Алматинский институт энергетики и связи

Кафедра инженерной кибернетики

 

 

 

ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов специальности 5В0702 – Автоматизация и управление

 

 

Алматы 2010

СОСТАВИТЕЛИ: Хисаров Б.Д., Аталыкова А.К. Теория  нелинейных систем автоматического управления. Методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов специальности 5В0702 – Автоматизация и управление. – Алматы: АИЭС, 2010 – 18 с.  

Рассматриваются вопросы изучения фазовых портретов линейных систем второго порядка, исследование систем с переменной структурой, исследование автоколебаний в нелинейных системах автоматического управления.

  

1 Лабораторная работа №1. Изучение фазовых портретов линейных систем второго порядка

 

Цель работы: знакомство с одним из методов исследования нелинейных систем - методом фазовой плоскости; исследование взаимосвязей между корнями характеристического уравнения переходного процесса и фазовыми портретами линейных систем второго порядка.

 

1.1  Общие сведения

Метод фазового пространства применим для исследования как линейных,  так и нелинейных систем. Наиболее наглядное представление дает рассмотрение линейной системы, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка.

                                       (1.1)

где х - отклонение регулируемой (выходной) координаты системы от состояния равновесия.

Введем фазовые координаты  и перепишем уравнение (1.1)  в следующем виде:

                                                                              (1.2)                           

Очевидно, что в плоскости (х1, х2) состоянию равновесия системы будет соответствовать начало координат.

Интегрирование уравнений (1.2) дает уравнения кривых, по которым строят фазовые траектории.

.                                                 (1.3)

Конкретный вид функции зависит от коэффициентов . Но так как эти же коэффициенты определяют и корни характеристического уравнения данной системы

,                                  (1.4)

 

то существует однозначная зависимость между корнями  и типом фазового портрета линейной системы 2-го порядка.

При этом возможны шесть различных случаев:

1)     корни вещественные и отрицательные 

            -

система устойчивая;

2) корни комплексные и имеют отрицательные вещественные части

- система устойчивая;

3) корни чисто мнимые

- колебательная граница устойчивости линейной системы;

4) корни комплексные и имеют положительные вещественные части

- неустойчивая линейная система;

5)  корни  вещественные положительные

- неустойчивая линейная система;

6) корни вещественные и имеют разные знаки

- система неустойчивая.

         Рассмотрим эти ситуации:

         1) в системе есть апериодический затухающий переходной процесс и уравнение (1.1) имеет решение

                                               (1.5)

Вторая фазовая координата по времени будет иметь вид

.                          (1.6)

На фазоворй плоскости все координаты пересекаются в начале координат и имеются следующие две асимптоты

      и       ;                                (1.7)

2)     имеется затухающий колебательный процесс

,                                                 (1.8)

   ,                                                (1.9)

   ,                                      (1.10)

    .                                                (1.11)

Уравнения (1.8), (1.10) на фазовой плоскости дают семейство спиралей.

3) имеется следующее решение

,                                                        (1.12)

,  то есть присутствуют незатухающие колебания

Вторая фазовая координата будет иметь вид

.                                                 (1.13)

Для фазовой траектории уравнение будет иметь вид

,                                                                    (1.14)

то есть фазовые плоскости являются эллипсами.

4) решение уравнения имеет вид:

,                                        (1.15)

,

то есть имеют место колебания с бесконечно возрастающей амплитудой. Фазовая траектория – плоская расходящаяся спираль;

5) решение уравнения имеет вид:

            ,                                                      (1.16)

             ,                     (1.17)

то есть имеет место бесконечное возрастание выходной величины. На фазовой плоскости появятся две асимптоты

и                                               (1.18)

6) переходная характеристика будет апериордической, но фазовая траектория другая. Например, а1=0. Тогда уравнение (1.2) запишется в следующем виде

                                                         (1.19)

или              

                                                                   (1.20)

Если проинтегрируем уравнение (1.20), получим фазовые траектории в виде гипербол

.                                                                      (1.21)

Асимптотами гипербол являются прямые , здесь .

        

   1.2 Задание на лабораторную работу

  1.2.1 Подберите значенеия параметров системы для различных вариантов корней храктеристического уравнения (для приведенных случаев).

  1.2.2 Для различных начальных значений х0 и х00  определите переходные характеристики и фазовые траектории.

     1.2.3 Выполните следующие задания в среде VisSim:

    - для уравнений (1.1), (1.2) постройте структурную схема решения;

- выберите значения a 0, a1, a2  для первого случая, определите  и , установите на схеме оэффициенты k1 жәине  k2

- для различных начальных условий получите переходные процессы х1 и определите значение коэффициента для времени tпп переходного процесса;

- используя координаты х1 и х21, определите фазовые траектории системы;

1.2.4 Выполните задания предыдущих пунктов для всех (2, 3, 4, 5, 6) случаев.

 

1.3 Требования к отчету по работе

Отчет по работе должен содержать:

-  схему системы;

- выбранные значения коэффициентов;

- корни характеристического уравнения;

- график переходного процесса;

- график фазовой траектории.

 

1.4 Контрольные вопросы

1.4.1 Объсните суть фазового метода.

1.4.2 Какая существует взаимосвязь между корнями характеристического уравнения и фазовыми портретами линейных систем второго порядка?

1.4.3 Как будет выглядеть фазовая координата устойчивой системы?

1.4.4 Как будет выглядеть фазовая координата, если в системе есть затухающий колебательный процесс?

1.4.5 Как будет выглядеть фазовая координата, если в системе есть незатухающие колебания?

1.4.6 Как будет выглядеть фазовая координата, если имеет место бесконечное возрастание выходной величины?

 

         2 Лабораторная работа №2 Исследование систем с переменной структурой

 

Цель работы:  построение и исследование фазовых портретов нелинейных систем 2-го порядка с переменной структурой.

 

Исследование переходных характеристик и фазовых портретов систем второго порядка в предыдущей лабораторной работе показывает, что имеются решения с неустойчивым движением. На практике могут оказаться случаи, когда невозможно получить устойчивую систему при определенных значениях параметров объекта управления. В то же время можно исследовать метод припасовывания для построения фазовых портретов нелинейных систем, допускающих кусочно-линейную аппроксимацию характеристик. Согласно этому методу, фазовую траекторию строят по частям, каждой из которых соответствуют линейные участки характеристик, причем значения фазовых координат в конце каждого участка фазовой траектории являются начальными условиями для решения уравнения на следующем участке. Общий фазовый портрет системы получают «сшиванием» фазовых траекторий, найденных на отдельных участках.

В данной работе требуется построить фазовый портрет замкнутой нелинейной системы состоящей из линейной части и нелинейного элемента, осуществляющего переключения структуры при заданном алгоритме управления (см.рисунок 2.1).

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2.1 – Схема замкнутой нелинейной системы

 

Метод припасовывания лежит в основе построения систем с переменной структурой, дает дополнительную возможность получения различных желаемых процессов автоматического регулирования.

Рассмотрим переходной процесс системы, где исполнительный механизм вместе с регулируемым объектом описываются передаточной функцией

                                               .                                                      (2.1)

Первое и второе звенья  характеризуется коэффициентами усиления k1 и k2 соответственно. Тогда уравнения динамики замкнутой системы будут

                   

Каждое из этих уравнений является уравнением неустойчивой системы (незатухающие колебания). Фазовые портреты системы будут как на рисунках (2.2а) и (2.3б).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подпись: Рисунок 2.2– Фазовые портреты системы

 

 

Обозначим .

Ведем следующий закон переключений:

                 ,                                                             (2.4)

                 .                                                                  (2.5)

Если следовать законам переключения (2.4) и (2.5) и использовать метод припасовывания, то получим затухающий колебательный процесс, т.е. за счет переменности структуры система становится устойчивой (см.рисунок 2.3).

 

 

 

 

 

 


                            Рисунок 2.3 – Устойчивая система

 

Рассмотрим следующее уравнение системы второго порядка

,                                                     (2.6)

 


            

                                                                                                                    (2.7)

 

                                                                                                                    (2.8)

,

                       ,                                                                               (2.9)

                                                                           (2.10)

                      и .

Тогда фазовые траектории будут как на рисунке 2.4а и 2.4б.

Из следующего соотношения

,                                                                        (2.11)

здесь λ1,2 –  корни уравнения (2.8), получим

  S=x2-cx1 ,                                                                                                (2.12)

  S – одна из линий переключения. Из уравнения (2.10) видно, что линиями переключения является прямая S и ось абсцисс х1=0.

В работе надо исследовать три разлияных режима:

1)     режим преключений (с>λ); здесь фазовый портрет будет выглядеть как на рисунке 2.5;

 

 

 

 

    Рисунок 2.4– Фазовые траектории системы второго порядка

 

2) режим движения по вырожденным траекториям; в данном случае линия переключения совпадает совпадает с асимптотой (устойчивой) S1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

     Рисунок 2.5– Фазовые портреты режима переключения

 

Изображающая, начинаясь с любой точки фазовой плоскости, попадает на линию переключения S, затем продолжает движение к началу координат по устойчивой асимптоте.  При этом получаем переходной процесс максимум с одним перерегулированием (рисунок 2.6);

 

 

 

  Рисунок 2.6 –  Режим движения по заданной траектории

3) режим «скольжения» - наиболее интересный и полезный случай, когда  с<λ. Особенностью является то, что фазовые портреты направлены навстречу друг другу на линии переключения S. В идеальном варианте изображаемая точка на пути S переключается с бесконечной частотой. И так как регулирующий вектор направлен в сторону начала координат, она устремляется к нулю вдоль линии  переключения (см.рисунок 2.7).

 

 

 

 

    Рисунок 2.7 -  Реализация устойчивых движений с помощью системы с переменной структурой

 

    2.2 Задание на лабораторную работу

    2.2.1 Постройте структурные схемы систем (2.1) и (2.2) в среде VisSim.

    2.2.2 Придавая различные значения k1 и k2 для системы (2.1), получите переходные характеристики (во времени) x1(t) и фазовые портреты y=x2=f(x1).

      2.2.3 Исследуйте зависимость  tпп=t(k1,k2, k1/k2).

     2.2.4 Для системы (2.2) сформируйте  закон переключения (2.10).

     2.2.5 Исследуйте режимы с>λ, с=λ и с<λ;  получите переходные процессы и фазовые портреты.

2.2.6 Для «скользящего» режима исследуйте процесс при изменении параметров а1, а2, в.

 

    2.3 Требования к отчету

    Отчет по работе должен содержать:

    - структурные схемы;

    - фазовые траектории при выбранных коэффициентах;

    - переходные процессы;

    - выводы по выполненным исследованиям.

 

3 Лабораторная работа №3. Исследования автоколебаний в нелинейной системе методом гармонического баланса

 

Цель работы: изучение метода гармонического баланса и приобретение навыков расчета параметров автоколебаний и моделирования нелинейных систем.

 

3.1 Общие сведения

Для приближенного определения автоколебаний в нелинейной системе можно применить метод гармонического баланса. Он основан на использовании частотных характеристик нелинейных систем, получаемых при гармонической линеаризации нелинейностей.

Основная идея заключается в том, что линеаризация нелинейностей систем производится на режиме автоколебаний, которые предполагаются близкими к синусоидальным. Это предложение оказывается близким для большинства автоматических систем, линейная часть которых является хорошим низкочастотным фильтром.

Если на вход статического нелинейного элемента с характеристикой y=f(x) подать гармонический сигнал x(t)=Asinωt, то на выходе устанавливаются периодические колебания, которые можно представить как сумму гармонических составляющих с помощью ряда Фурье.

 

Предположим, что все гармоники, начиная со второй, имеют достаточно малую амплитуду по сравнению с первой, и ими можно пренебречь.

Тогда уравнение вынужденных колебаний напишется в виде:

или

где

Для симметричных нелинейностей а0=0, то тогда

 

                                                                                 (3.8)

 

Сравнивая y(t) с x(t), можно ввести характеристики, аналогичные частотным характеристикам линейных систем (3.9) и инверсную АФХ (3.10)

 

Нелинейная система в виде замкнутой системы может быть представлена в виде (см. рисунок 3.1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3.1 – Нелинейная система

 

Если на вход нелинейного элемента подают гармонический сигнал с частотой ω1, то, с учетом свойства фильтра линейной части, в замкнутой системе возникнут незатухающие колебания.

Это означает, что система находится на границе устойчивости, которой соответствует условие:

Если уравнения (2.13) и (2.14) имеют действительное положительное решение (ωа, Аа), то в системе возможны автоколебания с частотой ωа и амплитудой Аа.

Систему (2.13) и (2.14) можно решать графически. Для этого в плоскости комплексного переменного строят АФХ линейной части Wл() и инверсную АФХ нелинейного элемента Zнэ). Точка пересечения годографов Wл() и Zнэ(А) определяют амплитуду Аа и частоту ωа. Если годографы не пересекаются, то автоколебания в системе невозможны. Метод гармонического баланса позволяет также ответить на вопрос, будут ли автоколебания устойчивы.

Пусть взаимное расположение кривых Wл() и Zнэ(А) таково, что увеличение амплитуды колебаний соответствует движению по кривой Zнэ(А) вправо (см. рисунок 3.2). Тогда точки Wл() и Zнэ(А) соответствуют автоколебаниям. Если под воздействием возмущения амплитуда колебаний возрастает (Аа+ΔАа), то новому состоянию нелинейного элемента будет соответствовать точка М1, которая находится вне АФХ линейной части. При этом Wл() < Zнэ(А), значит, Wраз (, А)<1, и, следовательно, в этом состоянии система будет вести себя как устойчивая, т.е. амплитуда колебаний будет уменьшаться и через некоторое время станет равной исходной Аа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Если под действием возмущения амплитуда автоколебаний станет меньше Аа, то новому состоянию системы будет соответствовать точка М2, в которой система ведет себя как неустойчивая. Следовательно, амплитуда будет возрастать и вернется к исходному значению Аа.

 

  

Рисунок 3. 4 - Устойчивость состояния равновесия следящей системы

 

В качестве примера рассмотрим исследование устойчивости состояния равновесия следящей системы, структурная схема которой  изображена на рисунке 3.4, если ее параметры В=1 В;  k1 k2 =10 c-1T1=10 cT2=1 c.

Для решения по структурной схеме запишем уравнение линейной части системы в виде

.                                    (3.15)

Для нелинейного элемента имеем

                       u1(t)=q(A)u(t)                                                                      (3.16)

  где

                        .                                                                                    (3.17)

  Подставляя выражения (3.16) и (3.17) в уравнение (3.15), получим

                       .                                 (3.18)

Применяя к уравнению (3.18) преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, запишем

                       .                                 (3.19)

Из уравнений (3.19) найдем характеристическое уравнение

                       .                               (3.20)

Возможность существования периодического решения уравнения проанализируем с помощью критерия устойчивости Михайлова. Для этого в уравнение (3.20) подставим s=jω; тогда найдем

                       .                (3.21)

Откуда, приравнивая действительную и мнимую часть нулю, получаем

 

                                                                     (3.22)

Из второго уравнения определяем частоту          периодического решения

,                                   

а из первого при этом получаем

.                                                                           (3.23)

Используя готовый график q(а)=  (рисунок 3.5), находим амплитуду периодического решения а.

 

 

 

 

 

 

 

Для определения устойчивости решения, согласно критерию, надо найти производные выражений (3.22):

 

Критерий удовлетворяется. Следовательно, имеют место автоколебания.

Если учесть, что q(а)=<k (см.рисунок 3.5), из уравнения (3.23) вытекают условия существования автоколебаний

 

     или                                                           (3.24)

 

где К = k1k2k— общий коэффициент усиления разомкнутой цепи данной системы в линейном плане. Легко видеть, что (3.24)  представляет собой условие неустойчивости этой системы как линейной согласно критерию Гурвица. Граница устойчивости

                                 

является в то же время границей автоколебаний.

 

3.2 Задание на выполнение лабораторной работы

3.2.1 Рассчитать и построить зависимость амплитуды и частоты автоколебаний на выходе САУ от коэффициента усиления линейной части системы.

3.2.2.Проверить выполнение условий применимости гармонической линеаризации.

3.2.3  Составить в Vissim или MathLab математическую модель, приведенную на рисунке 3.4.

Характеристики нелинейных элементов выдаются преподавателем, параметры звеньев сведены в таблицу 3.1.

3.2.4   Провести эксперименты и снять характеристики на выходе и
статическую характеристику НЭ.

 

ТаблицаЗ.1 - Параметры звеньев

№ в.

Т1

Т2

ТЗ

ВидНЭ

В

в

tg а

1

1

0.1

0.1

Рис 2а

50

-

-

2

1

1

0.1

Рис 2а

70

-

-

3

0.2

0.1

0.1

Рис 2а

60

-

-

4

1

0.1

0.1

Рис 26

50

10

-

5

1

1

0.1

Рис 2в

80

8

-

6

1

0.5

0.1

Рис 2в

50

5

-

7

1

0.5

0.1

Рис 2г

-

10

1

8

1

1

0.1

???

60

10

-

 

3.3       Требования к отчету

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

-   структурную схему модели;

-   экспериментальные данные;

-   выполненные расчеты;

-   выводы по работе.

 

4. Список литературы

1.     Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. -  «Наука», 1975, 2005г.

2.     Методы классической современной теории автоматического управления. Под ред. К.А. Пупкова. В 5 ти – томах. М., 2004.

3.     Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. -  М., 1974.

4.     Душин С.Е. Теория систем автоматического управления. – М.: Высшая школа, 2003.

 

Содержание

с

1 Лабораторная работа №1. Изучение фазовых портретов линейных систем  второго порядка

3

2 Лабораторная работа №2 Исследование систем с переменной структурой

7

3 Лабораторная работа №3. Исследования автоколебаний в нелинейной системе методом гармонического баланса

12

Список литературы

17