МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

Некоммерческое акционерное общество

Алматинский институт энергетики и связи

 

А.И. Соколов

 

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА

Учебное пособие

 

 

 

 

Алматы 2009

 

         Учебное пособие написано на базе лекций, которые автор читал в течение ряда лет в Алматинском институте энергетики и связи для бакалавров специальности "Теплоэнергетика". Материал охватывает основы механики жидкости и газа. Дан полный вывод основных уравнений гидромеханики. Особое внимание уделено таким разделам, как уравнение Бернулли и его применение к различным задачам. Затрагиваются основы гидромеханики двухфазных потоков. Данным пособием могут также пользоваться студенты, обучающиеся специальности Гидроэнергетика, Гидравлика, Атомная энергетика, Машиностроение, Механика, металлургия и др.

Для лучшего усвоения материала многие разделы включают поясняющие раздел задачи. В приложении содержится справочный материал, необходимый при решении задач и вполне пригодный для использования в инженерных расчётах. 

 

РЕЦЕНЗЕНТ: доктор техн. наук, профессор, Главный научный сотрудник НИИ Экспериментальной и теоретической физики Казахского национального университета им. Аль-Фараби В.Е. Мессерле

 

          ВВЕДЕНИЕ

Окружающий нас мир состоит из твёрдых тел, жидкости и газа. Любое твёрдое тело имеет определённую форму, которую можно изменить только под действием внешних сил, причём форма и относительное положение составных частей изменяются на малую величину при воздействии на тело малых сил.

Жидкость в отличие от твёрдых тел не имеет какой-либо собственной формы. Под действием очень малых внешних сил отдельные частицы жидкости перемещаются относительно друг друга, что приводит к значительным деформациям без изменения объёма. При этом макроскопические свойства жидкости не меняются.

Газ, не ограниченный твёрдыми стенками может свободно распространяться. Различие между собственно газом и жидкостью менее существенно, чем между твёрдыми телами и жидкостями. Наиболее важное различие между механическими свойствами жидкостей и газов связано с их объёмной упругостью. Газы могут сжиматься значительно легче, чем жидкости. Следовательно, любое движение с заметным изменением давления будет сопровождаться значительно большими изменениями плотности для газов, чем для жидкостей.

Основные свойства твёрдых тел, жидкостей и газов непосредственно связаны с их молекулярной структурой и с природой сил, действующих между молекулами. Если рассматривать две изолированные молекулы, то между ними действует сила квантовой природы, притяжения или отталкивания, в соответствии с возможностью обмена электронными оболочками молекул. Если такой обмен возможен, то действует сила притяжения, и она составляет основу химической связи, если обмен невозможен, то действует сила отталкивания, которая быстро убывает с увеличением расстояния между молекулами. При расстояниях больших 10^-6 ¸ 10^-7 см между молекулами действует слабая сила притяжения. Взаимодействие молекул между собой можно изобразить графически (рисунок В.1).

На расстоянии d_o, при котором сила взаимодействия меняет знак, молекулы относительно друг друга находятся в положении устойчивого равновесия. Порядок величины d_o = (3 ¸ 4)×10^-10 м. При этом потенциальная энергия взаимодействия минимальна. Чтобы удалить друг от друга две молекулы, находящиеся на расстоянии d_o, нужно сообщить им дополнительную энергию Е₀. Величина Е₀ называется энергией связи или глубиной потенциальной ямы. Молекулы всё время находятся в хаотическом движении, кинетическая энергия которого зависит от температуры, поэтому такое движение также называют тепловым движением. При низких температурах средняя кинетическая энергия молекул может оказаться меньше глубины потенциальной ямы Е₀. В этом случае молекулы конденсируются в жидкое или твёрдое вещество; при этом среднее расстояние между молекулами будет приблизительно равно d_o. При повышении температуры средняя кинетическая энергия молекул становится больше Е₀, молекулы разлетаются и вещество переходит в газообразную фазу.

Среднее расстояние между молекулами в газообразной фазе при нормальной температуре и давлении имеет порядок 10d_o. На таком расстоянии между ними действуют слабые силы притяжения. В жидкой и твёрдой фазе молекулы находятся постоянно под воздействием интенсивного поля сил нескольких соседних молекул. Молекулы упакованы настолько плотно, насколько позволяют силы отталкивания. В твёрдом теле положение молекул не изменяется и может иметь периодическую структуру кристалла. Молекулы совершают колебания относительно своих устойчивых положений, причём амплитуда колебаний много меньше d_o.

В жидкости положение молекул непрерывно изменяется, следовательно, любая сила, приложенная к жидкости, вызывает деформацию, которая растёт до тех пор, пока действует сила. Амплитуда теплового движения молекул порядка d_o.

Несмотря на молекулярную структуру в механике жидкости и газа принимается гипотеза сплошности среды, то есть считается, что макроскопическое поведение жидкости или газа одинаково, как если бы их структура была идеально непрерывной, а физические свойства внутри рассматриваемого объёма считаются равномерно распределёнными по этому объёму. Такое предположение соответствует повседневному опыту: структура и свойства газа и жидкости изменяются непрерывно и плавно при наблюдении их с помощью любого измерительного прибора.

Когда измерительный прибор помещён в жидкость, он регистрирует её параметр фактически внутри малого окружающего прибор объёма, и измеренная величина представляет собой по существу среднее значение параметра по всему этому объёму (например, измерение температуры термопарой). Для того, чтобы измерение было локальным, измерительный прибор выбирается так, чтобы возмущаемый им объём был достаточно мал. Это означает, что дальнейшее уменьшение прибора не оказывает влияния на его показания. Возмущённый прибором объём, достаточно малый, чтобы измерение было локальным по отношению к макроскопическому масштабу, но всё-таки настолько велик, что содержит ещё очень большое число молекул и достаточно велик, чтобы флуктуации, возникающие из-за различных свойств молекул, не оказывали никакого влияния на наблюдаемое среднее состояние. Если возмущаемый объём сделать настолько малым, чтобы в нём содержалось только несколько молекул, то число и тип молекул в возмущённом объёме в момент наблюдения будет меняться от одного наблюдения к другому, и результат измерения будет меняться случайным образом. В этом случае нельзя пользоваться гипотезой сплошности среды.

Т.о. всякий малый элемент объёма жидкости считается всё-таки настолько большим, что содержит ещё очень большое число молекул. Под бесконечно малым элементом объёма жидкости подразумевается физически бесконечно малый объём, т.е. объём достаточно малый по сравнению с объёмом тела, но большой по сравнению с межмолекулярным расстоянием. В таком же смысле понимаются термины жидкая частица, точка жидкости. Если, например, имеется в виду движение некоторой частицы жидкости, то при этом идёт речь не о движении отдельной молекулы, а о движении целого элемента объёма, содержащего много молекул, но рассматриваемого в гидродинамике как точка. Примерный объём такой частицы жидкости равен 10^-11 м³. Такой объём воздуха при нормальных условиях содержит около 3×10¹⁰ молекул.

 

Глава 1. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

 

1.1 Плотность и удельный объём

Отношение массы вещества к его объёму характеризует плотность. Единицей измерения плотности является количество килограммов, заключённых в одном кубическом метре.

(1.1)

Величина, обратная плотности, называется удельным объёмом и представляет собой объём единицы массы вещества

(1.2)

Здесь т – масса вещества, кг;

         V – объём данной массы, м³.

Связь между плотностью и удельным объёмом выражается отношением

(1.3)

Важной характеристикой жидкости является относительная плотность, которая определяется как отношение плотности рассматриваемого вещества к плотности стандартного вещества. За стандартное вещество принимается вода при температуре 4⁰С и нормальном атмосферном давлении, т.е. при наибольшей плотности воды, равной 1000 кг/м³.

(1.4)

Относительная плотность d – величина безразмерная.

Удельный вес­­­ среды определяется как вес единицы объёма среды, т.е. он равен отношению веса (силы тяжести) среды к её объёму

(1.5)

где G – вес рассматриваемого объёма V среды, н.

Удельный вес тела зависит от ускорения силы тяжести в пункте его определения и, следовательно, не является параметром вещества. Необходимость применения понятия удельного веса возникает в таких случаях, как, например, при определении давления столба жидкости на дно или стенки сосуда, при определении давления с помощью жидкостных манометрических приборов. Удельный вес и плотность связаны между собой равенством

где g – ускорение свободного падения, м/с².

 

Пример 1.1. Пять литров нефти весят G = 41,69 н. Определит удельный вес g и плотность r нефти.

Решение. Так как удельный вес любого вещества с равномерным распределением физических характеристик представляет собой вес в единице объёма, то, согласно (1.5)

Плотность и удельный вес связаны между собой  соотношением

¨

Пример 1.2. Определить плотность смеси жидкостей r_см, имеющий следующий состав: керосина – 40 %, мазута – 60 % (проценты весовые), если плотность керосина r_к = 790 кг/м³, мазута r_м = 890 кг/м³.

Решение. Сумма весовых долей каждого компонента в смеси равна единице, следовательно

Выразим это равенство через объёмные доли, сумма которых также равна единице:

Отсюда находим плотность смеси:

¨

 

 

Плотность воздуха. Во многих технических приложениях, таких, например, как определение характеристик воздушных нагнетателей (компрессоров, вентиляторов) необходимо точно знать плотность окружающего воздуха, которая определяется барометрическим давлением и температурой. Для определения плотности воздуха при небольших давлениях можно воспользоваться с минимальной погрешностью уравнением состояния для идеального газа. При более высоких давлениях это уравнение даёт достаточно большую погрешность и в этом случае необходимо пользоваться табличными данными. Уравнение состояния можно записать следующим образом

,

(1.6)

где р_а – атмосферное (барометрическое) давление, Па;

      Т – абсолютная температура окружающего воздуха, К;

      r – плотность окружающего воздуха, кг/м³;

      р₀ – давление на уровне моря при температуре воздуха Т₀ = 273 К,              р₀ = 98060 Па;

      r₀ – плотность воздуха при нормальных условиях, r₀ = 1,276 кг/м³.

Подставляя в (1.6) численные значения р₀, r₀, Т₀ и разрешая относительно r, получим рабочую формулу для определения плотности окружающего воздуха

(1.7)

Закон Авогадро. Сравнивая различные достаточно разреженные газы, закон Авогадро утверждает, что равные объёмы различных газов, находящихся при одном и том же давлении и температуре, содержат одинаковое количество молекул. Другими словами, плотность газов r, находящихся при одинаковом давлении и температуре, прямо пропорциональна их молекулярной массе:

(1.8)

Масса газа, равная молекулярной массе М называется килограмм-молекулой или молем. Очевидно, что произведение Мv представляет собой объём одного моля. Следовательно, закон Авогадро с учетом равенства (1.8) может быть сформулирован следующим образом: объём одного моля различных газов, находящихся при одинаковом давлении и температуре, будет одним и тем же. При нормальных условиях этот объём равен 22,4 м³. Следовательно, зная молекулярную массу газа, можно вычислить его плотность:

(1.9)

Закон Авогадро достаточно хорошо описывает разреженные газы. Для реальных газов этот закон применим с некоторой погрешностью, тем большей, чем больше отклонение газа от идеального.

В уравнение состояния, записанное для одного моля газа, входит универсальная газовая постоянная R_М, представляющая собой работу изменения объёма, совершаемую одним молем идеального газа в изобарном процессе при изменении температуры на один градус:

(1.10)

Универсальная газовая постоянная одинакова для всех газов и численно равна R_М = 8314,31 Дж/(кмоль×град).

Уравнение состояния, записанное для единицы массы газа, включает газовую постоянную R­, специфичную для каждого газа и представляющую собой работу изменения объёма, совершаемую единицей массы идеального газа в изобарном процессе при изменении температуры газа на один градус:

(1.11)

Записав уравнение (1.10) для одного килограмма газа, т.е. разделив его на М, получим

(1.12)

Это уравнение связывает универсальную газовую постоянную с молекулярной массой и газовой постоянной любого газа.

 

Пример 1.3. Определить вес воздуха G в объёме V = 10 м³ при давлении р = 5 ата и температуре t = +20⁰С.

Решение. Одна техническая атмосфера 1 ата = 98100 Па. Следовательно р = 5×98100 = 490500 Па. Из уравнения состояния

Вес воздуха равен

¨

Пример 1.4. Определить среднюю молекулярную массу воздуха М по его плотности в нормальных условиях (r = 1,293 кг/м³).

Решение. Используя соотношение (1.9), находим

¨

 

1.2. Газовые смеси

Смесь газов, занимающая определённый объём, находится под давлением, вклад в которое вносит каждый газ в зависимости от его количества. Давление каждого отдельно взятого газа в данной смеси называется парциальным давлением, а объём, занимаемый каждым газом – парциальным объёмом. Величина давления смеси газов определяется законом Дальтона: при отсутствии химических реакций давление в газовой смеси равно сумме парциальных давлений отдельных входящих в смесь газов.

Количество отдельных компонент, входящих в газовую смесь, можно определить через их массовую или объёмную долю.

Массовая доля компонентов равна

где т_i – масса отдельного газа, входящего в смесь, кг;

       т – масса всей смеси, кг.

Очевидно, что

Объёмная доля компонентов определяется соотношением

где V_i – объём, занимаемый отдельным газом в смеси, м³;

       V – общий объём газовой смеси, м³.

Очевидно, что

Связь между массовой и объёмной долей можно найти из соотношений (1.8) и (1.12) для каждого газа:

(1.13)

где R_i – газовая постоянная отдельных газов, входящих в смесь, Дж/(кг×град);

        R – газовая постоянная смеси газов, Дж/(кг×град).

Так как

то

(1.14)

поскольку

         Следовательно, кажущаяся молекулярная масса смеси равна

(1.15)

         Равенства (1.14) и (1.15) служат для определения R и m смеси, если дана весовая доля входящих в смесь газов.

         Из (1.13) следует

         где

(1.16)

         Следовательно

(1.17)

         Равенства (1.16) и (1.17) служат для определения М и R смеси, если дана объёмная доля входящих в смесь газов.

 

Пример 1.5. Воздух по массе приблизительно состоит из 76 % азота, 25 % кислорода и 1 % аргона. Определить объёмное содержание этих элементов, если их молекулярные массы равны М_О2 = 32, М_N2 = 28, М_Аr = 40.

Решение. Массовые доли и объёмные доли каждого компонента

и

Выразим объёмную долю компонента через его массовую долю:

(*)

Плотность каждого компонента находится из соотношения (1.9)

Плотность смеси находим следующим образом

Тогда объёмное содержание компонентов будет из (*)

¨

Пример 1.6. Определить среднюю молекулярную массу воздуха двумя способами, если задан его состав по объёму и массе.

Состав по массе: 76 % азота, 25 % кислорода и 1 % аргона.

Состав по объёму: 78,4 % азота, 20,8 % кислорода, 0,72 % аргона.

Решение.

1 способ. Средняя молекулярная масса смеси определяется как сумма произведений молекулярной массы каждого компонента на его объёмную долю в смеси:

2 способ. Выразим объёмные доли через массовые:

Плотность каждого компонента находим из соотношения (1.9)

Сумма объёмных компонентов смеси равна единице:

Из соотношения (1.9) находим среднюю молекулярную массу воздуха

¨

 

1.3. Парциальное давление

На основе определения парциального давления и парциального объёма можно написать

Следовательно

(1.18)

Из уравнения (1.13) следует

Следовательно

(1.19)

Таким образом, очевидно, что парциальное давление легко определить, если газовая смесь дана в объёмных долях (1.18). Если газовая смесь дана в массовых долях, то для определения парциального давления необходимо знать газовые постоянные каждого компонента и всей смеси или молекулярные массы каждого компонента и кажущуюся молекулярную массу смеси (1.19).

 

Пример 1.7. Объём смеси кислорода и азота весит G = 9,81 н. Какое весовое количество кислорода G₁ и азота G₂ содержится в смеси и какие парциальные давления р₁ и р₂ они имеют при давлении смеси 1 ата, если у газовой смеси R = 259,7 Дж/(кг×град), кислорода R₁ = 297 Дж/(кг×град), азота R₂ = 297 Дж/(кг×град)?

Решение. Из (1.9) и (1.12) находим массовую долю каждого компонента в смеси

С другой стороны, согласно (1.18)

         Из первого уравнения

Подставляя в предыдущее, получим

         Так как сумма парциальных давлений компонентов равна давлению смеси р = Sр_i, то суммируя последнее равенство, получаем для нашего случая

 

¨

 

1.4 Сжимаемость

Сжимаемостью называется способность жидкости или газа уменьшать свой объём под действием сил внешнего давления. Мерой сжимаемости является модуль объёмной упругости Е, который определяется равенством

(1.20)

где DV/V₀ – относительное изменение объёма, вызванное повышением         давления на Dр. 

Вследствие плотной упаковки молекул сжимаемость жидкости чрезвычайно мала, например, для воды Е = 2×10⁹ Па, она в десятки и сотни тысяч раз меньше, чем в газах. Величина, обратная модулю объёмной упругости, называется коэффициентом объёмного сжатия

(1.21)

На основании (1.20) коэффициент объёмного сжатия можно определить как

(1.22)

Подставляя (1.1) в (1.22) и учитывая, что масса m = const, можно написать

(1.23)

Сравнивая (1.22) и (1.23), получим

(1.24)

Течение жидкости или газа можно рассматривать как несжимаемое до тех пор, пока относительное изменение плотности остаётся весьма малым, т.е.

(1.25)

 

Пример 1.8. В автоклаве объёмом V₀ = 50 л под некоторым давлением закачано 50,5 л эфира.

Определить, пренебрегая деформацией стенок автоклава, повышение давления в нём Dр, если коэффициент объёмного сжатия эфира при температуре +20^оС b = 1,95×10^–9 м²/н.

Решение. Необходимое давление для сжатия эфира можно найти из равенства для определения коэффициента сжатия:

¨

 

1.5 Температурное расширение жидкостей и газов

Изменение объёма жидкости или газа в связи с изменением температуры характеризуется температурным коэффициентом объёмного расширения, который показывает относительное изменение объёма при увеличении температуры на 1 градус

(1.26)

Этот коэффициент у жидкостей в десятки раз больше, чем у твёрдых тел. Для воды при нормальных условиях значение b_t приближённо можно принимать b_t = 1/10000 ^оС^-1.

Вода, в отличие от других жидкостей, имеет очень интересную и важную для жизни аномалию. Как уже отмечалось, вода имеет максимальную плотность при температуре 4⁰С. При понижении температуры вода расширяется, поэтому лёд плавает на поверхности воды. В естественных водоёмах и реках в зимний период вода при 4⁰С, как наиболее тяжёлая, опускается на дно, не давая водоёму полностью промёрзнуть. Благодаря этому в замерзающих водоёмах на глубине может существовать жизнь. Все остальные вещества при замерзании опускаются на дно сосуда.

Пример 1.9. Определить плотности воды, керосина и серной кислоты при температуре t = +50⁰С, если коэффициент объёмного термического расширения воды b_t1 = 0,00020 1/⁰С, керосина b_t2 = 0,0010 1/⁰С, серной кислоты b_t3 = 0,00055 1/⁰С. Известно также, что плотность керосина при t = +15⁰С r₂ = 760 кг/м³, плотность серной кислоты при t = 0⁰С r₃ = 1853 кг/м³.

Решение. Коэффициент теплового расширения для жидкостей согласно (1.26) можно определить формулой

где v =1/r – удельный объём. Дифференцируя, получаем

Подставляем в предыдущую формулу:

После интегрирования

Начальные условия: при t = t₀, r = r₀. Тогда

Подставляем конкретные значения для каждой жидкости:

¨

 

 

 

 

1.6 Вязкость

Вязкость – свойство жидкости оказывать сопротивление касательным усилиям (сдвигу). Физическую сущность вязкости можно проиллюстрировать на следующем примере. Рассмотрим течение между двумя параллельными пластинами (рисунок 1.1), расстояние между которыми равно h. Нижняя пластина неподвижная, а верхняя движется в собственной плоскости с постоянной скоростью U. В потоке отсутствуют какие-либо возмущения, следовательно, распределение скоростей будет линейным, т.е. скорость течения пропорциональна расстоянию у от нижней пластины и выражается формулой

(1.27)

Такое течение возможно, если к жидкости со стороны верхней пластины будет приложена касательная сила в направлении движения, уравновешивающая силы трения жидкости. Эта сила пропорциональна скорости U верхней пластины и обратно пропорциональна расстоянию h между пластинами. Следовательно, сила трения t, отнесённая к единице площади (касательное напряжение), пропорциональна U/h, которую, согласно (1.27), в общем случае можно заменить отношением du/dу. Коэффициент пропорциональности m между t и du/dу зависит от природы жидкости. Таким образом, закон трения для жидкости записывается в виде

(1.28)

и называется законом трения Ньютона.

Величина m представляет физическую характеристику жидкости, которая сильно зависит от температуры, слабо зависит от давления и называется коэффициентом динамической вязкости. Размерность коэффициента динамической вязкости m определяется из равенства (1.28) и в системе СИ равна н×с/м² или кг/(м×с).

Равенство (1.28) имеет внутреннее сходство с законом упругости твёрдого тела. Для такого тела на основании закона Гука касательное напряжение t пропорционально величине деформации сдвига, т.е.

(1.29)

В этих равенствах G – модуль сдвига; g – изменение первоначального прямого угла; x – смещение в направлении оси х. Но для упругого твёрдого тела касательное напряжение пропорционально величине деформации g, в то время, как для жидкости оно пропорционально величине скорости деформации dg/dt.

(1.30)

Но x = u×t, и опять приходим к (1.28)

.

Вязкость любого вещества сильно зависит от температуры. Для воды зависимость коэффициента динамической вязкости от температуры даётся формулой, предложенной Пуазейлем

(1.31)

где m_о – коэффициент динамической вязкости воды при 0⁰С.

Эту же формулу можно использовать и для других жидкостей, записав её в виде

(1.32)

где m_о – коэффициент динамической вязкости данной жидкости при 0⁰С, н×с/м²;

               a, b – параметры, определяемые экспериментально.

Таким образом, при увеличении температуры вязкость капельных жидкостей уменьшается. С физической точки зрения это можно объяснить тем, что в капельных жидкостях каждая молекула совершает колебания около свободно перемещающегося положения равновесия. При перемещении одних слоёв жидкости относительно других ориентировка молекул нарушается, что повышает сопротивляемость движению при уменьшении температуры. При повышении температуры сопротивляемость изменению ориентировки молекул уменьшается, одновременно уменьшается и сопротивление её молекул перемещению, т.е. уменьшается сила трения.

Давление оказывает небольшое влияние на изменение вязкости несжимаемых жидкостей. Так при увеличении давления на 0,2 МПа вязкость увеличивается на 1/300 ¸ 1/500 своей величины и только при давлении свыше  4 МПа вязкость увеличивается на 7 ¸ 8 %. Исключение составляет вода, вязкость которой при температуре t > 25⁰С несколько уменьшается при увеличении давления. Значительное влияние давления на вязкость наблюдается при 100 ¸ 400 МПа. В этом диапазоне коэффициент динамической вязкости капельных жидкостей растёт пропорционально увеличению давления, т.е. по линейному закону, а при больших давлениях рост идёт по логарифмическому закону.

В тех классах течений, в которых кроме сил вязкости действуют также силы инерции, важную роль играет отношение коэффициента вязкости m к плотности r, которое называется коэффициентом кинематической вязкости.

(1.33)

Для газов влияние температуры на вязкость совершенно противоположное. Коэффициент кинематической вязкости газов выражается уравнением

(1.34)

где b – коэффициент, учитывающий распределение скоростей молекул,             представляет характер ударов молекул газа в их тепловом   движении, b = (0,3 ¸ 0,5)×10⁴;

          v – средняя скорость теплового движения молекул, м/с;

 l – длина свободного пробега молекул между двумя   столкновениями, м.

Так как скорость молекул v прямо пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры Т, а длина свободного пробега молекул увеличивается с увеличением температуры, то коэффициент кинематической вязкости с повышением температуры также увеличивается.

Зависимость коэффициента динамической вязкости газа от температуры даётся теоретической формулой Саттерлэнда

(1.35)

где В, С – коэффициенты, зависящие от вида газа, для воздуха В =                   15,06, С » 122.

На практике пользуются приближённой формулой

(1.36)

где п – показатель степени, зависящий от вида газа и температуры.

 

Для практического определения вязкости капельных жидкостей существует достаточно много различных методов. Ниже рассмотрено несколько наиболее характерных из них.

Метод истечения жидкости из отверстия. Если из сосуда через небольшое отверстие вытекает жидкость, то время истечения будет зависеть от вязкости жидкости. Чем более вязкая жидкость, тем дольше она будет вытекать из сосуда. На этом свойстве основан вискозиметр Энглера, в котором определяется вязкость жидкостей, более вязких, чем вода (рисунок 1.2). Вискозиметр Энглера состоит из латунного цилиндрического резервуара 1 с конусообразным днищем, помещённого в водяную камеру 2. Внутренняя поверхность резервуара 1 позолочена и отполирована. К днищу резервуара припаяна латунная цилиндрическая трубка 3, в которую вставлена платиновая коническая трубочка 4 с диаметром внизу 2,8 мм. Через эту трубочку вытекает испытываемая жидкость. До начала испытаний она закрыта запорным стержнем 5. Испытываемую жидкость объёмом 200 мл наливают в цилиндрический резервуар, где при помощи водяной ванны и газовой горелки поддерживают её постоянную температуру, измеряемую термометрами. Один из них погружён в испытываемую жидкость (t₁), а другой – в водяную камеру (t₂).

Замеряют время t истечения 200 мл испытываемой жидкости при требуемой температуре. Также измеряют время t₀ истечения 200 мл дистиллированной воды при температуре 20⁰С. Отношение величин t и t₀ даёт число условных градусов Энглера

(1.37)

Величину коэффициента кинематической вязкости испытываемой жидкости получают путём пересчёта градусов Энглера по формуле

(1.38)

Метод Стокса (метод падающего шарика). Если в жидкость, находящуюся в сосуде, бросить шарик, плотность которого больше плотности жидкости, то шарик будет опускаться на дно сосуда с некоторой скоростью, зависящей от вязкости жидкости.

Стокс установил, что сила внутреннего трения F жидкости, действующая на падающий в этой жидкости шарик радиусом r со скоростью v, равна

(1.39)

где m - коэффициент динамической вязкости жидкости, н×с/м².

На шарик массы М и объёмом V, погружённый в жидкость плотностью r_ж, действует сила тяжести и архимедова сила:

(1.40)

Если плотность шарика r_ш, то (1.40) можно переписать следующим образом:

(1.41)

По мере возрастания скорости падения шарика будет увеличиваться сила F внутреннего трения жидкости, в которой движется шарик, и в какой-то момент сила F станет по абсолютной величине равна силе Р, и дальнейшее опускание шарика вниз будет происходить с постоянной скоростью v₀. Следовательно, при равномерном падении шарика имеет место равновесие сил Р и F:

(1.42)

Отсюда можно определить m:

(1.43)

Этой формулой можно пользоваться только в том случае, если на движение отсутствует влияние стенок сосуда. Если сосуд достаточно узкий, то необходимо внести поправку на влияние стенок:

(1.43')

где R – радиус сосуда, содержащего жидкость, м.

При отношении R/r > 50 с достаточной степенью точности можно пользоваться формулой (1.43).

Прибор для определения коэффициента динамической вязкости жидкости по методу Стокса показан на рисунке 1.3. Он состоит из вертикальной стеклянной трубки А, наполненной исследуемой жидкостью. Эта трубка помещена в другую стеклянную трубку В, служащую термостатом, температура которой измеряется термометром Т. Трубка А закрыта наверху пробкой, в центре которой сделано отверстие и вставлена узкая стеклянная трубочка Д для ввода шарика. Это заставляет шарик падать вдоль оси трубки А. Для достижения наибольшей точности измерений необходимо, чтобы шарик в жидкости двигался с достаточно малой скоростью. Для этого плотность шарика должна быть не намного больше плотности жидкости. Скорость v₀ определяется по времени прохождения шарика между двумя рисками, нанесёнными на трубке А: v₀ = l/t.

Метод Оствальда. Коэффициент динамической вязкости жидкости m можно определить по её движению в капиллярной трубке. Объём жидкости V, протекающей через капиллярную трубку радиуса r, длиной l за время t и давлении р, под которым находится жидкость, выражается формулой Пуазейля

(1.44)

Формулой Пуазейля пользуются для определения относительного коэффициента вязкости. Для этого берётся исследуемая и эталонная жидкость и измеряется время истечения одинаковых объёмов этих жидкостей через одну и ту же капиллярную трубку. Согласно (1.44)

Здесь нижний индекс "0" относится к эталонной жидкости с известными свойствами (например, вода), а индекс "1" относится к исследуемой жидкости. t – время истечения жидкости.

Деля второе уравнение на первое получим

(1.45)

Если жидкость вытекает под действием силы тяжести, то

Тогда (1.45)  перепишется в виде

(1.46)

Для определения коэффициента динамической вязкости этим методом применяется вискозиметр Оствальда (рисунок 1.4). Вискозиметр представляет собой стеклянную трубку abc, широкое колено аb которой заканчивается внизу расширением b, а другое колено состоит из капилляра е, заканчивающегося наверху расширением с, которое переходит в более широкую трубку d. Под расширением и над ним на трубках d и e нанесены две метки m и n, ограничивающие собой вполне определённый объём жидкости, время истечения которого измеряется опытным путём. Весь прибор помещается в термостат.

 

Пример 1.10. При экспериментальном определении вязкости нефти вискозиметром Энглера найдено: время истечения 200 см³ воды t₁ = 51,2 с, время истечения 200 см³ нефти t₂ = 163,4 с. Определить кинематическую вязкость нефти.

Решение. Вязкость нефти, определённая по вискозиметру Энглера (1.37), равна

Величину коэффициента кинематической вязкости получают путём пересчёта градусов Энглера по формуле (1.38)

¨

Пример 1.11. При определении вязкости масла с помощью вискозиметра Оствальда-Пинкевича было найдено, что время истечения эталонной жидкости при температуре t = +20⁰С равно t₁ = 152 с, а время истечения масла t₂ = 105,2 с.

Определить кинематическую вязкость масла u­₂, если вязкость эталонной жидкости u₁ = 1,568×10^–5 м²/с.

Решение. Определение коэффициента динамической вязкости какой-либо жидкости на вискозиметре Освальда-Пинкевича осуществляется с помощью эталонной жидкости, плотность и вязкость которой при данной температуре известна. Расчёт коэффициента динамической вязкости осуществляется по формуле (1.46)

Тогда коэффициент кинематической вязкости исследуемой жидкости будет равен

¨

 

1.7 Поверхностное натяжение и смачиваемость

Одной из особенностей капельных жидкостей является наличие свободной поверхности. Жидкости, в отличие от газов не заполняют весь объём сосуда, образуя границу раздела с газом, которая находится в особых условиях по сравнению с остальной массой жидкости. Молекулы в пограничном слое жидкости, в отличие от молекул в её глубине, окружены другими молекулами не со всех сторон. Силы, с которыми окружающие молекулы действуют на молекулу внутри жидкости, в среднем компенсируют друг друга. Молекулы, лежащие на поверхности раздела, притягиваются молекулами, находящимися внутри жидкости. Притяжением молекул со стороны газа можно пренебречь, так как количество молекул газа в единице объёма во много раз меньше количества молекул жидкости и результирующая сила действия молекул газа на жидкость будет незначительна. Следовательно, поверхностный слой жидкости оказывает некоторое давление на всю массу жидкости. Это давление называется молекулярным давлением (рисунок 1.5).

Средняя потенциальная энергия частицы, g_s, находящаяся на поверхности раздела фаз, отличается от средней потенциальной энергии g_v такой же частицы в объёме. В случае поверхности раздела фаз между жидкостью и газом g_s > g_v. Поэтому важнейшей характеристикой поверхностного слоя является поверхностная потенциальная энергия или энергия Гиббса G_s – разность средней энергии частицы, находящейся на поверхности, и частицы, находящейся в объёме жидкости, умноженная на число частиц на поверхности N_s:

.

(1.47)

Общая величина поверхностной энергии будет определяться величиной её поверхности S. Поэтому для характеристики поверхности раздела, отделяющую данную фазу от другой, вводится понятие коэффициента поверхностного натяжения s – отношение поверхностной потенциальной энергии к площади поверхности раздела фаз

.

(1.48)

Размерность коэффициента поверхностного натяжения н/м или Дж/м² (1 н/м = 1 Дж/м²).

Согласно принципу минимума свободной энергии, любая фаза будет стремиться самопроизвольно уменьшать свою поверхностную энергию, следовательно, в случае границы раздела жидкости и газа жидкость стремиться уменьшить свою поверхность. По этой причине свободная капля жидкости принимает шарообразную форму. Жидкость ведёт себя так, как будто по касательной к её поверхности действуют силы, стягивающие эту поверхность. За счёт стягивающей силы внутри капли возникает избыточное давление Dр. Если мысленно разрезать сферическую каплю радиуса r на две половинки, то каждая из них должна находиться в равновесии под действием сил поверхностного натяжения, приложенных к границе 2pr разреза, и сил избыточного давления, действующих на площадь p×r² сечения (рисунок 1.6). Условия равновесия можно записать в виде

Отсюда избыточное давление внутри капли равно

(1.49)

Наличие сил поверхностного натяжения делает поверхность жидкости похожей на упругую растянутую плёнку, с той только разницей, что упругие силы в плёнке зависят от площади её поверхности, а силы поверхностного натяжения не зависят от площади поверхности жидкости. Найдём силу поверхностного натяжения, действующую на плоскую тонкую плёнку. Если в мыльный раствор опустить проволочную рамку, одна из сторон которой подвижна, то вся она затянется плёнкой жидкости (рисунок 1.7).

Силы поверхностного натяжения стремятся сократить поверхность плёнки. Для равновесия подвижной стороны рамки к ней нужно приложить внешнюю силу F_вн = –F_н. Если под действием F_вн перекладина переместится на Dх, то будет произведена работа

,

(1.50)

где DS = 2LDх – приращение площади поверхности обоих сторон

           мыльной плёнки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как модули сил F_вн и F_н одинаковы, то

.

(1.51)

Коэффициент поверхностного натяжения может быть определён как модуль силы поверхностного натяжения, действующий на единицу длины линии, ограничивающей поверхность.

Если вместо плоской плёнки взять мыльный пузырь, то в нём, как и в капле воды, за счет сил поверхностного натяжения возникнет избыточное давление. Так как мыльный пузырь имеет две поверхности, внешнюю и внутреннюю, то избыточное давление внутри пузыря должно быть в два раза больше, чем у капли:

(1.52)

Интенсивность взаимодействия между молекулами уменьшается по мере роста температуры. Поэтому снижается и поверхностное натяжение жидкости на границе с газом или с собственным паром. Это уменьшение поверхностного натяжения прямо пропорционально росту температуры и эта зависимость обычно описывается эмпирическим уравнением

н/м,

(1.53)

где s₂₅ – поверхностное натяжение при температуре 25⁰С, н/м.

В интегральной форме это уравнение записывается в виде

(1.54)

где V_т –молярный объём жидкости;

       К – постоянная;

       Т_с – критическая температура.

Строгое уравнение зависимости поверхностного натяжения от температуры можно получить из уравнения Гиббса-Гельмгольца

,

где индекс s указывает на отнесение энтальпии, энергии Гиббса и энтропии к единице площади поверхности.

В этом случае зависимость поверхностного натяжения от температуры имеет вид

(1.55)

До сих пор рассматривалась поверхность раздела между жидкостью и газом, где g_s > g_v. Если рассматривать поверхность раздела между двумя разнородными несмешивающимися жидкостями или между жидкостью и твёрдой стенкой, то в зависимости от рода жидкости и твёрдого материала могут быть случаи, когда средняя энергия частицы, находящаяся на поверхности раздела фаз g_s, может быть меньше средней энергии частицы g_v, находящейся в объёме жидкости. В этом случае энергия Гиббса G_s и, следовательно, коэффициент поверхностного натяжения s приобретают отрицательное значение. Отсюда вытекает понятие смачиваемости твёрдого тела.

Около границы между жидкостью, твёрдым телом и газом форма свободной поверхности зависит от сил взаимодействия молекул жидкости и твёрдого тела. Если эти силы больше сил взаимодействия между молекулами

самой жидкости, то жидкость смачивает поверхность твёрдого тела. В этом случае жидкость подходит к твёрдой стенке под некоторым острым углом q, который является характерным для данной пары жидкость - твердое тело (рисунок 1.8, а). Этот угол называется краевым углом. Если силы взаимодействия между молекулами жидкости превосходят силы их взаимодействия с молекулами твёрдого тела, то краевой угол q будет тупым (рисунок 1.8, б). В этом случае жидкость не смачивает поверхность твёрдого тела.

На свойстве жидкости смачивать твёрдые тела основано капиллярное явление. Капиллярное явление состоит в том, что по трубке с очень узким отверстием (капилляром), опущенной в смачивающую жидкость, эта жидкость начинает подниматься вверх до тех пор, пока сила тяжести G, действующая на столб жидкости в капилляре, не станет равной по модулю результирующей сил поверхностного натяжения F_н, действующих вдоль границы соприкасающейся жидкости с поверхностью капилляра (рисунок 1.9):

Отсюда следует

(1.56)

Чем меньше радиус капилляра, тем выше поднимается столб жидкости. При полном смачивании q = 0, cosq = 1 и высота подъёма столба жидкости будет

(1.57)

Если капиллярную трубку опустить в несмачивающую жидкость, то результат будет совершенно противоположный: столб жидкости внутри капиллярной трубки будет ниже уровня жидкости. Расстояние между вершиной столба и уровнем жидкости вычисляется по (1.56). При полном несмачивании q = 180^о, cosq = –1 и h в формуле (1.57) будет отрицательным. Примером полного смачивания может служить вода и чистое стекло, полным несмачиванием – ртуть и чистое стекло.

 

Пример 1.12. Металлическую иголку длиной l = 32 мм осторожно положили на поверхность воды в стакане. Эта иголка будет лежать на поверхности воды, если её вес не очень большой. Какой будет максимальный вес иголки, при котором она не утонет, если поверхностное натяжение воды s = 0,073 н/м?

Решение. Вода несколько прогибается под действием силы тяжести иголки. На рисунке показано поперечное сечение иголки и вогнутая поверхность воды. На иголку действуют три силы: сила тяжести G и две силы F₁ и F₂, вызванные поверхностным натяжением воды. Эти силы приложены вдоль всей длины иголки с обоих сторон. В этом случае в соответствии с уравнением (1.48) можно написать

Силы F₁ и F₂ касательные к выемке на поверхности воды, которая образовалась под действием давления иголки. Угол между этими силами и вертикалью равен q. Так как иголка находится на поверхности воды в равновесии, то сумма всех действующих на неё сил равна нулю. Проекция сил на горизонтальную плоскость равна F₁ + F₂ = 0, т.е. эти проекции сил F₁ и F₂ уравновешивают друг друга. Проекция на вертикальную плоскость даёт

Т.е. вес иголки G уравновешивается суммой проекций сил F₁ и F₂ на вертикальную ось. Силы, вызванные поверхностным натяжением, будут уравновешивать максимально допустимый вес иголки, когда они будут направлены вертикально вверх и q = 0. Следовательно, максимально допустимый вес иголки, при котором она ещё будет плавать, можно найти из равенства

¨

Пример 1.13. Определить разность давлений внутри мыльного пузырька диаметром d = 2 мм и наружным давлением, если коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора, из которого получен пузырёк, s = 2,5×10^–2 н/м.

Решение. Из формулы (1.52) находим:

¨

 

Глава 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕЧЕНИЯ

ЖИДКОСТИ

         2.1 Скорость и ускорение

Движение любого тела всегда определяется по отношению к некоторой системе отсчёта – системе координат. С помощью системы координат устанавливается соответствие между числами и точками пространства. В ортогональной декартовой системе координат в трёхмерном пространстве каждой точке ставится в соответствие три числа x, y, z – координаты точки. Линии, на которых какие-либо две координаты сохраняют постоянное значение, называются координатными линиями. Например, линия, вдоль которой y = const, z = const, определяет координатную линию х. Вдоль этой линии различные точки фиксируются значениями x_i, а направление роста координаты х определяет направление вдоль этой линии. Через каждую точку пространства можно провести три координатные линии. Считается, что точка движется относительно системы координат, если её координаты х, у, z меняются в зависимости от времени.

Жидкость или газ, представляющие собой сплошную среду, можно рассматривать как непрерывную совокупность точек. Движение сплошной среды считается известным, если известно движение всех её точек.

В механике жидкости и газа движение сплошной среды рассматривается относительно неподвижной системы координат в каждой точке пространства. Геометрические координаты пространства x, y, z и время t называются переменными Эйлера. Движение считается известным, если скорость, ускорение, температура и другие величины заданы как функции x, y, z и t. Функции u = u(x, y, z, t), а = а(x, y, z, t), Т = Т(x, y, z, t) и другие, при фиксированных x, y, z и переменном t, определяют изменение со временем скорости, ускорения, температуры и др. параметры в данной точке пространства для разных приходящих в эту точку частиц. При фиксированном t и переменных x, y, z эти функции дают распределение характеристик движения в пространстве в данный момент времени. При переменных x, y, z, t – распределение характеристик движения в пространстве в разные моменты времени.

Компоненты скорости частицы в проекции на координатные оси в переменных Эйлера определяются как производные от соответствующих координат по времени

Ускорение жидкой частицы – это производная от скорости по времени, которая представляет собой полный дифференциал или индивидуальную производную

(2.1)

В проекциях на оси координат это уравнение записывается в виде

(2.2)

Частная производная  характеризует изменение скорости в единицу времени в той же точке x, y, z и называется местной или локальной производной. В общем случае индивидуальная производная  не равна местной  и отличается на величину, зависящую от движения частицы и называемую конвективной производной

2.2 Вращательное движение

В правые части уравнений (2.2) входит девять частных производных проекций скорости (u_x, u_y, u_z) по координатам (x, y, z). Три из девяти производных

называются прямыми и представляют собой изменение компоненты скорости вдоль соответствующей оси. Остальные шесть частных производных называются косыми или поперечными. Физический смысл этих производных можно рассмотреть на примере одной из них, например, ¶u_z/¶х (рисунок 2.1).

Возьмём на оси х бесконечно малый отрезок ав и рассмотрим его движение вдоль оси z. За время dt отрезок переместится в положение а¢в¢. Расстояние аа¢­ представляет собой путь, пройденный в направлении оси z концом отрезка а

вв¢ - расстояние, пройденное в направлении оси z­ концом в отрезка

В этих равенствах u_z – скорость движения точки а отрезка вдоль оси z­; u¢_z – скорость движения конца в отрезка вдоль той же оси.

Так как в общем случае расстояние аа¢ ¹ вв¢, то отрезок ав за время dt совершает поступательное движение вдоль оси z­ и поворачивается относительно оси у на некоторый угол da­. Ввиду малости угла da тангенс этого угла равен самому углу: tg(da) = da. Тогда можно написать

или

(2.3)

Из этого соотношения видно, что рассматриваемая частная производная представляет собой угловую скорость вращения бесконечно малого отрезка ав относительно оси у.

Рассматривая таким же образом остальные пять производных, получим, что они представляют собой соответствующие угловые скорости вращения бесконечно малого отрезка ав относительно осей x, y, z, причём и  – угловые скорости вращения отрезка относительно оси z;  – угловые скорости вращения отрезка относительно оси у,

 и  – угловые скорости вращения отрезка относительно оси х.

Используя оператор Гамильтона , векторное уравнение (2.1) можно записать в виде

(2.4)

Таким образом, при изучении движения жидкости выделяется некоторая область пространства, и определяются интересующие параметры частиц, проходящих через эту область.

 

2.3 Линии тока, трубки тока, траектории

Движение жидкости называется установившимся или стационарным, если все величины, характеризующие движение, зависят только от координат x, y, z и не зависят явно от времени t, т.е.

Если параметры потока зависят от времени, то такое движение называется нестационарным. Является ли движение стационарным или нет, зависит и от выбора координат. Например, если система координат жёстко связана с кораблём, движущимся прямолинейно с постоянной скоростью, то движение волн, возникающих за кораблём, будет стационарным. Если система координат связана с берегом, то тогда движение волн будет нестационарным (волны сначала появляются, затем постепенно затухают).

Если с каждой частицей потока связать вектор, характеризующий её скорость, то получим бесконечное множество векторов скорости, заполняющее всё пространство, занятое движущейся жидкостью. Для упорядочивания этой картины вводится понятие линии тока. Это такие линии, вдоль которых в данный момент времени векторы скорости направлены по касательным к ним в каждой точке.

Построение линий тока можно сделать следующим образом (рисунок 2.2). Возьмём некоторую точку М жидкости, скорость которой в данный момент времени равна и. Для построения линии тока для данного момента времени отступим вдоль вектора скорости в следующую точку М₁, нанесём на чертеже скорость и₁ точки М₁, отметим на этом векторе точку М₂ и проведём вектор скорости и₂. Продолжая таким образом, наметим серию точек. Если отрезки между точками М_i­ взять сколь угодно малыми, то совокупность этих точек представит линию тока, проведённую в данный момент времени. Все векторы и_i будут касательными к линии тока.

Если рассматривать положение какой-либо отдельной частицы в различные моменты времени, то можно проследить путь её движения или траекторию.

Траектория частицы строится следующим образом. Пусть в данный момент времени частица находится в точке М. За малый промежуток времени частица переместится вдоль вектора скорости и из точки М в смежное положение М¢. Скорость в точке М¢ уже не будет равна и, т.к. за малый промежуток времени в силу нестационарности поля скорость изменится и станет равной u¢ и траектория далее пойдёт по направлению ­М¢М², затем М²М²¢ и т.д. Совокупность точек ММ¢М²М²¢… будет представлять траекторию частицы с тем большей точностью, чем меньше будет выбираться промежуток времени.

В результате построения очевидно, что при стационарности поля скоростей линии тока совпадают с траекториями частиц, в нестационарном поле – не совпадают.

Семейство линий тока можно найти аналитически. Бесконечно малый элемент М_iМ_i+1 = dr в проекциях на оси координат равен

Вектор скорости равен

В этих равенствах i, j, k – векторы базиса или орты. Условием параллельности бесконечно малого отрезка dr и вектора скорости и является

что в проекциях на оси координат даёт

(2.5)

где dl – некоторый скалярный параметр.

Аналогично для траектории можно записать

(2.6)

Из построения и равенств (2.5), (2.6) очевидно, что линии тока не могут пересекаться. Однако может случиться так, что все компоненты скорости u_i обратятся в некоторой точке х, у, z­ в ноль или бесконечность. В этих точках правые части уравнений (2.5) становятся неопределёнными, и такие точки называются особыми точками дифференциальных уравнений линий тока. В этих точках линии тока могут пересекаться. Примеры особых точек приведены на рисунке 2.3. Это источник (а) и сток (б). В теории дифференциальных уравнений они носят название узлы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Через точку 0 проходит бесконечное множество линий тока, а скорость

в точке 0 равна бесконечности. На рисунке (в) приведены линии тока, окружающие точечный вихрь в точке 0. В теории дифференциальных уравнений эта особая точка называется фокусом. Скорость в фокусе равна бесконечности. На рисунке (г) показано разветвление потока около круга. Внешний по отношению к кругу поток соответствует обтеканию круга с критическими точками А и В, скорость в которых равна нулю. Точки А и В являются седлообразными особыми точками, через каждую из них проходит только две линии тока (интегральные кривые). Течение внутри круга имеет особую точку 0 – диполь, скорость в которой равна бесконечности.

Проведём в данный момент времени в потоке жидкости замкнутый контур С, ни одна точка которого не является особой (рисунок 2.4). Тогда через каждую точку такого контура можно провести определённую линию тока. Совокупность линий тока образует поверхность тока, а часть жидкости, выделенная из неё поверхностью тока, проведённой через замкнутый контур, называется трубкой тока. Так как вектор скорости лежит в касательной плоскости к поверхности трубки тока, то через поверхность трубки не может перетекать жидкость, т.е. она является непроницаемой для жидкости. Если контур С бесконечно мал, то трубка тока называется элементарной, если достаточно велик – конечной. Поведя через контур С поверхность w, заключённую внутри трубки и опирающуюся на контур С, получим сечение трубки. Если все линии тока, расположенные внутри трубки тока и на её поверхности, нормальны к поверхности сечения, то такое сечение называется нормальным или ортогональным сечением трубки.

Разбив весь поток на достаточно узкие трубки тока, можно, пользуясь свойством непроницаемости боковой поверхности трубки тока, изучать бесконечно малые перемещения выделенного объёма жидкости вдоль трубки.

Струёй называется часть жидкости, ограниченная поверхностью траекторий точек замкнутого контура. В случае стационарного поля скоростей, когда линии тока не отличаются от траекторий, трубка тока совпадает со струёй. В этом случае, разбив поток на трубки тока, можно рассматривать не только бесконечно малые перемещения заключающихся в трубках объёмов жидкости, но и движение их в течение любого конечного промежутка времени.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Линии тока в потоке жидкости могут быть параллельными прямыми, могут изгибаться, могут расходиться на некоторый угол (рисунок 2.5). В первом случае движение потока называется параллельноструйным. Если линии изогнуты или имеют какой-то угол расхождения q, то такой поток уже не может быть параллельноструйным. Он является или плавноизменяющимся, или резкоизменяющимся. Условиями плавного изменения потока являются: радиус кривизны r линий тока должен быть весьма велик; угол q, образованный линиями тока, должен быть близок к нулю. При несоблюдении любого из этих условий поток является резкоизменяющимся.

В плоскопараллельных потоках нормальные сечения в трубках тока всегда плоские. В плавноизменяющихся потоках нормальные сечения имеют некоторую кривизну. При расчётах плавноизменяющихся потоков действительные искривлённые сечения заменяют плоскими расчётными сечениями.

 

         2.4 Три вида движения жидкой частицы

Для изучения сложных движений в кинематике применяют общий приём расчленения движения на отдельные, более простые составляющие. Так, в теоретической механике, рассматривая движение абсолютно твёрдого тела, разлагают его движение на две составляющие: поступательную и вращательную вокруг мгновенной оси, проведённой через произвольную точку твёрдого тела, называемую полюс. На рисунке 2.6 (а) показано движение абсолютно твёрдого тела. Любая линия ав, проведённая внутри тела, всегда сохраняет свою длину и вместе с тем поворачивается на некоторый угол.

В отличие от твёрдого тела, жидкая частица, кроме поступательного движения и вращения, ещё и изменяет свою форму – деформируется. При этом любой отрезок, проведённый внутри частицы, изменяет свою длину.

Рассмотрим движение бесконечно малого объёма жидкости, имеющего форму сферы радиуса r (на рисунке 2.6б она показана в виде круга). Поместим начало координат в точку 0 – центр частицы. За время dt данный элементарный объём переместится в точку 0¢. Это перемещение можно разложить на три составляющие.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Поступательное движение. При этом можно представить первоначальную окружность с центром в точке 0¢, а произвольно проведённые взаимно перпендикулярные линии I-I и II-II переместились параллельно самим себе.

2) Вращательное движение. При этом движении отмеченные отрезки I-I  и II-II поворачиваются на некоторый средний угол dq, сохраняя свою длину.

3) Деформационное движение. При этом движении каждый из указанных радиусов поворачивается на дополнительный угол dq¢ и, кроме того, укорачивается или удлиняется. Дополнительный угол поворота dq¢ для каждого радиуса будет различный, и удлинение или укорочение каждого радиуса тоже будет различным. Вследствие этого начальная окружность с центром в точке 0 деформируется и приобретает форму, изображённую толстой сплошной линией с центром в точке 0¢.

Считая, что поступательное движение отсутствует, рассмотрим подробнее вращение и деформацию. Угловую скорость вращения обозначим W, а проекции этого вектора на оси координат – W_х, W_у, W_z. Выделим элементарный объём жидкости в виде прямой треугольной призмы авс (рисунок 2.7). Так как поступательное движение не рассматривается, то начальная точка а не будет менять своего положения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В результате вращения призма примет положение аb¢c¢, при котором стороны аb, ас и биссектриса аА повернутся на угол dq­. В результате деформации призма примет свою окончательную форму аb²с². В результате деформации биссектриса не должна менять своего положения. Тогда будут справедливы следующие равенства

         где da₁ и da₂ – углы поворота сторон аb­ и ас от первоначального положения до конечного.

Разделив последнее равенство на dt, получаем

(2.7)

Так как в данном случае рассматривается вращение элементарного объёма жидкости, то величина dq/dt представляет собой среднюю угловую скорость вращения выделенной призмы вокруг оси у:

(2.8)

Величины, входящие в правые части (2.7), согласно равенствам (2.3), равны

(2.9)

Подставляя (2.8) и (2.9) в равенство (2.7) и проделав такие же вычисления относительно осей х и z, получим аналогичные равенства для компонентов скорости вращения W_х и W_z;

(2.10)

Система уравнений (2.10) в векторной форме имеет вид

(2.10')

где W – вектор угловой скорости вращения или вихрь.

Скорость движения складывается из скорости квазитвёрдого движения и деформационного

Выражение (2.10¢), справедливое для абсолютно твёрдого тела в данный момент времени, будет справедливо и для любой движущейся сплошной среды с нелинейным полем скоростей только для малой окрестности некоторой произвольной точки М среды. Определим распределение скоростей в окрестности точки М с координатами (х, у, z). Скорость этой точки в проекциях на оси координат будет иметь значения u_х, u_у, u_z. Тогда бесконечно малый направленный отрезок dr = r₁ – r можно представить как дифференциал, определённый в фиксированный момент времени. Вектор скорости в точке М₁, лежащей в бесконечно малой окрестности точки М и имеющий радиус-вектор r₁ = r + dr, будет равен u₁=и(r + dr). Применяя разложение в ряд Тейлора и ограничиваясь только величинами не более первого порядка малости, получим

(2.11)

В проекциях на оси координат

(2.11¢)

Сделаем следующую тождественную замену переменных

(2.12)

Используя эти тождества, преобразуем систему уравнений (2.11¢) следующим образом.

(2.13)

В этих уравнениях скобки в верхней строке правой части представляют собой угловые скорости W_х, W_у, W_z. Следовательно, верхние строки правой части можно представить как проекции скоростей квазитвёрдого движения элементарного объёма среды. Поступательная скорость в таком движении совпала бы со скоростью u точки, а угловые скорости W равнялись бы ½ rоt u, вычисленного в данной точке М.

Кроме этого квазитвёрдого движения есть ещё дополнительная составляющая, представленная вторыми строками правой части уравнений. Эта дополнительная составляющая представляет собой деформационное движение сплошной среды.

Введём следующие обозначения

(2.14)

Совокупность этих девяти величин можно представить в виде матрицы

,

(2.15)

которая образует тензор 2-го ранга и называется тензором скоростей деформаций. Этот тензор является симметричным, т.е. его компоненты

,

зеркально расположенные относительно главной диагонали, раны между собой.

         Учитывая вышеизложенное, систему уравнений (2.13) можно написать следующим образом

(2.16)

Первые три слагаемые в правых частях выражают скорость u_кт в квазитвёрдом движении, а последние – в деформационном движении u_д.

Обобщением всего вышесказанного является первая теорема Гельмгольца: движение элементарного объёма среды можно в каждый данный момент времени представить разложенным на 1) квазитвёрдое движение со скоростью u_кт, равной сумме поступательной скорости u какой-нибудь отдельной частицы М, заключённой в этом элементарном объёме, и вращательной скорости, соответствующей вектору W = ½ rоtu, и 2) деформационному движению со скоростью u_д.

Основной смысл теоремы Гельмгольца заключается в установлении зависимости между собой отдельных составляющих движения элементарного объёма, зависящих от заданного поля скоростей, его непрерывности и дифференцируемости.

Вращение элементарного объёма и его деформационное движение не могут быть произвольными, не зависящими друг от друга и от поступательного движения объёма. Они связаны между собой определёнными количественными соотношениями, выражающимися через пространственные производные, вычисленные по заданному распределению скоростей.

 

2.5 Вихревое движение жидкости

Если угловая скорость не равна нулю, то движение называется вихревым. Условием вихревого движения является неравенство нулю выражения (2.10) или в векторной форме

(2.17)

Как для всякого векторного поля, для поля вектора вихря можно ввести понятие векторных линий, поверхностей и трубок, т.е. понятия вихревых линий, поверхностей и трубок. Вихревой линией называется линия, касательные в каждой точке которой совпадают с направлением вектора вихря W. Направления осей мгновенного вращения частиц должны быть ортогональны к направлениям скорости их поступательного движения. Дифференциальные уравнения вихревых линий имеют вид

(2.18)

Вихревая поверхность f(x, y, z) = const сплошь состоит из вихревых линий, и её уравнение имеет вид

(2.19)

 Вихревая трубка образуется, если через все точки замкнутой кривой С (не являющейся вихревой линией) провести вихревые линии. Боковая поверхность вихревой трубки – вихревая поверхность, и на ней W_п = 0. Примеры вихревой линии и вихревой трубки показаны на рисунке 2.9.

Для вихревой трубки справедлива вторая теорема Гельмгольца: Поток вектора угловой скорости через произвольное поперечное сечение w вихревой трубки одинаков в данный момент.

Применяя теорему Гельмгольца к элементарной вихревой трубке, можно выбрать сечения её w₁ и w₂ плоскими и нормальными к поверхности трубки. Тогда с точностью до малых высших порядков W₁w₁ = W₂w₂. Из этого равенства вытекает, что сечение трубки не может стать равным нулю, так как это привело бы к возрастанию до бесконечности угловой скорости вращения жидких частиц в этом сечении (рисунок 2.9 а). Отсюда вытекает следствие второй теоремы Гельмгольца: Вихревые трубки не могут заканчиваться внутри жидкости; они либо образуют замкнутые кольца, либо оканчиваются на стенках канала или свободной поверхности жидкости.

 

 

 

 

                                        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, поток вектора вихря сквозь любое сечение трубки является характерной величиной для трубки и называется интенсивностью трубки:

(2.20)

Возьмём в поле скоростей произвольный разомкнутый АВ или замкнутый С контур и на контуре обозначим элемент dr, который, характеризует направление обхода контура (рисунок 2.11). Криволинейный интеграл от скалярного произведения скорости и на направленный элемент контура dr называется циркуляцией скорости по контуру АВ:

(2.21)

Очевидно, что Г_АВ = –Г_ВА.

Для замкнутого контура С

(2.21')

Согласно формуле Стокса

(2.22)

Отсюда приходим к теореме Стокса: циркуляция по замкнутому контуру равна потоку вихря через открытую поверхность, ограниченную этим контуром или, что то же самое, равна интенсивности вихревой трубки.

Теорема Стокса сводит количественное определение интенсивности вихревой трубки к вычислению циркуляции скорости.

 

Пример 2.1. Рассмотрим течение, определяемое уравнением (смотри рисунок к примеру)

где а – постоянная положительная величина.

Траектории, совпадающие с линиями тока в этом течении, – прямые, параллельные оси х. Распределение скоростей вдоль любой прямой х = const линейное. Непосредственное вычисление компонент W в декартовых координатах даёт

т.е. течение вихревое, W направлен против оси z и не меняется от точки к точке. Бесконечно малая жидкая частица, взятая в момент t в виде квадрата АВСD, в момент t + Dt перейдёт в ромб А¢В¢С¢D¢. Углы между диагоналями в процессе движения остаются прямыми, но их ориентация в пространстве меняется. Они вращаются с угловой скоростью

¨

 

2.6 Потенциальное движение жидкости

Если вектор скорости представить в виде градиента некоторой скалярной функции j(x, y, z, t)

(2.23)

то поле скоростей u называется потенциальным, а функция j – потенциалом скорости. Аналогично произвольное векторное поле А(x, y, z, t) является потенциальным, если есть функция Ф(x, y, z, t) такая, что

(2.24)

         Любые потенциальные функции могут образовывать поверхности равного потенциала Ф = const или эквипотенциальные поверхности.

Скорость u в случае потенциального течения ортогональна эквипотенциальной поверхности j = const и тем больше там, где поверхности равного потенциала расположены гуще. Проекция скорости u на любое направление s есть производная от потенциала j по этому направлению:

Выражение u_хdх + u_уdу + u_zdz в случае потенциального течения будет полным дифференциалом функции j

(2.25)

Если в (2.23) первое равенство продифференцировать по у, а второе по х, то

Вычитая из второго равенства первое, получаем

(2.26)

Аналогично, дифференцируя в (2.23) первое по z, третье по х и вычитая из первого второе и дифференцируя второе по z и третье по у и вычитая из второго первое, получаем

(2.26¢)

Подставляя полученные равенства в (2.10), получаем

(2.27)

Равенства (2.26) и (2.26¢) являются необходимым и достаточным условием потенциального течения.

Из (2.27) можно сделать вывод, что если рассматриваемое поле скоростей является потенциальным, то средние угловые скорости W вращения частиц жидкости относительно своих мгновенных осей должны равняться нулю и движение будет безвихревым.

Верно также и обратное утверждение: безвихревое движение жидкости всегда является потенциальным.

Примером потенциального течения может служить поступательное течение с постоянной скоростью u₀ вдоль оси х. В этом случае u_х = u₀, u_у = u_z = 0,  а потенциал равен j = u₀х + const. Отсюда можно сделать вывод, что потенциал определяется с точностью до аддитивной постоянной по координатам и что любое поступательное течение всегда потенциально. Действительно в общем случае поступательного течения u_х = u_хо, u_у = u_уо, u_z = u_zо, и j = u_хо + u_уо + u_zо + const, при этом u_хо, u_уо, u_zо, const могут быть функциями времени t.

 

Пример 2.2. Определить расход Q плоского источника (стока).

Решение. Пусть , где , а Q = const или Q = Q(t). Поверхностями равного потенциала j = const являются в этом случае поверхности r = const, т.е. концентрические окружности с центром в начале координат. Скорость u = gradj ортогональна к этим окружностям, т.е. направлена по радиусам. Линии тока являются лучами, выходящими из начала координат. Пусть Q > 0. Тогда, так как gradj направлен в сторону роста j, то u направлена по r. Если Q < 0, то u направлена по –r (рисунок 2.3 а, б). Величина скорости равна

Скорость стремится к нулю при r ® ¥ и к бесконечности при r ® 0. Точки 0 и ¥ являются критическими. При Q > 0 имеем вытекание жидкости из начала координат во всех направлениях – источник. При Q < 0 – втекание жидкости в начало координат – сток.

Объём жидкости, протекающей за единицу времени через окружность С некоторого радиуса r с центром в начале координат равен

u можно вывести за знак интеграла, так как u = const на длине окружности. w – элемент окружности. Вычисленный объём жидкости не зависит от r. Таким образом, несмотря на то, что на окружностях разного радиуса с центром в начале координат скорости разные, постоянная Q в потенциале j является объёмом жидкости, протекающей в единицу времени через каждую такую окружность. Величина Q называется расходом или мощностью истока (стока). Если Q = const, то источник (сток) имеет постоянную мощность; если Q = Q(t) – то переменную.¨

         2.7 Силы, действующие в потоке жидкости

В механике твёрдого тела рассматривают в основном сосредоточенные силы, действующие в одной точке. В механике жидкости и газа, изучающей деформируемую сплошную среду, имеют дело с распределёнными силами, которые действуют в каждой точке объёма или на каждом элементе поверхности, причём при стремлении бесконечно малого элемента  объёма или поверхности к нулю главный вектор действующих на него сил также стремится к нулю. Первые силы называются объёмными или массовыми, а вторые – поверхностными.

Объёмные силы – это силы дальнего действия, которые очень медленно убывают с увеличением расстояния между взаимодействующими элементами. К объёмным силам относится сила тяжести и силы инерции. Если жидкость несёт электрический заряд или через неё пропущен электрический ток, то на неё также будут действовать электромагнитные силы, имеющие массовую природу.

Вследствие медленного изменения объёмных сил с изменением положения элемента жидкости, на который они действует, они будут действовать в одинаковой мере на всё вещество внутри малого элемента объёма, а полная сила пропорциональна величине этого элемента объёма. Сила тяжести и сила инерции в действительности пропорциональны массе элемента объёма, поэтому сумма всех массовых сил пропорциональна также плотности жидкости F ~ r×dV.

Согласно второму закону Ньютона

         где dm – масса бесконечно малого элемента сплошной среды, кг;

      а – ускорение этого элемента, м/с².

Следовательно, сила инерции, действующая на единицу массы сплошной среды, равна F = а, а сила тяжести, действующая на единицу объёма – F = r×g, причём вектор g не зависит от времени и направлен вертикально вниз.

К поверхностным силам, которые в механике сплошных сред играют основную роль, относятся силы близкого действия, которые непосредственно связаны с молекулярным строением вещества. Эти силы убывают очень быстро с увеличением расстояния между взаимодействующими элементами и считаются пренебрежимо малыми до тех пор, пока нет непосредственного контакта между элементами.

Если на элемент массы жидкости действуют силы близкого действия, возникающие при взаимодействии с веществом, расположенным вне элемента, то они могут действовать лишь на тонкий слой, который примыкает к границе элемента жидкости. Поэтому полные силы близкого действия определяются площадью поверхности элемента, на который они действуют и не зависят непосредственно от его объёма. Взяв элемент поверхности w, можно ввести элементарную поверхностную силу, приложенную к некоторой выделенной в среде малой площадке dw.

где плотность поверхностных сил, действующих на единичную площадку.

Силы можно разделить на внутренние и внешние. Силы называются внутренними, если они вызваны взаимодействием между частицами, принадлежащими рассматриваемому движущемуся объёму, и внешними, если они вызваны внешними по отношению к рассматриваемому объёму объектами.

Выделим в потоке некоторый произвольный объём V и разобьём его сечением w на две части V₁ и V₂ (рисунок 2.12). Если мы будем рассматривать движение одной из частей, например V₁, то действие на неё части V₂ необходимо заменить распределёнными по V₁ массовыми силами и распределёнными по w поверхностными силами. Таким образом введённые силы взаимодействия будут внешними для части V₁. Если рассматривать движение объёма V в целом, то эти силы будут внутренними. Сечение w проведено произвольно, и если его провести по-другому, то поверхностные силы будут другими.

Возьмём некоторую точку М внутри тела и рассмотрим в этой точке различные элементарные площадки dw. Ориентация этих площадок определяется нормалью п. Направление п всегда выбирается таким образом, чтобы она была внешней по отношению к той части среды, на которую действует сила dР. Силу dР можно разложить на две составляющие – по нормали п и касательной к элементарной площадке dw. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Найдём общее выражение для поверхностной силы, отнесённой к единице объёма деформируемого тела. Вырежем из потока элементарный прямоугольный параллелепипед со сторонами  dx, dy, dz (рисунок 2.13). Одна из вершин параллелепипеда совпадает с началом координат О. Объём параллелепипеда dxdydz. Рассмотрим две грани параллелепипеда, перпендикулярные оси х. Их площадь равна dydz. К этим граням приложены результирующие силы –р_х и  Эти силы являются векторами и представляют собой отнесённые к единице площади результирующие поверхностных сил.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Составляющая результирующей поверхностной силы, отнесённой к площади грани будет в направлении х равна

В направлении у и z эти составляющие силы соответственно равны

Сложив эти составляющие и разделив полученную сумму на объём dV = dхdуdz параллелепипеда, получим отнесённую к единице объёма поверхностную результирующую силу Р, вызванную напряжённым состоянием

(2.28)

Каждую составляющую р_х, р_у, р_z можно разложить на компоненты по координатным осям. Каждая компонента обозначается буквой р с двумя индексами: первый индекс указывает, к какой оси перпендикулярна рассматриваемая элементарная площадка; второй указывает ту ось, параллельно которой направлено данное напряжение. Таким образом, составляющие, перпендикулярные к элементарным площадкам, т.е. нормальные напряжения, обозначаются р_хх, р_уу, р_zz, а составляющие, лежащие в плоскости элементарных площадок, т.е. касательные напряжения, обозначаются р_ху, р_хz, р_ух, р_уz, р_zх, р_zу. Применив эти обозначения, получим

(2.29)

Таким образом, напряжённое состояние определяется девятью скалярными величинами, совокупность которых составляет тензор напряжений. Тензор напряжений записывается в виде матрицы и носит также название матрицы напряжений

(2.30)

Подставляя равенства (2.29) в уравнение (2.28), получим

(2.31)

или для любой, произвольным образом ориентированной площадки

(2.32)

Следовательно в каждой точке среды имеется бесчисленное множество векторов напряжений р_п, зависящих от выбора наклона площадки в этой точке, но существует только один тензор Р, характеризующий напряжённость среды в данной точке. Отдельные компоненты тензора Р, образующие матрицу (2.30), зависят от выбора направления осей координат, но тензор в целом представляет физическую величину, выражающую определённое состояние жидкости или газа – их напряжённость и не зависит от выбора направления осей координат.

 

         2.8 Понятие об идеальной жидкости

При решении практических задач, связанных с движением жидкости или газа, обычно принимают какую-либо математическую модель, в которой учитываются важнейшие для данной задачи свойства жидкости и отбрасываются свойства, мало влияющие на результат решаемой задачи. Такой подход сильно упрощает сложные математические модели.

Простейшей моделью движущейся жидкости является так называемая модель идеальной жидкости. В такой модели отвлекаются от наличия внутреннего трения, считая, что по площади соприкосновения смежных слоёв движущейся жидкости действуют только нормальные к площади силы давления и полностью отсутствуют лежащие в плоскости касательные силы, т.е. в идеальной жидкости отсутствует вязкость. Кроме того, под действием сжимающих сил идеальная жидкость не изменяет своего объёма. Таким образом идеальная жидкость имеет постоянную плотность, и в ней могут возникать только сжимающие напряжения.

На поверхности соприкосновения твёрдого тела с жидкостью отсутствует прилипание жидкости к стенке и происходит скольжение жидкости вдоль стенки.

Поскольку в модели идеальной жидкости принимается постулат об отсутствии внутреннего трения и трения на границе потока (с твёрдой стенкой или с воздухом), то все касательные напряжения будут равны нулю

рху = рух = руz = рzу = рzх = рхz = 0.

(2.33)

На любой наклонной к координатным осям площадке также будут отсутствовать касательные напряжения

рпх = рппх,  рпу = рппу,  рпz = рппz.

Отсюда следует, что нормальные напряжения

рхх = руу = рzz = рп,

(2.34)

т.е. в идеальной жидкости величина нормального напряжения не зависит от ориентации площадки. Тензор напряжений в этом случае принимает сферическую симметрию и все главные компоненты, расположенные по диагонали, будут одинаковыми. Обозначим их через р_п = –р и назовём р давлением. Выбор знака диктуется тем, что р вводится как положительная величина, так как из опыта известно, что среды, которые отвечают модели идеальной жидкости, в основном находятся в сжатом состоянии при р > 0.

Тензор напряжения в этом случае записывается в виде

(2.35)

где Е – тензорная единица – симметричный сферический тензор с компонентами, не зависящими от выбора системы координат

(2.36)

Теория движения идеальной жидкости математически очень хорошо разработана и во многих случаях даёт вполне удовлетворительную картину действительных движений. Такими случаями являются, например, волновое движение, движение с образованием струй или решение задачи распределения скоростей и давлений в потоке жидкости, обтекающем твёрдое тело. В то же время с помощью теории идеальной жидкости совершенно невозможно вычислить сопротивление тела, движущегося в жидкости. В этом случае она приводит к результату, что тело, равномерно движущееся в неограниченно распространённой жидкости, не испытывает никакого сопротивления.

 

Глава 3. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ

ЖИДКОСТИ

 

3.1 Уравнение Эйлера движения идеальной жидкости

На основе второго закона Ньютона масса, умноженная на ускорение, равна сумме всех сил, действующих на рассматриваемую массу. На частицу жидкости действуют массовые силы F и поверхностные силы Р. Для единицы объёма жидкости закон Ньютона будет иметь вид

(3.1)

Ускорение жидкой частицы было определено ранее как полный дифференциал от скорости по времени (2.1), (2.4). Массовую силу F можно выразить через её компоненты

(3.2)

Поверхностные силы для идеальной жидкости выражаются уравнением (2.28). Учитывая вышесказанное (3.1) можно записать в виде

(3.3)

Проектируя обе части этого равенства на оси координат, получим

(3.4)

Полученные векторные уравнения (3.3) или в проекциях на оси координат (3.4) называются уравнениями динамики сплошной среды в напряжениях. Для идеальной жидкости касательные напряжения равны нулю, а нормальные заменяются давлением –р. Тогда система уравнений примет вид

(3.5)

В векторной форме (3.5) примет вид

(3.6)

Уравнение (3.6) или равнозначная система уравнений (3.5) называется уравнениями Эйлера динамики идеальной жидкости или газа. Физически уравнения Эйлера выражают второй закон Ньютона для идеальной жидкости: изменение количества движения жидкой частицы происходит под действием массовых сил и сил давления.

 

3.2 Уравнение Эйлера в форме Громека-Лемба

Представим ускорение жидкой частицы в проекциях на оси координат (2.2) в следующем виде

	(3.7)

В векторной форме ускорение будет иметь вид

(3.8)

или учитывая, что

(3.8')

Левая часть уравнения Эйлера (3.6) представляет собой полный дифференциал скорости. Заменяя его вновь полученным дифференциалом скорости (3.8'), уравнение Эйлера для идеальной жидкости запишется в виде

(3.9)

В проекциях на оси координат

	(3.10)

Уравнения (3.9) и (3.10) называются уравнениями Эйлера движения идеальной жидкости в форме Громека-Лемба.

Приведённое преобразование ускорения можно применять для любых сплошных сред, и оно оказывается очень полезным при изучении многих вопросов механики жидкости и газа.

3.3 Уравнение неразрывности

Основное условие при течении жидкости или газа – непрерывность изменения параметров потока в зависимости от координат и времени, т.е. жидкость или газ должны двигаться как сплошная среда без разрывов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выделим в потоке жидкости неподвижный объем в виде параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz. Составляющие скорости в точке О'  u_x, u_y, u_z. Через площадку dydz, определяемую точкой О', в течение времени dt внутрь параллелограмма втекает масса жидкости, равная ru_xdydzdt­.

Из объема параллелепипеда за то же время dt через площадку dydz, определяемую точкой О" с координатами x + dx, dy, dz вытекает масса жидкости

.

(3.11)

Таким образом, масса жидкости вдоль оси Ох в объеме dxdydz изменяется на величину

.

При прохождении жидкости через другие грани изменение массы жидкости будет равно

.

Суммарное изменение массы жидкости в фиксированном объеме dxdydz равно

.

(3.12)

Объем dxdydz – постоянный, его величина не зависит от времени; координаты точки О' фиксированы.

Изменение массы жидкости в объеме dxdydz может произойти только за счет изменения плотности r за период времени dt. В общем случае плотность жидкости или газа является функцией координат x, y, z и времени t: r = f(x, y, z, t). Но в данном случае x, y, z фиксированы, и r может изменяться только в зависимости от времени.

Плотность жидкости в объеме dxdydz может изменяться на , а масса жидкости в этом объеме за период времени dt изменится на

Для сохранения сплошности должно быть удовлетворено условие

(3.13)

Условие соблюдения сплошности потока

(3.14)

В векторной форме

(3.15)

(3.14) и (3.15) – уравнения неразрывности.

Если течение установившееся, то .

Тогда уравнения (3.14) и (3.15) можно представить в виде

(3.16)

Если жидкость несжимаема, то r = const, тогда

(3.17)

 

3.3.1 Уравнение неразрывности для струйки при

установившемся движении

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Скорости струйки касательные к стенкам трубки тока, поэтому через стенку обмен массой с окружающей жидкостью отсутствует. Через площадку w₁ в единицу времени поступает масса жидкости, равная r₁и₁w₁. Через сечение w₂ вытекает в единицу времени масса жидкости, равная r₂и₂w₂.

В трубке тока масса жидкости, находящаяся между сечениями 1-1 и 2-2 остается постоянной, следовательно, условие неразрывности в трубке тока будет

,

то есть, вдоль трубки тока произведение

.

(3.18)

Система трёх уравнений Эйлера и уравнение неразрывности, которые при известных массовых силах F_x, F_y, F_z содержат пять неизвестных функций u_x, u_y, u_z, p, r, является незамкнутой. Для идеальной несжимаемой жидкости, т.е. такой жидкости, плотность каждой частицы которой постоянна, к системе четырёх уравнений можно добавить условие

(3.19)

или в декартовой системе координат

(3.20)

Полностью система дифференциальных уравнений для идеальной несжимаемой жидкости принимает вид

(3.21)

 

3.4 Интеграл Бернулли для линии тока

Напишем систему уравнений Эйлера в следующем виде

Правые части системы есть полные дифференциалы. Преобразуем систему следующим образом. Умножим каждое уравнение на dx, dy, dz и сложим

но  Кроме того .

      Правая часть равенства

      Первая скобка в левой части представляет полный дифференциал потенциала

Вторая скобка – полный дифференциал давления

Окончательно уравнение принимает вид

.

После интегрирования

Или, имея в виду выражение потенциала силы тяжести Ф = gz, получим . Разделив на g:

(3.22)

      где Н_g – гидродинамический напор, (3.22) – интеграл Бернулли.

       z – координата отметки. z представляет собой возвышение рассматриваемого сечения над горизонтальной плоскостью сравнения;

       p/rg – пьезометрическая высота, отвечающая гидродинамическому давлению р, или р/rg – высота столба жидкости в пьезометре, подключённому к рассматриваемому сечению;

       u²/2g – скоростной напор. Измеряется с помощью трубки Пито (рисунок 3.3). Уровень воды в трубке Д устанавливается выше уровня воды в трубке П на величину  Измерив h, находят скорость

3.4.1 Геометрическая интерпретация

уравнения Бернулли

Рассмотрим течение идеальной жидкости в канале переменного сечения (рисунок 3.4). Сумма трех слагаемых уравнения Бернулли для идеальной жидкости, так же как и каждое слагаемое, имеет линейную размерность. Эта сумма постоянна и называется полным напором (линия ЕЕ). На рисунке показаны отрезки прямых, соответствующие каждому слагаемому уравнения Бернулли для четырех произвольно выбранных сечений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z_п – расстояние от центра тяжести сечения до плоскости сравнения (высота положения);

p/rg – пьезометрическая высота (пьезометрический напор);

u²/2g – скоростной напор.

Линия ЕЕ, соединяющая точки, соответствующие полному напору, называется линией полного напора; линия РР, соединяющая точки пьезометрического напора, называется пьезометрической линией. При течении идеальной (невязкой) жидкости линия полного напора расположена горизонтально.

Сужение потока приводит к увеличению скорости течения, а, следовательно, скоростного напора, и к уменьшению пьезометрической высоты. Расширение потока приводит к обратному эффекту.

 

Пример 3.1. Из резервуара по трубопроводу, имеющему сужение, вытекает вода. На какую высоту h поднимется вода в трубке, присоединённой к суженной части трубопровода, если напор Н = 5 м, а диаметры D = 100 мм, d = 90 мм?

Решение. Соединим уравнением Бернулли сечения, проведённые по уровню воды 1-1 в баке и на выходе из трубы 2-2:

Проведём плоскость сравнения 0-0 по оси трубы. Тогда z₁ = Н, z₂ = 0, v = 0 т.к. скоростью воды в широком баке по сравнению со скоростью воды на выходе из трубы можно пренебречь. Давление на поверхности воды в баке и на выходе из трубы одинаковое – атмосферное р₁ = р₂ = р_а. Тогда уравнение Бернулли запишется в виде

Отсюда определяем расход

Скорость в сжатом сечении будет равна

Соединим уравнением Бернулли сечение 1-1, проходящее по уровню воды в баке, и наиболее сжатое сечение:

Высота столба жидкости в трубке будет равна разности атмосферного давления и давления в наиболее узкой части трубопровода

¨

Пример 3.2. Вода из фонтана бьёт на высоту  Н = 8 м, вытекая из сопла, имеющего форму усечённого конуса, обращённого вверх малым сечением. Диаметры сечений конуса: D = 50 мм, d = 10 мм, высота h = 0,5 м. Определить расход воды Q, подаваемый к фонтану, и давление р у нижнего основания конуса. Потерей напора в сопле пренебречь.

Решение. Соединим уравнением Бернулли сечение 1-1, до которого поднимается вода в фонтане, и 2-2, проведённое на выходе из сопла. В данных условиях z₁ = Н, v₁ = 0 т.к. в этом сечении вода останавливается и начинает падать, z₂ = 0, р₁ = р₂ = р_а, тогда

Расход воды равен

Скорость в сечении 3-3 находим из уравнения неразрывности

Для того, чтобы найти давление в сечении 3-3, соединим уравнением Бернулли это сечение и сечение 2-2. Для этих сечений z₂ = h, р₂ = р_а, z₃ = 0. Тогда

Отсюда

или р₃ = 181018 Па = 1,845 ата = 0,845 ати.   ¨

 

3.4.2 Приложения уравнения Бернулли. Трубка Прандтля

Измерения местной скорости в потоке можно делать различными приборами. Одним из наиболее распространённых и удобных приборов в применении является трубка Прандтля. Действие трубки Прандтля основано на уравнении Бернулли.

Трубка Прандтля состоит из двух коаксиальных трубок (рисунок 3.5). Центральная трубка с закруглённым, хорошо обтекаемым наконечником, направлена навстречу потоку жидкости и измеряет полное давление р+ru²/2. Внешняя трубка, закрытая спереди, имеет несколько боковых отверстий, расположенных примерно на расстоянии пяти калибров от носика, в зоне потока, где возмущения, внесённые трубкой, затухают. Поскольку плоскости боковых отверстий расположены параллельно линиям тока, то они нечувствительны к динамическому напору, а измеряют только статическое давление р. Концы обоих трубок имеют выводы, концы которых присоединяются к дифференциальному манометру. В U-образном дифференциальном манометре устанавливается некоторая разность столбов жидкости. Так как система находится в равновесии, то можно написать уравнение балансов давления относительно какой-либо плоскости сравнения, например, 0-0, проведённой через уровень нижнего столба жидкости в манометре. В другом колене манометра на плоскость 0-0 действует сила статического давления и вес столба жидкости р + r_мgh. С другой стороны плоскости действует сила статического давления и динамический напор р + ru²/2.

Так как система находится в равновесии, то обе эти силы равны

или, сокращая статическое давление,

,

(3.23)

где r_м и r – плотность жидкости, налитой в манометр, и плотность жидкости в исследуемом потоке.

Из этой формулы можно найти скорость потока в точке, где расположен носик трубки Прандтля

(3.24)

Учитывая вязкость жидкости и возмущения, которые трубка вносит в поток, полученную формулу для скорости необходимо скорректировать, введя коэффициент j, который определяется опытным путём для каждой трубки индивидуально

(3.25)

Если необходимо измерить поле скоростей в каком-либо потоке, например, в сечении трубы, то, передвигая трубку вдоль диаметра трубы и для каждой точки записывая показания манометра h, и затем, пересчитывая эти показания по формулам (3.24) и (3.25), получаем поле скоростей, которое можно изобразить графически в виде эпюры.

 

3.4.3 Расходомер типа трубы Вентури

Другое техническое приложение уравнения Бернулли воплощено в трубе Вентури. Труба Вентури служит для измерения расхода жидкости или газа. Пусть по прямой трубе постоянного сечения w течёт идеальная жидкость с постоянной среднерасходной скоростью v. Давление и плотность в трубе постоянные. В некотором сечении трубы имеется сужение, минимальная площадь которого w₁. Пусть труба расположена горизонтально, тогда возвышения z₁ и z₂ будут одинаковы z₁ = z₂ (рисунок 3.6). Тогда уравнение Бернулли для двух сечений 0-0 и 1-1 будет иметь вид

(3.26)

Используя уравнение неразрывности (3.18), можно написать

откуда

(3.27)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда перепад давления между сечениями 0-0 и 1-1 будет определяться следующим образом

(3.28)

Отсюда можно найти скорость в широкой части трубы

(3.29)

Здесь

– коэффициент, зависящий только от диаметров широкой и узкой части сопла Вентури, которые известны.

Перепад давления Dр замеряется U-образным манометром. Разность перепада уровней жидкости в манометре Dh равна перепаду давления Dр и зависит от плотности жидкости, налитой в манометр. Подставляя в (3.29)

получаем

(3.30)

Расход в трубке определяется произведением скорости v на площадь сечения в широкой части трубы

(3.31)

где r_м – плотность жидкости, налитой в U-образный манометр.

Приведённые здесь формулы вполне применимы для измерения расхода реальной жидкости, так как тщательная внутренняя обработка трубки и очень короткий участок между отборами давления в широкой и узкой части делают сопротивление трения на мерном участке пренебрежимо малым по сравнению с величиной Dр.

 

Пример 3.3. Определить массовый расход газа в трубе диаметром d₁ = 200 мм, на которой установлен расходомер Вентури с минимальным диаметром d₂ = 150 мм, если разность давлений в трубках U-образного дифференциального манометра Dh = 30 мм вод. ст.­, а плотность газа r = 0,75 кг/м³.

Решение. Находим коэффициент с в формуле (3.29):

Подставляем это значение в формулу (3.31) и вычисляем объёмный расход газа:

Массовый расход равен

¨

 

3.5 Явление кавитации

Из интеграла Бернулли (3.22) следует, что при установившемся движении несжимаемой жидкости распределение давления в потоке зависит от распределения скоростей. В каких-то местах потока или линии тока скорость может стать очень высокой и давление в этих точках понижается и может стать отрицательным.

В реальной капельной жидкости содержатся взвешенные твёрдые микрочастицы, растворённый газ (обычно воздух) и микроскопические включения нерастворённого газа. Включения нерастворённого газа могут находиться в трещинах гидрофобных частиц, куда вода, вследствие поверхностного натяжения, не может проникнуть. Эти посторонние включения могут при определённых условиях стать центром образования пузырьков, образующихся из растворённого газа и паров воды.

Когда давление в какой-то точке потока становится ниже критического значения р_п, жидкость оказывается в неустойчивом состоянии, и в ней начинают образовываться полости, заполненные растворённым в воде газом и парами воды. Критическое давление р_п практически равно давлению насыщенных паров воды при данной температуре. Явление образования таких полостей носит название кавитации.

Возникновение кавитации оказывает существенное влияние на законы движения жидкости, так как нарушается принятое ранее допущение о сплошности среды. Кавитация может возникнуть вблизи минимального сечения в трубке с пережимом, в поршневом насосе, когда давление за поднимающимся поршнем стремится к нулю, а также при обтекании различных тел.

Для установившегося движения тяжёлой несжимаемой жидкости на основании уравнения Бернулли можно написать

где р_ст – статическое давление в потоке;

      u_¥ – скорость потока вдали от обтекаемого тела;

      р и u – давление и скорость в рассматриваемой точке потока.

Это уравнение можно переписать в следующем виде

(3.26)

При обтекании тела на линии тока в какой-то точке может быть достигнута максимальная скорость u_тах, которой будет соответствовать, согласно уравнению Бернулли, минимальное давление р_тiп. Обычно максимальная скорость достигается вблизи поверхности обтекаемого тела, а отношение  u_тах/u_¥ зависит только от геометрической формы тела и его ориентации относительно набегающего потока.

Величина, стоящая в левой части (3.26), в точках поверхности тела называется коэффициентом давления с_р. На основании (3.26) для коэффициента давления, соответствующего точке минимального давления, можно написать

(3.27)

Наступление кавитации определяется условием

(3.28)

где р_п – давление насыщенных паров.

Безразмерное число k называется  числом кавитации, которое определяется задаваемыми условиями обтекания. k зависит от статического давления р_ст, которое в открытых бассейнах, в свою очередь, зависит от глубины погружения. При фиксированной разности р_ст – р_п число кавитации k резко падает с увеличением скорости набегающего потока u_¥.

В тот момент, когда k = с_рmin, в обтекаемом потоке в точке достижения максимальной скорости, возникает кавитация, которая может привести к перестройке картины всего течения жидкости.

Очевидно, что при движении в жидкости любого профиля при увеличении его скорости неизбежно наступает кавитация. Кавитация наступает тем позже, чем ближе к единице отношение u_тах/u_¥, т.е. чем меньше обтекаемое тело возмущает поток.

Значение критического числа кавитации для разных местных сопротивлений определяется экспериментально. Оно связано с коэффициентом местного сопротивления в бескавитационном режиме. В первом приближении для местных сопротивлений, вызванных изменением сечения потока, критическое число кавитации можно рассчитать по формуле

(3.29)

где z – коэффициент местного сопротивления.

Предельно допустимая скорость перед местным сопротивлением рассчитывается по известному числу кавитации:

(3.30)

Из (3.27) видно, что кавитация может возникнуть не только при увеличении скорости данного тела, но и при уменьшении р_ст. При увеличении р_ст, например, на входе в насос, наступление кавитации затрудняется.

Явления кавитации встречаются при работе гидротурбин при повышенных оборотах, при движении жидкости в насосах и других гидравлических машинах, при работе гребных винтов судов, при движении с большой скоростью на подводных крыльях. Кавитация встречается и на гидравлических системах самолётов, когда при подъёме на высоту р_ст сильно уменьшается. Кавитация может возникнуть и в трубах Вентури, Поперечное сечение трубы Вентури уменьшается до минимума и затем постепенно увеличивается так, что вода, текущая вдоль трубы, имеет локальный минимум давления в её узком сечении. При определённых условиях давление в этом сечении может стать ниже, чем давление пара, и тогда вниз по потоку образуется пенящаяся смесь воды и пузырьков, которые обычно скапливаются вдоль стенок трубы. Подобные случаи образования каверн характерны в системах водоснабжения, когда частично открытые вентили, установленные на трубопроводе, действуют наподобие узкого сечения трубы Вентури. Появление каверн в трубопроводах сопровождается характерными шипящими шумами.

Возникновение кавитации на лопатках водяных насосов, гидротурбин, гребных винтов и на подводных крыльях приводит к резкому ухудшению их гидродинамических характеристик, в частности, подъёмная сила подводных крыльев резко падает.

При возникновении кавитации на поверхности тела в области р_min образуются пузырьки, заполненные паром с давлением, близким к нулю. Затем пузырьки перемещаются вместе с жидкостью и попадают в область больших давлений. В области повышенных давлений жидкость со значительной скоростью устремляется внутрь каверн, происходит их схлопывание, сопровождающееся большим приращением местных давлений порядка десятков мегапаскалей. Это давление распространяется по всей воде как волна сжатия. Импульс давления большой интенсивности, распространяющийся от каждой разрушающейся каверны, является важной и нежелательной чертой кавитации. Он слышен как громкий шум в системах подвода воды и гидравлических насосах. Когда этот шум возникает в результате кавитации вблизи винта корабля, он может вызвать интенсивную вибрацию винта, и прослушивается на больших расстояниях подводными акустическими приборами.

Непрерывное схлопывание пузырьков быстро приводит к износу и эрозии соседних твёрдых поверхностей. Такая кавитационная эрозия может быть настолько интенсивной, что после нескольких часов работы винтов корабля в режиме кавитации, их лопасти оказываются полностью разрушенными. Разрушительное действие кавитации проявляется на лопастях мощных питательных насосов, подающих воду в котёл, на лопастях гидротурбин, на бетонных водосбросах плотин.

На рисунке 3.7 показана фотография винта, вращающегося в потоке воды. На первой фотографии (а) возникает каверна внутри кольцевого вихря от каждой из трёх лопастей. При большей скорости вращения (б) на стороне разрежения каждой лопасти видна каверна, объём которой достаточно велик, чтобы влиять на распределение давления на лопастях.

Рисунок 3.7 – Кавитация, возникающая за винтом, вращающимся в потоке воды

   

 

 

Для изучения кавитационных явлений используются различные экспериментальные установки, например, гидродинамическая или кавитационная труба. Принципиальная схема кавитационной трубы приведена на рисунке (3.8). Поток воды в такой трубе создаётся с помощью осевого насоса, расположенного в нижней части трубы. Исследуемое тело размещается в верхней части трубы в рабочем участке. Нужное значение числа кавитации при испытании образца создаётся за счёт изменения статического давления р_ст. Для этого в трубе устанавливается специальная шахта со свободной поверхностью воды. Уменьшение давления над свободной поверхностью воды в шахте уменьшает давление во всей массе жидкости, заполняющей трубу, и таким образом моделируется кавитационный поток при значительно меньших скоростях обтекания модели, чем в натуральных условиях.

 

 

 

 

 

 

 

Глава 4. ГИДРОСТАТИКА

 

Гидростатика занимается изучением явлений, происходящих в относительно покоящихся сплошных средах. Для любой реальной жидкости, находящейся в состоянии покоя, можно принять касательные составляющие тензора напряжений равными нулю, а сохранить лишь нормальные составляющие, такие же, как и в идеальной движущейся жидкости, и равные (2.34) р_хх = р_уу = р_zz = р_п..

Таким образом, три нормальных напряжения, приложенные к трём взаимно перпендикулярным площадкам, как угодно ориентированным в пространстве, равны между собой. Этот закон изотропии нормальных напряжений в точках сплошной среды, находящейся в равновесии, называется законом Паскаля. Гидростатическое давление вводится как вектор, равный нормальному напряжению по величине и направленный в противоположную сторону. Следовательно, гидростатическое давление является сжимающей силой для покоящейся жидкости. Тензор напряжений принимает вид (2.35):

 

 

4.1 Уравнения Эйлера покоящейся жидкости

В предыдущем разделе были введены уравнения Эйлера динамики идеальной жидкости (3.5) и (3.6). Покоящаяся жидкость находится в равновесии и все компоненты скорости равны нулю u = u_х = u_у = u_z = 0. Следовательно, правые части уравнений (3.5) и (3.6) обратятся в нуль и уравнения Эйлера равновесия жидкости примут вид

(4.1)

или в векторной форме

(4.2)

Если уравнения (4.1) последовательно умножить – первое на dх, второе на dу, третье на dz и сложить, то получим

Так как давление р в точке есть функция только координат, то выражение в правой части есть полный дифференциал давления dр, следовательно при равновесии жидкости левая часть уравнения есть тоже полный дифференциал некоторой функции, зависящей от координат:

(4.3)

Тогда уравнение (4.2) можно написать в виде

(4.4)

Так как Ф есть функция только координат, а частные производные её по координатам дают соответствующие проекции F_х, F_у, F_z объёмной силы, то Ф является потенциальной функцией. Отсюда вытекает вывод, что жидкость может находиться в равновесии только в том случае, когда массовые силы, действующие в ней, имеют потенциал, т.е. проекции массовых сил удовлетворяют условию (4.3).

Интегрирование уравнения (4.4.) даёт

(4.5)

Для определения постоянной интегрирования рассмотрим некоторую точку жидкости, для которой известны р и Ф: р = р₀, Ф = Ф₀. Для этой точки (4.5) запишется

(4.6)

Подставляя (4.6) в (4.5), получим

(4.7)

Формула (4.7) определяет давление в точке для случая, когда ­r = const, причём на жидкость действует любая система объёмных сил, имеющих потенциал.

 

4.2 Равновесие жидкости, находящейся под действием силы тяжести

При равновесии несжимаемой жидкости в поле тяжести, когда другие объёмные силы отсутствуют, компоненты силы F будут F_х = 0; F_у = 0; F_z = g (рисунок 4.1). Ось z направлена вертикально вниз.

Дифференциал потенциальной функции равен

.

Тогда уравнение (4.4) примет вид

.

(4.8)

Интегрирование даёт . Для определения постоянной интегрирования С необходимо поставить граничные условия: при z = 0 р¢ = р₀. Тогда С = р₀ и решение (4.8) будет

.

(4.9)

Обозначим через h заглубление точки т под свободной поверхностью. Тогда окончательно

.

(4.10)

р¢ – абсолютное давление в рассматриваемой точке, р₀ – внешнее поверхностное давление. Если сосуд открыт, то внешнее давление равно атмосферному

.

(4.11)

Разность абсолютного и атмосферного давления называется избыточным давлением

.

(4.12)

Оно зависит от глубины погружения рассматриваемой точки и разности поверхностного и атмосферного давлений.

Уравнения (4.10) и (4.11) выражают закон распределения абсолютного гидростатического давления в жидкости: величина полного гидростатического давления в некоторой точке, погружённой на глубину h относительно свободной поверхности, равна сумме внешнего давления на свободную поверхность р₀ и давления веса столба жидкости с площадью основания, равной единице, и высотой, равной глубине погружения h рассматриваемой точки.

Кроме того (4.10) и (4.11) показывают, что внешнее давление р₀, которое действует на поверхность жидкости, передаётся во все стороны объёма с одинаковой интенсивностью.

Рассмотрим поверхность, давление в каждой точке которой постоянно: р = const. Такая поверхность называется поверхностью уровня. Если в (4.2) положить р = const, то уравнение поверхности будет

(4.13)

Следовательно, поверхность равного уровня является и поверхностью равного потенциала или эквипотенциальной поверхностью.

Уравнение (4.8) показывает, что эквипотенциальные поверхности в тяжёлой покоящейся жидкости определяются равенством z = const, то есть, что поверхности уровня в ней представляют горизонтальные плоскости. Величина абсолютного давления на такой поверхности определяется (4.9) – (4.11). Давление на свободной поверхности открытого сосуда равно атмосферному давлению р_а и представляет собой тоже горизонтальную плоскость.

 

4.3 Пьезометрическая высота

В закрытый сосуд с водой (рисунок 4.2) помещены три пьезометрические трубки. Одна трубка запаяна сверху и над поверхностью воды в ней образуется вакуум, т.е. избыточное давление на поверхность воды в этой трубке р = 0. Две другие трубки открыты сверху и избыточное давление на поверхности воды в них равно атмосферному р = р_а. Избыточное давление на поверхность воды в сосуде равно р₀. Жидкость внутри сосуда и в трубках находится в равновесии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим баланс сил, действующих на точки т и п. Абсолютное гидростатическое давление в точке т, действующее со стороны жидкости в сосуде, равно

Абсолютное гидростатическое давление в точке т, действующее со стороны жидкости в трубке, равно

Так как жидкость находится в равновесии, то оба эти давления должны уравновешивать друг друга

(4.14)

Величина h_А называется абсолютной пьезометрической высотой

(4.15)

т.е. h_А – высота такого столба жидкости, который своим весом способен создать давление, равное абсолютному давлению в рассматриваемой точке.

На точку п со стороны жидкости в сосуде действует давление

Со стороны жидкости в трубке на точку п действует давление

Так как эти давления уравновешивают друг друга, то

откуда

(4.16)

где р – гидростатическое давление в точке п.

Величина h_изб называется пьезометрической высотой и выражает разность давлений р¢ – р_а. Разность высот жидкости в открытой и закрытой трубках всегда равна р_а/(r×g). Если сосуд с жидкостью открытый, т.е. р₀ = р_а, то h_изб = h, где h – заглубление данной точки под уровнем жидкости в сосуде.

Если рассматривать пьезометрическую высоту относительно произвольной плоскости сравнения 00, то сумма  всегда величина постоянная, не зависящая от заглубления точки. Действительно, для двух точек п и l справедливо равенство

Сумма  называется пьезометрическим напором, а уровень жидкости в пьезометрах будет находиться в одной горизонтальной плоскости – пьезометрической напорной плоскости.

Таким образом, напор относительно плоскости сравнения постоянен и не зависит от координат рассматриваемой точки, а давление зависит от координат точки и является переменной величиной для всей массы жидкости. Ординаты z и z₁ – отметки точек т, п и l.

В точке п сосредоточена масса жидкости М_п. Определим её потенциальную энергию относительно плоскости сравнения 00. В момент присоединения пьезометра к точке п эта масса жидкости без дополнительной затраты энергии поднимается по пьезометру на высоту  и энергия этой массы будет определяться уже высотой положения точки п и пьезометрической высотой . Потенциальная энергия массы М_п в точке п составит

Если эту энергию отнести к единице веса жидкости, то потенциальная энергия массы жидкости единичного веса будет называться удельной потенциальной энергией и равняться

Удельная потенциальная энергия покоящейся жидкости определяется гидростатическим напором и поэтому во всех точках объёма удельная потенциальная энергия относительно выбранной плоскости сравнения одинакова:

(4.17)

Таким образом, удельная потенциальная энергия складывается из удельной энергии положения относительно плоскости 0-0 (геометрическая высота) и удельной энергии давления (пьезометрическая высота).

Гидростатическое давление зависит от координат точки и является переменной величиной для всей массы жидкости.

Напор относительно плоскости сравнения – величина постоянная и не зависит от координат рассматриваемой точки. В этом заключается отличие гидростатического напора и давления.

 

Пример 4.1. Определить величину избыточного гидростатического давления р_А в точке А под поршнем и р_В в точке В воды на глубине z = 2 м от поршня, если на поршень диаметром d = 200 мм производится давление силой Р = 3000 н.

Решение. Избыточное давление в точке А можно узнать, если силу давления Р разделить на площадь поршня:

Гидростатическое давление в точке А равно 0, так как точка А лежит на поверхности воды. Для того, чтобы найти избыточное давление р_В в точке В нужно к избыточному давлению в точке А прибавить гидростатическое давление столба жидкости z:

¨

 

4.4 Сообщающиеся сосуды

Если взять несколько сосудов различной формы с открытой поверхностью и соединить их в нижней части трубкой, то, наливая воду в один из сосудов, заполненными окажутся все сосуды (рисунок 4.3).

Общим свойством сообщающихся сосудов является то, что если на свободной поверхности всех сосудов давление одинаково и если они заполнены одной и той же жидкостью, то уровни жидкости во всех сосудах будут одинаковы. Если сообщающиеся сосуды заполнены жидкостью с различной плотностью, то высота столба жидкости над линией раздела будет обратно пропорциональна плотности этих жидкостей (рисунок 4.4). Из этого рисунка видно, что давления в этих сообщающихся сосудах одинаковы на линии раздела 0-0, т.е.

Отсюда

                                      (4.18)

На принципе сообщающихся сосудов устроены многие приборы и технические устройства. Например, стеклянная трубка, присоединённая к баку с водой, показывает уровень воды в баке.

 

Пример 4.2. К резервуару, наполненному бензином (r_б = 700 кг/м³) до высоты Ñ2 м, присоединены три различных прибора для измерения давления. К крышке резервуара присоединён пружинный манометр, к боковым стенкам – пьезометр и трёхколенный манометр, наполненный ртутью (r_р = 13600 кг/м³), водой (r_в = 1000 кг/м³) и воздухом (r » 0).

Определить показание М манометра и Н пьезометра, если уровни жидкостей в трехколенном  манометре расположены так, как показано на рисунке.

Решение. Так как система находится в равновесии, то можно составить баланс давлений в резервуаре и коленах манометра. Давление над поверхностью бензина, которое показывает манометр М, плюс давление столба бензина (2 – 1) м в первом колене манометра, плюс давление столба воды (1,6 – 0) м во втором колене, уравновешивается столбом воды (2 – 0,2) м в правой части третьего колена, плюс давление столба ртути (1,8 – 0) м во втором колене, плюс давление столба ртути (1,6 – 1) м в первом колене:

Из этого уравнения баланса давлений находим давление в резервуаре над уровнем бензина, которое показывает манометр М:

В пьезометре высота столба бензина равна давлению в резервуаре над поверхностью бензина плюс глубина бензина в резервуаре:

¨

 

Пример 4.3. Применение для измерения малых избыточных давлений в газах спиртового чашечного микроманометра с наклонной шкалой значительно увеличивает точность измерений.

1. Принимая абсолютную ошибку отсчёта по миллиметровой шкале невооружённым глазом, равной 0,5 мм, определить, под каким углом к горизонту нужно расположить трубку прибора, чтобы при измерении давления в пределах 1-2 кПа погрешность измерений не превышала ±0,2 %. Относительная плотность спирта d = 0,8.

2. Какова максимальная погрешность при измерении того же давления ртутным (d = 13,6) чашечным манометром с вертикальной шкалой?

Диаметры чашек считать настолько большими, чтобы можно было пренебречь поправкой на смещение уровня в них.

Решение. а) Максимальная относительная погрешность измерения, допускаемая условием задачи, равна

Измеряемое давление р = 1000 Па » 100 мм вод. ст. или h = 100/0,8 = 125 мм спиртового ст. Отношение h/l = sina – углу наклона трубки микроманометра

На верхнем пределе заданного давления имеем р₀ = 2000 Па » 200 мм вод. ст.:

т.е. в этом случае для получения требуемой точности можно ограничиться применением обычного U-образного манометра.

б) При измерении того же давления (р₀ = 1000 Па) вертикальным ртутным чашечным манометром согласно уравнению

высота столба ртути должна равняться

При этом относительная погрешность будет равна

¨

 

4.5 Относительное равновесие жидкости

До сих пор мы рассматривали равновесие жидкости под действием объёмной гравитационной силы. Однако на практике часто встречаются случаи, когда на жидкость действуют кроме силы тяжести ещё и силы инерции или центробежные силы.

Рассмотрим равноускоренное движение сосуда, наполненного жидкостью, как неинерциальную систему отсчёта. Относительно системы координат, связанной с движущимся сосудом, жидкость будет находиться в относительном равновесии под действием всех приложенных к ней сил.

Поступательное движение неинерциальной системы отсчёта. В качестве примера можно взять железнодорожную цистерну, заполненную нефтью (рисунок 4.5).

         Выберем систему координат, жёстко связанную с цистерной. Цистерна движется равноускоренно в направлении оси х. Ось z направим вертикально вверх. В системе отсчёта, связанной с цистерной, на каждую частицу жидкости будет действовать сила тяжести –mg, направленная вертикально вниз, и сила инерции –mа, направленная горизонтально в сторону, противоположную ускорению цистерны. Результирующая этих сил F отклонена от вертикали в сторону, обратную ускорению. Свободная поверхность жидкости должна расположиться перпендикулярно равнодействующей силе, действующей на частицы жидкости. Следовательно, свободная поверхность жидкости, находящейся в состоянии равновесия относительно поступательного движения неинерциальной системы отсчёта, будет наклонена к горизонту. Тангенс угла наклона будет равен отношению сил

(4.19)

Сам угол a  равен

(4.20)

Рассмотрим единичную массу жидкости. Силы, действующие на неё равны:

F_х = – а; F_у = 0; F_z = – g. Уравнение Эйлера (4.2) в этом случае примет вид

(4.21)

Интеграл этого уравнения равен

(4.22)

Постоянная С находится из граничных условий: при х = х₀ и z = z₀ давление будет р = р₀. Если начало координат расположить на свободной поверхности жидкости, то х₀ = z₀ = 0. Подставляя эти значения в (4.22), находим С:

Подставляя значение С в (4.21), окончательно получим формулу для нахождения сил давления в любой точке жидкости:

(4.23)

Уравнение поверхности уровня (р = const) принимает вид

(4.24)

Если сосуд с жидкостью движется с ускорением вниз, то силы, действующие на единичную массу жидкости, равны (ось 0z направлена вверх): F_х = F_у = 0; F_z = – (g – а). Тогда уравнение относительного равновесия жидкости принимает вид

(4.25)

Интеграл уравнения (4.25)

.

(4.26)

Постоянная интегрирования находится из условия: при z = z₀ давление в любой точке поверхности жидкости равно р = р₀. Подставляя эти условия в (4.26), получим

И уравнение для определения давления в любой точке жидкости примет вид

(4.27)

Таким образом, если ускорение направлено по вертикально вниз, то вес жидкости уменьшается и соответственно уменьшается давление на дно сосуда. При равенстве ускорений а = g (свободное падение) наступает состояние невесомости, жидкость из сосуда не будет выливаться, тяжёлые предметы в жидкости не будут тонуть, а лёгкие не будут всплывать.

Если ускорение направлено вертикально вверх, то сила, действующая на единицу массы жидкости, будет равна F_z = (g + а). При значительных ускорениях возникают сильные перегрузки. Например, при взлёте ракеты или выводе самолёта из пикирования вес крови в сосудах лётчика увеличивается и если тело пилота расположено вертикально, то это вызывает отток крови от головы, что может привести к потери сознания. Поэтому сиденья лётчика или космонавта располагаются таким образом, чтобы ускорение было направлено от спины к груди, а не от ног к голове.

 

Равномерное вращение цилиндрического сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, который равномерно вращается вокруг вертикальной оси (рисунок 4.6). Система координат жёстко связана с сосудом и вращается вместе с ним. Жидкость будет находиться в равновесии относительно вращающейся системы координат. В этом случае возникает центробежная сила, которая растёт по мере удаления от оси вращения. Следовательно, результирующая силы тяжести и центробежной силы также будет всё больше и больше отклоняться от вертикали. Свободная поверхность жидкости не только будет отклоняться от горизонтали, но также будет искривляться.

Найдём форму свободной поверхности. Прямоугольную систему координат (x, y, z) жёстко свяжем с вращающимся сосудом, поместив начало координат в точку пересечения свободной поверхности с осью сосуда. Угловая скорость вращения сосуда w.

На частицу жидкости с единичной массой действует совокупность сил – сила тяжести и центробежная сила:

В этой формуле v – окружная скорость рассматриваемой частицы. Сила тяжести направлена по вертикали вниз, а центробежная сила направлена горизонтально по радиусу сосуда. Подставляя значения сил F_х, F_у, F_z в уравнение  (4.2), получим

(4.28)

Проделав операцию интегрирования, получим

(4.29)

Так как х² + у² = r², то (4.29) можно переписать в виде

(4.30)

Постоянная С находится из граничных условий на свободной поверхности жидкости: при х = у = z = 0 (или r = 0) давление р¢ = р₀. Тогда С = р₀ и уравнение (4.30) можно записать

(4.31)

Отсюда z равно

(4.32)

На свободной поверхности избыточное давление р = 0, тогда (4.32) примет вид

(4.33)

(4.33) – уравнение параболоида вращения. На вертикальную плоскость, проведённую через ось вращения сосуда, свободная поверхность будет проектироваться как парабола второго порядка.

Давление в произвольной точке М на глубине а под свободной поверхностью (с ординатой z = – а) определяется по уравнению (4.31):

(4.34)

 

Пример 4.4. Поезд идёт по дуге радиусом 1 км со скоростью 72 км/час. Под каким углом к горизонту будет расположена свободная поверхность воды в стакане, стоящем на столике в вагоне?

Решение. Тангенс угла  наклона свободной поверхности воды к горизонту a находится из параллелограмма сил, построенном на рисунке:

  ¨  

Пример 4.5. Сосуд, имеющий форму прямого круглого конуса радиуса а и высотой Н, поставленного на вершину, наполнен до краёв водой и вращается вокруг оси, расположенной вертикально. Определить, с какой угловой скоростью w надо вращать сосуд, чтобы параболоид свободной поверхности воды касался поверхности конуса вдоль окружности основания. Какая часть жидкости при этом выльется?

Решение. Свободная поверхность жидкости, вращающаяся с угловой скоростью w, имеет форму параболоида вращения

                               (П4.5.1)

где . Эта поверхность должна касаться конуса вдоль окружности основания радиуса а.

Для того, чтобы составить условие касания параболоида и конуса, из уравнения параболоида (П4.5.1) находим

Затем дифференцируем по z:

Отсюда находим

(П4.5.2)

Из (П4.5.1) при r = а и z = Н находим

(П4.5.3)

Из (П4.5.2) и (П4.5.3) имеем

(П4.5.4)

откуда следует, что  а из (П4.5.3) находим

(П4.5.5)

         Первоначальный объём жидкости в конусе

(П4.5.6)

Объём параболоида АВС равен объёму вылившейся жидкости

Интегрируя, находим

(П4.5.7)

Имея в виду (П4.5.4), (П4.5.5), из (П4.5.7) окончательно получаем

Таким образом, ¨

        

4.6 Давление жидкости на плоские поверхности

Под уровнем жидкости на стенки сосуда и на поверхность любого тела, погружённого в жидкость, действуют силы гидростатического и внешнего давления. Рассмотрим сначала величину и распределение этих сил, действующих на плоскую поверхность, ориентированную произвольным образом. Пусть плоская стенка произвольной формы наклонена к горизонтальной поверхности жидкости под углом a. Внешнее давление на поверхности жидкости р₀ (рисунок 4.7). Начало координат поместим в точку 0. Ось 0z направим вниз вдоль рассматриваемой плоскости, а ось 0х – вдоль плоскости, перпендикулярной чертежу. Форму стенки можно увидеть без искажений, если плоскость повернуть относительно оси 0z­ на 90⁰, как показано на рисунке.

Во всех точках рассматриваемой площади w давление будет направлено вертикально к стенке. Результирующая сила абсолютного давления Р¢ также будет направлена вертикально к стенке. Возьмём произвольную точку т и выделим около неё элементарную площадку dw. Тогда величина силы полного гидростатического давления, действующая на элементарную площадку dw, будет равна

(4.35)

Полное гидростатическое давление, согласно уравнению (4.9), равно

.

(4.36)

Подставляя в (4.35), получим

Интегрирование этого уравнения по площади w даёт

(4/37)

Интеграл     представляет собой статический момент площади смоченной поверхности w относительно оси 0х. Он равен произведению координаты центра тяжести z_с смоченной поверхности на площадь этой поверхности:

(4.38)

Подставляя в (4.37), получаем

(4.39)

где h_с – заглубление центра тяжести плоской фигуры с площадью w.

Выражение в скобках  – полное гидростатическое давление в центре тяжести смоченной фигуры.

Таким образом, сила полного гидростатического давления на плоскую поверхность конечного размера равна произведению площади смоченной поверхности на полное гидростатическое давление в центре тяжести этой поверхности. Поверхностное давление р₀ передаётся через жидкость и равномерно распределяется по всей рассматриваемой площади.

Если внешнее давление р₀ равно атмосферному р_а, то оно уравновешивается таким же давлением на стенку с внешней стороны и в этом случае достаточно определить силу избыточного давления, а р₀ = р_а принять за ноль избыточного давления. Тогда (4.34) запишется в виде

(4.40)

Сила избыточного гидростатического давления на плоскую поверхность конечных размеров равна произведению площади омываемой поверхности на избыточное давление в центре тяжести этой поверхности.

Определим точку приложения избыточного давления. Эта точка называется центром избыточного давления. Что касается равнодействующей поверхностного давления, то точка её приложения будет совпадать с центром тяжести смоченной поверхности.

Положение центра избыточного давления можно определить из условия равенства суммы моментов составляющих сил избыточного давления, относительно какой-либо оси, моменту равнодействующей силы относительно той же оси. Предположим, что центр избыточного давления расположен в точке с ординатой z_д. Момент равнодействующей силы давления относительно оси 0х равен

(4.41)

Момент составляющих силы давления относительно той же оси определяется соотношением

(4.42)

Здесь  – момент инерции смоченной поверхности относительно оси 0х.

(4.43)

Приравнивая (4.41) и (4.43), получаем

Отсюда

(4.44)

Момент инерции I_х относительно оси 0х можно выразить через момент инерции I_с относительно оси, проходящей через центр тяжести смоченной поверхности:

Подставляя I_х в (4.44), получаем окончательную формулу

(4.45)

         где  – положительная величина, называемая эксцентриситетом.

         Таким образом, центр избыточного давления всегда лежит ниже центра тяжести рассматриваемой смоченной поверхности на величину, равную е.

         Моменты инерции относительно горизонтальной оси, проведённой через центр тяжести, положение центра тяжести и площадь для некоторых плоских фигур правильной геометрической формы приведены в приложении.

 

Пример 4.6. Покоящийся на неподвижном поршне и открытый сверху и снизу сосуд массой т = 16 кг состоит из двух цилиндрических частей, внутренние диаметры которых D = 0,5 м и d = 0,3 м. Определить, какой минимальный объём воды W должен содержаться в верхней части сосуда, чтобы сосуд всплыл над поршнем. Трением сосуда о поршень пренебречь.

Решение. Для того, чтобы сосуд массой т начал подниматься над поршнем, необходимо, чтобы сила гидростатического давления воды на кольцевую площадку сосуда над поршнем по крайней мере должна равняться весу сосуда:

 

где h – высота столба воды в горловине сосуда

             над поршнем;

S – площадь кольцевой поверхности.

Тогда

Объём жидкости равен

¨

 

4.6.1. Эпюры давлений

Для упрощения расчётов и наглядности строят эпюры давлений, которые представляют собой диаграммы распределения давления по смоченной поверхности. На рисунке 4.8 показана эпюра абсолютного гидростатического давления для плоской фигуры АВСD, имеющей форму трапеции, и установленной вертикально в лотке. Давление в жидкости на площадку всегда действует по вертикали, поэтому, проведя нормали к плоскости в точках А, В, С и D смоченной поверхности, отложим на каждой из этих нормалей отрезки, величины которых выражают полное гидростатическое давление в этих точках. На нормалях в точках А и D отложим отрезки АА₁ и DD₁, соответствующие давлению на поверхности р₀, а на нормалях в точках В и С – отрезки ВВ₁ и СС₁, соответствующие давлению р₀ + rgН, где Н – глубина канала. Так как гидростатическое давление изменяется в зависимости от глубины по линейному закону, то через концы полученных отрезков можно провести плоскость А₁В₁С₁D₁, ограничивающую эпюру полного гидростатического давления. Если провести нормаль к произвольной точке т рассматриваемой поверхности, то отрезок тт₁, заканчивающийся на плоскости А₁В₁С₁D₁, даёт величину полного гидростатического давления в этой точке.

Выделим около точки т элементарную площадку dw, к каждой точке границы этой площадки построим нормали и в пределах эпюры давления получим цилиндр, объём которого можно считать равным р¢dw, т.е. элементарной силе полного гидростатического давления на площадку dw.

Если всю эпюру давления разбить на подобные элементарные цилиндры, то сумма их объёмов будет равна объёму всей эпюры и, следовательно, равнодействующей Р' всех сил полного гидростатического давления. Линия действия силы Р' нормальна к плоскости АВСD и проходит через центр тяжести пространственной эпюры. Таким образом, объём эпюры гидростатического давления равен силе гидростатического давления, а центр тяжести пространственной эпюры совпадает с центром давления.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если через прямую А₁D₁ провести плоскость А₁В¢С¢D₁, параллельную смоченной поверхности АВСD, то объём полного гидростатического давления разделится на две части. Объём А₁В¢В₁С₁С¢D₁ будет представлять собой распределение избыточного гидростатического давления, а объём А₁В¢С¢D₁DАВС – распределение внешнего давления.

На рисунке 4.9 показана прямоугольная стенка шириной b. Избыточное давление р в точке А равно нулю, а в точке В – rgН. Давление в каждой точке смоченной поверхности стенки перпендикулярно к ней, следовательно давление в точке В откладывается на нормали. Оно изображается отрезком ВС. Конец отрезка С соединяется с точкой А прямой. Треугольник АВС будет плоской эпюрой избыточного давления, показывающий распределение этого давления по высоте стенки. Распределение давления по всей стенке можно представить пространственной эпюрой в виде прямоугольной призмы шириной b. Каждая ордината этой призмы представляет в некотором масштабе избыточное гидростатическое давление на соответствующую точку стенки, а весь объём  призмы равен суммарному гидростатическому давлению жидкости на стенку.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Равнодействующая сил давления проходит через центр тяжести треугольника АВС, т.е. через точку пересечения медиан, которая лежит на 1/3 высоты от основания треугольника.

Пример 4.7. Подпорная прямоугольная вертикальная стенка шириной b = 200 м сдерживает напор воды высотой Н = 10 м.

Определить силу полного давления на стенку Р и опрокидывающий момент М. Построить эпюру давлений.

Решение. Давление воды в водоёме увеличивается с глубиной по линейному закону р = rgh. Так как стенка в плане прямоугольная (200х10 м³), то эпюра давлений будет представлять собой треугольную призму, а полное давление Р численно равно объёму этой призмы:

 Результирующая сила давления проходит через центр тяжести С треугольника АВD, который расположен на пересечении медиан треугольника – На 1/3Н глубины, считая от дна.

Опрокидывающий момент равен произведению силы Р на плечо h = 1/3Н. Центром опрокидывающего момента является точка 0.

¨

Пример 4.8. Отверстие в боковой вертикальной стенке резервуара, представляющее собой равносторонний треугольник со стороной b = 0,5 м, закрыто крышкой. Определить силу давления воды на крышку, если горизонтальное основание треугольного отверстия расположено на глубине Н = 1,5 м. Определить точку приложения результирующей силы.

Решение. Сила давления на крышку в треугольном отверстии равна гидростатическому давлению в центре тяжести треугольника (точка с), умноженному на площадь треугольника. Гидростатическое давление

Сила давления на крышку

Точка приложения силы находится по формуле (4.45). Момент инерции треугольника относительно оси, проведённой через центр тяжести J_c, находится из таблицы в приложении

Тогда

Заглубление центра тяжести треугольника равно

Эксцентриситет е = z_g – z_с = 1,632 – 1,356 = 0,277 м.  ¨

 

4.7 Давление жидкости на цилиндрические поверхности

На рисунке 4.10 изображена цилиндрическая поверхность, расположенная перпендикулярно плоскости чертежа. Проекция её представлена линией АВ. В проекции на плоскость yz цилиндрическая поверхность будет представлять собой прямоугольник. Выделим на этой поверхности элементарную площадку dw с центром тяжести, погружённым на глубину h под свободной поверхностью. Сила полного гидростатического давления на эту площадку равна

(4.46)

где – полное гидростатическое давление в центре тяжести элементарной площадки. Вертикальная и горизонтальная составляющие этой силы равны, соответственно

(4.47)

где a – угол между вертикалью и линией действия силы dр¢. Знак минус в первом уравнении взят потому что проекция силы dр¢_z направлена противоположно оси 0z. Произведения cosa×dw и sina×dw равны площадям проекций элементарной площадки dw на плоскости х0у и у0z:

(4.48)

Тогда (4.47) запишется в виде

(4.49)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрируя эти уравнения по площадям проекций, получим вертикальную и горизонтальную составляющие силы полного гидростатического давления Р¢ на цилиндрическую поверхность АВ

(4.50)

Первые интегралы в (4.50) равны соответственно площадям проекций цилиндрической поверхности АВ на плоскости х0у и у0z, т.е. w_yx и w_zу. Проведя вертикальные образующие по периметру элементарной площадки dw до координатной плоскости х0у, получим некоторый элементарный объём аbсd, равный ­hdw_ху. Именно этот объём стоит под знаком второго интеграла в первом уравнении (4.50). Следовательно, это уравнение можно переписать в виде

(4.51)

Таким образом, вертикальная составляющая силы полного гидростатического давления Р'_z равна взятой со знаком минус сумме силы внешнего давления р₀, умноженного на горизонтальную проекцию цилиндрической поверхности АВ, и веса воображаемого жидкого тела, которое может быть помещено в объём АВСD­, ограниченный цилиндрической поверхностью АВ, вертикальными плоскостями АD и ВС и продолжением свободной поверхности жидкости. Воображаемая жидкость в объёме АВСD­ называется телом давления. В данном случае тело давления будет отрицательным.

Второй интеграл во втором уравнении (4.50) равен статическому моменту площади проекции цилиндрической поверхности АВ на вертикальную плоскость z0у относительно оси 0у:

(4.52)

где h_с – глубина погружения центра тяжести проекции площадки w_zу.

Тогда второе уравнение (4.50) можно написать в виде

(4.53)

Уравнение (4.53) идентично уравнению (4.29). Следовательно, горизонтальная составляющая силы полного гидростатического давления на цилиндрическую поверхность АВ равна силе абсолютного гидростатического давления жидкости на плоскую вертикальную проекцию цилиндрической стенки АВ.

Геометрическим сложением векторов Р'_х и Р'_z находим результирующий вектор Р'.

На рисунке 4.10б показаны эпюры абсолютного гидростатического давления на цилиндрическую поверхность АВ. Объём АВС₁D₁ является эпюрой вертикальной составляющей абсолютного гидростатического давления на поверхность АВ. Её можно разделить на две части: эпюру АВСD, изображающую избыточное давление жидкости на поверхность АВ, и эпюру DD₁С₁С, которая представляет внешнее давление р₀. Вертикальная составляющая результирующего давления Р'_z, равная объёму эпюры АВС₁D₁, проходит через центр тяжести этого объёма.

Эпюра горизонтальной составляющей абсолютного давления на поверхность АВ строится так же, как и для плоской стенки. Она представлена фигурой М₁КLN₁, тоже состоящей из двух частей: эпюры МКLN избыточного давления жидкости на поверхность АВ и эпюры М₁МNN₁, представляющей внешнее давление р₀.

Горизонтальная составляющая абсолютного давления Р'_х равна объёму эпюры М₁КLN₁ и проходит через центр тяжести этого объёма.

Так как давление на поверхности жидкости в открытых сосудах и руслах равно атмосферному давлению, то для рассматриваемых поверхностей обычно определяют только избыточное гидростатическое давление, так как внешнее давление р_а воздействует на стенку с обеих сторон и уравновешивается. В этом случае вертикальная и горизонтальная составляющие избыточного давления равны

(4.54)

На рисунке 4.11 показан другой тип цилиндрической стенки. В этом случае жидкость находится над рассматриваемой поверхностью. Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, находим, что величина горизонтальной составляющей силы находится точно таким же образом.

Вертикальная составляющего избыточного давления так же будет равна весу жидкости в объёме АВСD. Но в этом случае объём АВСD заполнен реальной жидкостью и направление силы Р_z совпадает с направлением оси 0z:

(4.55)

Вес реальной жидкости в объёме V_АВСD называется положительным телом давления. Если учитывать внешнее давление р₀ на поверхность АВ, то к равенству (4.55) необходимо прибавить произведение внешнего давления на площадь горизонтальной проекции цилиндрической поверхности АВ – р₀w_ху:

(4.56)

 

 

 

 

 

 

 

 

В тех случаях, когда цилиндрическая поверхность имеет такую форму, что на неё действует и положительное и отрицательное тело давления (рисунок 4.12), то вертикальная составляющая силы давления находится для каждого участка поверхности отдельно, затем вектора складываются.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         Пример 4.9. Определить силу гидростатического давления воды на 1 м ширины нижней криволинейной части сооружения, если Н = 1,5 м, r = 0,5 м.

Решение. 1) Горизонтальная составляющаая силы давления воды на криволинейную часть сооружения равна силе давления на вертикальную проекцию этой поверхности.

2) Криволинейная часть сооружения представляет собой отрицательное тело давления, следовательно, вертикальная составляющая силы давления должна быть направлена вверх. Она равна весу жидкости, которой могло бы быть заполнено тело давления 1234.

         Результирующая сила

¨

 

4.8 Закон Архимеда

Закон Архимеда характеризует плавучесть тела, погружённого в жидкость. Возьмём некоторое твёрдое тело АВ, погружённое в жидкость. Выделим в этом теле элементарную площадку dw, параллельную плоскости х0у и построим на этой площадке элементарный цилиндр, торцы которого совпадают с поверхностью тела (рисунок 4.13). На верхний торец действует избыточное гидростатическое давление

(4.57)

а на нижний –

(4.57¢)

Здесь h₁ и h₂ – глубина погружения верхнего и нижнего торца элементарного цилиндра.

Интегрируя (4.57) по верхней поверхности w₁ погружённого тела, а (4.57¢) – по нижней поверхности w₂ и складывая, получим выражение для результирующей силы, действующей на погружённое в жидкость тело:

(4.58)

где V₁ и V₂ – объём цилиндров, имеющих, верхним основанием проекцию тела на координатную плоскость х0у (свободная поверхность жидкости), а в качестве нижнего основания принята верхняя w₁ для V₁, и нижняя w₂ для V₂ поверхности тела. V – объём погружённого тела.

Суммы проекций сил давления на оси 0х и 0у равны нулю.

Уравнение (45.58) показывает, что вертикальная сила Р_v равна весу жидкости в объёме рассматриваемого тела; точкой приложения силы Р_v является центр тяжести D объёма жидкости АВ, которая называется центром давления или центром водоизмещения. В общем случае точка D не совпадает с центром тяжести С самого твёрдого тела, к которой приложен вес тела G.

Из сравнения величин выталкивающей силы Р_v и веса тела G можно выделить три случая.

1)  Р_v < G – тело тонет.

2)  Р_v > G – тело всплывает на поверхность жидкости до тех пор, пока вес жидкости в объёме погружённой части тела не станет равен весу тела

где  – вес жидкости, вытесненной погружённой частью тела.

3)  Р_v = G – тело плавает в погружённом состоянии на любой глубине.

 

Пример 4.10. Бетонная плита весит в воздухе 1230 н, а в воде – 735 н. Определить удельный вес и плотность бетона.

Решение. Вес вытесненной воды при погружении плиты равен

Следовательно объём вытесненной воды, равный объёму плиты

Удельный вес бетона

Плотность

¨

 

Пример 4.11. По окончании погрузки песка объёмом V_п = 1200 м³ осадка баржи увеличилась на h = 1 м. Определить:

а) плотность песка, если площадь плоскости плавания баржи S = 2000 м².

б)  величину осадки баржи, если вместо песка на баржу будет погружено V_и =2000 м³ извести плотностью r_и = 800 кг/м³.

Решение. а) После погрузки песка объём вытесненной воды, равный объёму дополнительного погружения баржи, равен

При этом масса дополнительно вытесненной воды

Масса вытесненной воды равна массе песка. Отсюда можно найти плотность песка:

б) Масса извести, погружённой на баржу, равна

Объём вытесненной воды равен

Разделив объём вытесненной воды на площадь баржи, получаем осадку:

По сравнению с загрузкой песка осадка баржи уменьшилась на

¨

 

 

 

 

Глава 5  ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

 

5.1 Давление в движущейся реальной жидкости

В главе 4 было показано, что давление в любой точке покоящейся жидкости отвечает закону Паскаля, т.е. вектор гидростатического давления везде перпендикулярен рассматриваемой площадке, не зависит от её ориентации, а зависит только от координат точки, к которой приложено давление. Гидростатическое давление является сжимающей силой и отвечает тензору напряжений (2.35). То же самое можно сказать о движении идеальной жидкости, в которой отсутствуют касательные напряжения.

При движении реальной жидкости соседние частицы взаимодействуют между собой и на их границе возникают касательные напряжения, которые считались равными нулю при движении идеальной жидкости. При движении реальной жидкости нормальные компоненты напряжения, действующие на элемент поверхности, зависят от направления нормали к элементу. Вследствие этого в большинстве случаев движущейся жидкости нельзя рассматривать давление как действующее одинаково во всех направлениях. Тем не менее, необходимо иметь некоторую скалярную величину, характеризующую движущуюся жидкость, которая аналогична статическому давлению в том смысле, что является мерой локальной интенсивности сжатия жидкости. Такая величина должна быть инвариантна относительно любой системы координат и в любой ортогональной системе координат должна определяться как среднее арифметическое трёх нормальных напряжений со знаком минус.

Следовательно, обобщая понятие давления, введённое в динамику идеальной жидкости согласно системе равенств р_хх = р_уу = р_zz = – р (2.34), можно принять в качестве простейшего допущения, что в ньютоновской несжимаемой жидкости взятое с обратным знаком среднее арифметическое трёх нормальных напряжений, приложенных к трём взаимно перпендикулярным площадкам в данной точке среды, представляет давление в этой точке:

(5.1)

Такое чисто механическое определение давления не даёт точной связи его с термодинамическим понятием давления. Такое термодинамическое соотношение, как уравнение состояния жидкости, относится к равновесным условиям, в то время как частицы реальной жидкости в относительном движении не находятся в строгом термодинамическом равновесии. Величина (5.1), названная давлением, является реальным параметром движущейся жидкости, и доступна непосредственному измерению, в то время как любая величина, рассчитанная на основании равновесных соотношений, является приближением к реальному параметру движущейся жидкости.

 

 

         5.2 Обобщённый закон Ньютона

В главе 1 было введено понятие вязкости для плоскопараллельного движения, которое является частным случаем более общего пространственного движения вязкой жидкости. Такое пространственное движение выражается линейной зависимостью между тензором напряжения и тензором скоростей деформаций. Эта зависимость носит название обобщённого закона Ньютона. В общем виде обобщенный закон Ньютона записывается в виде

Для изотропной жидкости, физические законы которой одинаковы во всех направлениях, обобщённый закон Ньютона записывается в виде

(5.2)

где р – давление в движущейся жидкости и определённое в (5.1);

      Е – тензорная единица (2.36);

      m – вязкость, определённая для плоскопараллельного потока (1.28);

      – тензор скоростей деформаций (2.15).

Заменяя тензора в (5.2) их явным видом, получим

(5.3)

Равенства (5.2) и (5.3) представляют реологические уравнения ньютоновской несжимаемой вязкой жидкости. Из (5.3) очевидна связь между компонентами напряжения и давления и скоростью деформации частицы жидкости:

 

(5.4)

                  

5.3 Уравнения Навье-Стокса

Движение однородной несжимаемой вязкой жидкости описывается уравнениями Навье-Стокса.

Возьмём уравнение динамики движения жидкости в напряжениях (3.4) совместно с уравнением неразрывности (3.17)

(5.5)

и подставим в них значения напряжений (5.4). По условию изотермичности потока коэффициент динамической вязкости будет постоянен m = const и может быть вынесен за знак производной. Сначала преобразуем сумму производных по координатам в правой части первых трёх уравнений:

(5.6)

         Подставив полученные значения в систему (5.5) и разделив на r, получим систему уравнений Навье-Стокса

(5.7)

или в векторной форме

(5.7¢)

         Полученная система уравнений Навье-Стокса (5.7) выражает равновесие приложенных к каждому элементу жидкости массовых сил, поверхностных сил и сил инерции. К массовым силам относится вес элемента, а к поверхностным силам – силы давления (нормальные силы) и силы трения (касательные силы).

Массовые силы играют роль только в том случае, если жидкость имеет свободную поверхность или плотность в ней распределяется неравномерно, т.е. жидкость по своей структуре неоднородна. В однородной жидкости без свободной поверхности (например, в напорных трубах) вес каждого элемента жидкости уравновешивается гидростатической подъёмной силой.

Уравнения Навье-Стокса составляют основу всей механики жидкости и газа.

Таким образом, (5.7) представляет собой замкнутую нелинейную систему уравнений второго порядка, где неизвестными являются три проекции скорости на оси координат u_х, u_у, u_z и давление р. Заданными постоянными величинами является плотность r и вязкость u. Проекции совокупности объёмных сил F_х, F_у и F_z – заданные функции координат и скоростей.

При решении конкретных задач течения вязкой жидкости для полной физической определённости к уравнениям Навье-Стокса необходимо ставить граничные условия, а если течение нестационарное, то также ставятся и начальные условия.

Основным граничным условием для потока вязкой жидкости на твёрдой поверхности является условие равенства нулю нормальной составляющей скорости вследствие её непроницаемости, а также равенства нулю касательных составляющих скорости вследствие прилипания жидкости к поверхности обтекаемого тела:

на твёрдой поверхности.

При внешнем обтекании тел также задаётся скорость потока вдали от тела, а при течении жидкости в трубе – расход.

В качестве начальных условий в случае нестационарного течения можно задать распределение скоростей в области течения в некоторый начальный момент времени, изменение давления во времени в какой-либо данной точке пространства и др.

 

5.4 Уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости

      При изучении движения идеальной жидкости действует закон сохранения энергии потока, то есть напор в любом сечении струйки тока постоянен:

                                          H_g1 = H_g2.

Для реальной жидкости вследствие вязкого трения при течении жидкости от одного сечения к другому происходит процесс необратимого превращения части механической энергии во внутреннюю энергию (тепловую). Следовательно, вдоль потока при отсутствии подвода тепла или механической энергии извне механическая энергия потока снижается и соответственно увеличивается внутренняя энергия.

Работа сил вязкости, произведенная между двумя сечениями потока и отнесенная к единице массы, веса или объема движущейся жидкости, называется потерями механической энергии или гидравлическими потерями. Если эта работа отнесена к единице веса, то гидравлические потери называются потерями напора h_w.

Вследствие гидравлических потерь напор в предыдущих сечениях всегда будет больше, чем в последующих:

или ,

(5.8)

где h_w – удельные (отнесенное к единице веса) потери напора на преодоление всех сопротивлений.

Уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости напишем для двух сечений:

,

(5.9)

где  – абсолютная величина работы сил сопротивления на пути между соседними сечениями, отнесенная к единице веса        перетекающей жидкости, или удельная работа сил сопротивления;

dA – работа сил сопротивления, направленная против действия         основных сил;

dq – расход элементарной струйки жидкости.

 

 

5.4.1. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли для струйки вязкой жидкости

Так же, как в случае течения невязкой жидкости уравнение Бернулли может быть представлено графически (рисунок 5.1). Потери напора h_w – величина линейная, она представляет собой разность ординат

,

вычисленных для любых двух сечений. Линия полного напора не горизонтальная, каждая последующая её ордината меньше предыдущей на величину, равную потери напора h_w.

Потери напора, отнесенные к единице длины между рассматриваемыми сечениями, называются гидравлическим уклоном.

.

(5.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dl – расстояние между рассматриваемыми сечениями.

Пьезометрический уклон – это отношение

.

(5.11)

Гидравлический уклон всегда отрицательный; пьезометрический уклон может быть как отрицательным, так и положительным.

      5.4.2 Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости

Условием применимости уравнения Бернулли к потоку вязкой жидкости является плавноизменяющееся течение в  рассматриваемых сечениях (нормальные по отношению к вектору скорости составляющие ускорения любой жидкой частицы должны быть пренебрежимо малыми по сравнению с их продольными составляющими), сечения потока должны быть плоскими или круглоцилиндрическими, распределение гидродинамического давления по вертикали подчиняется гидростатическому закону.

Полная механическая энергия потока в выбранном сечении определяется суммой механической энергии всех элементарных струек. Для любой элементарной струйки можно записать

,

(5.12)

где dw – площадь сечения элементарной струйки.

Интегрируя это выражение по всей площади сечения w, получим полную энергию потока в этом сечении

.

(5.13)

Потенциальная энергия потока

,

(5.14)

т.к. при плавно изменяющемся движении сумма постоянна для всех точек сечения,

,

(5.15)

       где Q – расход жидкости.

Потенциальная энергия Е_п, отнесенная к единице массы будет равна  gz + p/r.

Кинетическая энергия потока в рассматриваемом сечении

(5.16)

а отнесенная к единице массы

.

(5.17)

       Средняя скорость потока в данном сечении

.

Кинетическая энергия потока, подсчитанная по средней скорости течения равна

Отнесенная к единице массы жидкости, равна

Отношение действительной удельной кинетической энергии потока к подсчитанной по средней скорости

(5.18)

называется коэффициентом кинетической энергии или коэффициентом Кориолиса. Подсчитывая удельную кинетическую энергию потока по средней скорости течения необходимо вводить коэффициент Кориолиса, учитывающий распределение скорости течения в сечениях потока. Отнеся кинетическую энергию к единице массы, веса или объема жидкости, получим в сечении потока av²/2, av²/2g, rav²/2. Коэффициент Кориолиса меняется в достаточно широких пределах: при равенстве скоростей во всех точках сечения потока a = 1, при параболическом распределении скоростей a = 2.

Таким образом, уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости будет иметь следующий вид, если энергия потока отнесена к единице веса:

,.

(5-19)

Если энергия потока отнесена к единице массы, то

,

(5-20)

и если энергия потока отнесена к единице объема:

,

(5-21)

 

 

 

 

5.5 Уравнение изменения количества движения

      Количеством движения какой-либо частицы называется произведение её массы на скорость перемещения ти. Это определение справедливо для твёрдых тел и исследуемых объёмов жидкости.

Теорема об изменении количества движения ставит в соответствие разность количества движения, которое претерпевает тело за некоторый промежуток времени dt, и импульс всех сил, действующих на тело за тот же промежуток времени

(5.22)

Применим эту теорему к участку между сечениями 1-1 и 2-2 установившегося потока жидкости с расходом Q (рисунок 5.2). За время dt участок между сечениями 1-1 и 2-2 переместится в положение, отмеченное сечениями 1¢-1¢ и 2¢-2¢.

Распределение скорости в контрольных сечениях может оказаться неравномерным. Через элементарную площадку dw поверхности в единицу времени переносится количество движения, равное

Суммарное количество движения равно . Средняя скорость в контрольном сечении . Количество движения, подсчитанное по средней скорости, равно rv²­w.

      Отношение количества движения, действительно переносимого потоком, к количеству движения, определенного по средней скорости течения, a₀ называется коэффициентом Буссинеска:

(5-23)

Для турбулентных потоков значение коэффициентов Буссинеска лежит в пределах a₀ =1,03¸1,05.

Учитывая неравномерность скоростей в сечении, изменение количества движения можно написать в виде

(5.24)

       где Q – объемный расход жидкости;

                a₀₁ и a₀₂ – коэффициенты Буссинеска в сечениях 1-1 и 2-2.

Рассмотрим проекции сил на координатную ось х. Сила тяжести объёма жидкости между сечениями 1-1 и 2-2 равна . Проекция импульса силы тяжести на ось х

(5.25)

Разность импульса сил, действующих на торцы сечений 1-1 и 2-2 в проекции на ось х равна

(5.26)

Сила внешнего трения, действующая на внутренние стороны боковых стенок , где ds – элементарная площадка на боковой поверхности между сечениями 1-1 и 2-2; t₀ – коэффициент внешнего трения. Импульс сил внешнего трения в проекции на ось х равен

(5.27)

Сила реакции R боковых стенок, ограничивающих рассматриваемый объём жидкости, равна  Импульс сил реакции стенок в проекции на ось х равен

(5.28)

Подставляя в (5.22) полученные значения изменения количества движения (5.24) и проекции импульсов сил (5.25)-(5.28) на ось х и сокращая на dt, получим уравнение количества движения или уравнение импульсов

(5.29)

 

Пример 5.1. На гладкой горизонтальной площадке расположен трубопровод постоянного диаметра, имеющий колено с углом отклонения a = 30⁰. Пренебрегая силами трения, определить полную силу R, действующую на стенки колена, если диаметр трубы d = 500 мм, расход жидкости Q = 400 л/с, давление в трубе 2 МПа.

Решение. Полная сила R, действующая на стенки трубы, будет равна силе статического давления (рисунок а), действующего на колено трубы, и силе, обусловленной количеством движения (рисунок б).

В уравнении (5.29) по условиям задачи пренебрегаем трением, весом (проекция силы веса жидкости на горизонтальную ось равна нулю) и разностью давлений, т.к. они одинаковы в сечениях 1-1 и 2-2. Тогда уравнение изменения количества движения будет иметь вид

Скорость воды находится из

Представим уравнение для R_д в виде параллелограмма скоростей, как показано на рисунке б). Так как треугольник АОВ равнобедренный, то

Давление жидкости внутри трубы, действуя на сечения 1-1 и 2-2, создаёт гидростатическое давление Р₁ и Р₂, которые уравновешиваются силой реакции стенок колена R_с. Поскольку

то из равнобедренного треугольника ОА₁В₁ следует

         Суммы R_д и R_с направлены по одной прямой в одну сторону и поэтому суммарная реакция колена

¨

 

5.6 Закон подобия для потоков вязкой несжимаемой жидкости

Ввиду большой сложности до сих пор не получены точные решения уравнений Навье-Стокса в общем виде. Были найдены решения задач, связанных с течением жидкости с очень большой и очень малой вязкостью, однако при этом делался ещё целый ряд допущений. Результаты, полученные при решении таких задач, ни в коей мере нельзя интерпретировать на реальные течения. Кроме того, для практики наиболее интересны течения жидкости со средними значениями вязкости.

Эти обстоятельства заставляют обращаться к экспериментальным исследованиям, которые сами по себе являются весьма трудоёмкими. Практически все объекты современной техники, взаимодействующие с потоками реальной жидкости, в процессе проектирования требуют знания условий обтекания их потоком жидкости и возникающих при этом нагрузок, сил и моментов на отдельные узлы и весь объект в целом. Например, при проектировании высокой дымовой трубы электростанции необходимо уже в проекте заложить ту прочность, которая бы обеспечивала устойчивость и работоспособность трубы при максимальной ветровой нагрузке, возможной в данном регионе. При проектировании турбины гидроэлектростанции, рабочее колесо которой может иметь в диаметре несколько метров, профиль лопаток рассчитывают так, чтобы получить максимальный кпд турбины. При этом необходимо точно знать всю картину обтекания потоком рабочих лопаток. Можно привести ещё много других примеров.

Для получения необходимых знаний взаимодействия потока жидкости с обтекаемым телом используют принцип моделирования. Экспериментальные исследования проводятся не на объектах натуральной величины, а исследуется обтекание геометрически подобных небольших моделей, помещённых в искусственно созданный поток жидкости или газа.

Рассмотрим обтекание двух геометрически подобных, но разных по размерам тел, например, двух шаров. Пусть в обоих потоках скорость, плотность и вязкость будут разными. Необходимо выяснить, при каких условиях оба эти течения с геометрически подобными границами будут динамически подобными, т.е. в обоих потоках должны быть и геометрически подобные картины линий тока. Очевидно, что оба течения будут динамически подобными, если при надлежащем выборе единиц длины, времени и силы уравнения Навье-Стокса (5.7), написанные для одного потока, будут тождественно совпадать с такими же уравнениями, написанными для другого потока. Для удовлетворения этого требования наиболее простая запись уравнений Навье-Стокса будет в том случае, если все величины, входящие в это уравнение, будут записаны в безразмерном виде. Для этого нужно выбрать определённые масштабы для всех переменных, входящих в уравнение. Разделив переменную величину на этот масштаб, получаем безразмерные величины, которые обозначим той же буквой, что и размерную, но со штрихом.

Масштабом для проекций скоростей на координатные оси возьмём некоторую характерную скорость U, например, скорость на достаточно большом удалении от обтекаемого тела или скорость верхней пластины в течении Куэтта (рисунок 1.1). В качестве характерного размера можно взять диаметр обтекаемого шара, длину хорды обтекаемого профиля лопатки турбины или внутренний диаметр трубы при исследовании течения жидкости или газа внутри трубы, l. За характерное время примем отношение характерного размера обтекаемого тела к характерной скорости l/U, и, наконец, за характерное давление можно принять скоростной напор rU². За характерный масштаб объёмных сил принимаем ускорение свободного падения g. Тогда все безразмерные величины можно записать следующим образом

(5.30)

Тогда размерные переменные, стоящие в уравнениях Навье-Стокса, примут следующий вид

(5.31)

Подставим эти равенства в уравнения Навье-Стокса (5.7), вынося постоянные характерные масштабы за знак производной

	(5.32)

Разделим эти уравнения на rU²/l. Тогда коэффициент перед скобкой в правой части уравнений будет равен

а коэффициент, стоящий перед проекцией массовой силы примет вид

         Таким образом, окончательно получаем систему уравнений, к которой добавляем уравнение неразрывности

	(5.33)

Уравнение неразрывности после всех этих преобразований осталось по своей форме неизменным.

Уравнения (5.33) представляют собой безразмерные уравнения Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости. К этим уравнениям присоединяются соответствующие рассматриваемому процессу безразмерные начальные и граничные условия.

Переход к безразмерным переменным имеет очень важное значение для решения практических задач. Действительно, после того, как получено решение задачи для частного случая потока и выражено в безразмерном виде, из него, выбирая параметры r, l, U и m при неизменных числах Rе и Fr, можно получить три бесконечных семейства решений. Все течения, которые удовлетворяют одним и тем же начальным и граничным условиям в безразмерной форме и для которых соответствующие значения параметров r, l, U и m отличаются друг от друга без изменения величины их комбинации rlU/m и U²/(lg), описываются одним и тем же безразмерным решением. Все такие течения динамически подобны.

Принцип динамического подобия применяется для получения информации относительно некоторого неизвестного поля течения по результатам экспериментов, проведённых на геометрически подобных моделях в лабораторных условиях. Таким образом делаются в аэродинамической трубе продувки моделей самолётов, автомобилей, различных инженерных сооружений. В лабораторных условиях строятся характеристики моделей гидротурбин, изучается разрушение гидротехнических сооружений, определяется устойчивость автомобиля при большой скорости. Полученные экспериментальные данные приводятся к безразмерной форме, а затем пересчитываются для натурного объекта.

 В полученные уравнения входят два безразмерных параметра – число Рейнольдса Rе и число Фруда Fr:

(5.34)

Таким образом, для вязкой несжимаемой жидкости, находящейся под действием сил тяжести, два течения, обладающие одинаковыми числами Rе и Fr, являются подобными. При этом надо иметь в виду, что при рассмотрении любых подобных течений около или внутри геометрически подобных тел, они должны быть одинаково ориентированы относительно потока.

При отсутствии массовых сил условия моделирования упрощаются и два течения будут подобны, если числа Рейнольдса в обоих потоках одинаковы. Аэродинамические силы, действующие со стороны потока на данное тело, будут в этом случае зависеть от числа Рейнольдса и положения тела относительно потока.

Число Рейнольдса характеризует соотношение между инерционными силами и силами вязкости, отнесёнными к характерному размеру. Так, при течении в длинных цилиндрических трубах обычно за характерный размер принимают внутренний диаметр трубы l = d, а за характерную скорость – среднерасходную скорость потока в трубе U = v. При внешнем обтекании тел за характерную длину принимают длину хорды профиля или его поперечный размер, а за характерную скорость – скорость невозмущённого потока, набегающего на обтекаемое тело.

При малых числах Рейнольдса, соответствующих малым скоростям движения жидкости, увеличивается роль сил вязкости. В этом случае при моделировании необходимо в расчёт вводить безразмерное число Ньютона

(5.35)

которое характеризует подобие в рассматриваемом случае и указывает, что в идеальной несжимаемой жидкости силы, действующие на тело со стороны жидкости, пропорциональны квадрату скорости (квадратичный закон). Здесь Р₁ и Р₂ – потеря напора для внутренних течений или сопротивление модели и натуры при внешнем обтекании. Этот закон выполняется с большой точностью при приближении жидкости к идеальной.

При больших числах Rе (большие скорости или размеры тела) влияние вязкости становится менее существенным, но начинает проявляться сжимаемость газа и силы упругости становятся соизмеримыми с силами инерции и трения, что меняет физическую картину течения в окрестностях тела. В этих случаях возникает необходимость кроме числа Rе поддерживать при моделировании такую же относительную скорость, выражаемую числом Маха

(5.36)

т.е. отношение скорости потока к скорости звука в среде.  Скорость звука равна

(5.37)

где k – показатель адиабаты;

       R – газовая постоянная, дж/(кг×град);

       Т – абсолютная температура, ⁰К.

Число Фруда характеризует соотношение между инерционными силами и силами тяжести, действующими на элементарный объём жидкости или газа. Условием подобия является равенство числа Фруда для модели и натурного объекта. Оно обычно используется для изучения взаимодействия обтекаемого тела и потока жидкости, имеющую свободную поверхность, т.е. в тех случаях, где нельзя пренебречь силами тяжести, например, при моделировании движения корабля по поверхности воды, течении в открытых руслах, испытаниях модели гидротехнических сооружений. При истечении жидкости через большие отверстия на коэффициент расхода влияет величина числа Фруда. Для однородного потока, не имеющего свободной поверхности, члены, содержащие объёмную силу F, в уравнениях (5.33) опускаются.

Уравнения (5.33), содержащие в виде коэффициентов числа Re и Fr, описывают изотермические течения, в которых отсутствует тепломассообмен, и нет возмущающих факторов. На самом деле при обтекании тел или движении жидкости в трубах обязательно происходит теплообмен между потоком и обтекаемым телом. Например, движущаяся в трубах горячая вода отдаёт своё тепло через стенку в окружающее пространство, при этом горячая труба не просто обтекается снаружи другой жидкостью или воздухом, а отдаёт своё тепло. При этом на основной внешний поток накладывается конвективное движение.

При высоких скоростях за счёт трения происходит нагрев обтекаемой поверхности, что сильно влияет на общую картину течения. Кроме того, при взаимодействии потока и твёрдого тела может происходить и массообмен – поверхность тела может испаряться или на ней могут отлагаться компоненты обтекающей среды.

При моделировании реальных процессов учесть все факторы невозможно, поэтому из всей совокупности явлений нужно выделить наиболее существенные и моделирование осуществлять по этим факторам. Для такого моделирования кроме чисел Rе и Fr используются другие безразмерные критерии и масштабы. К таким критериям, используемым при аэродинамическом и гидравлическом моделировании, относятся, например, число Эйлера и число Струхаля.

Число Эйлера Eu характеризует отношение нормальных поверхностных сил давления к силам инерции и равно отношению перепада давления в двух точках потока к скоростному напору.

В большинстве задач гидродинамики (внешнее обтекание тел, движение жидкостей и газа в трубах и др.) величины давления и скорости в любой точке потока однозначно определяются числом Рейнольдса. Следовательно, число Eu в этих случаях не является критерием подобия и его значение полностью зависит от других чисел подобия. Например, при движении жидкости в трубах число Eu представляет собой безразмерную величину сопротивления и зависит лишь от числа Re

(5.38)

В некоторых задачах величина перепада задана и не связана однозначно с величиной скоростного напора в любой точке потока. В таких потоках число Eu не зависит от других чисел и является критерием, соблюдение которого обязательно. Примером потока, при моделировании которого числа Eu должны быть строго одинаковы, является поток в проточной части любой турбомашины.

Число Струхаля

(5.39)

характеризует составляющие инерционных сил, зависящих от времени. При этом может быть два случая: 1) когда нестационарность движения задаётся граничными условиями (винт, колесо турбины); 2) когда нестационарность может являться следствием стационарного обтекания какого-либо тела. В первом случае число Sh полностью определяется заданными условиями. Так, при исследовании работы винтов за характерное время принимается время одного оборота, за характерный линейный размер – диаметр винта, тогда число Sh определяет величину, называемую относительной поступью,

Для судовых винтов l лежит в пределах 0,03-3.

Во втором случае число Sh является зависимым критерием подобия, т.е. число Sh есть функция числа Re, так как при стационарном обтекании цилиндра с его поверхности периодически отрываются вихри, частота которых заранее неизвестна и определяется режимом обтекания, т.е. числом Re.

При истечении жидкости малой вязкости из отверстий малого диаметра и при малых напорах заметное влияние начинает оказывать поверхностное натяжение. При моделировании таких течений необходимо соблюдать равенство для натуры и модели числа Вебера

(5.39)

Здесь Н – напор, м; d – диаметр отверстия, м; s – коэффициент поверхностного натяжения, н/м.

Осуществление подобия по всем критериям  при моделировании практически не представляется возможным. Если для натуры и модели взять одну и ту же среду при одинаковых температурах и давлениях, то из соотношений Rе, Fr и М следует, что r₁ = r₂, v₁ = v₂, g₁ = g₂, U₁ = U₂, l₁ = l₂, т.е. воспроизвести два подобных течения одной и той же среды для двух моделей разных размеров невозможно. Если в эксперименте применять другую жидкость или газ, то подобие процессов осуществить принципиально возможно, но практически очень трудно изменить значение u и а таким образом, чтобы они удовлетворяли условиям подобия. По этой причине при моделировании в большинстве случаев удаётся обеспечить лишь частичное подобие, но это необходимо делать по тем критериям, которые преобладающим образом влияют на исследуемый процесс.

 

Пример 5.2. Сопротивление участка водопроводной трубы с арматурой необходимо перед установкой проверить в лаборатории путём испытаний на воздухе.

а) Определить, с какой скоростью v_м следует вести продувку, сохраняя вязкостное подобие, если скорость воды в трубе v_в = 2,5 м/с.

б) Какова будет потеря напора h_в при указанной скорости, если при испытании на воздухе потери давления Dр_м = 8,35 кПа. Кинематическая вязкость воздуха u_м = 0,156×10^–4 м²/с, воды u_в = 1×10^–6  м²/с, плотность воздуха r_м = 1,166 кг/м³, воды r_в = 998 кг/м³.

Решение. В данном случае при моделировании необходимо сохранить равенство чисел Рейнольдса для работы трубы на воде и в модельных испытаниях:

Отсюда находим скорость воздуха, необходимую для соблюдения вязкостного подобия

Для вычисления потери напора нужно воспользоваться критерием Ньютона (5.35)

Из этого критерия находим ожидаемую потерю напора в трубе при течении воды

¨

 

Пример 5.3. Требуется определить аэродинамическое сопротивление автомобиля, высота которого h_а = 1.5 м путём продувки его в аэродинамической трубе.

а) Каков должен быть размер модели h_м для соблюдения подобия, если максимальная скорость движения автомобиля равна v_а = 108 км/час, а скорость продувки ограничена величиной v_м = 45 м/с?

б) Какую силу лобового сопротивления Р_а будет испытывать автомобиль при максимальной скорости движения, если для модели при максимальной скорости продувки эта сила Р_м = 1500 н.

Решение. Так как модель автомобиля продувается воздухом той же температуры, что и при натурных испытаниях, то плотность и вязкость в обоих случаях равны.

При продувке модели необходимо равенство чисел Рейнольдса для натуры и модели

Таким образом, высота модели должна равняться 1 м.

Для вычисления лобового сопротивления автомобиля необходимо воспользоваться критерием Ньютона

Лобовое сопротивление автомобиля и модели при данных условиях испытания одинаково.    ¨

 

5.7 Аэродинамические трубы

Аэродинамические исследования взаимодействия объекта и движущейся среды можно проводить двумя методами: движением модели в неподвижной среде (прямая задача) или движением среды относительно неподвижной модели (обращённая задача).

Многие задачи механики жидкости и газа связаны с изучением движения тел относительно неподвижного воздуха или воды. Однако при экспериментальных исследованиях задачу можно обратить и исследовать движение среды около неподвижного тела. Результаты таких исследований при тщательном соблюдении условий обращения движения дают полное совпадение законов обтекания тел при прямом и обращённом движении.

Прямые натурные исследования позволяют в опытах выдерживать полное динамическое подобие, но при этом обладают существенными недостатками: невозможность исследования многочисленных вариантов исследуемого объекта, невозможность выявления взаимного влияния отдельных его элементов, часто невозможность проведения ряда испытаний в одинаковых условиях работы объекта. Поэтому натурные испытания дополняются испытаниями модели в аэродинамических трубах с тщательным соблюдением точного обращения потока и равенства значимых критериев подобия.

Аэродинамические трубы представляют собой устройство, позволяющее получить в его рабочей части, где располагается исследуемая модель, равномерный прямолинейный установившийся поток воздуха определённой скорости. Размеры и конструкции труб весьма разнообразны и зависят от задач, которые должны решаться с их помощью. Существуют трубы с сечением рабочей части в несколько квадратных сантиметров, но, с другой стороны, есть трубы, которые позволяют размещать в рабочей части и испытывать современный самолёт в натуральную величину. Мощности таких гигантских труб достигают до десятков мегаватт.

На рисунке 5.3 показана простейшая аэродинамическая труба прямого действия (незамкнутая) с закрытой рабочей частью. Воздух из неподвижного пространства засасывается вентилятором, установленным в конце трубы. Сначала воздух попадает в коллектор, проходное сечение которого в направлении потока уменьшается, вследствие чего скорость потока увеличивается. Достигнув наибольшей скорости в самом узком сечении коллектора, воздух попадает в рабочую часть, поперечное сечение которой постоянно. В рабочей части устанавливается испытуемое тело, которое омывается равномерным потоком воздуха постоянной скорости. За рабочей частью находится диффузор, позволяющий плавно снизить скорость воздуха. В конце диффузора установлен вентилятор с мотором. Изменение скорости в трубе достигается изменением числа оборотов вентилятора.

На рисунке 5.4 показана замкнутая аэродинамическая труба, особенность которой состоит в том, что постепенно расширяющийся диффузор непосредственно переходит в коллектор и воздух в трубе всё время циркулирует по замкнутому контуру. Рабочий участок в такой трубе открытый. Основным элементом является сопло, диффузор, вентиляторная установка, колена с поворотными лопатками, обратный канал, форкамера с выпрямляющим поток устройством и рабочий участок.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для всех типов, размеров и конструкций аэродинамических труб основные принципиальные характеристики являются общими. Одно из главных требований к трубе – получение качественного потока. Это обеспечивается геометрической формой внутреннего контура стенок и различных устройств для сглаживания потока: поворотных механизмов в коленах и сглаживающей решетки перед выходным конфузором. В рабочей части трубы должно быть достаточно большое ядро потока с постоянной скоростью в сечении и вдоль потока, куда может быть помещена испытуемая модель. Кроме того, вдоль потока в рабочей части должен отсутствовать градиент статического давления. Существенным требованием является отсутствие пульсаций скорости в потоке.

При соблюдении этих требований модельные испытания могут дать достаточно хороший результат, близкий к натурным испытаниям.

 

Глава 6. РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ

 

В главе 1 было рассмотрено течение Куэтто между двумя пластинами (рисунок 1.1). Нижняя пластина неподвижна, верхняя движется с постоянной скоростью U. За счёт прилипания жидких частиц к твёрдым поверхностям пластин скорость потока на нижней пластине будет равняться нулю, на верхней – U, скорости движения верхней пластины. За счёт трения, возникающего между слоями жидкости, скорость в жидкости будет нарастать от 0 до U, подчиняясь линейному закону (1.27). Слои жидкости в этом случае как бы скользят один по другому.

Если рассматривать течение в круглой трубе, то там будет наблюдаться сходная картина. На стенках трубы наблюдается прилипание частиц и скорость жидкости равна нулю. По мере удаления от стенок скорость нарастает и достигает максимума на оси трубы. Слои жидкости в данном случае будут не плоскими, а образуют концентрические цилиндры, которые скользят один по другому таким образом, что скорость везде имеет осевое направление. Распределение скоростей в этом случае подчиняется параболическому закону (рисунок 6.1).

Приведённые в этих примерах течения, имеющие слоистый характер, называются ламинарными течениями. Ламинарные течения вязкой жидкости описываются уравнениями Навье-Стокса, и они характеризуются тем, что наличие любого случайного малого возмущения очень мало изменяет характер рассматриваемого движения. Такие течения также называются устойчивыми. В реальных течениях может наблюдаться явление, когда малые возмущения изменяют характер движения. Такие течения называются неустойчивыми.

Опыт показывает, что в действительности наблюдаются только те из решений уравнения Стокса, которые являются устойчивыми по отношению к малым возмущениям.

В устойчивых движениях введенные в поток малые возмущения не развиваются с течением времени, а, наоборот, затухают, не влияя на происходящие в жидкости процессы.

В противоположность этому в неустойчивых движениях малые вначале возмущения растут, существенно изменяя характер начального движения и способствуя его переходу либо к новому устойчивому движению, если такое имеется среди возможных решений уравнений Стокса, либо к некоторому хаотическому, образованному нерегулярно движущимися и взаимодействующими между собой жидкими массами. Процессы возникновения и развития такого рода движений, так же как и их разрушения, носят случайный характер и не поддаются теоретическому анализу, требуя своего рода статистических подходов. Эта форма движения вязкой жидкости, широко распространенная в природе и технических устройствах, носит название турбулентного движения. Это движение воздуха в атмосфере, течение воды в морях, реках и каналах, в водопроводных трубах, в газопроводах, турбинах, насосах и компрессорах.

Первыми научными наблюдениями турбулентного движения были опыты английского физика О. Рейнольдса (1883 год), в которых он изучал движение воды в круглой цилиндрической трубе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Установка Рейнольдса (рисунок 6.2) состоит из сосуда 1, наполненного водой. От этого сосуда отходит гладкая прозрачная трубка 2 с плавным входом. Трубка имеет достаточно большую длину и на её конце расположен вентиль 3 для регулировки расхода воды, а, следовательно, и её скорости v = Q/w. Над сосудом 1 расположен бачок с краской 4, из которого краска при помощи тонкой трубки 5 подводится к входному сечению трубки 2. Подача краски регулируется вентилем 6.

В результате опытов было установлено, что при скоростях v, меньших некоторой критической скорости v_к, краска, попадающая в трубку 2, двигается прямолинейно, не перемешиваясь с другими слоями воды (рисунок 6.2 а). На рисунках а-г показан только небольшой фрагмент трубы А установки Рейнольдса. При постепенном увеличении расхода воды движение струйки краски становится волнообразным (б), затем появляются отдельные завихрения (в) и когда скорость воды в трубе 2 становится больше критического значения v > v_к, струйка краски полностью размывается, перемешивается с водой, а течение воды становится хаотическим (г). В этом случае жидкость, имея в целом поступательный характер, движется хаотически; отдельные её частицы перемещаются по случайным траекториям. При этом движении траектории частиц, проходящие в разные моменты времени через какую-либо неподвижную элементарную площадку, имеют разный вид, а движение самих частиц может проходить в поперечном и обратном направлении при общем поступательном движении вперёд.

На рисунке 6.2 а показан ламинарный режим движения жидкости, б, в – переходные режимы, г – турбулентный режим.

Рейнольдс на своей установке провёл множество опытов. Он менял скорость потока, брал трубки различных диаметров и опять менял скорость потока. При этом критическая скорость, полученная для трубки одного диаметра v'_к, не равнялась критической скорости, полученной для трубки другого диаметра: v'_к ¹ v"_к. Кроме того, Рейнольдс менял вязкость жидкости, изменяя её температуру, или брал жидкость с другой вязкостью. В результате он пришёл к выводу, что режим течения любой жидкости зависит от комплексной величины, связывающей скорость жидкости, характерный диаметр тела, с которым она взаимодействует, и вязкость:

.

(6.1)

Это тот же самый параметр, который был определён ранее при выводе безразмерных уравнений Навье-Стокса (5.31), (5.32). Там он являлся параметром, связывающим натурный и модельный потоки; в данном случае критерий Re является показателем характера потока и мерой его турбулентности.

Всё сказанное о характере течения капельной жидкости в той же мере относится и к газам.

При движении жидкости в трубах ламинарный характер течения будет устойчивым при значениях числа Re до 2000. При увеличении чисел Re до 3000 линии тока начинают искажаться, малые возмущения не затухают, и при числах Re более 3000 поток становится турбулентным. Ставились многочисленные опыты, в которых за счёт создания искусственных условий удавалось затянуть ламинарный характер движения до больших значений числа Re (вплоть до Re = 40000), но при малейшем возмущении ламинарный режим течения мгновенно переходил в турбулентный. С другой стороны, при значениях числа Re < 2000 никакое, даже сильное внешнее возмущение, не могло вывести поток из ламинарного состояния. Любое возмущение быстро затухало.

При практических расчётах движения жидкости за критическое число принято считать Re = 2300. Ниже этого числа поток считается ламинарным, выше – турбулентным. В открытых руслах критическое число Re = 200¸300.

На величину критического числа очень влияет отклонение трубы от цилиндричности, т.е. диффузорность или конфузорность.

Шероховатость стенок трубы не влияет на величину критического числа Re, так как нижнее число Re связано с устойчивостью потока, а не с наличием или отсутствием возмущений в нем.

 

Пример 6.1. Определить наибольшую величину диаметра трубы d, при котором на достаточном удалении от входа будет иметь место ламинарное течение, если расход керосина Q = 0,002 м³/с, кинематическая вязкость u = 5×10^–6 м²/с. Найти также скорость течения керосина.

Решение. Максимальный диаметр трубы, при котором сохраняется ламинарное течение, можно найти через критическое число Рейнольдса

Скорость потока выражается через расход

Подставляя выражение скорости в число Rе_кр, получаем

Отсюда

Скорость при этом будет равна

¨

Пример 6.2. По трубе диаметром d = 50 мм движется вода. Определить: а) расход, при котором турбулентный режим движения сменится на ламинарный, если температура воды t­ = 15⁰С;

б) режим движения при расходе Q =110 см³/с и температуре t­ = 5⁰С.

Решение. Из таблицы 7 в приложении находим u₅ = 1,518×10^–6 м²/с, u₁₅ = 1,139×10^–6 м²/с. Изменение режима течения можно найти по критическому числу Рейнольдса Rе_кр.

а) Выражая скорость через расход и подставляя в число Rе_кр (пример 6.1), находим расход:

б) При данных условиях число Rе равно

Течение ламинарное.  ¨

 

Пример 6.3. По конической сходящейся трубе движется вода, температура которой t­ = 15⁰С, с постоянным расходом Q. Определить:

а) может ли произойти смена режима движения воды в трубе, если в начальном сечении режим ламинарный?

б) в сечении с каким диаметром будет наблюдаться смена режима движения, если расход Q = 207 см³/с?

Решение. В конической трубе при сужении скорость будет увеличиваться обратно пропорционально уменьшению квадрату диаметра (пример 6.1), следовательно, число Рейнольдса будет увеличиваться обратно пропорционально уменьшению диаметра

В какой-то момент число Rе достигнет критической величины и произойдёт смена режима. Смена режима произойдёт в сечении с диаметром

¨

 

6.1 Мгновенная скорость

         Структуру турбулентного потока можно представить следующим образом. Выделим в потоке некоторый объём Q и проведём сечение 1-1, плоскость которого перпендикулярна направлению перемещения жидкости (рисунок 6.3). При турбулентном движении некоторые, случайным образом выделенные объёмы жидкости ­a, b, c разной величины и формы, приходят в беспорядочное неустановившееся вращение, причём эти объёмы могут распадаться на более мелкие и изменяться по течению. В своём поступательном движении они пересекают сечение 1-1. Зафиксируем на этом сечении произвольную точку А. Через эту точку будут проходить частицы жидкости, имеющие поступательное и вращательное движение относительно перемещающихся центров О. По этой причине скорость в точке А будет всё время изменяться как по величине, так и по направлению.

Рассмотрим две частицы – М₁ и М₂, которые попадают в точку А в разные моменты времени. Частица М₁, двигаясь по некоторой траектории, попадает в точку А в момент времени t₁ со скоростью u'_A. Частица М₂, двигаясь по другой траектории, попадает в точку А в момент времени t₂ со скоростью u"_А, причём скорость u"_А отличается от скорости u'_А. В другой точке В пространства будет наблюдаться аналогичная картина.

Действительная скорость u движущейся жидкой частицы в данный момент времени в данной точке пространства называется мгновенной скоростью. Мгновенная скорость в данной точке пространства изменяется во времени как по величине, так и по направлению.

Пульсации мгновенной скорости. Рассмотрим некоторое поперечное сечение 1-1, выделим на нём точку О и из точки О проведём координатные оси х и у (рисунок 6.4). х проходит перпендикулярно сечению, у – по касательной. Выделим вокруг точки О элементарную площадку dw. Проекции вектора скорости u на оси координат представляют продольную и поперечную составляющие мгновенной скорости.

Продольная составляющая всегда будет иметь постоянное направление, а величина её будет изменяться во времени. Изменение продольной составляющей скорости и_х в данной точке пространства О во времени показано на рисунке 6.5 а. Из графика видно, что колебания скорости происходят относительно некоторой постоянной величины и_х, представляющей осреднённую продольную скорость.

Поперечная составляющая мгновенной скорости может изменяться как по величине, так и по направлению оси у. График изменения поперечной составляющей во времени показан на рисунке 6.5 б. Изменение скорости происходят относительно оси Оу, т.е. эта скорость не имеет какого-либо преимущественного постоянного направления.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Действительная мгновенная скорость потока в данной точке представляется состоящей из двух скоростей: осреднённой по времени скорости и отклонения действительной скорости от осреднённой, которое называется пульсационной скоростью. На рисунке 6.5 показаны проекции пульсаций продольной и поперечной составляющей мгновенной скорости на оси Ох и Оу.

Явление пульсации можно наблюдать при измерении давления в турбулентном потоке жидкостным U-образным манометром. Столб жидкости в каждом колене будет непрерывно колебаться.

Осреднение скорости. Для количественного описания развитого турбулентного движения Рейнольдс предложил следующий метод. Проекции мгновенной скорости на оси координат представляются в виде суммы проекций осреднённой скорости и пульсационной составляющей. Мгновенное давление также представляются в виде суммы осреднённого во времени давления и пульсационной составляющей:

(6.2)

где u_x, u_y, u_z – проекции мгновенной скорости на оси координат;

      – осреднённые по времени проекции скоростей;

      – проекции пульсационных составляющих скорости.

Примем следующие допущения: в развитом турбулентном потоке пульсации малы по сравнению со средними скоростями потока; величины осреднённых скоростей слабо зависят от способа осреднения.

Осредненное значение скорости определяется как интеграл по достаточно большому промежутку времени от действительного значения скорости

,

(6.3)

где промежуток t₀ называется периодом осреднения.

Предположим, что для каждого рассматриваемого турбулентного движения существует такой достаточно большой по сравнению с периодом турбулентных пульсаций, но малый по сравнению с характерным для осредненного турбулентного движения интервалом времени (периодом колебательного движения, временем прохождения телом своей длины и т.д.) постоянный период осреднения t₀, что сглаживание во времени (6.3) приводит к осредненной величине, при повторном сглаживании уже не изменяющейся. Рассмотрим это на примере произвольной функции j. Осреднённое значение по времени для произвольной функции будет иметь вид

(6.3')

Повторное осреднение не приводит к изменению функции:

(6.4)

Если в результате осреднения (6.3'), проведенного в данной точке в разные моменты времени, будут получаться одни и те же значения `j, то такое осредненное движение называется стационарным, а само турбулентное движение квазистационарным.

Предположение (6.4) эквивалентно утверждению о равенстве нулю средних значений пульсаций величины j, равных . Действительно, в силу линейности операции осреднения (6.3') и равенства (6.4) имеем

.

(6.5)

В квазистационарном турбулентном движении осредненное значение `j будет функцией только координат, так что если y означает еще одну пульсационную функцию времени и координат, то согласно (6.3') получим

(6.6)

По определению осреднения следует, что среднее значение производной от некоторой функции по координате равно производной от среднего значения функции по той же координате

(6.7)

так как операции дифференцирования по координате и интегрирования по времени независимы.

Таким образом, учитывая данные условия, осредненные по времени значения пульсационных величин равны нулю

(6.8)

Пульсационные составляющие скоростей, как и все другие периодически изменяющиеся величины, могут быть охарактеризованы частотой и амплитудой, причем спектр частот изменяется в широких пределах – от 5 гц до 100 кгц.

Средняя амплитуда пульсации характеризуется величинами, равными

(6.9)

Степень интенсивности турбулентности – средняя квадратичная величина скорости пульсации, отнесенная к средней скорости потока

	(6.10)
где

Интенсивность турбулентности изменяется от 0,3 % в атмосфере до 7-8 % в машинах.

 

6.2 Уравнения осредненного турбулентного движения вязкой

жидкости

Система дифференциальных уравнений Навье-Стокса движения среды при отсутствии массовых сил имеет вид

	(6.11)

 

Пользуясь уравнением неразрывности, конвективную составляющую скорости в левой части можно представить в виде

(6.12)

Подставляем полученные выражения (6.12) в (6.11) и проведём операцию осреднения

.

(6.13)

Осреднение проекций скорости даёт

(6.14)

так как

Осреднение проекций произведения скоростей даёт

 

	(6.15)

Учитывая, что осреднение пульсационной составляющей равно нулю, окончательно получаем

(6.16)

Подставляя (6.14) и (6.16) в (6.13), получаем

         В полученных уравнениях раскрываем скобки, группируем члены и, учитывая уравнение неразрывности, получаем

Окончательно группируем все члены и получаем систему уравнений

	(6.17)

Эта система уравнений называется системой уравнений Рейнольдса. Уравнение неразрывности остается таким же, как и для действительных скоростей, а в уравнениях движения появляются новые члены. Новые слагаемые в уравнении Рейнольдса – это дополнительные напряжения поверхностных сил, возникающих из-за начальной турбулентности.

Преобразуем в уравнениях Рейнольдса (6.17) правые части следующим образом

	(6.18)

Последние скобки в правых частях уравнений представляют собой уравнение неразрывности, которое равно нулю.

         Запишем уравнения динамики сплошной среды в напряжениях (3.4), учитывая отсутствие массовых сил, в следующем виде

(6.19)

         Из сравнения уравнений (6.18) и (6.19) видно, что соответствующие компоненты, определяющие напряжения в точке жидкого объёма, будут

(6.20)

Очевидно, что новые слагаемые в уравнении Рейнольдса (6.17) можно рассматривать как дополнительный тензор турбулентных напряжений, обусловленный осреднённой величиной переноса пульсационного количества движения rи¢  пульсационной скорости и¢. В компактном виде тензор записывается следующим образом

(6.21)

Тензор П обладает свойством симметрии, что отражено в его записи (6.21).

Учитывая дополнительные вязкие напряжения, обусловленные пульсациями, обобщённый закон Ньютона (5.2) можно распространить и на турбулентное течение.

(6.22)

Или в явном виде

	(6.22¢)

При этом необходимо помнить, что турбулентная вязкость не является физическим свойством жидкости, а зависит от характера течения и вводится чисто по аналогии с динамической вязкостью.

Используя данный приём осреднения, можно получить осреднённое уравнение распространения тепла в турбулентном движении.

Для описания ламинарных течений была предложена схема слоистых потоков. Каждый выделенный слой жидкости скользит относительно друг друга и граница между слоями является непроницаемой для макрочастиц жидкости. Взаимодействие между слоями осуществляется за счёт молекулярного обмена массой и энергией. Этот молекулярный обмен и обуславливает вязкое трение.

Представление в турбулентном потоке мгновенной скорости в виде суммы средней и пульсационной составляющей позволяет интерпретировать турбулентное течение также в виде скользящих относительно друг друга слоёв. Эти слои можно выбрать по осреднённой скорости. Линия тока осреднённого движения остаётся непроницаемой для этого условия вводимого движения, но проницаема для пульсационного движения, которое переносит из слоя в слой сквозь линии тока осреднённого движения некоторое количество вещества, тепла и других физических субстанций. Носителем переносимой субстанции являются конечные объёмы жидкости. Такое слоистое движение называется стратифицированным. Стратификация может проводиться не только по скорости, но и по другим различным характеристикам потока, например, плотности, температуре.

Рассматривая установившееся осреднённое движение в плоской трубе (рисунок 6.6), можно представить линии тока осреднённого движения в виде прямых, параллельных оси трубы. Это стратификация по скорости. При установившемся движении во всех сечениях трубы имеет место одинаковый профиль осреднённых скоростей `и(у). Форма профиля зависит от характера турбулентного движения. Линии тока пульсационного движения пересекают линии тока осреднённого движения, проникают из одного слоя в другой и создают при этом перемещение жидкости сквозь площадки, расположенные вдоль линий тока осреднённого движения. Такое перемешивание называется турбулентным перемешиванием. Перенос количества движения пульсационными потоками создаёт турбулентное трение между слоями.

Пульсационные потоки представляют собой потоки вихрей разного масштаба, обладающие определённой кинетической энергией. Перемешивание вихрей между смежными слоями уменьшает или увеличивает кинетическую энергию слоёв, причём перенос кинетической энергии в турбулентном движении гораздо более эффективен, чем молекулярный перенос энергии между слоями в ламинарном движении. Вследствие этого и профили эпюр скоростей в турбулентном потоке имеют не параболический вид, а трапециевидный, и чем больше турбулизирован поток, тем больше профиль приближается к равномерному.

Кинетическая энергия вихрей зависит от интенсивности пульсаций скорости на соответствующей частоте. Поскольку пульсации давления и скорости происходят в определённом диапазоне частот, то возникает вопрос о распределении кинетической энергии вихрей по частотам. Такую зависимость можно получить только экспериментальным путём, измеряя пульсации скорости и давления при различных числах Рейнольдса. Экспериментально установлено, что распределение энергии по частотам представляет собой нормальный закон распределения Гаусса. Распределение энергии по частотам называется энергетическим спектром турбулентного потока.

Размеры вихрей в турбулентном потоке весьма разнообразны и имеют верхний и нижний пределы. Верхний предел размера вихрей лимитируется размерами канала, ограничивающего поток. Атмосферные потоки, практически ничем не ограниченные, могут иметь размеры турбулентного вихря в несколько десятков и сотен километров.

Нижний предел размера вихрей определяется влиянием вязкости и уменьшается с возрастанием скорости осреднённого потока. Однако это уменьшение не может быть бесконечным. Так, например, для умеренных скоростей потока в пределах до 100 м/с размер вихря будет не менее 1 мм, что неизмеримо больше длины свободного пробега молекул, которая имеет порядок 10^–4 мм. Следовательно, газы в атмосферных условиях и, тем более, жидкости при исследовании турбулентных течений могут рассматриваться как сплошные среды.

 

Глава 7. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ И ОТКРЫТЫХ

РУСЛАХ

 

В предыдущих главах кратко упоминалось о том, что при движении жидкости в трубах и открытых руслах скорость в сечении потока изменяется от нулевых значений у стенок до максимального значения на оси трубы или на свободной поверхности. Жидкость, движущаяся в трубе, может быть представлена в виде отдельных бесконечно тонких цилиндрических слоёв, которые перемещаются с различными скоростями, увеличивающимися к оси трубы (рисунок 6.6). Слои жидкости, движущиеся быстрее, увлекают за собой слои, движущиеся медленнее, а более медленные слои тормозят слои, движущиеся быстрее. В ламинарном течении это происходит за счёт обмена энергией и массой между соседними слоями на молекулярном уровне. В турбулентном потоке обмен массой и энергией происходит за счёт проникновения в смежные слои масс вещества, перемещаемого за счёт пульсационного движения. При такой схеме движения при скольжении на поверхности смежных слоёв развиваются силы трения. В результате жидкий объём деформируется, за счёт чего возникают потери напора движущейся жидкости, при этом различают два вида потерь напора:

1) потерю напора по длине – распределяется по всей длине потока равномерно (при равномерном движении) или неравномерно (при плавно изменяющемся потоке). Такую потерю напора обозначим h_l;

2) местные потери напора, возникающие только в отдельных местах потока. Такие потери вызваны резкой деформацией потока. Каждая местная потеря напора обозначается h_j.

В общем случае для участка трубопровода, заключённого между двумя сечениями, справедливо равенство

(7.1)

где h_w – полная потеря напора для рассматриваемого участка трубы (потеря напора в уравнении Бернулли).

Движение вязкой жидкости характеризуется наличием сил трения. При установившемся равномерном движении работа внешних сил (поверхностных и объёмных), приложенных к какому-либо участку потока, всегда равна работе сил трения (внутренних и внешних). В результате работы сил трения механическая энергия жидкости переходит в тепло.

Величина потери напора h_w есть мера той механической энергии жидкости, принадлежащей единице веса, которая за счёт работы сил трения, распределённых по длине потока и сосредоточенных в отдельных его узлах, переходит в тепло и безвозвратно теряется потоком.

Между силами трения в жидкости и потерями напора h_w существует зависимость, которая называется основным уравнением установившегося равномерного движения жидкости.

 

 

7.1 Основное уравнение установившегося равномерного движения

жидкости

Представим часть напорной круглой трубы длины l, ограниченной сечениями 1-1 и 2-2 (рисунок 7.1). Ось s направлена по течению жидкости в трубе. В случае равномерного течения жидкости пьезометрическая линия Р-Р является наклонной прямой, причём её падение по длине трубы выражает потерю напора h_l.

При равномерном движении средние скорости v постоянны, т.к. труба цилиндрическая и все её сечения равны между собой. Напишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 относительно плоскости сравнения 0-0 с учётом потерь напора на выделенном участке

(7.2)

Определим все внешние силы, действующие на выделенную часть потока сечениями 1-1 и 2-2, в проекции на ось s.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Собственный вес выделенного участка

где w - площадь сечения трубы.

Сила G приложена к центру тяжести выделенного объёма и направлена вертикально вниз. Проекция силы тяжести на ось SS  

где a – угол наклона оси трубы к горизонту.

Из чертежа видно, что

тогда

(7.3)

2 Силы Р₁ и Р₂ давления на торцевые сечения жидкого отсека со стороны соседних отброшенных объёмов жидкости

(7.4)

где р₁ и р₂ – гидродинамические давления в центрах тяжести сечений 1-1 и 2-2. Силы Р₁ и Р₂ проектируются на ось s без искажений.

3 Проекция на ось s сил нормального давления на боковую поверхность потока со стороны стенок трубы равна нулю.

4 Сила внешнего трения на стенке Т₀ со стороны стенок трубы и боковой поверхности потока направлена против течения и проектируется на ось s без искажения. В результате действия сил внешнего трения на стенке возникают касательные напряжения t₀. Тогда сила трения Т₀ запишется следующим образом

(7.5)

где c – смачиваемый периметр.

5 Силы внутреннего трения Т действуют между слоями жидкости (рисунок 7.2).

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим поперечное сечение трубы и выделим в нём две соприкасающиеся  струйки а и b. В общем случае скорости струек а и b не равны: u_a ¹ u_b. Поэтому струйка а, двигаясь с большей скоростью, старается увлечь за собой струйку b; при этом к струйке b приложена сила трения Т_b, направленная по течению. К струйке а со стороны струйки b будет приложена сила внутреннего трения Т_а, направленная против течения.

Силы внутреннего трения оказываются парными, причём

но сумма работ этих парных сил не равна нулю, поскольку перемещение струек а и b, вызванные этими силами, различны:

Так как течение установившееся, то все силы находятся в равновесии и сумма проекций всех сил на ось s равна нулю

(7.6)

или подставляя (7.3), (7.4) и (7.5) в (7.6)

Разделив на rgw, получаем

(7.7)

Сравнивая (7.2) и (7.7), находим, что

(7.8)

Введём гидравлический радиус трубы

.

(7.9)

Тогда

(7.10)

Разделив на l,

но

пьезометрический уклон. Тогда окончательно

(7.11)

(7.11) – основное уравнение установившегося равномерного движения. Это уравнение можно применять как для ламинарного, так и для турбулентного потоков. Оно даёт возможность определять потери напора по длине при равномерном движении жидкости:

.

(7.12)

Величина потерь напора h_l, обусловливается работой сил внутреннего и внешнего трения.

Уравнения (7.11) и (7.12) справедливы не только для напорного движения жидкости в круглой трубе постоянного сечения, но и для любого случая равномерного установившегося течения в открытом русле любой цилиндрической формы.

Найдём распределение внутренних касательных напряжений в сечении круглой трубы.

Выделим внутри круглой цилиндрической напорной трубы радиуса r₀ цилиндрический продольный жидкий столб радиуса r (рисунок 7.3). Применяя к нему уравнение (7.11)

           

где R' – гидравлический радиус выделенного столба жидкости, R' = r/2.

Тогда можно написать

(7.13)

Отсюда видно, что касательное напряжение продольного внутреннего трения для сечения 1-1 распределяется в круглой цилиндрической трубе по линейному закону.

 

7.2 Законы внутреннего трения в ламинарном потоке

Возьмём в продольном разрезе потока (рисунок 7.4) сечение АВ и соответствующую ему эпюру скоростей АВС и выделим два слоя жидкости, из которых первый слой движется со скоростью и₁, а второй – со скоростью и₂.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поверхность соприкосновения 1-1 этих жидких слоёв имеет площадь s. Вдоль этой поверхности в вязкой жидкости развиваются парные силы внутреннего трения Т₁ и Т₂. |T₁| = |T₂|. Первый слой способствует ускорению второго; второй слой тормозит первый.

Согласно закону Ньютона сила Т продольного внутреннего трения в параллельноструйном потоке жидкости прямо пропорциональна градиенту скорости, прямо пропорциональна площади s поверхности соприкосновения данных слоёв жидкости, не зависит от давления, но зависит от физических свойств жидкости:

(7.14)

где m –коэффициент динамической вязкости.

Толщина выделенных слоёв жидкости бесконечно мала, тогда для величин du и dn можно написать

(7.15)

где q – угол, образованный вертикалью и касательной к эпюре скоростей в точке соприкосновения слоёв на линии 1-1.

Касательные напряжения продольного внутреннего трения для ламинарного режима при прямолинейном движении

(7.16)

На дне D-D имеется весьма тонкий неподвижный слой, как бы прилипший к стенке, по которому совершается скольжение жидкости. Поэтому непосредственно на стенке и = 0.

Градиент скорости у стенки равен

(7.17)

Силу Т₀ и напряжение t₀ на стенке в случае ламинарного режима можно представить зависимостями

(7.18)

где c – площадь смоченной поверхности стенки.

Имея зависимости (7.12), (7.15) и (7.18) можно через величину t установить аналитическую связь между потерями напора h_l и физическими свойствами жидкости, а также распределением скоростей и по сечению потока.

 

7.3 Распределение скоростей и по сечению потока в круглой трубе

при ламинарном течении жидкости

 

При ламинарном движении векторы скорости частиц направлены параллельно оси потока.

Рассмотрим круглую трубу радиуса r₀ и покажем кривой АСВ эпюру скоростей для сечения АВ (рисунок 7.5).

Найдём уравнение кривой АСВ. Выделим центральный цилиндрический столб движущейся жидкости радиуса r. Для продольного

 

 

 

касательного напряжения трения t по боковой поверхности этого столба можно написать два выражения:

1) согласно (7.5) имеем

(7.19)

где гидравлический радиус рассматриваемого столба

;

2) согласно закону Ньютона (1.28)

(7.20)

Здесь при выбранном направлении r величина dи/dn отрицательна.

Решая совместно (7.19) и (7.20), получаем

Или, разделяя переменные,

Интегрируя,

 Постоянную интегрирования С находим из условия, что при r = r₀ скорость и = 0. Отсюда

Подставляя в предыдущую формулу, окончательно получаем уравнение кривой АСВ – параболу

(7.21)

где i – пьезометрический уклон.

Подставляя в (7.21) r = 0, получаем максимальную величину скорости на оси трубы

(7.22)

 

7.4 Формулы Пуазейля и Вейсбаха-Дарси

Найдём величину расхода жидкости Q для круглой трубы в случае ламинарного течения (рисунок 7.5). Элементарный расход dQ, проходящий через элементарную часть площади сечения dw в виде кольца радиусом r, равен

Подставим сюда (7.21):

Интегрируя это выражение по всей площади сечения, получаем

(7.23)

Средняя скорость

(7.24)

или, учитывая, что i = h_l/l,

откуда

–

(7.25)

 – формула Пуазейля.

В случае ламинарного движения потеря напора h_l

- зависит от свойств жидкости (m, r);

- прямо пропорциональна средней скорости v в первой степени;

- не зависит от шероховатости стенок русла.

Для круглой трубы в случае ламинарного режима (7.25) можно представить в виде, разделив и умножив на 2v

откуда получаем формулу для гидравлических потерь напора по длине, которая носит название формулы Вейсбаха-Дарси:

(7.26)

         l – коэффициент сопротивления трения. Для ламинарного режима он равен

.

(7.27)

 

 

7.5 Турбулентные касательные напряжения в осреднённом потоке

Переходя от действительного потока к осреднённому, мы отбрасываем поперечные пульсации скорости и¢_у. Но поперечные пульсации скорости должны существенно влиять на формирование эпюры продольных осреднённых скоростей и, следовательно, на величину потерь напора h_l.

Представим плоский турбулентный поток и эпюру осреднённых продольных скоростей (рисунок 7.6). Выделим условные линии тока (y₁ – l), (y₁), (y₁ + l). Направление главного потока совпадает с осью Ох, следовательно, осреднённые скорости

(7.28)

Так как в потоке существуют поперечные пульсации скорости и¢_у, то существует обмен объёмами жидкости между двумя слоями. Частицы верхнего слоя, попавшие в нижний слой, ускоряют движение жидкости в пределах нижнего слоя; частицы нижнего слоя, попавшие в верхний, тормозят его в пределах слоя.

Эффект перемешивания частиц жидкости аналогичен действию сил трения по поверхности у₁. Таким образом, турбулентному потоку можно приписать условные силы трения Т¢ по поверхности контакта слоёв. Напряжения, обусловленные этим условным трением, называются турбулентными касательными напряжениями t_t, которое, как уже говорилось, не является физическим свойством жидкости, а зависит от масштаба турбулентности.

Сделав такое предположение, турбулентные касательные напряжения можно представить по предложению Ж. Буссинеска, в том же виде, как и для ламинарного течения (7.16). Учитывая условия (7.28), из всех касательных напряжений в тензоре напряжений (6.21) остаются только касательные напряжения

(7.29)

По предложению Л. Прандтля механизм турбулентного течения представляется следующим образом. В турбулентном течении возникают жидкие объёмы, обладающие собственной скоростью и движущиеся на некотором расстоянии друг от друга, как в продольном, так и в поперечном направлении с сохранением составляющей импульса в направлении оси 0х. Пусть, например, один такой объём, возникший в слое (у₁ – l') и обладающий скоростью u(у₁ – l'), перемещается на расстояние l' в направлении, перпендикулярном к главному течению. При сохранении импульса в направлении оси 0х рассматриваемый объём в верхнем слое у₁ будет иметь меньшую скорость, чем окружающая его среда. Разность скоростей между верхним слоем у₁ и рассматриваемым объёмом равна

Это выражение получено из разложения скорости u(у₁ – l') в ряд Тейлора и отбрасывания членов разложения, порядок которых выше первого. При этом пульсационная скорость и'_у > 0.

Точно также жидкий объём, попадающий в слой у₁ из слоя (у₁ + l'), имеет в новом месте большую скорость, чем окружающая его среда. Разность скоростей

а пульсационная составляющая и'_у < 0. Величины Dи_х1 и Dи_х2 можно рассматривать как турбулентные пульсации скорости в слое у₁. Осреднение во времени абсолютной величины этих пульсаций будет

(7.30)

Величину l' Л. Прандтль назвал путём смешения. Величина l' представляет собой то расстояние в поперечном направлении течения, которое частица жидкости, двигаясь со средней скоростью своего первоначального слоя, должна пройти для того, что бы, попав в следующий слой, смешалась с окружающей жидкостью и отдала ей всю разницу количества движения.

Исследования показали, что продольная и поперечная пульсационные скорости одного порядка

(7.31)

где С – некоторая постоянная величина, играющая роль коэффициента пропорциональности.

Найдём величину осреднённого значения , входящего в формулу (7.29). Частицы жидкости, приходящие в слой у₁ снизу (и'_у > 0), вызывают отрицательную пульсацию и'_х < 0. для таких частиц произведение < 0. Частицы жидкости, приходящие в слой у₁ сверху (и'_у < 0), вызывают положительную пульсацию и'_х > 0. Произведение этих пульсаций опять отрицательно: < 0. Следовательно, осреднённое во времени значение отличается от нуля и отрицательно. Поэтому можно принять, что

(7.32)

где k – коэффициент корреляции между продольной и поперечной пульсациями скорости и лежит в пределах 0 < k < 1.

Подставляя в (7.32) выражения (7.30) и (7.31), получим

(7.33)

С₁ в этой формуле не совпадает с С в формуле (7.32), так как в него включён и коэффициент k. Включим новую постоянную С₁ в осреднённую величину l'. Тогда

(7.34)

Внеся это значение в (7.29), получим значение турбулентного касательного напряжения

(7.35)

Отсюда

(7.36)

Аналогично ламинарному потоку можно ввести условный коэффициент кинематической турбулентной вязкости

(7.37)

Здесь производная взята по направлению п, нормальному к основному осреднённому потоку.

Величину l, входящую в последние формулы, только пропорциональную введённому пути смешения l', также называют путём смешения, считая коэффициент пропорциональности входящим в её определение. В настоящее время неизвестной величине l не придают обязательный смысл пути смешения, а считают, что это величина характеризует геометрическую структуру турбулентности потока, средний размер участвующих в переносе масс и называют масштабом турбулентности. Масштаб турбулентности так же, как и коэффициент турбулентной вязкости, не является физическим параметром вещества, а является только функцией точки.

Длину пути смешения обычно представляют как

(7.38)

где у – расстояние от стенки до точки, в которой определяют турбулентное касательное напряжение;

k – универсальная постоянная Прандтля, для круглой трубы k » 0,4.

В турбулентном потоке, так же как и в ламинарном, существуют вязкие напряжения, связанные с силами внутреннего трения. Следовательно, полное касательное напряжение в турбулентном потоке можно представить в виде суммы вязкого и турбулентного напряжения: