоро получила экспериментальное подтверждение в опытах К. Дэвиссона и Л. Джермера по интерференции электронных пучков (1927г), П.С. Тартаковского и независимо от него Г.П. Томсона, наблюдавших дифракцию электронов при прохождении через металлическую фольгу. В опытах Л.М. Бибермана, Н.Г. Сушкина и В.А. Фабриканта (1949 г), было показано, что волновые свойства присущи отдельным микрочастицам, а не их потокам.

10.2 Соотношение неопределенностей

В классической механике состояние частицы в данный момент определяется значением координат и импульса. Это так называемые динамические переменные. Наличие у микрочастиц волновых свойств неизбежно приводит к ограничению применимости к ним понятий, характеризующих частицу в классической механике. Однако информацию о микрочастицах мы получаем, наблюдая их взаимодействие с приборами. Поэтому результаты измерений выражаются в терминах, принятых для макротел, то есть через значения динамических переменных.

Своеобразие свойств микрочастиц выражается в том, что координаты и импульс частицы не могут иметь одновременно определенные значения. Эти ограничения не определяются совершенством измерительной техники, а выражают фундаментальные свойства материи. Так, например, электрон (и любая другая микрочастица) не может иметь одновременно точных значений координаты и компоненты импульса . Неопределенности и удовлетворяют соотношению

(10.3)

Соотношение, аналогичное (10.3), имеет место для и , и , а также для энергии и времени

. (10.4)

Соотношения (10.3) и (10.4) называются соотношениями неопределенностей. Впервые соотношения неопределенностей были установлены в 1927 году В. Гейзенбергом.

Физическое содержание этих соотношений состоит в том, что в противоположность классической механике в квантовой механике не существует такого состояния, в котором координата и соответствующая проекция импульса частицы имеют одновременно точные значения. Если, например, мы стремимся поточнее измерить координату микрочастицы х, то есть уменьшить неопределенность , то поскольку процесс измерения обязательно сопровождается неконтролируемым воздействием на частицу со стороны «измерительного прибора», это воздействие увеличивает неопределенность проекции импульса , как следует из (10.3). Заметим, что эти ограничения не касаются одновременного измерения координаты частицы по одной оси и проекции импульса – по другой: величины и , и и т.д. могут иметь одновременно точные значения.

Согласно (10.4) для измерения энергии с погрешностью необходимо время, не меньшее, чем . Примером может служить «размытие» энергетических уровней водородоподобных атомов (кроме основного состояния). Это связано с тем, что время жизни во всех возбужденных состояниях порядка с. Размытие уровней приводит к уширению спектральных линий (естественное уширение). Кроме того, если система нестабильна (радиоактивное ядро), то из-за конечности времени жизни системы ее энергия всегда имеет неустранимый статистический разброс не меньше чем

(10.5)

где – время жизни системы.

Такое описание принципиально отличается от описания движения частицы в классической механике, где считается, что частица движется по вполне определенной траектории, в каждой точке которой точно известны координаты и импульс.

Утверждение о том, что произведение неопределенностей значений двух сопряженных переменных не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка ħ, называется принципом неопределенности Гейзенберга.

Принцип неопределенности Гейзенберга является одним из фундаментальных положений квантовой механики и обусловлен корпускулярно-волновым дуализмом. Он указывает, в какой мере можно пользоваться понятиями классической механики применительно к микрочастицам.

Принцип неопределенности играет большую эвристическую роль, так как многие задачи квантовой механики могут быть на качественном уровне поняты и решены на основе комбинации законов классической механики с соотношениями неопределенностей. К таким задачам относятся, например, задачи об энергии нулевых колебаний гармонического осциллятора и энергии основного состояния атома водорода, вопросы о стабильности атома и оценки его линейного размера.

10.3 Статистическое толкование волн де Бройля

Попытаемся интерпретировать результаты опытов по дифракции электронов с точки зрения корпускулярных представлений. При небольшом числе частиц, прошедших через дифракционное устройство, распределение точек на фотопластинке, в которые попадают электроны, не проявляет какой-либо регулярности. Однако при длительной экспозиции одиночные точки начинают постепенно сливаться, образуя в совокупности дифракционную картину. При этом одинаково поставленные опыты всегда дают одинаковую картину, совпадающую с той, что возникает при дифракции электромагнитных волн с соответствующей длиной волны. Хотя точно указать ту точку, в которую попадет очередная частица, невозможно ввиду отсутствия классических траекторий движения, но статистический результат опыта однозначно предсказуем. Отсюда ясно, что причинная закономерность движения микрочастиц несомненна, но она носит статистический характер, проявляясь в очень большом числе отдельных опытов. Если речь идет об отдельной частице, то можно говорить лишь о вероятности попадания частицы в то или иное место на фотопластинке.

Вероятностное описание движения микрочастиц позволяет органично сочетать их корпускулярные свойства с волновыми. Согласно статистическому толкованию, интенсивность волн де Бройля в каком-либо месте пространства пропорциональна вероятности обнаружить частицу в этом месте. Такое понимание особенности поведения микрочастиц не затрагивает структуры частиц. Как и в классической физике частица остается дискретной.

11 Лекция 11. Уравнение Шредингера и его решения

11.1 Состояние частицы в квантовой механике. Волновая функция

В структуре любой фундаментальной физической теории важнейшими элементами являются понятие состояния и уравнение, описывающее динамику (изменение) состояния.

В классической механике состояние частицы в данный момент времени задается координатами x, y, z и импульсом , , , а основным уравнением является второй закон Ньютона. В физике микромира такое определение состояния микрочастицы полностью утрачивает свой смысл, теряет смысл и понятие силы, которая по определению является функцией состояния.

Наличие у частиц волновых свойств свидетельствует о том, что состояние микрочастиц можно описать лишь при помощи некоторой функции, обладающей волновыми свойствами.

Состояние микрочастицы в квантовой механике задается волновой функцией , которая является функцией пространственных координат и времени. Изменение этого состояния во времени, то есть динамика микрочастицы, в нерелятивистском случае описывается уравнением Шредингера, которое является основным уравнением квантовой теории.

Волновая функция является полем в математическом смысле (так как она комплексная, то волны, описываемые функцией , ненаблюдаемы). Интерпретация физического смысла волновой функции была впервые дана М. Борном и состоит в следующем.

Квадрат модуля комплексной функции есть плотность вероятности найти частицу в объеме около точки с координатами x,y,z. Вероятность нахождения микрочастицы в момент времени t внутри этого объема дается выражением

. (11.1)
Это уже наблюдаемая величина.

Функция по своему смыслу должна удовлетворять некоторым естественным условиям. Прежде всего, она должна быть всюду непрерывной и однозначной. Далее, поскольку мы истолковываем (11.1) как вероятность, появляется необходимость нормировать эту функцию таким образом, чтобы вероятность достоверного события была равна 1

. (11.2)

Перечисленные естественные условия имеют в квантовой механике огромное значение. Решения уравнения Шредингера таковы, что они удовлетворяют этим требованиям только при очень определенных условиях, например, при определенных дискретных значениях энергии, входящей в качестве параметра в уравнение.

11.2 Уравнение Шредингера

Волновая функция является основной характеристикой состояния микрообъектов. С ее помощью в квантовой механике могут быть вычислены средние значения физических величин, которые характеризуют данный объект в этом состоянии.

Изменение состояния во времени, то есть динамика микрочастицы, в нерелятивистском случае описывается нестационарным уравнением Шредингера, которое является основным уравнением квантовой теории.

(11.3)

где - мнимая единица;

- масса частицы;

- оператор Лапласа;

- потенциальная энергия микрочастицы (в случае, когда не зависит от ).

Заметим, что это уравнение не выводится, его нельзя получить из какого-либо уравнения классической физики, это один из основных принципов (законов) физики. Уравнение Шредингера играет в нерелятивистской квантовой механике такую же роль, как и уравнение второго закона Ньютона в классической механике.

В приложениях квантовой механики наиболее часто встречаются стационарные задачи, когда микрочастица находится в стационарном силовом поле и ее потенциальная энергия не зависит явно от времени. В этом случае имеет место стационарное уравнение Шредингера

. (11.4)

Параметр в этом уравнении имеет смысл полной энергии частицы, а решение этого уравнения является функцией пространственных координат.

Уравнение Шредингера является уравнением в частных производных и для его решения должны быть заданы начальные (значение функции во всех точках пространства при t=0) и граничные условия (ее значение на границах той области, где ищется решение в любой момент времени).

Функции , удовлетворяющие уравнению (11.4) при данном , называются собственными функциями. Значения энергии , при которых существуют решения уравнения, называются собственными значениями.

11.3 Примеры решений уравнения Шредингера

11.3.1 Микрочастица в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины.

Предположим, что частица с массой m может двигаться только вдоль оси Ox. Движение это ограничено непроницаемыми для частицы стенками, координаты которых x=0 и x=L. (Эта задача аналогична задаче о свободных электронах в металле в классической электронной теории).

Рисунок 11.1

Потенциальная энергия частицы в таком поле имеет вид (рисунок 11.1)

Поскольку пси-функция частицы зависит только от координаты х, стационарное уравнение Шредингера (11.4) в данной задаче имеет вид

. (11.5)

Попасть за пределы ямы частица не может, поэтому положим в областях и . Из условия непрерывности пси-функции следует, что и на границах ямы она должна быть равна нулю

. (11.6)

Равенства (11.6) – граничные условия, добавляемые к уравнению (11.5). В пределах ямы (в этой области ) уравнение (11.5) имеет вид

. (11.7)

Решение этого уравнения заключается в нахождении возможных значений полной энергии частицы (энергетического спектра) и соответствующих этим значениям энергии волновых функций .

Уравнение (11.7) – известное из теории колебаний уравнение. Легко убедиться в том, что удовлетворить условию (11.6) можно лишь при определенных значениях энергии частицы

(11.8)

где - целые числа.

Этот результат показывает, что энергетический спектр микрочастицы в потенциальной яме оказался дискретным, энергия частицы квантована. Квантованные значения энергии называются уровнями энергии, а – главным квантовым числом.

Собственные функции частицы, соответствующие (11.8),

, . (11.9)

Коэффициент находится из условия нормировки (11.2).

Окончательно имеем

. (11.10)

На рисунке (11.2) изображена схема энергетических уровней частицы в потенциальной яме (а), графики функций (б) и графики плотности вероятности (в) обнаружения частицы в окрестности точек с координатами .

Рисунок 11.2 иллюстрирует принципиальное отличие в поведении квантовой и классической частиц. Так, классическая частица может обладать в яме любой энергией, в том числе и , отвечающей частице, покоящейся на дне ямы. Спектр квантовой частицы дискретен, а ее минимальная энергия соответствует значению n=1 и не равна нулю. Квантовая частица не может покоиться. Классическая частица с равной вероятностью может быть найдена в любой точке ямы. Квантовую частицу, находящуюся, например, в низшем энергетическом состоянии , с наибольшей вероятностью можно встретить в центре ямы; плотность вероятности найти ее у краев ямы для любого состояния равна нулю.

11.3.2 Туннельный эффект

Туннельный эффект – это прохождение микрочастиц через области пространства, запрещенные законами классической физики. Пусть частица налетает на простейший потенциальный барьер прямоугольной формы слева (рисунок 11.3). Если полная энергия частицы меньше высоты потенциального барьера , то в точке она отразится – повернет обратно. Иная ситуация в квантовой механике. Из уравнения Шредингера вытекает, что имеется отличная от нуля вероятность прохождения частицы в область . Слева от барьера мы имеем падающую и отраженную волны, а справа от барьера – только прошедшую волну. Внутри барьера -функция имеет не волновой характер, в результате чего вероятность убывает практически экспоненциально.

Рисунок 11.3

Туннельный эффект – специфически квантовое явление. Этим эффектом объясняется холодная эмиссия электронов из металлов, альфа-распад, спонтанное деление ядер и др.

11.3.3 Гармонический осциллятор

Вид потенциальной энергии квантового гармонического осциллятора такой же, как у классического. Если масса частицы , частота колебаний и движение происходит по оси х, то

. (11.11)

Решение уравнения Шредингера для квантового осциллятора является сложной математической задачей. Рассмотрим только энергетический спектр квантового гармонического осциллятора

(11.12)

Рисунок 11.4

где – любое целое неотрицательное число.

Из (11.12) следует, что энергетический спектр осциллятора дискретен и ограничен снизу значением энергии , которое является основным уровнем квантового осциллятора. Промежутки между соседними уровнями не зависят от квантового числа , то есть одинаковы (рисунок 11.4).

Так как основной уровень , то квантовый осциллятор остановить нельзя. Например, из-за этого даже при температуре абсолютного нуля не прекращаются колебания атомов в кристаллических решетках. Квантовые колебания с минимальной энергией называются нулевыми.

Понятие о квантовом осцилляторе играют важную роль в физике тех явлений, которые обусловлены колебаниями микроскопических частиц.

11.4 Принцип соответствия Бора

При больших квантовых числах результаты квантовой механики должны соответствовать классическим результатам.

Рассмотрим более подробно соответствие классического и квантового описаний на примере п.11.3.1. Оценим интервал между соседними уровнями и проанализируем его зависимость от параметров задачи и . Разность энергий двух соседних уровней

. (11.13)

Как видно из (11.13), увеличение массы частицы или размеров области ее локализации уменьшает интервал между соседними уровнями. Величина интервала линейно возрастает с ростом квантового числа .

Найдем отношение , используя формулы (11.8) и (11.13)

, при n>>1 . (11.14)

Из полученного результата следует, что с ростом n расстояние между соседними уровнями энергии становится малым по сравнению с энергией частицы. В этом случае можно пренебречь дискретностью энергетического спектра, квантовое описание сближается с классическим. О том же свидетельствует и рисунок 11.2(в). Амплитудные значения плотности вероятности, равные , одинаковы для всех . С ростом увеличивается число узлов (нулей) функции , так что при больших максимумы и минимумы кривой следуют друг за другом столь тесно, что при не очень точных измерениях координаты частицы картина сливается, и мы приходим к классическому результату.

В качестве физических примеров рассмотренной задачи определите для молекул газа в сосуде , для электрона в атоме , сделайте выводы о том, существенна ли дискретность энергетического спектра в данных случаях.

12 Лекция 12. Решение уравнения Шредингера для атома водорода

Одним из самых замечательных успехов квантовой механики явилось объяснение всех деталей в спектрах простейших атомов, а также периодичности в свойствах химических элементов.

Атом водорода состоит из одного протона и одного электрона. Электрон находится в электростатическом поле кулоновских сил и его потенциальная энергия определяется зарядом e взаимодействующих частиц и расстоянием r между ними

. (12.1)

В рамках квантовой механики задача состоит в нахождении стационарных волновых функций и энергетического спектра электрона в потенциальном поле ядра. Рассмотрим основные результаты решения уравнения Шредингера для этого случая.

12.1 Энергетический спектр атома водорода

Уравнение Шредингера имеет конечные, однозначные и непрерывные решения только при определенных значениях входящих в него параметров:

- . В этой области возможны состояния с любой энергией – сплошной энергетический спектр, а волновые функции соответствуют состояниям, близким к состояниям свободного электрона (электрон оторван от ядра);

- . Результат радикально отличается от классического – энергия электрона квантуется. Энергетический спектр представляет собой дискретную последовательность энергетических уровней , соответствующих целым положительным значениям главного квантового числа . С ростом числа n уровни сгущаются, предельному значению соответствует энергия , отделяющая дискретный спектр от непрерывного (на рисунке 12.1 энергетические уровни электрона «вписаны» в потенциальную яму ).

Состояние атома водорода, в котором электрон имеет наименьшее значение энергии , называется основным и является стационарным. Все состояния с являются возбужденными. Переход в возбужденное состояние – вынужденный процесс. Это происходит при поглощении энергии атомом. Возбужденные состояния могут существовать ограниченное время ~, после чего самопроизвольно (спонтанно) переходят в основное (или другое, энергетически более низкое) состояние. Высвобождающаяся при этом энергия испускается атомом в виде кванта электромагнитного излучения. Замечательным достоинством уравнения Шредингера является то, что оно позволяет определить не только параметры, характеризующие состояния атома (квантовые числа), но и дает возможность вычислить вероятности процессов поглощения и излучения, то есть объяснить и рассчитать особенности оптического спектра атома водорода.

12.2 Орбитальное и магнитное квантовые числа. Спин электрона

Энергия электрона в атоме водорода зависит только от главного квантового числа . Но из уравнения Шредингера следует, что собственные функции (определяющие состояние электрона) содержат три целочисленных параметра: . Все квантовые числа определяются из свойств - функции.

Орбитальное (или азимутальное) квантовое число определяет момент импульса электрона (классическим аналогом ему является физическая величина , играющая важную роль при изучении движения частицы в поле центральных сил).

. (12.2)

При заданном квантовом числе число может принимать значения .

Момент импульса в квантовой механике обладает своеобразными свойствами: одновременно могут быть заданы величина момента импульса и лишь одна из его проекций (например, ), две другие проекции не определены (соотношение неопределенностей Гейзенберга).

Магнитное квантовое число определяет проекцию орбитального момента импульса на выделенное в пространстве направление (например, выделим ось созданием вдоль нее магнитного поля)

. (12.3)

При данном значении оно может принимать значения .

Целочисленность (в единицах ) проекции момента импульса можно истолковать как квантование ориентации момента импульса относительно выделенного в пространстве направления (рисунок 12.2).

Таким образом, в теории Шредингера состояние электрона в атоме водорода определяется тремя квантовыми числами . Каждому собственному значению , кроме , соответствуют несколько собственных функций, отличающихся значениями орбитального и магнитного квантовых чисел. Это означает, что атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях. В таблице 12.1 приведены состояния, соответствующие первым двум энергетическим уровням.

Состояния с одинаковой энергией называются вырожденными, а число различных состояний с каким-либо значением энергии называется кратностью вырождения соответствующего энергетического уровня. Кратность вырождения легко вычислить, исходя из возможных значений для и

. (12.4)

Т а б л и ц а 12.1

			Кратность вырождения
1	0	0	1
2	0 1 1 1	0	4
		+1
		0
		-1

12.3 Оптический спектр атома водорода

Оптический спектр (спектр излучения электромагнитных волн) атома водорода является простейшим. Он состоит из отдельных тонких спектральных линий, положение которых на шкале частот однозначно связано с положением соответствующих энергетических уровней в энергетическом спектре атома

где - энергия возбужденного состояния;

- энергия возбужденного или основного состояния, причем .

Основной особенностью спектра атома водорода является тот факт, что этот спектр состоит из серий закономерно группирующихся линий. Результаты расчетов очень хорошо совпадают с данными экспериментов.

12.4 Спин электрона

В теории Шредингера не учитывается, что у квантовых частиц имеются степени свободы, отличные от характеризующих положение частиц в пространстве. Момент, связанный с этой дополнительной степенью свободы, называется спином частицы.

Спин – существенно квантовая величина, у него нет классического аналога.

Спин – это внутреннее свойство квантовой частицы, характеризующее ее равноправно с такими величинами как масса или заряд.

Наличие спина и все его свойства вытекают из установленного Дираком уравнения квантовой механики, удовлетворяющего требованиям теории относительности. Следовательно, спин электрона является свойством одновременно квантовым и релятивистским. Спином обладают также протоны, нейтроны, фотоны и другие элементарные частицы (кроме мезонов).

Модуль собственного момента импульса электрона определяется по общим законам квантовой механики спиновым квантовым числом , равным 1/2.

. (12.5)

Важным отличием спина от орбитального момента является сохранение абсолютного значения спина, у него может изменяться только его проекция _.на заданное направление

, . (12.6)

Таким образом, состояние электрона в атоме водорода полностью определяется четырьмя квантовыми числами и . Каждому собственному значению энергии , кроме , соответствует несколько собственных функций, отличающихся значениями орбитального и магнитного квантовых чисел.

Наличие спина у электрона приводит к увеличению кратности вырождения (12.4) энергетических уровней вдвое.

13 Лекция 13. Квантовые статистики и их применение

13.1 Неразличимость одинаковых квантовых частиц. Принцип Паули

Квантовые системы, состоящие из большого числа одинаковых частиц, обладают особенностями, существенно отличающими их от классических систем. Принципиальное отличие состоит в том, что в квантовой физике статистический (вероятностный) подход лежит в самой природе микрочастиц, в их волновых свойствах.

Согласно квантовой теории все микрочастицы подразделяют на два класса, которым соответствуют две квантовые статистики:

- частицы с полуцелым спином, их называют фермионами и они подчиняются статистике Ферми-Дирака;

- частицы с целым спином – бозоны; они подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна.

Классическая статистика Больцмана является приближенным предельным случаем, в который переходят при определенных условиях обе квантовые статистики.

Во всех трех статистиках допустимые микросостояния считаются равновероятными, различие – в способах определения микросостояний и статистических весов. В классической статистике считается, что всегда можно проследить за движением отдельной частицы в системе, даже одинаковые частицы принципиально различимы. В квантовой теории систем частиц имеет место принцип тождественности (неразличимости) одинаковых частиц: все одинаковые частицы, образующие данную квантово-механическую систему, являются совершенно тождественными (принципиально неразличимыми). Из этого принципа вытекает физическая природа различия двух квантовых статистик: существует два типа волновых -функций, описывающих состояние тождественных частиц, симметричные и антисимметричные.

Тип симметрии волновой функции является свойством только самих частиц и не зависит ни от взаимодействия между ними, ни от наличия внешних полей. Критерием, по которому различаются типы частиц, является их спин.

Фермионы обладают важной особенностью. Частицы этого типа подчиняются принципу Паули: в любой квантово-механической системе тождественных фермионов в одном и том же состоянии не может находиться более одного фермиона.

В статистике Бозе-Эйнштейна в каждом квантовом состоянии может находиться любое число частиц.

Различие статистик поясняет рисунок 13.1, где показано размещение двух тождественных частиц по двум квантовым состояниям (клеткам).

Видно, что в статистике Больцмана всех микросостояний четыре, вероятность каждого их них равна 1/4. В обеих квантовых статистиках первые два состояния неразличимы – это одно и то же состояние. В статистике Ферми-Дирака, кроме того, последние два состояния невозможны (принцип Паули). Остается только одно микросостояние, вероятность осуществления которого равна 1.

Рисунок 13.1

13.2 Квантовые распределения

Основная задача квантовых статистик – нахождение соответствующих им функций распределения частиц по тем или иным параметрам (например, по энергиям), а также определение средних значений этих параметров, характеризующих наиболее вероятное состояние всей системы частиц. Рассмотрим квантовые распределения частиц по энергиям . Эти распределения представляют собой функции , определяющие средние числа частиц в одном состоянии с энергией

для фермионов (13.1)

для бозонов (13.2)

где – так называемый химический потенциал (некоторая характерная энергия, значение которой можно найти из условия нормировки: суммарное число частиц во всех состояниях должно быть равно полному числу частиц макросистемы).

Особенности этих распределений:

– для фермионов значение функции не может быть больше единицы, а для бозонов – любым;

– для бозонов значения в (13.2) не могут быть положительными;

– если , то в знаменателях обоих распределений единицей можно пренебречь и формула переходит в распределение Больцмана

(13.3)

где – нормировочный коэффициент.

В этом случае речь идет о совпадении формул, а не об изменении поведения частиц (фермионы остаются фермионами, а бозоны – бозонами).

13.3 Распределение Ферми-Дирака для электронов в металле

В классической электронной теории многие свойства металлов объясняются с помощью модели свободных электронов. В квантовой теории в первом приближении свободные электроны можно рассматривать как идеальный газ из фермионов в прямоугольной потенциальной яме. Энергетический спектр электронов дискретен, но энергетические уровни расположены настолько густо, что его можно считать квазинепрерывным.

13.3.1 Рассмотрим поведение электронного газа при температуре . В этом случае

, если

, если .

График функции f показан сплошной линией. Видно, что все состояния с энергией заполнены, а состояния с оказываются незанятыми.

В рассматриваемом случае величину называют энергией или уровнем Ферми: . Это максимальное значение энергии свободных электронов в металле при

(13.4)

где - масса электрона;

- концентрация электронов в металле.

Оценка значения дает величину ≈ 5 эВ. Среднее значение энергии свободных электронов, как показывает соответствующий расчет, равно

(13.5)

Классическому газу с такой средней энергией соответствовала бы температура ~. Эта температура во много раз превосходит температуру плавления любого металла. Скорость электронов, находящихся на уровне Ферми, имеет значение порядка .

Такое состояние электронного газа (сплошная кривая на графике рисунка 13.2) называется полностью вырожденным. Распределение частиц по энергиям сильно отличается от классического: это сугубо квантовый эффект.

13.3.2 При распределение Ферми-Дирака несколько размывается в окрестности уровня Ферми (пунктирная кривая на графике функции ) вследствие взаимодействия свободных электронов с тепловым движением атомов. Область размывания имеет порядок энергии теплового движения kT. Поэтому свою энергию (вследствие теплового движения) могут изменить только те электроны, которые находятся на самых верхних уровнях, примыкающих к уровню Ферми. Это обстоятельство объясняет трудности классической теории в объяснении отсутствия электронной составляющей теплоемкости металлов.

Учитывая, что электронный газ находится в потенциальной яме, распределение электронов для наглядности можно представить следующим образом

A

Здесь -глубина потенциальной ямы. Энергетические уровни, занятые свободными электронами, тонированы. – уровень Ферми, стрелками обозначена величина работы выхода электрона из металла.

Из рисунка видно, что работу выхода (наименьшую энергию, которую надо сообщить электрону для удаления его из металла) нужно отсчитывать не от дна потенциальной ямы, как это делалось в классической теории, а от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.

Энергия Ферми несколько зависит от температуры, следовательно, будет зависеть от температуры и работа выхода. Кинетическая энергия электронов обычно отсчитывается от дна потенциальной ямы.

Квантовая теория электропроводности металлов приводит к выражению закона Ома, аналогичному тому, который был получен в классической электронной теории

Формула для удельной электропроводности

(13.6)

также похожа на классическую, но этот результат существенно отличается от классического. В знаменателе вместо средней тепловой скорости электронов стоит – скорость электрона, находящегося на верхнем занятом энергетическом уровне. Эта скорость практически не зависит от температуры металла. Величина – среднее расстояние, которое волна может пройти без рассеяния на узлах кристаллической решетки. Она может составлять сотни периодов решетки. С повышением температуры возрастает рассеяние электронных волн на тепловых колебаниях решетки, и поэтому уменьшается . При обычных комнатных температурах оказывается обратно пропорциональной первой степени температуры. Это приводит к результату, согласующемуся с опытными данными: ~. Следовательно, удалось устранить еще одну трудность классической теории, согласно которой ~.

Как показывают расчеты, различия выводов квантовой и классической статистик становятся особенно заметными при низких температурах и больших концентрациях электронов, то есть в вырожденных состояниях. Плотность электронного газа в металлах настолько велика , что даже при обычных температурах этот газ находится в вырожденном состоянии.

14 Лекция 14. Зонная теория твердых тел

14.1 Зонная структура энергетического спектра электронов в кристаллах

Все многообразие свойств твердых тел обусловлено существованием в них двух подсистем: электронов и ядер атомов, образующих твердое тело.

Квантовая модель свободных электронов в металле (нулевое приближение) хорошо объясняет электропроводность металлов и многие другие его свойства, но не дает ответа на вопрос, почему не все твердые тела обладают такими же свойствами?

Более строгое приближение учитывает, что в действительности электроны в кристалле движутся в периодическом поле решетки (в поле с периодически изменяющимся потенциалом). Это обстоятельство приводит к тому, что спектр возможных значений энергии электронов распадается на ряд чередующихся разрешенных и запрещенных зон.

Происхождение энергетических зон можно представить себе как результат расщепления дискретных атомных уровней вследствие взаимодействия атомов в кристаллической решетке: подчинение электронов принципу Паули приводит к невозможности одинаковых энергетических состояний у взаимодействующих атомов.

Каждая из разрешенных зон состоит из близко расположенных уровней, число которых равно количеству атомов в кристалле. Энергетические зоны разрешенных энергий разделены запрещенными зонами – интервалами, в которых вообще нет энергетических уровней.

Рисунок 14.1 поясняет расщепление энергетических уровней атомов при их объединении в кристалл. В соответствии с принципом Паули электроны распределяются по разным состояниям, последовательно заполняя разрешенные энергетические зоны, начиная с самой нижней. Заполненные энергетические уровни выделены на рисунке тонированием.

Таким образом, энергетический спектр электронов в кристаллах имеет зонную структуру. Ширина зон не зависит от размеров кристалла. Чем больше атомов содержит кристалл, тем теснее располагаются уровни в зоне. Разрешенные зоны имеют ширину порядка нескольких электрон-вольт. Следовательно, если кристалл содержит атомов, расстояние между уровнями в зоне составляет примерно . На каждом энергетическом уровне может находиться по два электрона, обладающих противоположно направленными спинами.

Рисунок 14.1

14.2 Энергетические зоны в металлах, диэлектриках и полупроводниках

В зависимости от конкретных свойств атомов равновесное расстояние между ними может быть таким, чтомежду разрешенными зонами, возникшими из соседних уровней атома, имеется запрещенная зона ΔW, или соседние зоны перекрываются (рисунок 14.2). При этом для валентных электронов атомов есть две возможности: они или частично, или до конца заполняют одну из разрешенных зон. Эта зона называется валентной. Сверху над ней расположены пустые зоны.

От строения зонного энергетического спектра электронов в кристалле и заполнения этого спектра электронами при температуре зависит проводимость кристалла, то есть принадлежность его к металлам, диэлектрикам или полупроводникам.

Электроны в зонах, заполненных до конца или частично, обладают разными свойствами. Если зона заполнена электронами частично, даже слабое электрическое поле будет переводить электроны в незанятые состояния в пределах одной и той же зоны. Средняя скорость движения электронов станет отличной от нуля, и в кристалле возникнет электрический ток. Поэтому всякая энергетическая зона, заполненная частично, является зоной проводимости.

Если при валентная зона полностью заполнена (не является зоной проводимости), то кристалл будет изолятором или полупроводником. Нагревание такого кристалла приводит к тому, что из-за тепловых флуктуаций часть электронов валентной зоны переходит в соседнюю пустую зону. В результате обе зоны становятся зонами проводимости. Если ширина запрещенной зоны порядка нескольких электрон-вольт, то таких электронов ничтожно мало. Поэтому кристаллы с такой шириной запрещенной зоны являются диэлектриками. Если же кристалл имеет ширину запрещенной зоны эВ, то при он является полупроводником.

14.3 Проводимость полупроводников

Полупроводник качественно отличается от металла тем, что в полупроводнике есть два рода носителей тока. Во-первых, это электроны, перешедшие из валентной в свободную зону полупроводника, а во-вторых, это «дырки» в валентной зоне – свободные состояния на верхних ее уровнях. Когда говорят о перемещении дырок, то имеют в виду не реальную частицу, а тот факт, что ее движение отражает характер движения всей совокупности электронов в верхних уровнях валентной зоны.

Кроме того, в полупроводниках различают два типа проводимости – собственную (она свойственна чистым полупроводникам) и примесную (она возникает, когда в чистом полупроводнике некоторые атомы замещены атомами примеси с валентностью большей или меньшей на единицу).

Распределение электронов в свободной и валентной зонах описывается функцией Ферми-Дирака. Расчет показывает, что уровень Ферми при этом расположен в середине запрещенной зоны, а уровни свободной зоны (с перешедшими туда электронами) находятся на «хвосте» распределения . Это означает, что . С учетом последнего соотношения и того, что . Вероятность заполнения уровней в свободной зоне, то есть формулу (13.1), можно записать

. (14.1)
Число электронов, перешедших в свободную зону, а значит, и число образовавшихся дырок, будет пропорционально . Эти электроны и дырки являются носителями тока, свободная зона – зоной проводимости электронов, а валентная – зоной проводимости дырок.

Так как проводимость пропорциональна концентрации носителей, то собственная проводимость полупроводника будет

(14.2)

где .

Из (14.2) видно, что собственная проводимость полупроводника быстро растет с увеличением температуры. По характеру температурные зависимости полупроводника и металла противоположны.

Собственная проводимость полупроводника очень мала из-за того, что ширина запрещенной зоны значительно превышает тепловую энергию .

Проводимость полупроводника можно значительно увеличить (в сотни раз и больше) введением небольшого количества добавок (порядка %) некоторых атомов. В зависимости от валентности примеси в запрещенной зоне возникают добавочные уровни, расположенные близко к дну свободной зоны (донорные) или – к потолку валентной зоны (акцепторные). Это способствует существенному увеличению электропроводности полупроводника.

Полупроводники с примесной проводимостью нашли очень широкое применение в современной электронике.

15 Лекция 15. Ядерная физика

В ядерной физике исследуется структура материи, характерные размеры которой не только ничтожно малы по сравнению с макроскопическими расстояниями, но очень малы по сравнению с размерами атомов. В логарифмическом масштабе шкала различных расстояний ядерной физики приведена на рисунке 15.1.

В современной ядерной физике непосредственно измеряются промежутки времени до с. Однако с помощью соотношения неопределенностей энергия-время косвенно измеряются и гораздо меньшие времена, вплоть до с.

15.1 Состав и характеристики атомного ядра

Ядро представляет собой систему сильно взаимодействующих между собой частиц – нуклонов, удерживаемых вместе ядерными силами притяжения и движущихся внутри ядра с нерелятивистскими скоростями. Нуклон – общее название частиц, образующих ядро,– протонов и нейтронов. Основные характеристики этих частиц приведены в таблице 15.1.

Т а б л и ц а 15.1 – Характеристики нуклонов

Частица (обозначение) Физическая величина	Протон	Нейтрон
Масса, кг Масса, МэВ
Электрический заряд		0
Магнитный момент
Спин	1/2	1/2
- ядерный магнетон – единица магнитных моментов нуклонов

Как видно из таблицы, масса нейтрона больше массы протона на 1,3 МэВ, то есть на 2,5m_e. По этой причине нейтрон в свободном состоянии нестабилен и самопроизвольно распадается, превращаясь в протон с испусканием электрона и антинейтрино.

Протон в свободном состоянии – стабильная частица. Внутри ядра протон может превращаться в нейтрон, испуская позитрон и нейтрино.

Близость многих свойств протона и нейтрона позволяют рассматривать их как два состояния одной частицы – нуклона.

Основными характеристиками стабильных ядер являются заряд, масса, энергия связи, радиус, энергетический спектр состояний.

Радиоактивные (нестабильные) ядра характеризуются целым рядом дополнительных параметров: время жизни, тип радиоактивных превращений, энергетический спектр испускаемых частиц и др.

Зарядовое число совпадает с числом протонов в ядре и определяет заряд ядра, равный .

Массовое число определяет суммарное количество нуклонов в ядре, а также и число нейтронов .

Рассматриваемые характеристики ядра отражены в символическом обозначении .

Размеры ядер. Представления о форме и размерах ядер являются довольно условными, поскольку поведение частиц, образующих ядро, подчиняются квантовым законам. Можно говорить о среднем распределении плотности ядерного вещества, и для его измерения существуют экспериментальные методы.

В первом приближении ядро можно считать шаром, радиус которого

(15.1)

где .

Из (15.1) следует, что масса ядра пропорциональна его объему. Следовательно, плотность вещества во всех ядрах примерно одинакова и составляет примерно .

Спин ядра (полный механический момент) складывается из моментов импульса входящих в его состав протонов и нейтронов.

15.2 Масса и энергия связи ядра

Точные измерения масс показали, что масса ядра всегда меньше суммы масс входящих в него нуклонов

(15.2)

Разность между суммой масс нуклонов и массой ядра называется дефектом массы и характеризует энергию связи нуклонов в ядре, то есть минимальную энергию , которую надо затратить, чтобы расщепить ядро на составляющие его нуклоны. Очевидно, что является одной из основных величин, характеризующих прочность ядра. Зная энергию связи ядер, можно рассчитать энергетический выход для любых процессов распадов и взаимных превращений ядер

(15.3)
Для практических расчетов удобнее пользоваться формулой

(15.4)

где – масса атома;

– масса атома водорода.

Отношение энергии связи к полному числу нуклонов в ядре называют удельной энергией связи (или энергией связи на один нуклон). Анализ зависимости удельной энергии связи от массового числа (рисунок 15.2) для стабильных ядер дает интересную информацию о свойствах ядер и, в конечном счете, о характере ядерных сил.

С ростом значения удельная энергия связи увеличивается вплоть до . Это можно объяснить так: связь отдельного нуклона в ядре усиливается, если его притягивают не один или два, а несколько других нуклонов. Однако в элементах с А>60 удельная энергия связи постепенно уменьшается. Это свидетельствует о том, что ядерные силы притяжения являются короткодействующими – порядка размеров одного нуклона. За пределами этого расстояния преобладают силы электростатического отталкивания. Сильнее всего связаны нуклоны в ядрах со значениями массового числа от 50 до 60 (энергия связи для этих ядер достигает 8,7 МэВ/нуклон).

Следствием этого энергетически выгодным становится существование двух процессов – синтеза легких и деления тяжелых ядер.

Процесс деления ядер урана или плутония под действием захватываемых ядрами нейтронов лежит в основе действия ядерных реакторов и обычной атомной бомбы.

Процесс синтеза легких ядер может быть осуществлен лишь при очень высоких температурах (термоядерная реакция). Он протекает в недрах Солнца и звезд. В земных условиях осуществлены пока неуправляемые термоядерные реакции при взрывах водородных бомб. Ученые работают над изысканием способов осуществления управляемого термоядерного синтеза.

15.3. Ядерные силы

Огромная энергия связи нуклонов в ядре указывает на то, что между нуклонами имеется очень интенсивное взаимодействие, удерживающее нуклоны на очень малых расстояниях друг от друга, несмотря на сильное кулоновское отталкивание. Ядерное взаимодействие между нуклонами получило название сильного взаимодействия. Его можно описать с помощью поля ядерных сил. Рассмотрим отличительные особенности ядерных сил.

Короткодействие. Радиус действия ядерных сил имеет порядок ~ 10^–15м. На расстояниях, существенно меньших 10^–15м, притяжение нуклонов сменяется отталкиванием.

Зарядовая независимость ядерных сил. Сильное взаимодействие не зависит от заряда нуклонов, что проявляется в одинаковости сил взаимодействия в системах n – n, p – p, p – n при одном и том же состоянии относительного движения частиц в этих парах.

Зависимость от взаимной ориентации спинов нуклонов. Например, ядро тяжелого водорода (дейтрон) образуется из протона и нейтрона только в том случае, если их спины параллельны.

Ядерные силы не являются центральными. Их нельзя представить направленными вдоль прямой, соединяющей центры взаимодействующих нуклонов.

Ядерные силы обладают свойством насыщения. Каждый нуклон в ядре взаимодействует с ограниченным числом других нуклонов, что проявляется в практической независимости удельной энергии связи атомных ядер от их массового числа.

Ядерные силы зависят от скорости относительного движения нуклонов.

Обменный характер ядерных сил. По современным представлениям сильное взаимодействие обусловлено тем, что нуклоны виртуально обмениваются частицами, получившими название пи-мезонов , или, как их принято называть иначе – пионов.

Существует два зарядовых состояния пиона с положительным и отрицательным зарядом , и одно – электронейтральное. Эти частицы нестабильны, не имеют спина. Основные свойства пионов приведены в таблице 15.2.

Т а б л и ц а 15.2 – Характеристики пионов

Обозначение пиона	Масса, МэВ	Электрический заряд, е	Время жизни, с
	140
	135	0

Рассмотрим обменное взаимодействие между нуклонами. Нуклон может испустить пион, если его энергия имеет неопределенность не меньше, чем . В этом случае нарушение закона сохранения энергии обнаружить нельзя. Согласно соотношению неопределенностей энергия-время испущенный пион может существовать в течение времени , затем он поглощается этим же нуклоном, либо другим, оказавшемся поблизости от первого.

Подчеркнем, что обмен частицами лежит в основе вообще всех взаимодействий и является фундаментальным квантовым свойством природы. Частицы, испускание и поглощение которых происходит с кажущимся нарушением закона сохранения энергии, называются виртуальными.

В результате виртуальных процессов

, , ,

одиночный нуклон оказывается окруженным облаком виртуальных -мезонов (мезонной шубой), образующих поле ядерных сил.

При сближении двух нуклонов до соприкосновения их мезонных шуб создаются условия для обмена пионами. Таким образом, механизм сильного взаимодействия между нуклонами состоит в том, что нуклоны, обмениваясь между собой виртуальными пионами, удерживаются друг около друга. Сильное взаимодействие может происходить по нескольким схемам, например:

, , .

Обменный характер ядерных сил позволяет объяснить существование магнитного момента нейтрона. Нейтрон часть времени проводит в виртуальном состоянии . Орбитальное движение – мезона и приводит к возникновению наблюдаемого у нейтрона отрицательного магнитного момента.

Отметим, что удовлетворительной количественной теории взаимодействия нуклонов через обмен пионами не создано. При ее разработке возникли серьезные математические трудности, главная причина которых состоит в том, что ядерные силы являются очень мощными.

16 Лекция 16. Радиоактивные превращения ядер

Радиоактивность – это самопроизвольное превращение ядер неустойчивого изотопа одного химического элемента в ядра другого элемента, сопровождающееся испусканием некоторых частиц.

Радиоактивность, наблюдаемая у неустойчивых изотопов, существующих в природе, называется естественной.

Радиоактивность изотопов, полученных в результате ядерных реакций, называется искусственной.

Необходимым и достаточным условием радиоактивного распада является его энергетическая выгодность: масса исходного ядра должна быть больше суммы масс продуктов распада. Поэтому каждый радиоактивный распад сопровождается выделением энергии.

Атомное ядро, испытывающее распад, называется материнским, а ядро, возникшее в результате превращения, – дочерним.

К числу радиоактивных процессов относятся: –распад, –распад (в том числе электронный захват), -излучение ядер, протонная радиоактивность.

16.1 Закон радиоактивного распада

Теория радиоактивного распада строится на предположении, что самопроизвольное превращение атомных ядер подчиняется статистическим законам. Пусть – число ядер данного типа в момент времени . Убыль числа ядер за время должна быть пропорциональна начальному числу ядер и времени

. (16.1)

Коэффициент пропорциональности называется постоянной радиоактивного распада. Постоянная распада характеризует вероятность распада ядра за единицу времени. Соотношение (16.1) представляет собой основной закон радиоактивного распада в дифференциальной форме.

Интегрирование (16.1) дает

(16.2)

где – число ядер, оставшихся к моменту времени ;

– начальное число ядер.

Процесс радиоактивного распада характеризуется периодом полураспада (время, в течение которого распадается половина имеющихся ядер) и среднем временем жизни радиоактивного ядра ..

Полагая в (16.2) и , получим

(16.3)

Периоды полураспада различных элементов отличаются друг от друга в очень широких пределах .

При радиоактивных превращениях атомных ядер выполняются ряд законов сохранения, в том числе – спина и массовых чисел. Выполняются и так называемые правила смещения, которые устанавливают, какие изменения претерпевают радиоактивные изотопы и какое ядро возникает в результате распада данного материнского ядра. Эти правила являются следствием законов сохранения заряда и массового числа.

16.2 Закономерности –распада

Радиоактивное превращение с испусканием α–частицы описывается уравнением

(16.4)

Так как –частица является ядром атома гелия, обозначаем ее . Вследствие испускания –частицы заряд материнского ядра уменьшается на 2 единицы, а массовое число – на 4 единицы.

Обычно –распад сопровождается испусканием дочерним ядром гамма лучей. Дочернее ядро после распада находится в возбужденном состоянии. Через некоторое время избыточную энергию уносит –квант, и ядро становится устойчивым.

Кинетическая энергия –частиц возникает за счет избытка энергии покоя материнского ядра над суммарной энергией покоя дочернего ядра и α–частицы. Энергии –частиц, испускаемых данным радиоактивным веществом, оказываются строго определенными (дискретный энергетический спектр). В большинстве случаев радиоактивное вещество испускает несколько групп –частиц близкой, но различной энергии. На рисунке 16.1 приведена схема, поясняющая возникновение различных групп –частиц. Пунктиром показаны возможные переходы с испусканием –квантов.

Энергия –частиц различных радиоактивных источников лежит в пределах от 4 до 9 МэВ. Проходя через вещество, –частицы теряют свою энергию вследствие ионизации молекул вещества и, в конце концов, останавливаются. Расстояние, которое проходит –частица в веществе до полной остановки, называется пробегом –частиц. Для большинства –частиц пробег в воздухе составляет несколько сантиметров.

–частицы не существуют в ядре в готовом виде, а возникают в момент радиоактивного распада из нуклонов ядра. Покидая ядро, –частице приходится преодолевать потенциальный барьер, высота которого (~ 30 МэВ) превосходит полную энергию частицы (в среднем 6 МэВ). Внешняя сторона барьера (рисунок

16.2) обусловлена кулоновским отталкиванием, внутренняя – ядерными силами.

По классическим представлениям преодоление частицей потенциального барьера при указанных условиях невозможно Однако, согласно квантовой механике, имеется отличная от нуля вероятность преодолеть этот барьер –частицей за счет туннельного эффекта. Это явление было рассмотрено в лекции 11, п.11.3.2. Теория –распада, основанная на представлении о туннельном эффекте, приводит к результатам, хорошо согласующимся с данными опыта.

16.3 Бета – распад

Существует три разновидности –распада. В одном случае ядро, претерпевающее распад, испускает электрон, в другом – позитрон, в третьем случае, называемом электронным захватом ( или –захватом), ядро поглощает один из электронов –оболочки. Введем символическое обозначение для электрона (заряд равен –1, массовое число 0), для позитрона – . Схемы –распада соответственно трем его разновидностям

(16.5)

(16.6)

(16.7)

Из схем видно, что при электронном распаде наряду с электроном испускается также антинейтрино , а при позитронном распаде и e–захвате – нейтрино .

–распад может сопровождаться гамма-излучением. Механизм его возникновения таков же, как и в случае –распада.

Отличительной особенностью –распада является сплошной энергетический спектр. –частицы обладают самой разнообразной энергией от 0 до (рисунок 16.3). Здесь – число –частиц, энергия которых заключена в интервале .

Площадь под кривой дает общее число частиц, испускаемых в единицу времени.

Энергия определяется разностью масс материнского ядра и массами электрона и дочернего ядра. Следовательно, распады, при которых энергия –частиц меньше , протекают с кажущимся нарушением закона сохранения энергии. Чтобы объяснить исчезновение энергии , В.Паули высказал в 1932 году предположение, что при –распаде испускается еще одна частица, которая уносит эту энергию. Так как эта частица никак себя не проявляет, следовало признать, что она нейтральна и обладает очень малой массой (в настоящее время установлено, что ее масса равна нулю). Эту частицу назвали нейтрино («маленький нейтрон»).

Кроме того, участие в –распаде еще одной частицы (нейтрино или антинейтрино) диктуется законом сохранения момента импульса. Так как спин нейтрона, протона и электрона одинаков и равен ½, эта частица должна обладать полуцелым спином. Установлено, что спин нейтрино равен ½. Экспериментальное доказательство существования нейтрино было получено в 1956 году.

При – распаде ядро испускает две частицы (электрон и антинейтрино), которые в ядре не присутствуют. Они возникают в процессе распада в результате превращения нейтрона в протон

. (16.8)

Процесс позитронного распада (уравнение 16.6) происходит таким образом, как если бы один из протонов исходного ядра превратился в нейтрон с испусканием позитрона и нейтрино

. (16.9)

Для свободного протона такой процесс энергетически невозможен, но в ядре протон может взять недостающую энергию от других нуклонов, входящих в состав ядра, и совершить превращение.

Третий тип –распада, связанный с захватом ядром электрона из ближайшей к нему –оболочки, приводит к тому, что один протон в ядре превращается в нейтрон

. (16.10)

Проходя через вещество –частицы теряют свою энергию и на определенном расстоянии полностью поглощаются. Максимальный пробег –частиц возрастает с уменьшением плотности вещества, в воздухе он может достигать 1 – 3 метров. –частицы, обладающие большой энергией, могут проникать через тонкие слои легких металлов. Свинец толщиной в несколько миллиметров полностью поглотит все –частицы.

16.4 Гамма–излучение

Гамма–излучение (–излучение) представляет собой коротковолновое электромагнитное излучение с длиной волны, не превышающей м. Это излучение порождается процессами в дочерних ядрах, образовавшихся при и –распадах. При переходе ядра из одного возбужденного состояния в другое или в основное состояние излучается –квант. Энергетический спектр –излучения дискретен. Так как –излучение производит сравнительно слабую ионизацию вещества на своем пути, оно обладает гораздо большей проникающей способностью, чем и –частицы. Прохождение –излучения через вещество сопровождается тремя основными процессами: фотоэлектрическим поглощением, классическим и комптоновским рассеянием, образованием электронно–позитронных пар.

Заключение

Дисциплина «Физика 2» завершает изучение физики в вузе. Этот курс охватывает основные разделы классической и современной физики, знание которых может служить базой для дальнейшего самообразования в самых различных областях деятельности специалиста с высшим образованием.

Но физика не является завершенной наукой: не разрешены многие проблемы.

Согласно современным представлениям все многообразие явлений, наблюдаемых во Вселенной, обусловлено четырьмя видами фундаментальных взаимодействий: гравитационным, электромагнитным, слабым и сильным.

Самое слабое – гравитационное взаимодействие осуществляется между любыми массами и проявляется в форме сил тяготения. Электромагнитное взаимодействие осуществляется между электрически заряженными частицами и телами. Сильное взаимодействие наиболее мощное, именно оно отвечает за связь между нуклонами в атомных ядрах. Слабое взаимодействие проявляется в распадах и взаимных превращениях элементарных частиц. Естественно стремление ученых (А. Эйнштейн, Н. Бор, П.Л. Капица и др.) создать единую теорию всех взаимодействий. В настоящее время создана теория «Великое объединение», объединяющая сильное, слабое и электромагнитное взаимодействия, в которой они рассматриваются как проявления единого супервзаимодействия.

Далека от завершенности принятая в современной физики и космологии концепция происхождения и эволюции Вселенной в виде модели большого взрыва. Много вопросов связано с многообразием типов различных элементарных частиц, наличием античастиц и отсутствием антивещества во Вселенной в космических масштабах.

Ответы на эти и многие другие вопросы асимптоматически приближают к истинному познанию окружающего мира, можно подойти к нему близко, но познать полностью до конца невозможно.

Список литературы

1. Завадская Л.В., Мажитова Л.Х., Тонконогая Л.А. Физика 1. Конспект лекций. – Алматы: АИЭС, 2006. – 59 с.

2. Савельев И.В. Курс физики.- М.: Наука, 1989. - т. 2, 3.

3. Детлаф А.А. , Яворский Б.М. Курс физики. -М. : Высш. шк., 2002.

4. Трофимова Т.И. Курс физики. - М. : Высш. шк., 2004

5. Курс физики. Под ред. Лозовского В.Н. – СПб.: Лань, 2001. – т.1, 2