МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

Некоммерческое акционерное общество

Алматинский институт энергетики и связи

 

А.И. Соколов

 

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА

Учебное пособие

 

 

 

 

Алматы 2009

 

         Учебное пособие написано на базе лекций, которые автор читал в течение ряда лет в Алматинском институте энергетики и связи для бакалавров специальности "Теплоэнергетика". Материал охватывает основы механики жидкости и газа. Дан полный вывод основных уравнений гидромеханики. Особое внимание уделено таким разделам, как уравнение Бернулли и его применение к различным задачам. Затрагиваются основы гидромеханики двухфазных потоков. Данным пособием могут также пользоваться студенты, обучающиеся специальности Гидроэнергетика, Гидравлика, Атомная энергетика, Машиностроение, Механика, металлургия и др.

Для лучшего усвоения материала многие разделы включают поясняющие раздел задачи. В приложении содержится справочный материал, необходимый при решении задач и вполне пригодный для использования в инженерных расчётах. 

 

РЕЦЕНЗЕНТ: доктор техн. наук, профессор, Главный научный сотрудник НИИ Экспериментальной и теоретической физики Казахского национального университета им. Аль-Фараби В.Е. Мессерле

 

          ВВЕДЕНИЕ

Окружающий нас мир состоит из твёрдых тел, жидкости и газа. Любое твёрдое тело имеет определённую форму, которую можно изменить только под действием внешних сил, причём форма и относительное положение составных частей изменяются на малую величину при воздействии на тело малых сил.

Жидкость в отличие от твёрдых тел не имеет какой-либо собственной формы. Под действием очень малых внешних сил отдельные частицы жидкости перемещаются относительно друг друга, что приводит к значительным деформациям без изменения объёма. При этом макроскопические свойства жидкости не меняются.

Газ, не ограниченный твёрдыми стенками может свободно распространяться. Различие между собственно газом и жидкостью менее существенно, чем между твёрдыми телами и жидкостями. Наиболее важное различие между механическими свойствами жидкостей и газов связано с их объёмной упругостью. Газы могут сжиматься значительно легче, чем жидкости. Следовательно, любое движение с заметным изменением давления будет сопровождаться значительно большими изменениями плотности для газов, чем для жидкостей.

Основные свойства твёрдых тел, жидкостей и газов непосредственно связаны с их молекулярной структурой и с природой сил, действующих между молекулами. Если рассматривать две изолированные молекулы, то между ними действует сила квантовой природы, притяжения или отталкивания, в соответствии с возможностью обмена электронными оболочками молекул. Если такой обмен возможен, то действует сила притяжения, и она составляет основу химической связи, если обмен невозможен, то действует сила отталкивания, которая быстро убывает с увеличением расстояния между молекулами. При расстояниях больших 10^-6 ¸ 10^-7 см между молекулами действует слабая сила притяжения. Взаимодействие молекул между собой можно изобразить графически (рисунок В.1).

На расстоянии d_o, при котором сила взаимодействия меняет знак, молекулы относительно друг друга находятся в положении устойчивого равновесия. Порядок величины d_o = (3 ¸ 4)×10^-10 м. При этом потенциальная энергия взаимодействия минимальна. Чтобы удалить друг от друга две молекулы, находящиеся на расстоянии d_o, нужно сообщить им дополнительную энергию Е₀. Величина Е₀ называется энергией связи или глубиной потенциальной ямы. Молекулы всё время находятся в хаотическом движении, кинетическая энергия которого зависит от температуры, поэтому такое движение также называют тепловым движением. При низких температурах средняя кинетическая энергия молекул может оказаться меньше глубины потенциальной ямы Е₀. В этом случае молекулы конденсируются в жидкое или твёрдое вещество; при этом среднее расстояние между молекулами будет приблизительно равно d_o. При повышении температуры средняя кинетическая энергия молекул становится больше Е₀, молекулы разлетаются и вещество переходит в газообразную фазу.

Среднее расстояние между молекулами в газообразной фазе при нормальной температуре и давлении имеет порядок 10d_o. На таком расстоянии между ними действуют слабые силы притяжения. В жидкой и твёрдой фазе молекулы находятся постоянно под воздействием интенсивного поля сил нескольких соседних молекул. Молекулы упакованы настолько плотно, насколько позволяют силы отталкивания. В твёрдом теле положение молекул не изменяется и может иметь периодическую структуру кристалла. Молекулы совершают колебания относительно своих устойчивых положений, причём амплитуда колебаний много меньше d_o.

В жидкости положение молекул непрерывно изменяется, следовательно, любая сила, приложенная к жидкости, вызывает деформацию, которая растёт до тех пор, пока действует сила. Амплитуда теплового движения молекул порядка d_o.

Несмотря на молекулярную структуру в механике жидкости и газа принимается гипотеза сплошности среды, то есть считается, что макроскопическое поведение жидкости или газа одинаково, как если бы их структура была идеально непрерывной, а физические свойства внутри рассматриваемого объёма считаются равномерно распределёнными по этому объёму. Такое предположение соответствует повседневному опыту: структура и свойства газа и жидкости изменяются непрерывно и плавно при наблюдении их с помощью любого измерительного прибора.

Когда измерительный прибор помещён в жидкость, он регистрирует её параметр фактически внутри малого окружающего прибор объёма, и измеренная величина представляет собой по существу среднее значение параметра по всему этому объёму (например, измерение температуры термопарой). Для того, чтобы измерение было локальным, измерительный прибор выбирается так, чтобы возмущаемый им объём был достаточно мал. Это означает, что дальнейшее уменьшение прибора не оказывает влияния на его показания. Возмущённый прибором объём, достаточно малый, чтобы измерение было локальным по отношению к макроскопическому масштабу, но всё-таки настолько велик, что содержит ещё очень большое число молекул и достаточно велик, чтобы флуктуации, возникающие из-за различных свойств молекул, не оказывали никакого влияния на наблюдаемое среднее состояние. Если возмущаемый объём сделать настолько малым, чтобы в нём содержалось только несколько молекул, то число и тип молекул в возмущённом объёме в момент наблюдения будет меняться от одного наблюдения к другому, и результат измерения будет меняться случайным образом. В этом случае нельзя пользоваться гипотезой сплошности среды.

Т.о. всякий малый элемент объёма жидкости считается всё-таки настолько большим, что содержит ещё очень большое число молекул. Под бесконечно малым элементом объёма жидкости подразумевается физически бесконечно малый объём, т.е. объём достаточно малый по сравнению с объёмом тела, но большой по сравнению с межмолекулярным расстоянием. В таком же смысле понимаются термины жидкая частица, точка жидкости. Если, например, имеется в виду движение некоторой частицы жидкости, то при этом идёт речь не о движении отдельной молекулы, а о движении целого элемента объёма, содержащего много молекул, но рассматриваемого в гидродинамике как точка. Примерный объём такой частицы жидкости равен 10^-11 м³. Такой объём воздуха при нормальных условиях содержит около 3×10¹⁰ молекул.

 

Глава 1. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

 

1.1 Плотность и удельный объём

Отношение массы вещества к его объёму характеризует плотность. Единицей измерения плотности является количество килограммов, заключённых в одном кубическом метре.

(1.1)

Величина, обратная плотности, называется удельным объёмом и представляет собой объём единицы массы вещества

(1.2)

Здесь т – масса вещества, кг;

         V – объём данной массы, м³.

Связь между плотностью и удельным объёмом выражается отношением

(1.3)

Важной характеристикой жидкости является относительная плотность, которая определяется как отношение плотности рассматриваемого вещества к плотности стандартного вещества. За стандартное вещество принимается вода при температуре 4⁰С и нормальном атмосферном давлении, т.е. при наибольшей плотности воды, равной 1000 кг/м³.

(1.4)

Относительная плотность d – величина безразмерная.

Удельный вес­­­ среды определяется как вес единицы объёма среды, т.е. он равен отношению веса (силы тяжести) среды к её объёму

(1.5)

где G – вес рассматриваемого объёма V среды, н.

Удельный вес тела зависит от ускорения силы тяжести в пункте его определения и, следовательно, не является параметром вещества. Необходимость применения понятия удельного веса возникает в таких случаях, как, например, при определении давления столба жидкости на дно или стенки сосуда, при определении давления с помощью жидкостных манометрических приборов. Удельный вес и плотность связаны между собой равенством

где g – ускорение свободного падения, м/с².

 

Пример 1.1. Пять литров нефти весят G = 41,69 н. Определит удельный вес g и плотность r нефти.

Решение. Так как удельный вес любого вещества с равномерным распределением физических характеристик представляет собой вес в единице объёма, то, согласно (1.5)

Плотность и удельный вес связаны между собой  соотношением

¨

Пример 1.2. Определить плотность смеси жидкостей r_см, имеющий следующий состав: керосина – 40 %, мазута – 60 % (проценты весовые), если плотность керосина r_к = 790 кг/м³, мазута r_м = 890 кг/м³.

Решение. Сумма весовых долей каждого компонента в смеси равна единице, следовательно

Выразим это равенство через объёмные доли, сумма которых также равна единице:

Отсюда находим плотность смеси:

¨

 

 

Плотность воздуха. Во многих технических приложениях, таких, например, как определение характеристик воздушных нагнетателей (компрессоров, вентиляторов) необходимо точно знать плотность окружающего воздуха, которая определяется барометрическим давлением и температурой. Для определения плотности воздуха при небольших давлениях можно воспользоваться с минимальной погрешностью уравнением состояния для идеального газа. При более высоких давлениях это уравнение даёт достаточно большую погрешность и в этом случае необходимо пользоваться табличными данными. Уравнение состояния можно записать следующим образом

,

(1.6)

где р_а – атмосферное (барометрическое) давление, Па;

      Т – абсолютная температура окружающего воздуха, К;

      r – плотность окружающего воздуха, кг/м³;

      р₀ – давление на уровне моря при температуре воздуха Т₀ = 273 К,              р₀ = 98060 Па;

      r₀ – плотность воздуха при нормальных условиях, r₀ = 1,276 кг/м³.

Подставляя в (1.6) численные значения р₀, r₀, Т₀ и разрешая относительно r, получим рабочую формулу для определения плотности окружающего воздуха

(1.7)

Закон Авогадро. Сравнивая различные достаточно разреженные газы, закон Авогадро утверждает, что равные объёмы различных газов, находящихся при одном и том же давлении и температуре, содержат одинаковое количество молекул. Другими словами, плотность газов r, находящихся при одинаковом давлении и температуре, прямо пропорциональна их молекулярной массе:

(1.8)

Масса газа, равная молекулярной массе М называется килограмм-молекулой или молем. Очевидно, что произведение Мv представляет собой объём одного моля. Следовательно, закон Авогадро с учетом равенства (1.8) может быть сформулирован следующим образом: объём одного моля различных газов, находящихся при одинаковом давлении и температуре, будет одним и тем же. При нормальных условиях этот объём равен 22,4 м³. Следовательно, зная молекулярную массу газа, можно вычислить его плотность:

(1.9)

Закон Авогадро достаточно хорошо описывает разреженные газы. Для реальных газов этот закон применим с некоторой погрешностью, тем большей, чем больше отклонение газа от идеального.

В уравнение состояния, записанное для одного моля газа, входит универсальная газовая постоянная R_М, представляющая собой работу изменения объёма, совершаемую одним молем идеального газа в изобарном процессе при изменении температуры на один градус:

(1.10)

Универсальная газовая постоянная одинакова для всех газов и численно равна R_М = 8314,31 Дж/(кмоль×град).

Уравнение состояния, записанное для единицы массы газа, включает газовую постоянную R­, специфичную для каждого газа и представляющую собой работу изменения объёма, совершаемую единицей массы идеального газа в изобарном процессе при изменении температуры газа на один градус:

(1.11)

Записав уравнение (1.10) для одного килограмма газа, т.е. разделив его на М, получим

(1.12)

Это уравнение связывает универсальную газовую постоянную с молекулярной массой и газовой постоянной любого газа.

 

Пример 1.3. Определить вес воздуха G в объёме V = 10 м³ при давлении р = 5 ата и температуре t = +20⁰С.

Решение. Одна техническая атмосфера 1 ата = 98100 Па. Следовательно р = 5×98100 = 490500 Па. Из уравнения состояния

Вес воздуха равен

¨

Пример 1.4. Определить среднюю молекулярную массу воздуха М по его плотности в нормальных условиях (r = 1,293 кг/м³).

Решение. Используя соотношение (1.9), находим

¨

 

1.2. Газовые смеси

Смесь газов, занимающая определённый объём, находится под давлением, вклад в которое вносит каждый газ в зависимости от его количества. Давление каждого отдельно взятого газа в данной смеси называется парциальным давлением, а объём, занимаемый каждым газом – парциальным объёмом. Величина давления смеси газов определяется законом Дальтона: при отсутствии химических реакций давление в газовой смеси равно сумме парциальных давлений отдельных входящих в смесь газов.

Количество отдельных компонент, входящих в газовую смесь, можно определить через их массовую или объёмную долю.

Массовая доля компонентов равна

где т_i – масса отдельного газа, входящего в смесь, кг;

       т – масса всей смеси, кг.

Очевидно, что

Объёмная доля компонентов определяется соотношением

где V_i – объём, занимаемый отдельным газом в смеси, м³;

       V – общий объём газовой смеси, м³.

Очевидно, что

Связь между массовой и объёмной долей можно найти из соотношений (1.8) и (1.12) для каждого газа:

(1.13)

где R_i – газовая постоянная отдельных газов, входящих в смесь, Дж/(кг×град);

        R – газовая постоянная смеси газов, Дж/(кг×град).

Так как

то

(1.14)

поскольку

         Следовательно, кажущаяся молекулярная масса смеси равна

(1.15)

         Равенства (1.14) и (1.15) служат для определения R и m смеси, если дана весовая доля входящих в смесь газов.

         Из (1.13) следует

         где

(1.16)

         Следовательно

(1.17)

         Равенства (1.16) и (1.17) служат для определения М и R смеси, если дана объёмная доля входящих в смесь газов.

 

Пример 1.5. Воздух по массе приблизительно состоит из 76 % азота, 25 % кислорода и 1 % аргона. Определить объёмное содержание этих элементов, если их молекулярные массы равны М_О2 = 32, М_N2 = 28, М_Аr = 40.

Решение. Массовые доли и объёмные доли каждого компонента

и

Выразим объёмную долю компонента через его массовую долю:

(*)

Плотность каждого компонента находится из соотношения (1.9)

Плотность смеси находим следующим образом

Тогда объёмное содержание компонентов будет из (*)

¨

Пример 1.6. Определить среднюю молекулярную массу воздуха двумя способами, если задан его состав по объёму и массе.

Состав по массе: 76 % азота, 25 % кислорода и 1 % аргона.

Состав по объёму: 78,4 % азота, 20,8 % кислорода, 0,72 % аргона.

Решение.

1 способ. Средняя молекулярная масса смеси определяется как сумма произведений молекулярной массы каждого компонента на его объёмную долю в смеси:

2 способ. Выразим объёмные доли через массовые:

Плотность каждого компонента находим из соотношения (1.9)

Сумма объёмных компонентов смеси равна единице:

Из соотношения (1.9) находим среднюю молекулярную массу воздуха

¨

 

1.3. Парциальное давление

На основе определения парциального давления и парциального объёма можно написать

Следовательно

(1.18)

Из уравнения (1.13) следует

Следовательно

(1.19)

Таким образом, очевидно, что парциальное давление легко определить, если газовая смесь дана в объёмных долях (1.18). Если газовая смесь дана в массовых долях, то для определения парциального давления необходимо знать газовые постоянные каждого компонента и всей смеси или молекулярные массы каждого компонента и кажущуюся молекулярную массу смеси (1.19).

 

Пример 1.7. Объём смеси кислорода и азота весит G = 9,81 н. Какое весовое количество кислорода G₁ и азота G₂ содержится в смеси и какие парциальные давления р₁ и р₂ они имеют при давлении смеси 1 ата, если у газовой смеси R = 259,7 Дж/(кг×град), кислорода R₁ = 297 Дж/(кг×град), азота R₂ = 297 Дж/(кг×град)?

Решение. Из (1.9) и (1.12) находим массовую долю каждого компонента в смеси

С другой стороны, согласно (1.18)

         Из первого уравнения

Подставляя в предыдущее, получим

         Так как сумма парциальных давлений компонентов равна давлению смеси р = Sр_i, то суммируя последнее равенство, получаем для нашего случая

 

¨

 

1.4 Сжимаемость

Сжимаемостью называется способность жидкости или газа уменьшать свой объём под действием сил внешнего давления. Мерой сжимаемости является модуль объёмной упругости Е, который определяется равенством

(1.20)

где DV/V₀ – относительное изменение объёма, вызванное повышением         давления на Dр. 

Вследствие плотной упаковки молекул сжимаемость жидкости чрезвычайно мала, например, для воды Е = 2×10⁹ Па, она в десятки и сотни тысяч раз меньше, чем в газах. Величина, обратная модулю объёмной упругости, называется коэффициентом объёмного сжатия

(1.21)

На основании (1.20) коэффициент объёмного сжатия можно определить как

(1.22)

Подставляя (1.1) в (1.22) и учитывая, что масса m = const, можно написать

(1.23)

Сравнивая (1.22) и (1.23), получим

(1.24)

Течение жидкости или газа можно рассматривать как несжимаемое до тех пор, пока относительное изменение плотности остаётся весьма малым, т.е.

(1.25)

 

Пример 1.8. В автоклаве объёмом V₀ = 50 л под некоторым давлением закачано 50,5 л эфира.

Определить, пренебрегая деформацией стенок автоклава, повышение давления в нём Dр, если коэффициент объёмного сжатия эфира при температуре +20^оС b = 1,95×10^–9 м²/н.

Решение. Необходимое давление для сжатия эфира можно найти из равенства для определения коэффициента сжатия:

¨

 

1.5 Температурное расширение жидкостей и газов

Изменение объёма жидкости или газа в связи с изменением температуры характеризуется температурным коэффициентом объёмного расширения, который показывает относительное изменение объёма при увеличении температуры на 1 градус

(1.26)

Этот коэффициент у жидкостей в десятки раз больше, чем у твёрдых тел. Для воды при нормальных условиях значение b_t приближённо можно принимать b_t = 1/10000 ^оС^-1.

Вода, в отличие от других жидкостей, имеет очень интересную и важную для жизни аномалию. Как уже отмечалось, вода имеет максимальную плотность при температуре 4⁰С. При понижении температуры вода расширяется, поэтому лёд плавает на поверхности воды. В естественных водоёмах и реках в зимний период вода при 4⁰С, как наиболее тяжёлая, опускается на дно, не давая водоёму полностью промёрзнуть. Благодаря этому в замерзающих водоёмах на глубине может существовать жизнь. Все остальные вещества при замерзании опускаются на дно сосуда.

Пример 1.9. Определить плотности воды, керосина и серной кислоты при температуре t = +50⁰С, если коэффициент объёмного термического расширения воды b_t1 = 0,00020 1/⁰С, керосина b_t2 = 0,0010 1/⁰С, серной кислоты b_t3 = 0,00055 1/⁰С. Известно также, что плотность керосина при t = +15⁰С r₂ = 760 кг/м³, плотность серной кислоты при t = 0⁰С r₃ = 1853 кг/м³.

Решение. Коэффициент теплового расширения для жидкостей согласно (1.26) можно определить формулой

где v =1/r – удельный объём. Дифференцируя, получаем

Подставляем в предыдущую формулу:

После интегрирования

Начальные условия: при t = t₀, r = r₀. Тогда

Подставляем конкретные значения для каждой жидкости:

¨

 

 

 

 

1.6 Вязкость

Вязкость – свойство жидкости оказывать сопротивление касательным усилиям (сдвигу). Физическую сущность вязкости можно проиллюстрировать на следующем примере. Рассмотрим течение между двумя параллельными пластинами (рисунок 1.1), расстояние между которыми равно h. Нижняя пластина неподвижная, а верхняя движется в собственной плоскости с постоянной скоростью U. В потоке отсутствуют какие-либо возмущения, следовательно, распределение скоростей будет линейным, т.е. скорость течения пропорциональна расстоянию у от нижней пластины и выражается формулой

(1.27)

Такое течение возможно, если к жидкости со стороны верхней пластины будет приложена касательная сила в направлении движения, уравновешивающая силы трения жидкости. Эта сила пропорциональна скорости U верхней пластины и обратно пропорциональна расстоянию h между пластинами. Следовательно, сила трения t, отнесённая к единице площади (касательное напряжение), пропорциональна U/h, которую, согласно (1.27), в общем случае можно заменить отношением du/dу. Коэффициент пропорциональности m между t и du/dу зависит от природы жидкости. Таким образом, закон трения для жидкости записывается в виде

(1.28)

и называется законом трения Ньютона.

Величина m представляет физическую характеристику жидкости, которая сильно зависит от температуры, слабо зависит от давления и называется коэффициентом динамической вязкости. Размерность коэффициента динамической вязкости m определяется из равенства (1.28) и в системе СИ равна н×с/м² или кг/(м×с).

Равенство (1.28) имеет внутреннее сходство с законом упругости твёрдого тела. Для такого тела на основании закона Гука касательное напряжение t пропорционально величине деформации сдвига, т.е.

(1.29)

В этих равенствах G – модуль сдвига; g – изменение первоначального прямого угла; x – смещение в направлении оси х. Но для упругого твёрдого тела касательное напряжение пропорционально величине деформации g, в то время, как для жидкости оно пропорционально величине скорости деформации dg/dt.

(1.30)

Но x = u×t, и опять приходим к (1.28)

.

Вязкость любого вещества сильно зависит от температуры. Для воды зависимость коэффициента динамической вязкости от температуры даётся формулой, предложенной Пуазейлем

(1.31)

где m_о – коэффициент динамической вязкости воды при 0⁰С.

Эту же формулу можно использовать и для других жидкостей, записав её в виде

(1.32)

где m_о – коэффициент динамической вязкости данной жидкости при 0⁰С, н×с/м²;

               a, b – параметры, определяемые экспериментально.

Таким образом, при увеличении температуры вязкость капельных жидкостей уменьшается. С физической точки зрения это можно объяснить тем, что в капельных жидкостях каждая молекула совершает колебания около свободно перемещающегося положения равновесия. При перемещении одних слоёв жидкости относительно других ориентировка молекул нарушается, что повышает сопротивляемость движению при уменьшении температуры. При повышении температуры сопротивляемость изменению ориентировки молекул уменьшается, одновременно уменьшается и сопротивление её молекул перемещению, т.е. уменьшается сила трения.

Давление оказывает небольшое влияние на изменение вязкости несжимаемых жидкостей. Так при увеличении давления на 0,2 МПа вязкость увеличивается на 1/300 ¸ 1/500 своей величины и только при давлении свыше  4 МПа вязкость увеличивается на 7 ¸ 8 %. Исключение составляет вода, вязкость которой при температуре t > 25⁰С несколько уменьшается при увеличении давления. Значительное влияние давления на вязкость наблюдается при 100 ¸ 400 МПа. В этом диапазоне коэффициент динамической вязкости капельных жидкостей растёт пропорционально увеличению давления, т.е. по линейному закону, а при больших давлениях рост идёт по логарифмическому закону.

В тех классах течений, в которых кроме сил вязкости действуют также силы инерции, важную роль играет отношение коэффициента вязкости m к плотности r, которое называется коэффициентом кинематической вязкости.

(1.33)

Для газов влияние температуры на вязкость совершенно противоположное. Коэффициент кинематической вязкости газов выражается уравнением

(1.34)

где b – коэффициент, учитывающий распределение скоростей молекул,             представляет характер ударов молекул газа в их тепловом   движении, b = (0,3 ¸ 0,5)×10⁴;

          v – средняя скорость теплового движения молекул, м/с;

 l – длина свободного пробега молекул между двумя   столкновениями, м.

Так как скорость молекул v прямо пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры Т, а длина свободного пробега молекул увеличивается с увеличением температуры, то коэффициент кинематической вязкости с повышением температуры также увеличивается.

Зависимость коэффициента динамической вязкости газа от температуры даётся теоретической формулой Саттерлэнда

(1.35)

где В, С – коэффициенты, зависящие от вида газа, для воздуха В =                   15,06, С » 122.

На практике пользуются приближённой формулой

(1.36)

где п – показатель степени, зависящий от вида газа и температуры.

 

Для практического определения вязкости капельных жидкостей существует достаточно много различных методов. Ниже рассмотрено несколько наиболее характерных из них.

Метод истечения жидкости из отверстия. Если из сосуда через небольшое отверстие вытекает жидкость, то время истечения будет зависеть от вязкости жидкости. Чем более вязкая жидкость, тем дольше она будет вытекать из сосуда. На этом свойстве основан вискозиметр Энглера, в котором определяется вязкость жидкостей, более вязких, чем вода (рисунок 1.2). Вискозиметр Энглера состоит из латунного цилиндрического резервуара 1 с конусообразным днищем, помещённого в водяную камеру 2. Внутренняя поверхность резервуара 1 позолочена и отполирована. К днищу резервуара припаяна латунная цилиндрическая трубка 3, в которую вставлена платиновая коническая трубочка 4 с диаметром внизу 2,8 мм. Через эту трубочку вытекает испытываемая жидкость. До начала испытаний она закрыта запорным стержнем 5. Испытываемую жидкость объёмом 200 мл наливают в цилиндрический резервуар, где при помощи водяной ванны и газовой горелки поддерживают её постоянную температуру, измеряемую термометрами. Один из них погружён в испытываемую жидкость (t₁), а другой – в водяную камеру (t₂).

Замеряют время t истечения 200 мл испытываемой жидкости при требуемой температуре. Также измеряют время t₀ истечения 200 мл дистиллированной воды при температуре 20⁰С. Отношение величин t и t₀ даёт число условных градусов Энглера

(1.37)

Величину коэффициента кинематической вязкости испытываемой жидкости получают путём пересчёта градусов Энглера по формуле

(1.38)

Метод Стокса (метод падающего шарика). Если в жидкость, находящуюся в сосуде, бросить шарик, плотность которого больше плотности жидкости, то шарик будет опускаться на дно сосуда с некоторой скоростью, зависящей от вязкости жидкости.

Стокс установил, что сила внутреннего трения F жидкости, действующая на падающий в этой жидкости шарик радиусом r со скоростью v, равна

(1.39)

где m - коэффициент динамической вязкости жидкости, н×с/м².

На шарик массы М и объёмом V, погружённый в жидкость плотностью r_ж, действует сила тяжести и архимедова сила:

(1.40)

Если плотность шарика r_ш, то (1.40) можно переписать следующим образом:

(1.41)

По мере возрастания скорости падения шарика будет увеличиваться сила F внутреннего трения жидкости, в которой движется шарик, и в какой-то момент сила F станет по абсолютной величине равна силе Р, и дальнейшее опускание шарика вниз будет происходить с постоянной скоростью v₀. Следовательно, при равномерном падении шарика имеет место равновесие сил Р и F:

(1.42)

Отсюда можно определить m:

(1.43)

Этой формулой можно пользоваться только в том случае, если на движение отсутствует влияние стенок сосуда. Если сосуд достаточно узкий, то необходимо внести поправку на влияние стенок:

(1.43')

где R – радиус сосуда, содержащего жидкость, м.

При отношении R/r > 50 с достаточной степенью точности можно пользоваться формулой (1.43).

Прибор для определения коэффициента динамической вязкости жидкости по методу Стокса показан на рисунке 1.3. Он состоит из вертикальной стеклянной трубки А, наполненной исследуемой жидкостью. Эта трубка помещена в другую стеклянную трубку В, служащую термостатом, температура которой измеряется термометром Т. Трубка А закрыта наверху пробкой, в центре которой сделано отверстие и вставлена узкая стеклянная трубочка Д для ввода шарика. Это заставляет шарик падать вдоль оси трубки А. Для достижения наибольшей точности измерений необходимо, чтобы шарик в жидкости двигался с достаточно малой скоростью. Для этого плотность шарика должна быть не намного больше плотности жидкости. Скорость v₀ определяется по времени прохождения шарика между двумя рисками, нанесёнными на трубке А: v₀ = l/t.

Метод Оствальда. Коэффициент динамической вязкости жидкости m можно определить по её движению в капиллярной трубке. Объём жидкости V, протекающей через капиллярную трубку радиуса r, длиной l за время t и давлении р, под которым находится жидкость, выражается формулой Пуазейля

(1.44)

Формулой Пуазейля пользуются для определения относительного коэффициента вязкости. Для этого берётся исследуемая и эталонная жидкость и измеряется время истечения одинаковых объёмов этих жидкостей через одну и ту же капиллярную трубку. Согласно (1.44)

Здесь нижний индекс "0" относится к эталонной жидкости с известными свойствами (например, вода), а индекс "1" относится к исследуемой жидкости. t – время истечения жидкости.

Деля второе уравнение на первое получим

(1.45)

Если жидкость вытекает под действием силы тяжести, то

Тогда (1.45)  перепишется в виде

(1.46)

Для определения коэффициента динамической вязкости этим методом применяется вискозиметр Оствальда (рисунок 1.4). Вискозиметр представляет собой стеклянную трубку abc, широкое колено аb которой заканчивается внизу расширением b, а другое колено состоит из капилляра е, заканчивающегося наверху расширением с, которое переходит в более широкую трубку d. Под расширением и над ним на трубках d и e нанесены две метки m и n, ограничивающие собой вполне определённый объём жидкости, время истечения которого измеряется опытным путём. Весь прибор помещается в термостат.

 

Пример 1.10. При экспериментальном определении вязкости нефти вискозиметром Энглера найдено: время истечения 200 см³ воды t₁ = 51,2 с, время истечения 200 см³ нефти t₂ = 163,4 с. Определить кинематическую вязкость нефти.

Решение. Вязкость нефти, определённая по вискозиметру Энглера (1.37), равна

Величину коэффициента кинематической вязкости получают путём пересчёта градусов Энглера по формуле (1.38)

¨

Пример 1.11. При определении вязкости масла с помощью вискозиметра Оствальда-Пинкевича было найдено, что время истечения эталонной жидкости при температуре t = +20⁰С равно t₁ = 152 с, а время истечения масла t₂ = 105,2 с.

Определить кинематическую вязкость масла u­₂, если вязкость эталонной жидкости u₁ = 1,568×10^–5 м²/с.

Решение. Определение коэффициента динамической вязкости какой-либо жидкости на вискозиметре Освальда-Пинкевича осуществляется с помощью эталонной жидкости, плотность и вязкость которой при данной температуре известна. Расчёт коэффициента динамической вязкости осуществляется по формуле (1.46)

Тогда коэффициент кинематической вязкости исследуемой жидкости будет равен

¨

 

1.7 Поверхностное натяжение и смачиваемость

Одной из особенностей капельных жидкостей является наличие свободной поверхности. Жидкости, в отличие от газов не заполняют весь объём сосуда, образуя границу раздела с газом, которая находится в особых условиях по сравнению с остальной массой жидкости. Молекулы в пограничном слое жидкости, в отличие от молекул в её глубине, окружены другими молекулами не со всех сторон. Силы, с которыми окружающие молекулы действуют на молекулу внутри жидкости, в среднем компенсируют друг друга. Молекулы, лежащие на поверхности раздела, притягиваются молекулами, находящимися внутри жидкости. Притяжением молекул со стороны газа можно пренебречь, так как количество молекул газа в единице объёма во много раз меньше количества молекул жидкости и результирующая сила действия молекул газа на жидкость будет незначительна. Следовательно, поверхностный слой жидкости оказывает некоторое давление на всю массу жидкости. Это давление называется молекулярным давлением (рисунок 1.5).

Средняя потенциальная энергия частицы, g_s, находящаяся на поверхности раздела фаз, отличается от средней потенциальной энергии g_v такой же частицы в объёме. В случае поверхности раздела фаз между жидкостью и газом g_s > g_v. Поэтому важнейшей характеристикой поверхностного слоя является поверхностная потенциальная энергия или энергия Гиббса G_s – разность средней энергии частицы, находящейся на поверхности, и частицы, находящейся в объёме жидкости, умноженная на число частиц на поверхности N_s:

.

(1.47)

Общая величина поверхностной энергии будет определяться величиной её поверхности S. Поэтому для характеристики поверхности раздела, отделяющую данную фазу от другой, вводится понятие коэффициента поверхностного натяжения s – отношение поверхностной потенциальной энергии к площади поверхности раздела фаз

.

(1.48)

Размерность коэффициента поверхностного натяжения н/м или Дж/м² (1 н/м = 1 Дж/м²).

Согласно принципу минимума свободной энергии, любая фаза будет стремиться самопроизвольно уменьшать свою поверхностную энергию, следовательно, в случае границы раздела жидкости и газа жидкость стремиться уменьшить свою поверхность. По этой причине свободная капля жидкости принимает шарообразную форму. Жидкость ведёт себя так, как будто по касательной к её поверхности действуют силы, стягивающие эту поверхность. За счёт стягивающей силы внутри капли возникает избыточное давление Dр. Если мысленно разрезать сферическую каплю радиуса r на две половинки, то каждая из них должна находиться в равновесии под действием сил поверхностного натяжения, приложенных к границе 2pr разреза, и сил избыточного давления, действующих на площадь p×r² сечения (рисунок 1.6). Условия равновесия можно записать в виде

Отсюда избыточное давление внутри капли равно

(1.49)

Наличие сил поверхностного натяжения делает поверхность жидкости похожей на упругую растянутую плёнку, с той только разницей, что упругие силы в плёнке зависят от площади её поверхности, а силы поверхностного натяжения не зависят от площади поверхности жидкости. Найдём силу поверхностного натяжения, действующую на плоскую тонкую плёнку. Если в мыльный раствор опустить проволочную рамку, одна из сторон которой подвижна, то вся она затянется плёнкой жидкости (рисунок 1.7).

Силы поверхностного натяжения стремятся сократить поверхность плёнки. Для равновесия подвижной стороны рамки к ней нужно приложить внешнюю силу F_вн = –F_н. Если под действием F_вн перекладина переместится на Dх, то будет произведена работа

,

(1.50)

где DS = 2LDх – приращение площади поверхности обоих сторон

           мыльной плёнки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как модули сил F_вн и F_н одинаковы, то

.

(1.51)

Коэффициент поверхностного натяжения может быть определён как модуль силы поверхностного натяжения, действующий на единицу длины линии, ограничивающей поверхность.

Если вместо плоской плёнки взять мыльный пузырь, то в нём, как и в капле воды, за счет сил поверхностного натяжения возникнет избыточное давление. Так как мыльный пузырь имеет две поверхности, внешнюю и внутреннюю, то избыточное давление внутри пузыря должно быть в два раза больше, чем у капли:

(1.52)

Интенсивность взаимодействия между молекулами уменьшается по мере роста температуры. Поэтому снижается и поверхностное натяжение жидкости на границе с газом или с собственным паром. Это уменьшение поверхностного натяжения прямо пропорционально росту температуры и эта зависимость обычно описывается эмпирическим уравнением

н/м,

(1.53)

где s₂₅ – поверхностное натяжение при температуре 25⁰С, н/м.

В интегральной форме это уравнение записывается в виде

(1.54)

где V_т –молярный объём жидкости;

       К – постоянная;

       Т_с – критическая температура.

Строгое уравнение зависимости поверхностного натяжения от температуры можно получить из уравнения Гиббса-Гельмгольца

,

где индекс s указывает на отнесение энтальпии, энергии Гиббса и энтропии к единице площади поверхности.

В этом случае зависимость поверхностного натяжения от температуры имеет вид

(1.55)

До сих пор рассматривалась поверхность раздела между жидкостью и газом, где g_s > g_v. Если рассматривать поверхность раздела между двумя разнородными несмешивающимися жидкостями или между жидкостью и твёрдой стенкой, то в зависимости от рода жидкости и твёрдого материала могут быть случаи, когда средняя энергия частицы, находящаяся на поверхности раздела фаз g_s, может быть меньше средней энергии частицы g_v, находящейся в объёме жидкости. В этом случае энергия Гиббса G_s и, следовательно, коэффициент поверхностного натяжения s приобретают отрицательное значение. Отсюда вытекает понятие смачиваемости твёрдого тела.

Около границы между жидкостью, твёрдым телом и газом форма свободной поверхности зависит от сил взаимодействия молекул жидкости и твёрдого тела. Если эти силы больше сил взаимодействия между молекулами

самой жидкости, то жидкость смачивает поверхность твёрдого тела. В этом случае жидкость подходит к твёрдой стенке под некоторым острым углом q, который является характерным для данной пары жидкость - твердое тело (рисунок 1.8, а). Этот угол называется краевым углом. Если силы взаимодействия между молекулами жидкости превосходят силы их взаимодействия с молекулами твёрдого тела, то краевой угол q будет тупым (рисунок 1.8, б). В этом случае жидкость не смачивает поверхность твёрдого тела.

На свойстве жидкости смачивать твёрдые тела основано капиллярное явление. Капиллярное явление состоит в том, что по трубке с очень узким отверстием (капилляром), опущенной в смачивающую жидкость, эта жидкость начинает подниматься вверх до тех пор, пока сила тяжести G, действующая на столб жидкости в капилляре, не станет равной по модулю результирующей сил поверхностного натяжения F_н, действующих вдоль границы соприкасающейся жидкости с поверхностью капилляра (рисунок 1.9):

Отсюда следует

(1.56)

Чем меньше радиус капилляра, тем выше поднимается столб жидкости. При полном смачивании q = 0, cosq = 1 и высота подъёма столба жидкости будет

(1.57)

Если капиллярную трубку опустить в несмачивающую жидкость, то результат будет совершенно противоположный: столб жидкости внутри капиллярной трубки будет ниже уровня жидкости. Расстояние между вершиной столба и уровнем жидкости вычисляется по (1.56). При полном несмачивании q = 180^о, cosq = –1 и h в формуле (1.57) будет отрицательным. Примером полного смачивания может служить вода и чистое стекло, полным несмачиванием – ртуть и чистое стекло.

 

Пример 1.12. Металлическую иголку длиной l = 32 мм осторожно положили на поверхность воды в стакане. Эта иголка будет лежать на поверхности воды, если её вес не очень большой. Какой будет максимальный вес иголки, при котором она не утонет, если поверхностное натяжение воды s = 0,073 н/м?

Решение. Вода несколько прогибается под действием силы тяжести иголки. На рисунке показано поперечное сечение иголки и вогнутая поверхность воды. На иголку действуют три силы: сила тяжести G и две силы F₁ и F₂, вызванные поверхностным натяжением воды. Эти силы приложены вдоль всей длины иголки с обоих сторон. В этом случае в соответствии с уравнением (1.48) можно написать

Силы F₁ и F₂ касательные к выемке на поверхности воды, которая образовалась под действием давления иголки. Угол между этими силами и вертикалью равен q. Так как иголка находится на поверхности воды в равновесии, то сумма всех действующих на неё сил равна нулю. Проекция сил на горизонтальную плоскость равна F₁ + F₂ = 0, т.е. эти проекции сил F₁ и F₂ уравновешивают друг друга. Проекция на вертикальную плоскость даёт

Т.е. вес иголки G уравновешивается суммой проекций сил F₁ и F₂ на вертикальную ось. Силы, вызванные поверхностным натяжением, будут уравновешивать максимально допустимый вес иголки, когда они будут направлены вертикально вверх и q = 0. Следовательно, максимально допустимый вес иголки, при котором она ещё будет плавать, можно найти из равенства

¨

Пример 1.13. Определить разность давлений внутри мыльного пузырька диаметром d = 2 мм и наружным давлением, если коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора, из которого получен пузырёк, s = 2,5×10^–2 н/м.

Решение. Из формулы (1.52) находим:

¨

 

Глава 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕЧЕНИЯ

ЖИДКОСТИ

         2.1 Скорость и ускорение

Движение любого тела всегда определяется по отношению к некоторой системе отсчёта – системе координат. С помощью системы координат устанавливается соответствие между числами и точками пространства. В ортогональной декартовой системе координат в трёхмерном пространстве каждой точке ставится в соответствие три числа x, y, z – координаты точки. Линии, на которых какие-либо две координаты сохраняют постоянное значение, называются координатными линиями. Например, линия, вдоль которой y = const, z = const, определяет координатную линию х. Вдоль этой линии различные точки фиксируются значениями x_i, а направление роста координаты х определяет направление вдоль этой линии. Через каждую точку пространства можно провести три координатные линии. Считается, что точка движется относительно системы координат, если её координаты х, у, z меняются в зависимости от времени.

Жидкость или газ, представляющие собой сплошную среду, можно рассматривать как непрерывную совокупность точек. Движение сплошной среды считается известным, если известно движение всех её точек.

В механике жидкости и газа движение сплошной среды рассматривается относительно неподвижной системы координат в каждой точке пространства. Геометрические координаты пространства x, y, z и время t называются переменными Эйлера. Движение считается известным, если скорость, ускорение, температура и другие величины заданы как функции x, y, z и t. Функции u = u(x, y, z, t), а = а(x, y, z, t), Т = Т(x, y, z, t) и другие, при фиксированных x, y, z и переменном t, определяют изменение со временем скорости, ускорения, температуры и др. параметры в данной точке пространства для разных приходящих в эту точку частиц. При фиксированном t и переменных x, y, z эти функции дают распределение характеристик движения в пространстве в данный момент времени. При переменных x, y, z, t – распределение характеристик движения в пространстве в разные моменты времени.

Компоненты скорости частицы в проекции на координатные оси в переменных Эйлера определяются как производные от соответствующих координат по времени

Ускорение жидкой частицы – это производная от скорости по времени, которая представляет собой полный дифференциал или индивидуальную производную

(2.1)

В проекциях на оси координат это уравнение записывается в виде

(2.2)

Частная производная  характеризует изменение скорости в единицу времени в той же точке x, y, z и называется местной или локальной производной. В общем случае индивидуальная производная  не равна местной  и отличается на величину, зависящую от движения частицы и называемую конвективной производной

2.2 Вращательное движение

В правые части уравнений (2.2) входит девять частных производных проекций скорости (u_x, u_y, u_z) по координатам (x, y, z). Три из девяти производных

называются прямыми и представляют собой изменение компоненты скорости вдоль соответствующей оси. Остальные шесть частных производных называются косыми или поперечными. Физический смысл этих производных можно рассмотреть на примере одной из них, например, ¶u_z/¶х (рисунок 2.1).

Возьмём на оси х бесконечно малый отрезок ав и рассмотрим его движение вдоль оси z. За время dt отрезок переместится в положение а¢в¢. Расстояние аа¢­ представляет собой путь, пройденный в направлении оси z концом отрезка а

вв¢ - расстояние, пройденное в направлении оси z­ концом в отрезка

В этих равенствах u_z – скорость движения точки а отрезка вдоль оси z­; u¢_z – скорость движения конца в отрезка вдоль той же оси.

Так как в общем случае расстояние аа¢ ¹ вв¢, то отрезок ав за время dt совершает поступательное движение вдоль оси z­ и поворачивается относительно оси у на некоторый угол da­. Ввиду малости угла da тангенс этого угла равен самому углу: tg(da) = da. Тогда можно написать

или

(2.3)

Из этого соотношения видно, что рассматриваемая частная производная представляет собой угловую скорость вращения бесконечно малого отрезка ав относительно оси у.

Рассматривая таким же образом остальные пять производных, получим, что они представляют собой соответствующие угловые скорости вращения бесконечно малого отрезка ав относительно осей x, y, z, причём и  – угловые скорости вращения отрезка относительно оси z;  – угловые скорости вращения отрезка относительно оси у,

 и  – угловые скорости вращения отрезка относительно оси х.

Используя оператор Гамильтона , векторное уравнение (2.1) можно записать в виде

(2.4)

Таким образом, при изучении движения жидкости выделяется некоторая область пространства, и определяются интересующие параметры частиц, проходящих через эту область.

 

2.3 Линии тока, трубки тока, траектории

Движение жидкости называется установившимся или стационарным, если все величины, характеризующие движение, зависят только от координат x, y, z и не зависят явно от времени t, т.е.

Если параметры потока зависят от времени, то такое движение называется нестационарным. Является ли движение стационарным или нет, зависит и от выбора координат. Например, если система координат жёстко связана с кораблём, движущимся прямолинейно с постоянной скоростью, то движение волн, возникающих за кораблём, будет стационарным. Если система координат связана с берегом, то тогда движение волн будет нестационарным (волны сначала появляются, затем постепенно затухают).

Если с каждой частицей потока связать вектор, характеризующий её скорость, то получим бесконечное множество векторов скорости, заполняющее всё пространство, занятое движущейся жидкостью. Для упорядочивания этой картины вводится понятие линии тока. Это такие линии, вдоль которых в данный момент времени векторы скорости направлены по касательным к ним в каждой точке.

Построение линий тока можно сделать следующим образом (рисунок 2.2). Возьмём некоторую точку М жидкости, скорость которой в данный момент времени равна и. Для построения линии тока для данного момента времени отступим вдоль вектора скорости в следующую точку М₁, нанесём на чертеже скорость и₁ точки М₁, отметим на этом векторе точку М₂ и проведём вектор скорости и₂. Продолжая таким образом, наметим серию точек. Если отрезки между точками М_i­ взять сколь угодно малыми, то совокупность этих точек представит линию тока, проведённую в данный момент времени. Все векторы и_i будут касательными к линии тока.

Если рассматривать положение какой-либо отдельной частицы в различные моменты времени, то можно проследить путь её движения или траекторию.

Траектория частицы строится следующим образом. Пусть в данный момент времени частица находится в точке М. За малый промежуток времени частица переместится вдоль вектора скорости и из точки М в смежное положение М¢. Скорость в точке М¢ уже не будет равна и, т.к. за малый промежуток времени в силу нестационарности поля скорость изменится и станет равной u¢ и траектория далее пойдёт по направлению ­М¢М², затем М²М²¢ и т.д. Совокупность точек ММ¢М²М²¢… будет представлять траекторию частицы с тем большей точностью, чем меньше будет выбираться промежуток времени.

В результате построения очевидно, что при стационарности поля скоростей линии тока совпадают с траекториями частиц, в нестационарном поле – не совпадают.

Семейство линий тока можно найти аналитически. Бесконечно малый элемент М_iМ_i+1 = dr в проекциях на оси координат равен

Вектор скорости равен

В этих равенствах i, j, k – векторы базиса или орты. Условием параллельности бесконечно малого отрезка dr и вектора скорости и является

что в проекциях на оси координат даёт

(2.5)

где dl – некоторый скалярный параметр.

Аналогично для траектории можно записать

(2.6)

Из построения и равенств (2.5), (2.6) очевидно, что линии тока не могут пересекаться. Однако может случиться так, что все компоненты скорости u_i обратятся в некоторой точке х, у, z­ в ноль или бесконечность. В этих точках правые части уравнений (2.5) становятся неопределёнными, и такие точки называются особыми точками дифференциальных уравнений линий тока. В этих точках линии тока могут пересекаться. Примеры особых точек приведены на рисунке 2.3. Это источник (а) и сток (б). В теории дифференциальных уравнений они носят название узлы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Через точку 0 проходит бесконечное множество линий тока, а скорость

в точке 0 равна бесконечности. На рисунке (в) приведены линии тока, окружающие точечный вихрь в точке 0. В теории дифференциальных уравнений эта особая точка называется фокусом. Скорость в фокусе равна бесконечности. На рисунке (г) показано разветвление потока около круга. Внешний по отношению к кругу поток соответствует обтеканию круга с критическими точками А и В, скорость в которых равна нулю. Точки А и В являются седлообразными особыми точками, через каждую из них проходит только две линии тока (интегральные кривые). Течение внутри круга имеет особую точку 0 – диполь, скорость в которой равна бесконечности.

Проведём в данный момент времени в потоке жидкости замкнутый контур С, ни одна точка которого не является особой (рисунок 2.4). Тогда через каждую точку такого контура можно провести определённую линию тока. Совокупность линий тока образует поверхность тока, а часть жидкости, выделенная из неё поверхностью тока, проведённой через замкнутый контур, называется трубкой тока. Так как вектор скорости лежит в касательной плоскости к поверхности трубки тока, то через поверхность трубки не может перетекать жидкость, т.е. она является непроницаемой для жидкости. Если контур С бесконечно мал, то трубка тока называется элементарной, если достаточно велик – конечной. Поведя через контур С поверхность w, заключённую внутри трубки и опирающуюся на контур С, получим сечение трубки. Если все линии тока, расположенные внутри трубки тока и на её поверхности, нормальны к поверхности сечения, то такое сечение называется нормальным или ортогональным сечением трубки.

Разбив весь поток на достаточно узкие трубки тока, можно, пользуясь свойством непроницаемости боковой поверхности трубки тока, изучать бесконечно малые перемещения выделенного объёма жидкости вдоль трубки.

Струёй называется часть жидкости, ограниченная поверхностью траекторий точек замкнутого контура. В случае стационарного поля скоростей, когда линии тока не отличаются от траекторий, трубка тока совпадает со струёй. В этом случае, разбив поток на трубки тока, можно рассматривать не только бесконечно малые перемещения заключающихся в трубках объёмов жидкости, но и движение их в течение любого конечного промежутка времени.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Линии тока в потоке жидкости могут быть параллельными прямыми, могут изгибаться, могут расходиться на некоторый угол (рисунок 2.5). В первом случае движение потока называется параллельноструйным. Если линии изогнуты или имеют какой-то угол расхождения q, то такой поток уже не может быть параллельноструйным. Он является или плавноизменяющимся, или резкоизменяющимся. Условиями плавного изменения потока являются: радиус кривизны r линий тока должен быть весьма велик; угол q, образованный линиями тока, должен быть близок к нулю. При несоблюдении любого из этих условий поток является резкоизменяющимся.

В плоскопараллельных потоках нормальные сечения в трубках тока всегда плоские. В плавноизменяющихся потоках нормальные сечения имеют некоторую кривизну. При расчётах плавноизменяющихся потоков действительные искривлённые сечения заменяют плоскими расчётными сечениями.

 

         2.4 Три вида движения жидкой частицы

Для изучения сложных движений в кинематике применяют общий приём расчленения движения на отдельные, более простые составляющие. Так, в теоретической механике, рассматривая движение абсолютно твёрдого тела, разлагают его движение на две составляющие: поступательную и вращательную вокруг мгновенной оси, проведённой через произвольную точку твёрдого тела, называемую полюс. На рисунке 2.6 (а) показано движение абсолютно твёрдого тела. Любая линия ав, проведённая внутри тела, всегда сохраняет свою длину и вместе с тем поворачивается на некоторый угол.

В отличие от твёрдого тела, жидкая частица, кроме поступательного движения и вращения, ещё и изменяет свою форму – деформируется. При этом любой отрезок, проведённый внутри частицы, изменяет свою длину.

Рассмотрим движение бесконечно малого объёма жидкости, имеющего форму сферы радиуса r (на рисунке 2.6б она показана в виде круга). Поместим начало координат в точку 0 – центр частицы. За время dt данный элементарный объём переместится в точку 0¢. Это перемещение можно разложить на три составляющие.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Поступательное движение. При этом можно представить первоначальную окружность с центром в точке 0¢, а произвольно проведённые взаимно перпендикулярные линии I-I и II-II переместились параллельно самим себе.

2) Вращательное движение. При этом движении отмеченные отрезки I-I  и II-II поворачиваются на некоторый средний угол dq, сохраняя свою длину.

3) Деформационное движение. При этом движении каждый из указанных радиусов поворачивается на дополнительный угол dq¢ и, кроме того, укорачивается или удлиняется. Дополнительный угол поворота dq¢ для каждого радиуса будет различный, и удлинение или укорочение каждого радиуса тоже будет различным. Вследствие этого начальная окружность с центром в точке 0 деформируется и приобретает форму, изображённую толстой сплошной линией с центром в точке 0¢.

Считая, что поступательное движение отсутствует, рассмотрим подробнее вращение и деформацию. Угловую скорость вращения обозначим W, а проекции этого вектора на оси координат – W_х, W_у, W_z. Выделим элементарный объём жидкости в виде прямой треугольной призмы авс (рисунок 2.7). Так как поступательное движение не рассматривается, то начальная точка а не будет менять своего положения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В результате вращения призма примет положение аb¢c¢, при котором стороны аb, ас и биссектриса аА повернутся на угол dq­. В результате деформации призма примет свою окончательную форму аb²с². В результате деформации биссектриса не должна менять своего положения. Тогда будут справедливы следующие равенства

         где da₁ и da₂ – углы поворота сторон аb­ и ас от первоначального положения до конечного.

Разделив последнее равенство на dt, получаем

(2.7)

Так как в данном случае рассматривается вращение элементарного объёма жидкости, то величина dq/dt представляет собой среднюю угловую скорость вращения выделенной призмы вокруг оси у:

(2.8)

Величины, входящие в правые части (2.7), согласно равенствам (2.3), равны

(2.9)

Подставляя (2.8) и (2.9) в равенство (2.7) и проделав такие же вычисления относительно осей х и z, получим аналогичные равенства для компонентов скорости вращения W_х и W_z;

(2.10)

Система уравнений (2.10) в векторной форме имеет вид

(2.10')

где W – вектор угловой скорости вращения или вихрь.

Скорость движения складывается из скорости квазитвёрдого движения и деформационного

Выражение (2.10¢), справедливое для абсолютно твёрдого тела в данный момент времени, будет справедливо и для любой движущейся сплошной среды с нелинейным полем скоростей только для малой окрестности некоторой произвольной точки М среды. Определим распределение скоростей в окрестности точки М с координатами (х, у, z). Скорость этой точки в проекциях на оси координат будет иметь значения u_х, u_у, u_z. Тогда бесконечно малый направленный отрезок dr = r₁ – r можно представить как дифференциал, определённый в фиксированный момент времени. Вектор скорости в точке М₁, лежащей в бесконечно малой окрестности точки М и имеющий радиус-вектор r₁ = r + dr, будет равен u₁=и(r + dr). Применяя разложение в ряд Тейлора и ограничиваясь только величинами не более первого порядка малости, получим

(2.11)

В проекциях на оси координат

(2.11¢)

Сделаем следующую тождественную замену переменных

(2.12)

Используя эти тождества, преобразуем систему уравнений (2.11¢) следующим образом.

(2.13)

В этих уравнениях скобки в верхней строке правой части представляют собой угловые скорости W_х, W_у, W_z. Следовательно, верхние строки правой части можно представить как проекции скоростей квазитвёрдого движения элементарного объёма среды. Поступательная скорость в таком движении совпала бы со скоростью u точки, а угловые скорости W равнялись бы ½ rоt u, вычисленного в данной точке М.

Кроме этого квазитвёрдого движения есть ещё дополнительная составляющая, представленная вторыми строками правой части уравнений. Эта дополнительная составляющая представляет собой деформационное движение сплошной среды.

Введём следующие обозначения

(2.14)

Совокупность этих девяти величин можно представить в виде матрицы

,

(2.15)

которая образует тензор 2-го ранга и называется тензором скоростей деформаций. Этот тензор является симметричным, т.е. его компоненты

,

зеркально расположенные относительно главной диагонали, раны между собой.

         Учитывая вышеизложенное, систему уравнений (2.13) можно написать следующим образом

(2.16)

Первые три слагаемые в правых частях выражают скорость u_кт в квазитвёрдом движении, а последние – в деформационном движении u_д.

Обобщением всего вышесказанного является первая теорема Гельмгольца: движение элементарного объёма среды можно в каждый данный момент времени представить разложенным на 1) квазитвёрдое движение со скоростью u_кт, равной сумме поступательной скорости u какой-нибудь отдельной частицы М, заключённой в этом элементарном объёме, и вращательной скорости, соответствующей вектору W = ½ rоtu, и 2) деформационному движению со скоростью u_д.

Основной смысл теоремы Гельмгольца заключается в установлении зависимости между собой отдельных составляющих движения элементарного объёма, зависящих от заданного поля скоростей, его непрерывности и дифференцируемости.

Вращение элементарного объёма и его деформационное движение не могут быть произвольными, не зависящими друг от друга и от поступательного движения объёма. Они связаны между собой определёнными количественными соотношениями, выражающимися через пространственные производные, вычисленные по заданному распределению скоростей.

 

2.5 Вихревое движение жидкости

Если угловая скорость не равна нулю, то движение называется вихревым. Условием вихревого движения является неравенство нулю выражения (2.10) или в векторной форме

(2.17)

Как для всякого векторного поля, для поля вектора вихря можно ввести понятие векторных линий, поверхностей и трубок, т.е. понятия вихревых линий, поверхностей и трубок. Вихревой линией называется линия, касательные в каждой точке которой совпадают с направлением вектора вихря W. Направления осей мгновенного вращения частиц должны быть ортогональны к направлениям скорости их поступательного движения. Дифференциальные уравнения вихревых линий имеют вид

(2.18)

Вихревая поверхность f(x, y, z) = const сплошь состоит из вихревых линий, и её уравнение имеет вид

(2.19)

 Вихревая трубка образуется, если через все точки замкнутой кривой С (не являющейся вихревой линией) провести вихревые линии. Боковая поверхность вихревой трубки – вихревая поверхность, и на ней W_п = 0. Примеры вихревой линии и вихревой трубки показаны на рисунке 2.9.

Для вихревой трубки справедлива вторая теорема Гельмгольца: Поток вектора угловой скорости через произвольное поперечное сечение w вихревой трубки одинаков в данный момент.

Применяя теорему Гельмгольца к элементарной вихревой трубке, можно выбрать сечения её w₁ и w₂ плоскими и нормальными к поверхности трубки. Тогда с точностью до малых высших порядков W₁w₁ = W₂w₂. Из этого равенства вытекает, что сечение трубки не может стать равным нулю, так как это привело бы к возрастанию до бесконечности угловой скорости вращения жидких частиц в этом сечении (рисунок 2.9 а). Отсюда вытекает следствие второй теоремы Гельмгольца: Вихревые трубки не могут заканчиваться внутри жидкости; они либо образуют замкнутые кольца, либо оканчиваются на стенках канала или свободной поверхности жидкости.

 

 

 

 

                                        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, поток вектора вихря сквозь любое сечение трубки является характерной величиной для трубки и называется интенсивностью трубки:

(2.20)

Возьмём в поле скоростей произвольный разомкнутый АВ или замкнутый С контур и на контуре обозначим элемент dr, который, характеризует направление обхода контура (рисунок 2.11). Криволинейный интеграл от скалярного произведения скорости и на направленный элемент контура dr называется циркуляцией скорости по контуру АВ:

(2.21)

Очевидно, что Г_АВ = –Г_ВА.

Для замкнутого контура С

(2.21')

Согласно формуле Стокса

(2.22)

Отсюда приходим к теореме Стокса: циркуляция по замкнутому контуру равна потоку вихря через открытую поверхность, ограниченную этим контуром или, что то же самое, равна интенсивности вихревой трубки.

Теорема Стокса сводит количественное определение интенсивности вихревой трубки к вычислению циркуляции скорости.

 

Пример 2.1. Рассмотрим течение, определяемое уравнением (смотри рисунок к примеру)

где а – постоянная положительная величина.

Траектории, совпадающие с линиями тока в этом течении, – прямые, параллельные оси х. Распределение скоростей вдоль любой прямой х = const линейное. Непосредственное вычисление компонент W в декартовых координатах даёт

т.е. течение вихревое, W направлен против оси z и не меняется от точки к точке. Бесконечно малая жидкая частица, взятая в момент t в виде квадрата АВСD, в момент t + Dt перейдёт в ромб А¢В¢С¢D¢. Углы между диагоналями в процессе движения остаются прямыми, но их ориентация в пространстве меняется. Они вращаются с угловой скоростью

¨

 

2.6 Потенциальное движение жидкости

Если вектор скорости представить в виде градиента некоторой скалярной функции j(x, y, z, t)

(2.23)

то поле скоростей u называется потенциальным, а функция j – потенциалом скорости. Аналогично произвольное векторное поле А(x, y, z, t) является потенциальным, если есть функция Ф(x, y, z, t) такая, что

(2.24)

         Любые потенциальные функции могут образовывать поверхности равного потенциала Ф = const или эквипотенциальные поверхности.

Скорость u в случае потенциального течения ортогональна эквипотенциальной поверхности j = const и тем больше там, где поверхности равного потенциала расположены гуще. Проекция скорости u на любое направление s есть производная от потенциала j по этому направлению:

Выражение u_хdх + u_уdу + u_zdz в случае потенциального течения будет полным дифференциалом функции j

(2.25)

Если в (2.23) первое равенство продифференцировать по у, а второе по х, то

Вычитая из второго равенства первое, получаем

(2.26)

Аналогично, дифференцируя в (2.23) первое по z, третье по х и вычитая из первого второе и дифференцируя второе по z и третье по у и вычитая из второго первое, получаем

(2.26¢)

Подставляя полученные равенства в (2.10), получаем

(2.27)

Равенства (2.26) и (2.26¢) являются необходимым и достаточным условием потенциального течения.

Из (2.27) можно сделать вывод, что если рассматриваемое поле скоростей является потенциальным, то средние угловые скорости W вращения частиц жидкости относительно своих мгновенных осей должны равняться нулю и движение будет безвихревым.

Верно также и обратное утверждение: безвихревое движение жидкости всегда является потенциальным.

Примером потенциального течения может служить поступательное течение с постоянной скоростью u₀ вдоль оси х. В этом случае u_х = u₀, u_у = u_z = 0,  а потенциал равен j = u₀х + const. Отсюда можно сделать вывод, что потенциал определяется с точностью до аддитивной постоянной по координатам и что любое поступательное течение всегда потенциально. Действительно в общем случае поступательного течения u_х = u_хо, u_у = u_уо, u_z = u_zо, и j = u_хо + u_уо + u_zо + const, при этом u_хо, u_уо, u_zо, const могут быть функциями времени t.

 

Пример 2.2. Определить расход Q плоского источника (стока).

Решение. Пусть , где , а Q = const или Q = Q(t). Поверхностями равного потенциала j = const являются в этом случае поверхности r = const, т.е. концентрические окружности с центром в начале координат. Скорость u = gradj ортогональна к этим окружностям, т.е. направлена по радиусам. Линии тока являются лучами, выходящими из начала координат. Пусть Q > 0. Тогда, так как gradj направлен в сторону роста j, то u направлена по r. Если Q < 0, то u направлена по –r (рисунок 2.3 а, б). Величина скорости равна

Скорость стремится к нулю при r ® ¥ и к бесконечности при r ® 0. Точки 0 и ¥ являются критическими. При Q > 0 имеем вытекание жидкости из начала координат во всех направлениях – источник. При Q < 0 – втекание жидкости в начало координат – сток.

Объём жидкости, протекающей за единицу времени через окружность С некоторого радиуса r с центром в начале координат равен

u можно вывести за знак интеграла, так как u = const на длине окружности. w – элемент окружности. Вычисленный объём жидкости не зависит от r. Таким образом, несмотря на то, что на окружностях разного радиуса с центром в начале координат скорости разные, постоянная Q в потенциале j является объёмом жидкости, протекающей в единицу времени через каждую такую окружность. Величина Q называется расходом или мощностью истока (стока). Если Q = const, то источник (сток) имеет постоянную мощность; если Q = Q(t) – то переменную.¨

         2.7 Силы, действующие в потоке жидкости

В механике твёрдого тела рассматривают в основном сосредоточенные силы, действующие в одной точке. В механике жидкости и газа, изучающей деформируемую сплошную среду, имеют дело с распределёнными силами, которые действуют в каждой точке объёма или на каждом элементе поверхности, причём при стремлении бесконечно малого элемента  объёма или поверхности к нулю главный вектор действующих на него сил также стремится к нулю. Первые силы называются объёмными или массовыми, а вторые – поверхностными.

Объёмные силы – это силы дальнего действия, которые очень медленно убывают с увеличением расстояния между взаимодействующими элементами. К объёмным силам относится сила тяжести и силы инерции. Если жидкость несёт электрический заряд или через неё пропущен электрический ток, то на неё также будут действовать электромагнитные силы, имеющие массовую природу.

Вследствие медленного изменения объёмных сил с изменением положения элемента жидкости, на который они действует, они будут действовать в одинаковой мере на всё вещество внутри малого элемента объёма, а полная сила пропорциональна величине этого элемента объёма. Сила тяжести и сила инерции в действительности пропорциональны массе элемента объёма, поэтому сумма всех массовых сил пропорциональна также плотности жидкости F ~ r×dV.

Согласно второму закону Ньютона

         где dm – масса бесконечно малого элемента сплошной среды, кг;

      а – ускорение этого элемента, м/с².

Следовательно, сила инерции, действующая на единицу массы сплошной среды, равна F = а, а сила тяжести, действующая на единицу объёма – F = r×g, причём вектор g не зависит от времени и направлен вертикально вниз.

К поверхностным силам, которые в механике сплошных сред играют основную роль, относятся силы близкого действия, которые непосредственно связаны с молекулярным строением вещества. Эти силы убывают очень быстро с увеличением расстояния между взаимодействующими элементами и считаются пренебрежимо малыми до тех пор, пока нет непосредственного контакта между элементами.

Если на элемент массы жидкости действуют силы близкого действия, возникающие при взаимодействии с веществом, расположенным вне элемента, то они могут действовать лишь на тонкий слой, который примыкает к границе элемента жидкости. Поэтому полные силы близкого действия определяются площадью поверхности элемента, на который они действуют и не зависят непосредственно от его объёма. Взяв элемент поверхности w, можно ввести элементарную поверхностную силу, приложенную к некоторой выделенной в среде малой площадке dw.

где плотность поверхностных сил, действующих на единичную площадку.

Силы можно разделить на внутренние и внешние. Силы называются внутренними, если они вызваны взаимодействием между частицами, принадлежащими рассматриваемому движущемуся объёму, и внешними, если они вызваны внешними по отношению к рассматриваемому объёму объектами.

Выделим в потоке некоторый произвольный объём V и разобьём его сечением w на две части V₁ и V₂ (рисунок 2.12). Если мы будем рассматривать движение одной из частей, например V₁, то действие на неё части V₂ необходимо заменить распределёнными по V₁ массовыми силами и распределёнными по w поверхностными силами. Таким образом введённые силы взаимодействия будут внешними для части V₁. Если рассматривать движение объёма V в целом, то эти силы будут внутренними. Сечение w проведено произвольно, и если его провести по-другому, то поверхностные силы будут другими.

Возьмём некоторую точку М внутри тела и рассмотрим в этой точке различные элементарные площадки dw. Ориентация этих площадок определяется нормалью п. Направление п всегда выбирается таким образом, чтобы она была внешней по отношению к той части среды, на которую действует сила dР. Силу dР можно разложить на две составляющие – по нормали п и касательной к элементарной площадке dw. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Найдём общее выражение для поверхностной силы, отнесённой к единице объёма деформируемого тела. Вырежем из потока элементарный прямоугольный параллелепипед со сторонами  dx, dy, dz (рисунок 2.13). Одна из вершин параллелепипеда совпадает с началом координат О. Объём параллелепипеда dxdydz. Рассмотрим две грани параллелепипеда, перпендикулярные оси х. Их площадь равна dydz. К этим граням приложены результирующие силы –р_х и  Эти силы являются векторами и представляют собой отнесённые к единице площади результирующие поверхностных сил.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Составляющая результирующей поверхностной силы, отнесённой к площади грани будет в направлении х равна

В направлении у и z эти составляющие силы соответственно равны

Сложив эти составляющие и разделив полученную сумму на объём dV = dхdуdz параллелепипеда, получим отнесённую к единице объёма поверхностную результирующую силу Р, вызванную напряжённым состоянием

(2.28)

Каждую составляющую р_х, р_у, р_z можно разложить на компоненты по координатным осям. Каждая компонента обозначается буквой р с двумя индексами: первый индекс указывает, к какой оси перпендикулярна рассматриваемая элементарная площадка; второй указывает ту ось, параллельно которой направлено данное напряжение. Таким образом, составляющие, перпендикулярные к элементарным площадкам, т.е. нормальные напряжения, обозначаются р_хх, р_уу, р_zz, а составляющие, лежащие в плоскости элементарных площадок, т.е. касательные напряжения, обозначаются р_ху, р_хz, р_ух, р_уz, р_zх, р_zу. Применив эти обозначения, получим

(2.29)

Таким образом, напряжённое состояние определяется девятью скалярными величинами, совокупность которых составляет тензор напряжений. Тензор напряжений записывается в виде матрицы и носит также название матрицы напряжений

(2.30)

Подставляя равенства (2.29) в уравнение (2.28), получим

(2.31)

или для любой, произвольным образом ориентированной площадки

(2.32)

Следовательно в каждой точке среды имеется бесчисленное множество векторов напряжений р_п, зависящих от выбора наклона площадки в этой точке, но существует только один тензор Р, характеризующий напряжённость среды в данной точке. Отдельные компоненты тензора Р, образующие матрицу (2.30), зависят от выбора направления осей координат, но тензор в целом представляет физическую величину, выражающую определённое состояние жидкости или газа – их напряжённость и не зависит от выбора направления осей координат.

 

         2.8 Понятие об идеальной жидкости

При решении практических задач, связанных с движением жидкости или газа, обычно принимают какую-либо математическую модель, в которой учитываются важнейшие для данной задачи свойства жидкости и отбрасываются свойства, мало влияющие на результат решаемой задачи. Такой подход сильно упрощает сложные математические модели.

Простейшей моделью движущейся жидкости является так называемая модель идеальной жидкости. В такой модели отвлекаются от наличия внутреннего трения, считая, что по площади соприкосновения смежных слоёв движущейся жидкости действуют только нормальные к площади силы давления и полностью отсутствуют лежащие в плоскости касательные силы, т.е. в идеальной жидкости отсутствует вязкость. Кроме того, под действием сжимающих сил идеальная жидкость не изменяет своего объёма. Таким образом идеальная жидкость имеет постоянную плотность, и в ней могут возникать только сжимающие напряжения.

На поверхности соприкосновения твёрдого тела с жидкостью отсутствует прилипание жидкости к стенке и происходит скольжение жидкости вдоль стенки.

Поскольку в модели идеальной жидкости принимается постулат об отсутствии внутреннего трения и трения на границе потока (с твёрдой стенкой или с воздухом), то все касательные напряжения будут равны нулю

рху = рух = руz = рzу = рzх = рхz = 0.

(2.33)

На любой наклонной к координатным осям площадке также будут отсутствовать касательные напряжения

рпх = рппх,  рпу = рппу,  рпz = рппz.

Отсюда следует, что нормальные напряжения

рхх = руу = рzz = рп,

(2.34)

т.е. в идеальной жидкости величина нормального напряжения не зависит от ориентации площадки. Тензор напряжений в этом случае принимает сферическую симметрию и все главные компоненты, расположенные по диагонали, будут одинаковыми. Обозначим их через р_п = –р и назовём р давлением. Выбор знака диктуется тем, что р вводится как положительная величина, так как из опыта известно, что среды, которые отвечают модели идеальной жидкости, в основном находятся в сжатом состоянии при р > 0.

Тензор напряжения в этом случае записывается в виде

(2.35)

где Е – тензорная единица – симметричный сферический тензор с компонентами, не зависящими от выбора системы координат

(2.36)

Теория движения идеальной жидкости математически очень хорошо разработана и во многих случаях даёт вполне удовлетворительную картину действительных движений. Такими случаями являются, например, волновое движение, движение с образованием струй или решение задачи распределения скоростей и давлений в потоке жидкости, обтекающем твёрдое тело. В то же время с помощью теории идеальной жидкости совершенно невозможно вычислить сопротивление тела, движущегося в жидкости. В этом случае она приводит к результату, что тело, равномерно движущееся в неограниченно распространённой жидкости, не испытывает никакого сопротивления.

 

Глава 3. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ

ЖИДКОСТИ

 

3.1 Уравнение Эйлера движения идеальной жидкости

На основе второго закона Ньютона масса, умноженная на ускорение, равна сумме всех сил, действующих на рассматриваемую массу. На частицу жидкости действуют массовые силы F и поверхностные силы Р. Для единицы объёма жидкости закон Ньютона будет иметь вид

(3.1)

Ускорение жидкой частицы было определено ранее как полный дифференциал от скорости по времени (2.1), (2.4). Массовую силу F можно выразить через её компоненты

(3.2)

Поверхностные силы для идеальной жидкости выражаются уравнением (2.28). Учитывая вышесказанное (3.1) можно записать в виде

(3.3)

Проектируя обе части этого равенства на оси координат, получим

(3.4)

Полученные векторные уравнения (3.3) или в проекциях на оси координат (3.4) называются уравнениями динамики сплошной среды в напряжениях. Для идеальной жидкости касательные напряжения равны нулю, а нормальные заменяются давлением –р. Тогда система уравнений примет вид

(3.5)

В векторной форме (3.5) примет вид

(3.6)

Уравнение (3.6) или равнозначная система уравнений (3.5) называется уравнениями Эйлера динамики идеальной жидкости или газа. Физически уравнения Эйлера выражают второй закон Ньютона для идеальной жидкости: изменение количества движения жидкой частицы происходит под действием массовых сил и сил давления.

 

3.2 Уравнение Эйлера в форме Громека-Лемба

Представим ускорение жидкой частицы в проекциях на оси координат (2.2) в следующем виде

	(3.7)

В векторной форме ускорение будет иметь вид

(3.8)

или учитывая, что

(3.8')

Левая часть уравнения Эйлера (3.6) представляет собой полный дифференциал скорости. Заменяя его вновь полученным дифференциалом скорости (3.8'), уравнение Эйлера для идеальной жидкости запишется в виде

(3.9)

В проекциях на оси координат

	(3.10)

Уравнения (3.9) и (3.10) называются уравнениями Эйлера движения идеальной жидкости в форме Громека-Лемба.

Приведённое преобразование ускорения можно применять для любых сплошных сред, и оно оказывается очень полезным при изучении многих вопросов механики жидкости и газа.

3.3 Уравнение неразрывности

Основное условие при течении жидкости или газа – непрерывность изменения параметров потока в зависимости от координат и времени, т.е. жидкость или газ должны двигаться как сплошная среда без разрывов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выделим в потоке жидкости неподвижный объем в виде параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz. Составляющие скорости в точке О'  u_x, u_y, u_z. Через площадку dydz, определяемую точкой О', в течение времени dt внутрь параллелограмма втекает масса жидкости, равная ru_xdydzdt­.

Из объема параллелепипеда за то же время dt через площадку dydz, определяемую точкой О" с координатами x + dx, dy, dz вытекает масса жидкости

.

(3.11)

Таким образом, масса жидкости вдоль оси Ох в объеме dxdydz изменяется на величину

.

При прохождении жидкости через другие грани изменение массы жидкости будет равно

.

Суммарное изменение массы жидкости в фиксированном объеме dxdydz равно

.

(3.12)

Объем dxdydz – постоянный, его величина не зависит от времени; координаты точки О' фиксированы.

Изменение массы жидкости в объеме dxdydz может произойти только за счет изменения плотности r за период времени dt. В общем случае плотность жидкости или газа является функцией координат x, y, z и времени t: r = f(x, y, z, t). Но в данном случае x, y, z фиксированы, и r может изменяться только в зависимости от времени.

Плотность жидкости в объеме dxdydz может изменяться на , а масса жидкости в этом объеме за период времени dt изменится на

Для сохранения сплошности должно быть удовлетворено условие

(3.13)

Условие соблюдения сплошности потока

(3.14)

В векторной форме

(3.15)

(3.14) и (3.15) – уравнения неразрывности.

Если течение установившееся, то .

Тогда уравнения (3.14) и (3.15) можно представить в виде

(3.16)

Если жидкость несжимаема, то r = const, тогда

(3.17)

 

3.3.1 Уравнение неразрывности для струйки при

установившемся движении

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Скорости струйки касательные к стенкам трубки тока, поэтому через стенку обмен массой с окружающей жидкостью отсутствует. Через площадку w₁ в единицу времени поступает масса жидкости, равная r₁и₁w₁. Через сечение w₂ вытекает в единицу времени масса жидкости, равная r₂и₂w₂.

В трубке тока масса жидкости, находящаяся между сечениями 1-1 и 2-2 остается постоянной, следовательно, условие неразрывности в трубке тока будет

,

то есть, вдоль трубки тока произведение

.

(3.18)

Система трёх уравнений Эйлера и уравнение неразрывности, которые при известных массовых силах F_x, F_y, F_z содержат пять неизвестных функций u_x, u_y, u_z, p, r, является незамкнутой. Для идеальной несжимаемой жидкости, т.е. такой жидкости, плотность каждой частицы которой постоянна, к системе четырёх уравнений можно добавить условие

(3.19)

или в декартовой системе координат

(3.20)

Полностью система дифференциальных уравнений для идеальной несжимаемой жидкости принимает вид

(3.21)

 

3.4 Интеграл Бернулли для линии тока

Напишем систему уравнений Эйлера в следующем виде

Правые части системы есть полные дифференциалы. Преобразуем систему следующим образом. Умножим каждое уравнение на dx, dy, dz и сложим

но  Кроме того .

      Правая часть равенства

      Первая скобка в левой части представляет полный дифференциал потенциала

Вторая скобка – полный дифференциал давления

Окончательно уравнение принимает вид

.

После интегрирования

Или, имея в виду выражение потенциала силы тяжести Ф = gz, получим . Разделив на g:

(3.22)

      где Н_g – гидродинамический напор, (3.22) – интеграл Бернулли.

       z – координата отметки. z представляет собой возвышение рассматриваемого сечения над горизонтальной плоскостью сравнения;

       p/rg – пьезометрическая высота, отвечающая гидродинамическому давлению р, или р/rg – высота столба жидкости в пьезометре, подключённому к рассматриваемому сечению;

       u²/2g – скоростной напор. Измеряется с помощью трубки Пито (рисунок 3.3). Уровень воды в трубке Д устанавливается выше уровня воды в трубке П на величину  Измерив h, находят скорость

3.4.1 Геометрическая интерпретация

уравнения Бернулли

Рассмотрим течение идеальной жидкости в канале переменного сечения (рисунок 3.4). Сумма трех слагаемых уравнения Бернулли для идеальной жидкости, так же как и каждое слагаемое, имеет линейную размерность. Эта сумма постоянна и называется полным напором (линия ЕЕ). На рисунке показаны отрезки прямых, соответствующие каждому слагаемому уравнения Бернулли для четырех произвольно выбранных сечений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z_п – расстояние от центра тяжести сечения до плоскости сравнения (высота положения);

p/rg – пьезометрическая высота (пьезометрический напор);

u²/2g – скоростной напор.

Линия ЕЕ, соединяющая точки, соответствующие полному напору, называется линией полного напора; линия РР, соединяющая точки пьезометрического напора, называется пьезометрической линией. При течении идеальной (невязкой) жидкости линия полного напора расположена горизонтально.

Сужение потока приводит к увеличению скорости течения, а, следовательно, скоростного напора, и к уменьшению пьезометрической высоты. Расширение потока приводит к обратному эффекту.

 

Пример 3.1. Из резервуара по трубопроводу, имеющему сужение, вытекает вода. На какую высоту h поднимется вода в трубке, присоединённой к суженной части трубопровода, если напор Н = 5 м, а диаметры D = 100 мм, d = 90 мм?

Решение. Соединим уравнением Бернулли сечения, проведённые по уровню воды 1-1 в баке и на выходе из трубы 2-2:

Проведём плоскость сравнения 0-0 по оси трубы. Тогда z₁ = Н, z₂ = 0, v = 0 т.к. скоростью воды в широком баке по сравнению со скоростью воды на выходе из трубы можно пренебречь. Давление на поверхности воды в баке и на выходе из трубы одинаковое – атмосферное р₁ = р₂ = р_а. Тогда уравнение Бернулли запишется в виде

Отсюда определяем расход

Скорость в сжатом сечении будет равна

Соединим уравнением Бернулли сечение 1-1, проходящее по уровню воды в баке, и наиболее сжатое сечение:

Высота столба жидкости в трубке будет равна разности атмосферного давления и давления в наиболее узкой части трубопровода

¨

Пример 3.2. Вода из фонтана бьёт на высоту  Н = 8 м, вытекая из сопла, имеющего форму усечённого конуса, обращённого вверх малым сечением. Диаметры сечений конуса: D = 50 мм, d = 10 мм, высота h = 0,5 м. Определить расход воды Q, подаваемый к фонтану, и давление р у нижнего основания конуса. Потерей напора в сопле пренебречь.

Решение. Соединим уравнением Бернулли сечение 1-1, до которого поднимается вода в фонтане, и 2-2, проведённое на выходе из сопла. В данных условиях z₁ = Н, v₁ = 0 т.к. в этом сечении вода останавливается и начинает падать, z₂ = 0, р₁ = р₂ = р_а, тогда

Расход воды равен

Скорость в сечении 3-3 находим из уравнения неразрывности

Для того, чтобы найти давление в сечении 3-3, соединим уравнением Бернулли это сечение и сечение 2-2. Для этих сечений z₂ = h, р₂ = р_а, z₃ = 0. Тогда

Отсюда

или р₃ = 181018 Па = 1,845 ата = 0,845 ати.   ¨

 

3.4.2 Приложения уравнения Бернулли. Трубка Прандтля

Измерения местной скорости в потоке можно делать различными приборами. Одним из наиболее распространённых и удобных приборов в применении является трубка Прандтля. Действие трубки Прандтля основано на уравнении Бернулли.

Трубка Прандтля состоит из двух коаксиальных трубок (рисунок 3.5). Центральная трубка с закруглённым, хорошо обтекаемым наконечником, направлена навстречу потоку жидкости и измеряет полное давление р+ru²/2. Внешняя трубка, закрытая спереди, имеет несколько боковых отверстий, расположенных примерно на расстоянии пяти калибров от носика, в зоне потока, где возмущения, внесённые трубкой, затухают. Поскольку плоскости боковых отверстий расположены параллельно линиям тока, то они нечувствительны к динамическому напору, а измеряют только статическое давление р. Концы обоих трубок имеют выводы, концы которых присоединяются к дифференциальному манометру. В U-образном дифференциальном манометре устанавливается некоторая разность столбов жидкости. Так как система находится в равновесии, то можно написать уравнение балансов давления относительно какой-либо плоскости сравнения, например, 0-0, проведённой через уровень нижнего столба жидкости в манометре. В другом колене манометра на плоскость 0-0 действует сила статического давления и вес столба жидкости р + r_мgh. С другой стороны плоскости действует сила статического давления и динамический напор р + ru²/2.

Так как система находится в равновесии, то обе эти силы равны

или, сокращая статическое давление,

,

(3.23)

где r_м и r – плотность жидкости, налитой в манометр, и плотность жидкости в исследуемом потоке.

Из этой формулы можно найти скорость потока в точке, где расположен носик трубки Прандтля

(3.24)

Учитывая вязкость жидкости и возмущения, которые трубка вносит в поток, полученную формулу для скорости необходимо скорректировать, введя коэффициент j, который определяется опытным путём для каждой трубки индивидуально

(3.25)

Если необходимо измерить поле скоростей в каком-либо потоке, например, в сечении трубы, то, передвигая трубку вдоль диаметра трубы и для каждой точки записывая показания манометра h, и затем, пересчитывая эти показания по формулам (3.24) и (3.25), получаем поле скоростей, которое можно изобразить графически в виде эпюры.

 

3.4.3 Расходомер типа трубы Вентури

Другое техническое приложение уравнения Бернулли воплощено в трубе Вентури. Труба Вентури служит для измерения расхода жидкости или газа. Пусть по прямой трубе постоянного сечения w течёт идеальная жидкость с постоянной среднерасходной скоростью v. Давление и плотность в трубе постоянные. В некотором сечении трубы имеется сужение, минимальная площадь которого w₁. Пусть труба расположена горизонтально, тогда возвышения z₁ и z₂ будут одинаковы z₁ = z₂ (рисунок 3.6). Тогда уравнение Бернулли для двух сечений 0-0 и 1-1 будет иметь вид

(3.26)

Используя уравнение неразрывности (3.18), можно написать

откуда

(3.27)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда перепад давления между сечениями 0-0 и 1-1 будет определяться следующим образом

(3.28)

Отсюда можно найти скорость в широкой части трубы

(3.29)

Здесь

– коэффициент, зависящий только от диаметров широкой и узкой части сопла Вентури, которые известны.

Перепад давления Dр замеряется U-образным манометром. Разность перепада уровней жидкости в манометре Dh равна перепаду давления Dр и зависит от плотности жидкости, налитой в манометр. Подставляя в (3.29)

получаем

(3.30)

Расход в трубке определяется произведением скорости v на площадь сечения в широкой части трубы

(3.31)

где r_м – плотность жидкости, налитой в U-образный манометр.

Приведённые здесь формулы вполне применимы для измерения расхода реальной жидкости, так как тщательная внутренняя обработка трубки и очень короткий участок между отборами давления в широкой и узкой части делают сопротивление трения на мерном участке пренебрежимо малым по сравнению с величиной Dр.

 

Пример 3.3. Определить массовый расход газа в трубе диаметром d₁ = 200 мм, на которой установлен расходомер Вентури с минимальным диаметром d₂ = 150 мм, если разность давлений в трубках U-образного дифференциального манометра Dh = 30 мм вод. ст.­, а плотность газа r = 0,75 кг/м³.

Решение. Находим коэффициент с в формуле (3.29):

Подставляем это значение в формулу (3.31) и вычисляем объёмный расход газа:

Массовый расход равен

¨

 

3.5 Явление кавитации

Из интеграла Бернулли (3.22) следует, что при установившемся движении несжимаемой жидкости распределение давления в потоке зависит от распределения скоростей. В каких-то местах потока или линии тока скорость может стать очень высокой и давление в этих точках понижается и может стать отрицательным.

В реальной капельной жидкости содержатся взвешенные твёрдые микрочастицы, растворённый газ (обычно воздух) и микроскопические включения нерастворённого газа. Включения нерастворённого газа могут находиться в трещинах гидрофобных частиц, куда вода, вследствие поверхностного натяжения, не может проникнуть. Эти посторонние включения могут при определённых условиях стать центром образования пузырьков, образующихся из растворённого газа и паров воды.

Когда давление в какой-то точке потока становится ниже критического значения р_п, жидкость оказывается в неустойчивом состоянии, и в ней начинают образовываться полости, заполненные растворённым в воде газом и парами воды. Критическое давление р_п практически равно давлению насыщенных паров воды при данной температуре. Явление образования таких полостей носит название кавитации.

Возникновение кавитации оказывает существенное влияние на законы движения жидкости, так как нарушается принятое ранее допущение о сплошности среды. Кавитация может возникнуть вблизи минимального сечения в трубке с пережимом, в поршневом насосе, когда давление за поднимающимся поршнем стремится к нулю, а также при обтекании различных тел.

Для установившегося движения тяжёлой несжимаемой жидкости на основании уравнения Бернулли можно написать

где р_ст – статическое давление в потоке;

      u_¥ – скорость потока вдали от обтекаемого тела;

      р и u – давление и скорость в рассматриваемой точке потока.

Это уравнение можно переписать в следующем виде

(3.26)

При обтекании тела на линии тока в какой-то точке может быть достигнута максимальная скорость u_тах, которой будет соответствовать, согласно уравнению Бернулли, минимальное давление р_тiп. Обычно максимальная скорость достигается вблизи поверхности обтекаемого тела, а отношение  u_тах/u_¥ зависит только от геометрической формы тела и его ориентации относительно набегающего потока.

Величина, стоящая в левой части (3.26), в точках поверхности тела называется коэффициентом давления с_р. На основании (3.26) для коэффициента давления, соответствующего точке минимального давления, можно написать

(3.27)

Наступление кавитации определяется условием

(3.28)

где р_п – давление насыщенных паров.

Безразмерное число k называется  числом кавитации, которое определяется задаваемыми условиями обтекания. k зависит от статического давления р_ст, которое в открытых бассейнах, в свою очередь, зависит от глубины погружения. При фиксированной разности р_ст – р_п число кавитации k резко падает с увеличением скорости набегающего потока u_¥.

В тот момент, когда k = с_рmin, в обтекаемом потоке в точке достижения максимальной скорости, возникает кавитация, которая может привести к перестройке картины всего течения жидкости.

Очевидно, что при движении в жидкости любого профиля при увеличении его скорости неизбежно наступает кавитация. Кавитация наступает тем позже, чем ближе к единице отношение u_тах/u_¥, т.е. чем меньше обтекаемое тело возмущает поток.

Значение критического числа кавитации для разных местных сопротивлений определяется экспериментально. Оно связано с коэффициентом местного сопротивления в бескавитационном режиме. В первом приближении для местных сопротивлений, вызванных изменением сечения потока, критическое число кавитации можно рассчитать по формуле

(3.29)

где z – коэффициент местного сопротивления.

Предельно допустимая скорость перед местным сопротивлением рассчитывается по известному числу кавитации:

(3.30)

Из (3.27) видно, что кавитация может возникнуть не только при увеличении скорости данного тела, но и при уменьшении р_ст. При увеличении р_ст, например, на входе в насос, наступление кавитации затрудняется.

Явления кавитации встречаются при работе гидротурбин при повышенных оборотах, при движении жидкости в насосах и других гидравлических машинах, при работе гребных винтов судов, при движении с большой скоростью на подводных крыльях. Кавитация встречается и на гидравлических системах самолётов, когда при подъёме на высоту р_ст сильно уменьшается. Кавитация может возникнуть и в трубах Вентури, Поперечное сечение трубы Вентури уменьшается до минимума и затем постепенно увеличивается так, что вода, текущая вдоль трубы, имеет локальный минимум давления в её узком сечении. При определённых условиях давление в этом сечении может стать ниже, чем давление пара, и тогда вниз по потоку образуется пенящаяся смесь воды и пузырьков, которые обычно скапливаются вдоль стенок трубы. Подобные случаи образования каверн характерны в системах водоснабжения, когда частично открытые вентили, установленные на трубопроводе, действуют наподобие узкого сечения трубы Вентури. Появление каверн в трубопроводах сопровождается характерными шипящими шумами.

Возникновение кавитации на лопатках водяных насосов, гидротурбин, гребных винтов и на подводных крыльях приводит к резкому ухудшению их гидродинамических характеристик, в частности, подъёмная сила подводных крыльев резко падает.

При возникновении кавитации на поверхности тела в области р_min образуются пузырьки, заполненные паром с давлением, близким к нулю. Затем пузырьки перемещаются вместе с жидкостью и попадают в область больших давлений. В области повышенных давлений жидкость со значительной скоростью устремляется внутрь каверн, происходит их схлопывание, сопровождающееся большим приращением местных давлений порядка десятков мегапаскалей. Это давление распространяется по всей воде как волна сжатия. Импульс давления большой интенсивности, распространяющийся от каждой разрушающейся каверны, является важной и нежелательной чертой кавитации. Он слышен как громкий шум в системах подвода воды и гидравлических насосах. Когда этот шум возникает в результате кавитации вблизи винта корабля, он может вызвать интенсивную вибрацию винта, и прослушивается на больших расстояниях подводными акустическими приборами.

Непрерывное схлопывание пузырьков быстро приводит к износу и эрозии соседних твёрдых поверхностей. Такая кавитационная эрозия может быть настолько интенсивной, что после нескольких часов работы винтов корабля в режиме кавитации, их лопасти оказываются полностью разрушенными. Разрушительное действие кавитации проявляется на лопастях мощных питательных насосов, подающих воду в котёл, на лопастях гидротурбин, на бетонных водосбросах плотин.

На рисунке 3.7 показана фотография винта, вращающегося в потоке воды. На первой фотографии (а) возникает каверна внутри кольцевого вихря от каждой из трёх лопастей. При большей скорости вращения (б) на стороне разрежения каждой лопасти видна каверна, объём которой достаточно велик, чтобы влиять на распределение давления на лопастях.

Рисунок 3.7 – Кавитация, возникающая за винтом, вращающимся в потоке воды

   

 

 

Для изучения кавитационных явлений используются различные экспериментальные установки, например, гидродинамическая или кавитационная труба. Принципиальная схема кавитационной трубы приведена на рисунке (3.8). Поток воды в такой трубе создаётся с помощью осевого насоса, расположенного в нижней части трубы. Исследуемое тело размещается в верхней части трубы в рабочем участке. Нужное значение числа кавитации при испытании образца создаётся за счёт изменения статического давления р_ст. Для этого в трубе устанавливается специальная шахта со свободной поверхностью воды. Уменьшение давления над свободной поверхностью воды в шахте уменьшает давление во всей массе жидкости, заполняющей трубу, и таким образом моделируется кавитационный поток при значительно меньших скоростях обтекания модели, чем в натуральных условиях.

 

 

 

 

 

 

 

Глава 4. ГИДРОСТАТИКА

 

Гидростатика занимается изучением явлений, происходящих в относительно покоящихся сплошных средах. Для любой реальной жидкости, находящейся в состоянии покоя, можно принять касательные составляющие тензора напряжений равными нулю, а сохранить лишь нормальные составляющие, такие же, как и в идеальной движущейся жидкости, и равные (2.34) р_хх = р_уу = р_zz = р_п..

Таким образом, три нормальных напряжения, приложенные к трём взаимно перпендикулярным площадкам, как угодно ориентированным в пространстве, равны между собой. Этот закон изотропии нормальных напряжений в точках сплошной среды, находящейся в равновесии, называется законом Паскаля. Гидростатическое давление вводится как вектор, равный нормальному напряжению по величине и направленный в противоположную сторону. Следовательно, гидростатическое давление является сжимающей силой для покоящейся жидкости. Тензор напряжений принимает вид (2.35):

 

 

4.1 Уравнения Эйлера покоящейся жидкости

В предыдущем разделе были введены уравнения Эйлера динамики идеальной жидкости (3.5) и (3.6). Покоящаяся жидкость находится в равновесии и все компоненты скорости равны нулю u = u_х = u_у = u_z = 0. Следовательно, правые части уравнений (3.5) и (3.6) обратятся в нуль и уравнения Эйлера равновесия жидкости примут вид

(4.1)

или в векторной форме

(4.2)

Если уравнения (4.1) последовательно умножить – первое на dх, второе на dу, третье на dz и сложить, то получим

Так как давление р в точке есть функция только координат, то выражение в правой части есть полный дифференциал давления dр, следовательно при равновесии жидкости левая часть уравнения есть тоже полный дифференциал некоторой функции, зависящей от координат:

(4.3)

Тогда уравнение (4.2) можно написать в виде

(4.4)

Так как Ф есть функция только координат, а частные производные её по координатам дают соответствующие проекции F_х, F_у, F_z объёмной силы, то Ф является потенциальной функцией. Отсюда вытекает вывод, что жидкость может находиться в равновесии только в том случае, когда массовые силы, действующие в ней, имеют потенциал, т.е. проекции массовых сил удовлетворяют условию (4.3).

Интегрирование уравнения (4.4.) даёт

(4.5)

Для определения постоянной интегрирования рассмотрим некоторую точку жидкости, для которой известны р и Ф: р = р₀, Ф = Ф₀. Для этой точки (4.5) запишется

(4.6)

Подставляя (4.6) в (4.5), получим

(4.7)

Формула (4.7) определяет давление в точке для случая, когда ­r = const, причём на жидкость действует любая система объёмных сил, имеющих потенциал.

 

4.2 Равновесие жидкости, находящейся под действием силы тяжести

При равновесии несжимаемой жидкости в поле тяжести, когда другие объёмные силы отсутствуют, компоненты силы F будут F_х = 0; F_у = 0; F_z = g (рисунок 4.1). Ось z направлена вертикально вниз.

Дифференциал потенциальной функции равен

.

Тогда уравнение (4.4) примет вид

.

(4.8)

Интегрирование даёт . Для определения постоянной интегрирования С необходимо поставить граничные условия: при z = 0 р¢ = р₀. Тогда С = р₀ и решение (4.8) будет

.

(4.9)

Обозначим через h заглубление точки т под свободной поверхностью. Тогда окончательно

.

(4.10)

р¢ – абсолютное давление в рассматриваемой точке, р₀ – внешнее поверхностное давление. Если сосуд открыт, то внешнее давление равно атмосферному

.

(4.11)

Разность абсолютного и атмосферного давления называется избыточным давлением

.

(4.12)

Оно зависит от глубины погружения рассматриваемой точки и разности поверхностного и атмосферного давлений.

Уравнения (4.10) и (4.11) выражают закон распределения абсолютного гидростатического давления в жидкости: величина полного гидростатического давления в некоторой точке, погружённой на глубину h относительно свободной поверхности, равна сумме внешнего давления на свободную поверхность р₀ и давления веса столба жидкости с площадью основания, равной единице, и высотой, равной глубине погружения h рассматриваемой точки.

Кроме того (4.10) и (4.11) показывают, что внешнее давление р₀, которое действует на поверхность жидкости, передаётся во все стороны объёма с одинаковой интенсивностью.

Рассмотрим поверхность, давление в каждой точке которой постоянно: р = const. Такая поверхность называется поверхностью уровня. Если в (4.2) положить р = const, то уравнение поверхности будет

(4.13)

Следовательно, поверхность равного уровня является и поверхностью равного потенциала или эквипотенциальной поверхностью.

Уравнение (4.8) показывает, что эквипотенциальные поверхности в тяжёлой покоящейся жидкости определяются равенством z = const, то есть, что поверхности уровня в ней представляют горизонтальные плоскости. Величина абсолютного давления на такой поверхности определяется (4.9) – (4.11). Давление на свободной поверхности открытого сосуда равно атмосферному давлению р_а и представляет собой тоже горизонтальную плоскость.

 

4.3 Пьезометрическая высота

В закрытый сосуд с водой (рисунок 4.2) помещены три пьезометрические трубки. Одна трубка запаяна сверху и над поверхностью воды в ней образуется вакуум, т.е. избыточное давление на поверхность воды в этой трубке р = 0. Две другие трубки открыты сверху и избыточное давление на поверхности воды в них равно атмосферному р = р_а. Избыточное давление на поверхность воды в сосуде равно р₀. Жидкость внутри сосуда и в трубках находится в равновесии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим баланс сил, действующих на точки т и п. Абсолютное гидростатическое давление в точке т, действующее со стороны жидкости в сосуде, равно

Абсолютное гидростатическое давление в точке т, действующее со стороны жидкости в трубке, равно

Так как жидкость находится в равновесии, то оба эти давления должны уравновешивать друг друга

(4.14)

Величина h_А называется абсолютной пьезометрической высотой

(4.15)

т.е. h_А – высота такого столба жидкости, который своим весом способен создать давление, равное абсолютному давлению в рассматриваемой точке.

На точку п со стороны жидкости в сосуде действует давление

Со стороны жидкости в трубке на точку п действует давление

Так как эти давления уравновешивают друг друга, то

откуда

(4.16)

где р – гидростатическое давление в точке п.

Величина h_изб называется пьезометрической высотой и выражает разность давлений р¢ – р_а. Разность высот жидкости в открытой и закрытой трубках всегда равна р_а/(r×g). Если сосуд с жидкостью открытый, т.е. р₀ = р_а, то h_изб = h, где h – заглубление данной точки под уровнем жидкости в сосуде.

Если рассматривать пьезометрическую высоту относительно произвольной плоскости сравнения 00, то сумма  всегда величина постоянная, не зависящая от заглубления точки. Действительно, для двух точек п и l справедливо равенство

Сумма  называется пьезометрическим напором, а уровень жидкости в пьезометрах будет находиться в одной горизонтальной плоскости – пьезометрической напорной плоскости.

Таким образом, напор относительно плоскости сравнения постоянен и не зависит от координат рассматриваемой точки, а давление зависит от координат точки и является переменной величиной для всей массы жидкости. Ординаты z и z₁ – отметки точек т, п и l.

В точке п сосредоточена масса жидкости М_п. Определим её потенциальную энергию относительно плоскости сравнения 00. В момент присоединения пьезометра к точке п эта масса жидкости без дополнительной затраты энергии поднимается по пьезометру на высоту  и энергия этой массы будет определяться уже высотой положения точки п и пьезометрической высотой . Потенциальная энергия массы М_п в точке п составит

Если эту энергию отнести к единице веса жидкости, то потенциальная энергия массы жидкости единичного веса будет называться удельной потенциальной энергией и равняться

Удельная потенциальная энергия покоящейся жидкости определяется гидростатическим напором и поэтому во всех точках объёма удельная потенциальная энергия относительно выбранной плоскости сравнения одинакова:

(4.17)

Таким образом, удельная потенциальная энергия складывается из удельной энергии положения относительно плоскости 0-0 (геометрическая высота) и удельной энергии давления (пьезометрическая высота).

Гидростатическое давление зависит от координат точки и является переменной величиной для всей массы жидкости.

Напор относительно плоскости сравнения – величина постоянная и не зависит от координат рассматриваемой точки. В этом заключается отличие гидростатического напора и давления.

 

Пример 4.1. Определить величину избыточного гидростатического давления р_А в точке А под поршнем и р_В в точке В воды на глубине z = 2 м от поршня, если на поршень диаметром d = 200 мм производится давление силой Р = 3000 н.

Решение. Избыточное давление в точке А можно узнать, если силу давления Р разделить на площадь поршня:

Гидростатическое давление в точке А равно 0, так как точка А лежит на поверхности воды. Для того, чтобы найти избыточное давление р_В в точке В нужно к избыточному давлению в точке А прибавить гидростатическое давление столба жидкости z:

¨

 

4.4 Сообщающиеся сосуды

Если взять несколько сосудов различной формы с открытой поверхностью и соединить их в нижней части трубкой, то, наливая воду в один из сосудов, заполненными окажутся все сосуды (рисунок 4.3).

Общим свойством сообщающихся сосудов является то, что если на свободной поверхности всех сосудов давление одинаково и если они заполнены одной и той же жидкостью, то уровни жидкости во всех сосудах будут одинаковы. Если сообщающиеся сосуды заполнены жидкостью с различной плотностью, то высота столба жидкости над линией раздела будет обратно пропорциональна плотности этих жидкостей (рисунок 4.4). Из этого рисунка видно, что давления в этих сообщающихся сосудах одинаковы на линии раздела 0-0, т.е.

Отсюда

                                      (4.18)

На принципе сообщающихся сосудов устроены многие приборы и технические устройства. Например, стеклянная трубка, присоединённая к баку с водой, показывает уровень воды в баке.

 

Пример 4.2. К резервуару, наполненному бензином (r_б = 700 кг/м³) до высоты Ñ2 м, присоединены три различных прибора для измерения давления. К крышке резервуара присоединён пружинный манометр, к боковым стенкам – пьезометр и трёхколенный манометр, наполненный ртутью (r_р = 13600 кг/м³), водой (r_в = 1000 кг/м³) и воздухом (r » 0).

Определить показание М манометра и Н пьезометра, если уровни жидкостей в трехколенном  манометре расположены так, как показано на рисунке.

Решение. Так как система находится в равновесии, то можно составить баланс давлений в резервуаре и коленах манометра. Давление над поверхностью бензина, которое показывает манометр М, плюс давление столба бензина (2 – 1) м в первом колене манометра, плюс давление столба воды (1,6 – 0) м во втором колене, уравновешивается столбом воды (2 – 0,2) м в правой части третьего колена, плюс давление столба ртути (1,8 – 0) м во втором колене, плюс давление столба ртути (1,6 – 1) м в первом колене:

Из этого уравнения баланса давлений находим давление в резервуаре над уровнем бензина, которое показывает манометр М:

В пьезометре высота столба бензина равна давлению в резервуаре над поверхностью бензина плюс глубина бензина в резервуаре:

¨

 

Пример 4.3. Применение для измерения малых избыточных давлений в газах спиртового чашечного микроманометра с наклонной шкалой значительно увеличивает точность измерений.

1. Принимая абсолютную ошибку отсчёта по миллиметровой шкале невооружённым глазом, равной 0,5 мм, определить, под каким углом к горизонту нужно расположить трубку прибора, чтобы при измерении давления в пределах 1-2 кПа погрешность измерений не превышала ±0,2 %. Относительная плотность спирта d = 0,8.

2. Какова максимальная погрешность при измерении того же давления ртутным (d = 13,6) чашечным манометром с вертикальной шкалой?

Диаметры чашек считать настолько большими, чтобы можно было пренебречь поправкой на смещение уровня в них.

Решение. а) Максимальная относительная погрешность измерения, допускаемая условием задачи, равна

Измеряемое давление р = 1000 Па » 100 мм вод. ст. или h = 100/0,8 = 125 мм спиртового ст. Отношение h/l = sina – углу наклона трубки микроманометра

На верхнем пределе заданного давления имеем р₀ = 2000 Па » 200 мм вод. ст.:

т.е. в этом случае для получения требуемой точности можно ограничиться применением обычного U-образного манометра.

б) При измерении того же давления (р₀ = 1000 Па) вертикальным ртутным чашечным манометром согласно уравнению

высота столба ртути должна равняться

При этом относительная погрешность будет равна

¨

 

4.5 Относительное равновесие жидкости

До сих пор мы рассматривали равновесие жидкости под действием объёмной гравитационной силы. Однако на практике часто встречаются случаи, когда на жидкость действуют кроме силы тяжести ещё и силы инерции или центробежные силы.

Рассмотрим равноускоренное движение сосуда, наполненного жидкостью, как неинерциальную систему отсчёта. Относительно системы координат, связанной с движущимся сосудом, жидкость будет находиться в относительном равновесии под действием всех приложенных к ней сил.

Поступательное движение неинерциальной системы отсчёта. В качестве примера можно взять железнодорожную цистерну, заполненную нефтью (рисунок 4.5).

         Выберем систему координат, жёстко связанную с цистерной. Цистерна движется равноускоренно в направлении оси х. Ось z направим вертикально вверх. В системе отсчёта, связанной с цистерной, на каждую частицу жидкости будет действовать сила тяжести –mg, направленная вертикально вниз, и сила инерции –mа, направленная горизонтально в сторону, противоположную ускорению цистерны. Результирующая этих сил F отклонена от вертикали в сторону, обратную ускорению. Свободная поверхность жидкости должна расположиться перпендикулярно равнодействующей силе, действующей на частицы жидкости. Следовательно, свободная поверхность жидкости, находящейся в состоянии равновесия относительно поступательного движения неинерциальной системы отсчёта, будет наклонена к горизонту. Тангенс угла наклона будет равен отношению сил

(4.19)

Сам угол a  равен

(4.20)

Рассмотрим единичную массу жидкости. Силы, действующие на неё равны:

F_х = – а; F_у = 0; F_z = – g. Уравнение Эйлера (4.2) в этом случае примет вид

(4.21)

Интеграл этого уравнения равен

(4.22)

Постоянная С находится из граничных условий: при х = х₀ и z = z₀ давление будет р = р₀. Если начало координат расположить на свободной поверхности жидкости, то х₀ = z₀ = 0. Подставляя эти значения в (4.22), находим С:

Подставляя значение С в (4.21), окончательно получим формулу для нахождения сил давления в любой точке жидкости:

(4.23)

Уравнение поверхности уровня (р = const) принимает вид

(4.24)

Если сосуд с жидкостью движется с ускорением вниз, то силы, действующие на единичную массу жидкости, равны (ось 0z направлена вверх): F_х = F_у = 0; F_z = – (g – а). Тогда уравнение относительного равновесия жидкости принимает вид

(4.25)

Интеграл уравнения (4.25)

.

(4.26)

Постоянная интегрирования находится из условия: при z = z₀ давление в любой точке поверхности жидкости равно р = р₀. Подставляя эти условия в (4.26), получим

И уравнение для определения давления в любой точке жидкости примет вид

(4.27)

Таким образом, если ускорение направлено по вертикально вниз, то вес жидкости уменьшается и соответственно уменьшается давление на дно сосуда. При равенстве ускорений а = g (свободное падение) наступает состояние невесомости, жидкость из сосуда не будет выливаться, тяжёлые предметы в жидкости не будут тонуть, а лёгкие не будут всплывать.

Если ускорение направлено вертикально вверх, то сила, действующая на единицу массы жидкости, будет равна F_z = (g + а). При значительных ускорениях возникают сильные перегрузки. Например, при взлёте ракеты или выводе самолёта из пикирования вес крови в сосудах лётчика увеличивается и если тело пилота расположено вертикально, то это вызывает отток крови от головы, что может привести к потери сознания. Поэтому сиденья лётчика или космонавта располагаются таким образом, чтобы ускорение было направлено от спины к груди, а не от ног к голове.

 

Равномерное вращение цилиндрического сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, который равномерно вращается вокруг вертикальной оси (рисунок 4.6). Система координат жёстко связана с сосудом и вращается вместе с ним. Жидкость будет находиться в равновесии относительно вращающейся системы координат. В этом случае возникает центробежная сила, которая растёт по мере удаления от оси вращения. Следовательно, результирующая силы тяжести и центробежной силы также будет всё больше и больше отклоняться от вертикали. Свободная поверхность жидкости не только будет отклоняться от горизонтали, но также будет искривляться.

Найдём форму свободной поверхности. Прямоугольную систему координат (x, y, z) жёстко свяжем с вращающимся сосудом, поместив начало координат в точку пересечения свободной поверхности с осью сосуда. Угловая скорость вращения сосуда w.

На частицу жидкости с единичной массой действует совокупность сил – сила тяжести и центробежная сила:

В этой формуле v – окружная скорость рассматриваемой частицы. Сила тяжести направлена по вертикали вниз, а центробежная сила направлена горизонтально по радиусу сосуда. Подставляя значения сил F_х, F_у, F_z в уравнение  (4.2), получим

(4.28)

Проделав операцию интегрирования, получим

(4.29)

Так как х² + у² = r², то (4.29) можно переписать в виде

(4.30)

Постоянная С находится из граничных условий на свободной поверхности жидкости: при х = у = z = 0 (или r = 0) давление р¢ = р₀. Тогда С = р₀ и уравнение (4.30) можно записать

(4.31)

Отсюда z равно

(4.32)

На свободной поверхности избыточное давление р = 0, тогда (4.32) примет вид

(4.33)

(4.33) – уравнение параболоида вращения. На вертикальную плоскость, проведённую через ось вращения сосуда, свободная поверхность будет проектироваться как парабола второго порядка.

Давление в произвольной точке М на глубине а под свободной поверхностью (с ординатой z = – а) определяется по уравнению (4.31):

(4.34)

 

Пример 4.4. Поезд идёт по дуге радиусом 1 км со скоростью 72 км/час. Под каким углом к горизонту будет расположена свободная поверхность воды в стакане, стоящем на столике в вагоне?

Решение. Тангенс угла  наклона свободной поверхности воды к горизонту a находится из параллелограмма сил, построенном на рисунке:

  ¨  

Пример 4.5. Сосуд, имеющий форму прямого круглого конуса радиуса а и высотой Н, поставленного на вершину, наполнен до краёв водой и вращается вокруг оси, расположенной вертикально. Определить, с какой угловой скоростью w надо вращать сосуд, чтобы параболоид свободной поверхности воды касался поверхности конуса вдоль окружности основания. Какая часть жидкости при этом выльется?

Решение. Свободная поверхность жидкости, вращающаяся с угловой скоростью w, имеет форму параболоида вращения

                               (П4.5.1)

где . Эта поверхность должна касаться конуса вдоль окружности основания радиуса а.

Для того, чтобы составить условие касания параболоида и конуса, из уравнения параболоида (П4.5.1) находим

Затем дифференцируем по z:

Отсюда находим

(П4.5.2)

Из (П4.5.1) при r = а и z = Н находим

(П4.5.3)

Из (П4.5.2) и (П4.5.3) имеем

(П4.5.4)

откуда следует, что  а из (П4.5.3) находим

(П4.5.5)

         Первоначальный объём жидкости в конусе

(П4.5.6)

Объём параболоида АВС равен объёму вылившейся жидкости

Интегрируя, находим

(П4.5.7)

Имея в виду (П4.5.4), (П4.5.5), из (П4.5.7) окончательно получаем

Таким образом, ¨

        

4.6 Давление жидкости на плоские поверхности

Под уровнем жидкости на стенки сосуда и на поверхность любого тела, погружённого в жидкость, действуют силы гидростатического и внешнего давления. Рассмотрим сначала величину и распределение этих сил, действующих на плоскую поверхность, ориентированную произвольным образом. Пусть плоская стенка произвольной формы наклонена к горизонтальной поверхности жидкости под углом a. Внешнее давление на поверхности жидкости р₀ (рисунок 4.7). Начало координат поместим в точку 0. Ось 0z направим вниз вдоль рассматриваемой плоскости, а ось 0х – вдоль плоскости, перпендикулярной чертежу. Форму стенки можно увидеть без искажений, если плоскость повернуть относительно оси 0z­ на 90⁰, как показано на рисунке.

Во всех точках рассматриваемой площади w давление будет направлено вертикально к стенке. Результирующая сила абсолютного давления Р¢ также будет направлена вертикально к стенке. Возьмём произвольную точку т и выделим около неё элементарную площадку dw. Тогда величина силы полного гидростатического давления, действующая на элементарную площадку dw, будет равна

(4.35)

Полное гидростатическое давление, согласно уравнению (4.9), равно

.

(4.36)

Подставляя в (4.35), получим

Интегрирование этого уравнения по площади w даёт

(4/37)

Интеграл     представляет собой статический момент площади смоченной поверхности w относительно оси 0х. Он равен произведению координаты центра тяжести z_с смоченной поверхности на площадь этой поверхности:

(4.38)

Подставляя в (4.37), получаем

(4.39)

где h_с – заглубление центра тяжести плоской фигуры с площадью w.

Выражение в скобках  – полное гидростатическое давление в центре тяжести смоченной фигуры.

Таким образом, сила полного гидростатического давления на плоскую поверхность конечного размера равна произведению площади смоченной поверхности на полное гидростатическое давление в центре тяжести этой поверхности. Поверхностное давление р₀ передаётся через жидкость и равномерно распределяется по всей рассматриваемой площади.

Если внешнее давление р₀ равно атмосферному р_а, то оно уравновешивается таким же давлением на стенку с внешней стороны и в этом случае достаточно определить силу избыточного давления, а р₀ = р_а принять за ноль избыточного давления. Тогда (4.34) запишется в виде

(4.40)

Сила избыточного гидростатического давления на плоскую поверхность конечных размеров равна произведению площади омываемой поверхности на избыточное давление в центре тяжести этой поверхности.

Определим точку приложения избыточного давления. Эта точка называется центром избыточного давления. Что касается равнодействующей поверхностного давления, то точка её приложения будет совпадать с центром тяжести смоченной поверхности.

Положение центра избыточного давления можно определить из условия равенства суммы моментов составляющих сил избыточного давления, относительно какой-либо оси, моменту равнодействующей силы относительно той же оси. Предположим, что центр избыточного давления расположен в точке с ординатой z_д. Момент равнодействующей силы давления относительно оси 0х равен

(4.41)

Момент составляющих силы давления относительно той же оси определяется соотношением

(4.42)

Здесь  – момент инерции смоченной поверхности относительно оси 0х.

(4.43)

Приравнивая (4.41) и (4.43), получаем

Отсюда

(4.44)

Момент инерции I_х относительно оси 0х можно выразить через момент инерции I_с относительно оси, проходящей через центр тяжести смоченной поверхности:

Подставляя I_х в (4.44), получаем окончательную формулу

(4.45)

         где  – положительная величина, называемая эксцентриситетом.

         Таким образом, центр избыточного давления всегда лежит ниже центра тяжести рассматриваемой смоченной поверхности на величину, равную е.

         Моменты инерции относительно горизонтальной оси, проведённой через центр тяжести, положение центра тяжести и площадь для некоторых плоских фигур правильной геометрической формы приведены в приложении.

 

Пример 4.6. Покоящийся на неподвижном поршне и открытый сверху и снизу сосуд массой т = 16 кг состоит из двух цилиндрических частей, внутренние диаметры которых D = 0,5 м и d = 0,3 м. Определить, какой минимальный объём воды W должен содержаться в верхней части сосуда, чтобы сосуд всплыл над поршнем. Трением сосуда о поршень пренебречь.

Решение. Для того, чтобы сосуд массой т начал подниматься над поршнем, необходимо, чтобы сила гидростатического давления воды на кольцевую площадку сосуда над поршнем по крайней мере должна равняться весу сосуда:

 

где h – высота столба воды в горловине сосуда

             над поршнем;

S – площадь кольцевой поверхности.

Тогда

Объём жидкости равен

¨

 

4.6.1. Эпюры давлений

Для упрощения расчётов и наглядности строят эпюры давлений, которые представляют собой диаграммы распределения давления по смоченной поверхности. На рисунке 4.8 показана эпюра абсолютного гидростатического давления для плоской фигуры АВСD, имеющей форму трапеции, и установленной вертикально в лотке. Давление в жидкости на площадку всегда действует по вертикали, поэтому, проведя нормали к плоскости в точках А, В, С и D смоченной поверхности, отложим на каждой из этих нормалей отрезки, величины которых выражают полное гидростатическое давление в этих точках. На нормалях в точках А и D отложим отрезки АА₁ и DD₁, соответствующие давлению на поверхности р₀, а на нормалях в точках В и С – отрезки ВВ₁ и СС₁, соответствующие давлению р₀ + rgН, где Н – глубина канала. Так как гидростатическое давление изменяется в зависимости от глубины по линейному закону, то через концы полученных отрезков можно провести плоскость А₁В₁С₁D₁, ограничивающую эпюру полного гидростатического давления. Если провести нормаль к произвольной точке т рассматриваемой поверхности, то отрезок тт₁, заканчивающийся на плоскости А₁В₁С₁D₁, даёт величину полного гидростатического давления в этой точке.

Выделим около точки т элементарную площадку dw, к каждой точке границы этой площадки построим нормали и в пределах эпюры давления получим цилиндр, объём которого можно считать равным р¢dw, т.е. элементарной силе полного гидростатического давления на площадку dw.

Если всю эпюру давления разбить на подобные элементарные цилиндры, то сумма их объёмов будет равна объёму всей эпюры и, следовательно, равнодействующей Р' всех сил полного гидростатического давления. Линия действия силы Р' нормальна к плоскости АВСD и проходит через центр тяжести пространственной эпюры. Таким образом, объём эпюры гидростатического давления равен силе гидростатического давления, а центр тяжести пространственной эпюры совпадает с центром давления.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если через прямую А₁D₁ провести плоскость А₁В¢С¢D₁, параллельную смоченной поверхности АВСD, то объём полного гидростатического давления разделится на две части. Объём А₁В¢В₁С₁С¢D₁ будет представлять собой распределение избыточного гидростатического давления, а объём А₁В¢С¢D₁DАВС – распределение внешнего давления.

На рисунке 4.9 показана прямоугольная стенка шириной b. Избыточное давление р в точке А равно нулю, а в точке В – rgН. Давление в каждой точке смоченной поверхности стенки перпендикулярно к ней, следовательно давление в точке В откладывается на нормали. Оно изображается отрезком ВС. Конец отрезка С соединяется с точкой А прямой. Треугольник АВС будет плоской эпюрой избыточного давления, показывающий распределение этого давления по высоте стенки. Распределение давления по всей стенке можно представить пространственной эпюрой в виде прямоугольной призмы шириной b. Каждая ордината этой призмы представляет в некотором масштабе избыточное гидростатическое давление на соответствующую точку стенки, а весь объём  призмы равен суммарному гидростатическому давлению жидкости на стенку.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Равнодействующая сил давления проходит через центр тяжести треугольника АВС, т.е. через точку пересечения медиан, которая лежит на 1/3 высоты от основания треугольника.

Пример 4.7. Подпорная прямоугольная вертикальная стенка шириной b = 200 м сдерживает напор воды высотой Н = 10 м.

Определить силу полного давления на стенку Р и опрокидывающий момент М. Построить эпюру давлений.

Решение. Давление воды в водоёме увеличивается с глубиной по линейному закону р = rgh. Так как стенка в плане прямоугольная (200х10 м³), то эпюра давлений будет представлять собой треугольную призму, а полное давление Р численно равно объёму этой призмы:

 Результирующая сила давления проходит через центр тяжести С треугольника АВD, который расположен на пересечении медиан треугольника – На 1/3Н глубины, считая от дна.

Опрокидывающий момент равен произведению силы Р на плечо h = 1/3Н. Центром опрокидывающего момента является точка 0.

¨

Пример 4.8. Отверстие в боковой вертикальной стенке резервуара, представляющее собой равносторонний треугольник со стороной b = 0,5 м, закрыто крышкой. Определить силу давления воды на крышку, если горизонтальное основание треугольного отверстия расположено на глубине Н = 1,5 м. Определить точку приложения результирующей силы.

Решение. Сила давления на крышку в треугольном отверстии равна гидростатическому давлению в центре тяжести треугольника (точка с), умноженному на площадь треугольника. Гидростатическое давление

Сила давления на крышку

Точка приложения силы находится по формуле (4.45). Момент инерции треугольника относительно оси, проведённой через центр тяжести J_c, находится из таблицы в приложении

Тогда

Заглубление центра тяжести треугольника равно

Эксцентриситет е = z_g – z_с = 1,632 – 1,356 = 0,277 м.  ¨

 

4.7 Давление жидкости на цилиндрические поверхности

На рисунке 4.10 изображена цилиндрическая поверхность, расположенная перпендикулярно плоскости чертежа. Проекция её представлена линией АВ. В проекции на плоскость yz цилиндрическая поверхность будет представлять собой прямоугольник. Выделим на этой поверхности элементарную площадку dw с центром тяжести, погружённым на глубину h под свободной поверхностью. Сила полного гидростатического давления на эту площадку равна

(4.46)

где – полное гидростатическое давление в центре тяжести элементарной площадки. Вертикальная и горизонтальная составляющие этой силы равны, соответственно

(4.47)

где a – угол между вертикалью и линией действия силы dр¢. Знак минус в первом уравнении взят потому что проекция силы dр¢_z направлена противоположно оси 0z. Произведения cosa×dw и sina×dw равны площадям проекций элементарной площадки dw на плоскости х0у и у0z:

(4.48)

Тогда (4.47) запишется в виде

(4.49)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрируя эти уравнения по площадям проекций, получим вертикальную и горизонтальную составляющие силы полного гидростатического давления Р¢ на цилиндрическую поверхность АВ

(4.50)

Первые интегралы в (4.50) равны соответственно площадям проекций цилиндрической поверхности АВ на плоскости х0у и у0z, т.е. w_yx и w_zу. Проведя вертикальные образующие по периметру элементарной площадки dw до координатной плоскости х0у, получим некоторый элементарный объём аbсd, равный ­hdw_ху. Именно этот объём стоит под знаком второго интеграла в первом уравнении (4.50). Следовательно, это уравнение можно переписать в виде

(4.51)

Таким образом, вертикальная составляющая силы полного гидростатического давления Р'_z равна взятой со знаком минус сумме силы внешнего давления р₀, умноженного на горизонтальную проекцию цилиндрической поверхности АВ, и веса воображаемого жидкого тела, которое может быть помещено в объём АВСD­, ограниченный цилиндрической поверхностью АВ, вертикальными плоскостями АD и ВС и продолжением свободной поверхности жидкости. Воображаемая жидкость в объёме АВСD­ называется телом давления. В данном случае тело давления будет отрицательным.

Второй интеграл во втором уравнении (4.50) равен статическому моменту площади проекции цилиндрической поверхности АВ на вертикальную плоскость z0у относительно оси 0у:

(4.52)

где h_с – глубина погружения центра тяжести проекции площадки w_zу.

Тогда второе уравнение (4.50) можно написать в виде

(4.53)

Уравнение (4.53) идентично уравнению (4.29). Следовательно, горизонтальная составляющая силы полного гидростатического давления на цилиндрическую поверхность АВ равна силе абсолютного гидростатического давления жидкости на плоскую вертикальную проекцию цилиндрической стенки АВ.

Геометрическим сложением векторов Р'_х и Р'_z находим результирующий вектор Р'.

На рисунке 4.10б показаны эпюры абсолютного гидростатического давления на цилиндрическую поверхность АВ. Объём АВС₁D₁ является эпюрой вертикальной составляющей абсолютного гидростатического давления на поверхность АВ. Её можно разделить на две части: эпюру АВСD, изображающую избыточное давление жидкости на поверхность АВ, и эпюру DD₁С₁С, которая представляет внешнее давление р₀. Вертикальная составляющая результирующего давления Р'_z, равная объёму эпюры АВС₁D₁, проходит через центр тяжести этого объёма.

Эпюра горизонтальной составляющей абсолютного давления на поверхность АВ строится так же, как и для плоской стенки. Она представлена фигурой М₁КLN₁, тоже состоящей из двух частей: эпюры МКLN избыточного давления жидкости на поверхность АВ и эпюры М₁МNN₁, представляющей внешнее давление р₀.

Горизонтальная составляющая абсолютного давления Р'_х равна объёму эпюры М₁КLN₁ и проходит через центр тяжести этого объёма.

Так как давление на поверхности жидкости в открытых сосудах и руслах равно атмосферному давлению, то для рассматриваемых поверхностей обычно определяют только избыточное гидростатическое давление, так как внешнее давление р_а воздействует на стенку с обеих сторон и уравновешивается. В этом случае вертикальная и горизонтальная составляющие избыточного давления равны

(4.54)

На рисунке 4.11 показан другой тип цилиндрической стенки. В этом случае жидкость находится над рассматриваемой поверхностью. Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, находим, что величина горизонтальной составляющей силы находится точно таким же образом.

Вертикальная составляющего избыточного давления так же будет равна весу жидкости в объёме АВСD. Но в этом случае объём АВСD заполнен реальной жидкостью и направление силы Р_z совпадает с направлением оси 0z:

(4.55)

Вес реальной жидкости в объёме V_АВСD называется положительным телом давления. Если учитывать внешнее давление р₀ на поверхность АВ, то к равенству (4.55) необходимо прибавить произведение внешнего давления на площадь горизонтальной проекции цилиндрической поверхности АВ – р₀w_ху:

(4.56)

 

 

 

 

 

 

 

 

В тех случаях, когда цилиндрическая поверхность имеет такую форму, что на неё действует и положительное и отрицательное тело давления (рисунок 4.12), то вертикальная составляющая силы давления находится для каждого участка поверхности отдельно, затем вектора складываются.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         Пример 4.9. Определить силу гидростатического давления воды на 1 м ширины нижней криволинейной части сооружения, если Н = 1,5 м, r = 0,5 м.

Решение. 1) Горизонтальная составляющаая силы давления воды на криволинейную часть сооружения равна силе давления на вертикальную проекцию этой поверхности.

2) Криволинейная часть сооружения представляет собой отрицательное тело давления, следовательно, вертикальная составляющая силы давления должна быть направлена вверх. Она равна весу жидкости, которой могло бы быть заполнено тело давления 1234.

         Результирующая сила

¨

 

4.8 Закон Архимеда

Закон Архимеда характеризует плавучесть тела, погружённого в жидкость. Возьмём некоторое твёрдое тело АВ, погружённое в жидкость. Выделим в этом теле элементарную площадку dw, параллельную плоскости х0у и построим на этой площадке элементарный цилиндр, торцы которого совпадают с поверхностью тела (рисунок 4.13). На верхний торец действует избыточное гидростатическое давление

(4.57)

а на нижний –

(4.57¢)

Здесь h₁ и h₂ – глубина погружения верхнего и нижнего торца элементарного цилиндра.

Интегрируя (4.57) по верхней поверхности w₁ погружённого тела, а (4.57¢) – по нижней поверхности w₂ и складывая, получим выражение для результирующей силы, действующей на погружённое в жидкость тело:

(4.58)

где V₁ и V₂ – объём цилиндров, имеющих, верхним основанием проекцию тела на координатную плоскость х0у (свободная поверхность жидкости), а в качестве нижнего основания принята верхняя w₁ для V₁, и нижняя w₂ для V₂ поверхности тела. V – объём погружённого тела.

Суммы проекций сил давления на оси 0х и 0у равны нулю.

Уравнение (45.58) показывает, что вертикальная сила Р_v равна весу жидкости в объёме рассматриваемого тела; точкой приложения силы Р_v является центр тяжести D объёма жидкости АВ, которая называется центром давления или центром водоизмещения. В общем случае точка D не совпадает с центром тяжести С самого твёрдого тела, к которой приложен вес тела G.

Из сравнения величин выталкивающей силы Р_v и веса тела G можно выделить три случая.

1)  Р_v < G – тело тонет.

2)  Р_v > G – тело всплывает на поверхность жидкости до тех пор, пока вес жидкости в объёме погружённой части тела не станет равен весу тела

где  – вес жидкости, вытесненной погружённой частью тела.

3)  Р_v = G – тело плавает в погружённом состоянии на любой глубине.

 

Пример 4.10. Бетонная плита весит в воздухе 1230 н, а в воде – 735 н. Определить удельный вес и плотность бетона.

Решение. Вес вытесненной воды при погружении плиты равен

Следовательно объём вытесненной воды, равный объёму плиты

Удельный вес бетона

Плотность

¨

 

Пример 4.11. По окончании погрузки песка объёмом V_п = 1200 м³ осадка баржи увеличилась на h = 1 м. Определить:

а) плотность песка, если площадь плоскости плавания баржи S = 2000 м².

б)  величину осадки баржи, если вместо песка на баржу будет погружено V_и =2000 м³ извести плотностью r_и = 800 кг/м³.

Решение. а) После погрузки песка объём вытесненной воды, равный объёму дополнительного погружения баржи, равен

При этом масса дополнительно вытесненной воды

Масса вытесненной воды равна массе песка. Отсюда можно найти плотность песка:

б) Масса извести, погружённой на баржу, равна

Объём вытесненной воды равен

Разделив объём вытесненной воды на площадь баржи, получаем осадку:

По сравнению с загрузкой песка осадка баржи уменьшилась на

¨

 

 

 

 

Глава 5  ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

 

5.1 Давление в движущейся реальной жидкости

В главе 4 было показано, что давление в любой точке покоящейся жидкости отвечает закону Паскаля, т.е. вектор гидростатического давления везде перпендикулярен рассматриваемой площадке, не зависит от её ориентации, а зависит только от координат точки, к которой приложено давление. Гидростатическое давление является сжимающей силой и отвечает тензору напряжений (2.35). То же самое можно сказать о движении идеальной жидкости, в которой отсутствуют касательные напряжения.

При движении реальной жидкости соседние частицы взаимодействуют между собой и на их границе возникают касательные напряжения, которые считались равными нулю при движении идеальной жидкости. При движении реальной жидкости нормальные компоненты напряжения, действующие на элемент поверхности, зависят от направления нормали к элементу. Вследствие этого в большинстве случаев движущейся жидкости нельзя рассматривать давление как действующее одинаково во всех направлениях. Тем не менее, необходимо иметь некоторую скалярную величину, характеризующую движущуюся жидкость, которая аналогична статическому давлению в том смысле, что является мерой локальной интенсивности сжатия жидкости. Такая величина должна быть инвариантна относительно любой системы координат и в любой ортогональной системе координат должна определяться как среднее арифметическое трёх нормальных напряжений со знаком минус.

Следовательно, обобщая понятие давления, введённое в динамику идеальной жидкости согласно системе равенств р_хх = р_уу = р_zz = – р (2.34), можно принять в качестве простейшего допущения, что в ньютоновской несжимаемой жидкости взятое с обратным знаком среднее арифметическое трёх нормальных напряжений, приложенных к трём взаимно перпендикулярным площадкам в данной точке среды, представляет давление в этой точке:

(5.1)

Такое чисто механическое определение давления не даёт точной связи его с термодинамическим понятием давления. Такое термодинамическое соотношение, как уравнение состояния жидкости, относится к равновесным условиям, в то время как частицы реальной жидкости в относительном движении не находятся в строгом термодинамическом равновесии. Величина (5.1), названная давлением, является реальным параметром движущейся жидкости, и доступна непосредственному измерению, в то время как любая величина, рассчитанная на основании равновесных соотношений, является приближением к реальному параметру движущейся жидкости.

 

 

         5.2 Обобщённый закон Ньютона

В главе 1 было введено понятие вязкости для плоскопараллельного движения, которое является частным случаем более общего пространственного движения вязкой жидкости. Такое пространственное движение выражается линейной зависимостью между тензором напряжения и тензором скоростей деформаций. Эта зависимость носит название обобщённого закона Ньютона. В общем виде обобщенный закон Ньютона записывается в виде

Для изотропной жидкости, физические законы которой одинаковы во всех направлениях, обобщённый закон Ньютона записывается в виде

(5.2)

где р – давление в движущейся жидкости и определённое в (5.1);

      Е – тензорная единица (2.36);

      m – вязкость, определённая для плоскопараллельного потока (1.28);

      – тензор скоростей деформаций (2.15).

Заменяя тензора в (5.2) их явным видом, получим

(5.3)

Равенства (5.2) и (5.3) представляют реологические уравнения ньютоновской несжимаемой вязкой жидкости. Из (5.3) очевидна связь между компонентами напряжения и давления и скоростью деформации частицы жидкости:

 

(5.4)

                  

5.3 Уравнения Навье-Стокса

Движение однородной несжимаемой вязкой жидкости описывается уравнениями Навье-Стокса.

Возьмём уравнение динамики движения жидкости в напряжениях (3.4) совместно с уравнением неразрывности (3.17)

(5.5)

и подставим в них значения напряжений (5.4). По условию изотермичности потока коэффициент динамической вязкости будет постоянен m = const и может быть вынесен за знак производной. Сначала преобразуем сумму производных по координатам в правой части первых трёх уравнений:

(5.6)

         Подставив полученные значения в систему (5.5) и разделив на r, получим систему уравнений Навье-Стокса

(5.7)

или в векторной форме

(5.7¢)

         Полученная система уравнений Навье-Стокса (5.7) выражает равновесие приложенных к каждому элементу жидкости массовых сил, поверхностных сил и сил инерции. К массовым силам относится вес элемента, а к поверхностным силам – силы давления (нормальные силы) и силы трения (касательные силы).

Массовые силы играют роль только в том случае, если жидкость имеет свободную поверхность или плотность в ней распределяется неравномерно, т.е. жидкость по своей структуре неоднородна. В однородной жидкости без свободной поверхности (например, в напорных трубах) вес каждого элемента жидкости уравновешивается гидростатической подъёмной силой.

Уравнения Навье-Стокса составляют основу всей механики жидкости и газа.

Таким образом, (5.7) представляет собой замкнутую нелинейную систему уравнений второго порядка, где неизвестными являются три проекции скорости на оси координат u_х, u_у, u_z и давление р. Заданными постоянными величинами является плотность r и вязкость u. Проекции совокупности объёмных сил F_х, F_у и F_z – заданные функции координат и скоростей.

При решении конкретных задач течения вязкой жидкости для полной физической определённости к уравнениям Навье-Стокса необходимо ставить граничные условия, а если течение нестационарное, то также ставятся и начальные условия.

Основным граничным условием для потока вязкой жидкости на твёрдой поверхности является условие равенства нулю нормальной составляющей скорости вследствие её непроницаемости, а также равенства нулю касательных составляющих скорости вследствие прилипания жидкости к поверхности обтекаемого тела:

на твёрдой поверхности.

При внешнем обтекании тел также задаётся скорость потока вдали от тела, а при течении жидкости в трубе – расход.

В качестве начальных условий в случае нестационарного течения можно задать распределение скоростей в области течения в некоторый начальный момент времени, изменение давления во времени в какой-либо данной точке пространства и др.

 

5.4 Уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости

      При изучении движения идеальной жидкости действует закон сохранения энергии потока, то есть напор в любом сечении струйки тока постоянен:

                                          H_g1 = H_g2.

Для реальной жидкости вследствие вязкого трения при течении жидкости от одного сечения к другому происходит процесс необратимого превращения части механической энергии во внутреннюю энергию (тепловую). Следовательно, вдоль потока при отсутствии подвода тепла или механической энергии извне механическая энергия потока снижается и соответственно увеличивается внутренняя энергия.

Работа сил вязкости, произведенная между двумя сечениями потока и отнесенная к единице массы, веса или объема движущейся жидкости, называется потерями механической энергии или гидравлическими потерями. Если эта работа отнесена к единице веса, то гидравлические потери называются потерями напора h_w.

Вследствие гидравлических потерь напор в предыдущих сечениях всегда будет больше, чем в последующих:

или ,

(5.8)

где h_w – удельные (отнесенное к единице веса) потери напора на преодоление всех сопротивлений.

Уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости напишем для двух сечений:

,

(5.9)

где  – абсолютная величина работы сил сопротивления на пути между соседними сечениями, отнесенная к единице веса        перетекающей жидкости, или удельная работа сил сопротивления;

dA – работа сил сопротивления, направленная против действия         основных сил;

dq – расход элементарной струйки жидкости.

 

 

5.4.1. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли для струйки вязкой жидкости

Так же, как в случае течения невязкой жидкости уравнение Бернулли может быть представлено графически (рисунок 5.1). Потери напора h_w – величина линейная, она представляет собой разность ординат

,

вычисленных для любых двух сечений. Линия полного напора не горизонтальная, каждая последующая её ордината меньше предыдущей на величину, равную потери напора h_w.

Потери напора, отнесенные к единице длины между рассматриваемыми сечениями, называются гидравлическим уклоном.

.

(5.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dl – расстояние между рассматриваемыми сечениями.

Пьезометрический уклон – это отношение

.

(5.11)

Гидравлический уклон всегда отрицательный; пьезометрический уклон может быть как отрицательным, так и положительным.

      5.4.2 Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости

Условием применимости уравнения Бернулли к потоку вязкой жидкости является плавноизменяющееся течение в  рассматриваемых сечениях (нормальные по отношению к вектору скорости составляющие ускорения любой жидкой частицы должны быть пренебрежимо малыми по сравнению с их продольными составляющими), сечения потока должны быть плоскими или круглоцилиндрическими, распределение гидродинамического давления по вертикали подчиняется гидростатическому закону.

Полная механическая энергия потока в выбранном сечении определяется суммой механической энергии всех элементарных струек. Для любой элементарной струйки можно записать

,

(5.12)

где dw – площадь сечения элементарной струйки.

Интегрируя это выражение по всей площади сечения w, получим полную энергию потока в этом сечении

.

(5.13)

Потенциальная энергия потока

,

(5.14)

т.к. при плавно изменяющемся движении сумма постоянна для всех точек сечения,

,

(5.15)

       где Q – расход жидкости.

Потенциальная энергия Е_п, отнесенная к единице массы будет равна  gz + p/r.

Кинетическая энергия потока в рассматриваемом сечении

(5.16)

а отнесенная к единице массы

.

(5.17)

       Средняя скорость потока в данном сечении

.

Кинетическая энергия потока, подсчитанная по средней скорости течения равна

Отнесенная к единице массы жидкости, равна

Отношение действительной удельной кинетической энергии потока к подсчитанной по средней скорости

(5.18)

называется коэффициентом кинетической энергии или коэффициентом Кориолиса. Подсчитывая удельную кинетическую энергию потока по средней скорости течения необходимо вводить коэффициент Кориолиса, учитывающий распределение скорости течения в сечениях потока. Отнеся кинетическую энергию к единице массы, веса или объема жидкости, получим в сечении потока av²/2, av²/2g, rav²/2. Коэффициент Кориолиса меняется в достаточно широких пределах: при равенстве скоростей во всех точках сечения потока a = 1, при параболическом распределении скоростей a = 2.

Таким образом, уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости будет иметь следующий вид, если энергия потока отнесена к единице веса:

,.

(5-19)

Если энергия потока отнесена к единице массы, то

,

(5-20)

и если энергия потока отнесена к единице объема:

,

(5-21)

 

 

 

 

5.5 Уравнение изменения количества движения

      Количеством движения какой-либо частицы называется произведение её массы на скорость перемещения ти. Это определение справедливо для твёрдых тел и исследуемых объёмов жидкости.

Теорема об изменении количества движения ставит в соответствие разность количества движения, которое претерпевает тело за некоторый промежуток времени dt, и импульс всех сил, действующих на тело за тот же промежуток времени

(5.22)

Применим эту теорему к участку между сечениями 1-1 и 2-2 установившегося потока жидкости с расходом Q (рисунок 5.2). За время dt участок между сечениями 1-1 и 2-2 переместится в положение, отмеченное сечениями 1¢-1¢ и 2¢-2¢.

Распределение скорости в контрольных сечениях может оказаться неравномерным. Через элементарную площадку dw поверхности в единицу времени переносится количество движения, равное

Суммарное количество движения равно . Средняя скорость в контрольном сечении . Количество движения, подсчитанное по средней скорости, равно rv²­w.

      Отношение количества движения, действительно переносимого потоком, к количеству движения, определенного по средней скорости течения, a₀ называется коэффициентом Буссинеска:

(5-23)

Для турбулентных потоков значение коэффициентов Буссинеска лежит в пределах a₀ =1,03¸1,05.

Учитывая неравномерность скоростей в сечении, изменение количества движения можно написать в виде

(5.24)

       где Q – объемный расход жидкости;

                a₀₁ и a₀₂ – коэффициенты Буссинеска в сечениях 1-1 и 2-2.

Рассмотрим проекции сил на координатную ось х. Сила тяжести объёма жидкости между сечениями 1-1 и 2-2 равна . Проекция импульса силы тяжести на ось х

(5.25)

Разность импульса сил, действующих на торцы сечений 1-1 и 2-2 в проекции на ось х равна

(5.26)

Сила внешнего трения, действующая на внутренние стороны боковых стенок , где ds – элементарная площадка на боковой поверхности между сечениями 1-1 и 2-2; t₀ – коэффициент внешнего трения. Импульс сил внешнего трения в проекции на ось х равен

(5.27)

Сила реакции R боковых стенок, ограничивающих рассматриваемый объём жидкости, равна  Импульс сил реакции стенок в проекции на ось х равен

(5.28)

Подставляя в (5.22) полученные значения изменения количества движения (5.24) и проекции импульсов сил (5.25)-(5.28) на ось х и сокращая на dt, получим уравнение количества движения или уравнение импульсов

(5.29)

 

Пример 5.1. На гладкой горизонтальной площадке расположен трубопровод постоянного диаметра, имеющий колено с углом отклонения a = 30⁰. Пренебрегая силами трения, определить полную силу R, действующую на стенки колена, если диаметр трубы d = 500 мм, расход жидкости Q = 400 л/с, давление в трубе 2 МПа.

Решение. Полная сила R, действующая на стенки трубы, будет равна силе статического давления (рисунок а), действующего на колено трубы, и силе, обусловленной количеством движения (рисунок б).

В уравнении (5.29) по условиям задачи пренебрегаем трением, весом (проекция силы веса жидкости на горизонтальную ось равна нулю) и разностью давлений, т.к. они одинаковы в сечениях 1-1 и 2-2. Тогда уравнение изменения количества движения будет иметь вид

Скорость воды находится из

Представим уравнение для R_д в виде параллелограмма скоростей, как показано на рисунке б). Так как треугольник АОВ равнобедренный, то

Давление жидкости внутри трубы, действуя на сечения 1-1 и 2-2, создаёт гидростатическое давление Р₁ и Р₂, которые уравновешиваются силой реакции стенок колена R_с. Поскольку

то из равнобедренного треугольника ОА₁В₁ следует

         Суммы R_д и R_с направлены по одной прямой в одну сторону и поэтому суммарная реакция колена

¨

 

5.6 Закон подобия для потоков вязкой несжимаемой жидкости

Ввиду большой сложности до сих пор не получены точные решения уравнений Навье-Стокса в общем виде. Были найдены решения задач, связанных с течением жидкости с очень большой и очень малой вязкостью, однако при этом делался ещё целый ряд допущений. Результаты, полученные при решении таких задач, ни в коей мере нельзя интерпретировать на реальные течения. Кроме того, для практики наиболее интересны течения жидкости со средними значениями вязкости.

Эти обстоятельства заставляют обращаться к экспериментальным исследованиям, которые сами по себе являются весьма трудоёмкими. Практически все объекты современной техники, взаимодействующие с потоками реальной жидкости, в процессе проектирования требуют знания условий обтекания их потоком жидкости и возникающих при этом нагрузок, сил и моментов на отдельные узлы и весь объект в целом. Например, при проектировании высокой дымовой трубы электростанции необходимо уже в проекте заложить ту прочность, которая бы обеспечивала устойчивость и работоспособность трубы при максимальной ветровой нагрузке, возможной в данном регионе. При проектировании турбины гидроэлектростанции, рабочее колесо которой может иметь в диаметре несколько метров, профиль лопаток рассчитывают так, чтобы получить максимальный кпд турбины. При этом необходимо точно знать всю картину обтекания потоком рабочих лопаток. Можно привести ещё много других примеров.

Для получения необходимых знаний взаимодействия потока жидкости с обтекаемым телом используют принцип моделирования. Экспериментальные исследования проводятся не на объектах натуральной величины, а исследуется обтекание геометрически подобных небольших моделей, помещённых в искусственно созданный поток жидкости или газа.

Рассмотрим обтекание двух геометрически подобных, но разных по размерам тел, например, двух шаров. Пусть в обоих потоках скорость, плотность и вязкость будут разными. Необходимо выяснить, при каких условиях оба эти течения с геометрически подобными границами будут динамически подобными, т.е. в обоих потоках должны быть и геометрически подобные картины линий тока. Очевидно, что оба течения будут динамически подобными, если при надлежащем выборе единиц длины, времени и силы уравнения Навье-Стокса (5.7), написанные для одного потока, будут тождественно совпадать с такими же уравнениями, написанными для другого потока. Для удовлетворения этого требования наиболее простая запись уравнений Навье-Стокса будет в том случае, если все величины, входящие в это уравнение, будут записаны в безразмерном виде. Для этого нужно выбрать определённые масштабы для всех переменных, входящих в уравнение. Разделив переменную величину на этот масштаб, получаем безразмерные величины, которые обозначим той же буквой, что и размерную, но со штрихом.

Масштабом для проекций скоростей на координатные оси возьмём некоторую характерную скорость U, например, скорость на достаточно большом удалении от обтекаемого тела или скорость верхней пластины в течении Куэтта (рисунок 1.1). В качестве характерного размера можно взять диаметр обтекаемого шара, длину хорды обтекаемого профиля лопатки турбины или внутренний диаметр трубы при исследовании течения жидкости или газа внутри трубы, l. За характерное время примем отношение характерного размера обтекаемого тела к характерной скорости l/U, и, наконец, за характерное давление можно принять скоростной напор rU². За характерный масштаб объёмных сил принимаем ускорение свободного падения g. Тогда все безразмерные величины можно записать следующим образом

(5.30)

Тогда размерные переменные, стоящие в уравнениях Навье-Стокса, примут следующий вид

(5.31)

Подставим эти равенства в уравнения Навье-Стокса (5.7), вынося постоянные характерные масштабы за знак производной

	(5.32)

Разделим эти уравнения на rU²/l. Тогда коэффициент перед скобкой в правой части уравнений будет равен

а коэффициент, стоящий перед проекцией массовой силы примет вид

         Таким образом, окончательно получаем систему уравнений, к которой добавляем уравнение неразрывности

	(5.33)

Уравнение неразрывности после всех этих преобразований осталось по своей форме неизменным.

Уравнения (5.33) представляют собой безразмерные уравнения Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости. К этим уравнениям присоединяются соответствующие рассматриваемому процессу безразмерные начальные и граничные условия.

Переход к безразмерным переменным имеет очень важное значение для решения практических задач. Действительно, после того, как получено решение задачи для частного случая потока и выражено в безразмерном виде, из него, выбирая параметры r, l, U и m при неизменных числах Rе и Fr, можно получить три бесконечных семейства решений. Все течения, которые удовлетворяют одним и тем же начальным и граничным условиям в безразмерной форме и для которых соответствующие значения параметров r, l, U и m отличаются друг от друга без изменения величины их комбинации rlU/m и U²/(lg), описываются одним и тем же безразмерным решением. Все такие течения динамически подобны.

Принцип динамического подобия применяется для получения информации относительно некоторого неизвестного поля течения по результатам экспериментов, проведённых на геометрически подобных моделях в лабораторных условиях. Таким образом делаются в аэродинамической трубе продувки моделей самолётов, автомобилей, различных инженерных сооружений. В лабораторных условиях строятся характеристики моделей гидротурбин, изучается разрушение гидротехнических сооружений, определяется устойчивость автомобиля при большой скорости. Полученные экспериментальные данные приводятся к безразмерной форме, а затем пересчитываются для натурного объекта.

 В полученные уравнения входят два безразмерных параметра – число Рейнольдса Rе и число Фруда Fr:

(5.34)

Таким образом, для вязкой несжимаемой жидкости, находящейся под действием сил тяжести, два течения, обладающие одинаковыми числами Rе и Fr, являются подобными. При этом надо иметь в виду, что при рассмотрении любых подобных течений около или внутри геометрически подобных тел, они должны быть одинаково ориентированы относительно потока.

При отсутствии массовых сил условия моделирования упрощаются и два течения будут подобны, если числа Рейнольдса в обоих потоках одинаковы. Аэродинамические силы, действующие со стороны потока на данное тело, будут в этом случае зависеть от числа Рейнольдса и положения тела относительно потока.

Число Рейнольдса характеризует соотношение между инерционными силами и силами вязкости, отнесёнными к характерному размеру. Так, при течении в длинных цилиндрических трубах обычно за характерный размер принимают внутренний диаметр трубы l = d, а за характерную скорость – среднерасходную скорость потока в трубе U = v. При внешнем обтекании тел за характерную длину принимают длину хорды профиля или его поперечный размер, а за характерную скорость – скорость невозмущённого потока, набегающего на обтекаемое тело.

При малых числах Рейнольдса, соответствующих малым скоростям движения жидкости, увеличивается роль сил вязкости. В этом случае при моделировании необходимо в расчёт вводить безразмерное число Ньютона

(5.35)

которое характеризует подобие в рассматриваемом случае и указывает, что в идеальной несжимаемой жидкости силы, действующие на тело со стороны жидкости, пропорциональны квадрату скорости (квадратичный закон). Здесь Р₁ и Р₂ – потеря напора для внутренних течений или сопротивление модели и натуры при внешнем обтекании. Этот закон выполняется с большой точностью при приближении жидкости к идеальной.

При больших числах Rе (большие скорости или размеры тела) влияние вязкости становится менее существенным, но начинает проявляться сжимаемость газа и силы упругости становятся соизмеримыми с силами инерции и трения, что меняет физическую картину течения в окрестностях тела. В этих случаях возникает необходимость кроме числа Rе поддерживать при моделировании такую же относительную скорость, выражаемую числом Маха

(5.36)

т.е. отношение скорости потока к скорости звука в среде.  Скорость звука равна

(5.37)

где k – показатель адиабаты;

       R – газовая постоянная, дж/(кг×град);

       Т – абсолютная температура, ⁰К.

Число Фруда характеризует соотношение между инерционными силами и силами тяжести, действующими на элементарный объём жидкости или газа. Условием подобия является равенство числа Фруда для модели и натурного объекта. Оно обычно используется для изучения взаимодействия обтекаемого тела и потока жидкости, имеющую свободную поверхность, т.е. в тех случаях, где нельзя пренебречь силами тяжести, например, при моделировании движения корабля по поверхности воды, течении в открытых руслах, испытаниях модели гидротехнических сооружений. При истечении жидкости через большие отверстия на коэффициент расхода влияет величина числа Фруда. Для однородного потока, не имеющего свободной поверхности, члены, содержащие объёмную силу F, в уравнениях (5.33) опускаются.

Уравнения (5.33), содержащие в виде коэффициентов числа Re и Fr, описывают изотермические течения, в которых отсутствует тепломассообмен, и нет возмущающих факторов. На самом деле при обтекании тел или движении жидкости в трубах обязательно происходит теплообмен между потоком и обтекаемым телом. Например, движущаяся в трубах горячая вода отдаёт своё тепло через стенку в окружающее пространство, при этом горячая труба не просто обтекается снаружи другой жидкостью или воздухом, а отдаёт своё тепло. При этом на основной внешний поток накладывается конвективное движение.

При высоких скоростях за счёт трения происходит нагрев обтекаемой поверхности, что сильно влияет на общую картину течения. Кроме того, при взаимодействии потока и твёрдого тела может происходить и массообмен – поверхность тела может испаряться или на ней могут отлагаться компоненты обтекающей среды.

При моделировании реальных процессов учесть все факторы невозможно, поэтому из всей совокупности явлений нужно выделить наиболее существенные и моделирование осуществлять по этим факторам. Для такого моделирования кроме чисел Rе и Fr используются другие безразмерные критерии и масштабы. К таким критериям, используемым при аэродинамическом и гидравлическом моделировании, относятся, например, число Эйлера и число Струхаля.

Число Эйлера Eu характеризует отношение нормальных поверхностных сил давления к силам инерции и равно отношению перепада давления в двух точках потока к скоростному напору.

В большинстве задач гидродинамики (внешнее обтекание тел, движение жидкостей и газа в трубах и др.) величины давления и скорости в любой точке потока однозначно определяются числом Рейнольдса. Следовательно, число Eu в этих случаях не является критерием подобия и его значение полностью зависит от других чисел подобия. Например, при движении жидкости в трубах число Eu представляет собой безразмерную величину сопротивления и зависит лишь от числа Re

(5.38)

В некоторых задачах величина перепада задана и не связана однозначно с величиной скоростного напора в любой точке потока. В таких потоках число Eu не зависит от других чисел и является критерием, соблюдение которого обязательно. Примером потока, при моделировании которого числа Eu должны быть строго одинаковы, является поток в проточной части любой турбомашины.

Число Струхаля

(5.39)

характеризует составляющие инерционных сил, зависящих от времени. При этом может быть два случая: 1) когда нестационарность движения задаётся граничными условиями (винт, колесо турбины); 2) когда нестационарность может являться следствием стационарного обтекания какого-либо тела. В первом случае число Sh полностью определяется заданными условиями. Так, при исследовании работы винтов за характерное время принимается время одного оборота, за характерный линейный размер – диаметр винта, тогда число Sh определяет величину, называемую относительной поступью,

Для судовых винтов l лежит в пределах 0,03-3.

Во втором случае число Sh является зависимым критерием подобия, т.е. число Sh есть функция числа Re, так как при стационарном обтекании цилиндра с его поверхности периодически отрываются вихри, частота которых заранее неизвестна и определяется режимом обтекания, т.е. числом Re.

При истечении жидкости малой вязкости из отверстий малого диаметра и при малых напорах заметное влияние начинает оказывать поверхностное натяжение. При моделировании таких течений необходимо соблюдать равенство для натуры и модели числа Вебера

(5.39)

Здесь Н – напор, м; d – диаметр отверстия, м; s – коэффициент поверхностного натяжения, н/м.

Осуществление подобия по всем критериям  при моделировании практически не представляется возможным. Если для натуры и модели взять одну и ту же среду при одинаковых температурах и давлениях, то из соотношений Rе, Fr и М следует, что r₁ = r₂, v₁ = v₂, g₁ = g₂, U₁ = U₂, l₁ = l₂, т.е. воспроизвести два подобных течения одной и той же среды для двух моделей разных размеров невозможно. Если в эксперименте применять другую жидкость или газ, то подобие процессов осуществить принципиально возможно, но практически очень трудно изменить значение u и а таким образом, чтобы они удовлетворяли условиям подобия. По этой причине при моделировании в большинстве случаев удаётся обеспечить лишь частичное подобие, но это необходимо делать по тем критериям, которые преобладающим образом влияют на исследуемый процесс.

 

Пример 5.2. Сопротивление участка водопроводной трубы с арматурой необходимо перед установкой проверить в лаборатории путём испытаний на воздухе.

а) Определить, с какой скоростью v_м следует вести продувку, сохраняя вязкостное подобие, если скорость воды в трубе v_в = 2,5 м/с.

б) Какова будет потеря напора h_в при указанной скорости, если при испытании на воздухе потери давления Dр_м = 8,35 кПа. Кинематическая вязкость воздуха u_м = 0,156×10^–4 м²/с, воды u_в = 1×10^–6  м²/с, плотность воздуха r_м = 1,166 кг/м³, воды r_в = 998 кг/м³.

Решение. В данном случае при моделировании необходимо сохранить равенство чисел Рейнольдса для работы трубы на воде и в модельных испытаниях:

Отсюда находим скорость воздуха, необходимую для соблюдения вязкостного подобия

Для вычисления потери напора нужно воспользоваться критерием Ньютона (5.35)

Из этого критерия находим ожидаемую потерю напора в трубе при течении воды

¨

 

Пример 5.3. Требуется определить аэродинамическое сопротивление автомобиля, высота которого h_а = 1.5 м путём продувки его в аэродинамической трубе.

а) Каков должен быть размер модели h_м для соблюдения подобия, если максимальная скорость движения автомобиля равна v_а = 108 км/час, а скорость продувки ограничена величиной v_м = 45 м/с?

б) Какую силу лобового сопротивления Р_а будет испытывать автомобиль при максимальной скорости движения, если для модели при максимальной скорости продувки эта сила Р_м = 1500 н.

Решение. Так как модель автомобиля продувается воздухом той же температуры, что и при натурных испытаниях, то плотность и вязкость в обоих случаях равны.

При продувке модели необходимо равенство чисел Рейнольдса для натуры и модели

Таким образом, высота модели должна равняться 1 м.

Для вычисления лобового сопротивления автомобиля необходимо воспользоваться критерием Ньютона

Лобовое сопротивление автомобиля и модели при данных условиях испытания одинаково.    ¨

 

5.7 Аэродинамические трубы

Аэродинамические исследования взаимодействия объекта и движущейся среды можно проводить двумя методами: движением модели в неподвижной среде (прямая задача) или движением среды относительно неподвижной модели (обращённая задача).

Многие задачи механики жидкости и газа связаны с изучением движения тел относительно неподвижного воздуха или воды. Однако при экспериментальных исследованиях задачу можно обратить и исследовать движение среды около неподвижного тела. Результаты таких исследований при тщательном соблюдении условий обращения движения дают полное совпадение законов обтекания тел при прямом и обращённом движении.

Прямые натурные исследования позволяют в опытах выдерживать полное динамическое подобие, но при этом обладают существенными недостатками: невозможность исследования многочисленных вариантов исследуемого объекта, невозможность выявления взаимного влияния отдельных его элементов, часто невозможность проведения ряда испытаний в одинаковых условиях работы объекта. Поэтому натурные испытания дополняются испытаниями модели в аэродинамических трубах с тщательным соблюдением точного обращения потока и равенства значимых критериев подобия.

Аэродинамические трубы представляют собой устройство, позволяющее получить в его рабочей части, где располагается исследуемая модель, равномерный прямолинейный установившийся поток воздуха определённой скорости. Размеры и конструкции труб весьма разнообразны и зависят от задач, которые должны решаться с их помощью. Существуют трубы с сечением рабочей части в несколько квадратных сантиметров, но, с другой стороны, есть трубы, которые позволяют размещать в рабочей части и испытывать современный самолёт в натуральную величину. Мощности таких гигантских труб достигают до десятков мегаватт.

На рисунке 5.3 показана простейшая аэродинамическая труба прямого действия (незамкнутая) с закрытой рабочей частью. Воздух из неподвижного пространства засасывается вентилятором, установленным в конце трубы. Сначала воздух попадает в коллектор, проходное сечение которого в направлении потока уменьшается, вследствие чего скорость потока увеличивается. Достигнув наибольшей скорости в самом узком сечении коллектора, воздух попадает в рабочую часть, поперечное сечение которой постоянно. В рабочей части устанавливается испытуемое тело, которое омывается равномерным потоком воздуха постоянной скорости. За рабочей частью находится диффузор, позволяющий плавно снизить скорость воздуха. В конце диффузора установлен вентилятор с мотором. Изменение скорости в трубе достигается изменением числа оборотов вентилятора.

На рисунке 5.4 показана замкнутая аэродинамическая труба, особенность которой состоит в том, что постепенно расширяющийся диффузор непосредственно переходит в коллектор и воздух в трубе всё время циркулирует по замкнутому контуру. Рабочий участок в такой трубе открытый. Основным элементом является сопло, диффузор, вентиляторная установка, колена с поворотными лопатками, обратный канал, форкамера с выпрямляющим поток устройством и рабочий участок.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для всех типов, размеров и конструкций аэродинамических труб основные принципиальные характеристики являются общими. Одно из главных требований к трубе – получение качественного потока. Это обеспечивается геометрической формой внутреннего контура стенок и различных устройств для сглаживания потока: поворотных механизмов в коленах и сглаживающей решетки перед выходным конфузором. В рабочей части трубы должно быть достаточно большое ядро потока с постоянной скоростью в сечении и вдоль потока, куда может быть помещена испытуемая модель. Кроме того, вдоль потока в рабочей части должен отсутствовать градиент статического давления. Существенным требованием является отсутствие пульсаций скорости в потоке.

При соблюдении этих требований модельные испытания могут дать достаточно хороший результат, близкий к натурным испытаниям.

 

Глава 6. РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ

 

В главе 1 было рассмотрено течение Куэтто между двумя пластинами (рисунок 1.1). Нижняя пластина неподвижна, верхняя движется с постоянной скоростью U. За счёт прилипания жидких частиц к твёрдым поверхностям пластин скорость потока на нижней пластине будет равняться нулю, на верхней – U, скорости движения верхней пластины. За счёт трения, возникающего между слоями жидкости, скорость в жидкости будет нарастать от 0 до U, подчиняясь линейному закону (1.27). Слои жидкости в этом случае как бы скользят один по другому.

Если рассматривать течение в круглой трубе, то там будет наблюдаться сходная картина. На стенках трубы наблюдается прилипание частиц и скорость жидкости равна нулю. По мере удаления от стенок скорость нарастает и достигает максимума на оси трубы. Слои жидкости в данном случае будут не плоскими, а образуют концентрические цилиндры, которые скользят один по другому таким образом, что скорость везде имеет осевое направление. Распределение скоростей в этом случае подчиняется параболическому закону (рисунок 6.1).

Приведённые в этих примерах течения, имеющие слоистый характер, называются ламинарными течениями. Ламинарные течения вязкой жидкости описываются уравнениями Навье-Стокса, и они характеризуются тем, что наличие любого случайного малого возмущения очень мало изменяет характер рассматриваемого движения. Такие течения также называются устойчивыми. В реальных течениях может наблюдаться явление, когда малые возмущения изменяют характер движения. Такие течения называются неустойчивыми.

Опыт показывает, что в действительности наблюдаются только те из решений уравнения Стокса, которые являются устойчивыми по отношению к малым возмущениям.

В устойчивых движениях введенные в поток малые возмущения не развиваются с течением времени, а, наоборот, затухают, не влияя на происходящие в жидкости процессы.

В противоположность этому в неустойчивых движениях малые вначале возмущения растут, существенно изменяя характер начального движения и способствуя его переходу либо к новому устойчивому движению, если такое имеется среди возможных решений уравнений Стокса, либо к некоторому хаотическому, образованному нерегулярно движущимися и взаимодействующими между собой жидкими массами. Процессы возникновения и развития такого рода движений, так же как и их разрушения, носят случайный характер и не поддаются теоретическому анализу, требуя своего рода статистических подходов. Эта форма движения вязкой жидкости, широко распространенная в природе и технических устройствах, носит название турбулентного движения. Это движение воздуха в атмосфере, течение воды в морях, реках и каналах, в водопроводных трубах, в газопроводах, турбинах, насосах и компрессорах.

Первыми научными наблюдениями турбулентного движения были опыты английского физика О. Рейнольдса (1883 год), в которых он изучал движение воды в круглой цилиндрической трубе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Установка Рейнольдса (рисунок 6.2) состоит из сосуда 1, наполненного водой. От этого сосуда отходит гладкая прозрачная трубка 2 с плавным входом. Трубка имеет достаточно большую длину и на её конце расположен вентиль 3 для регулировки расхода воды, а, следовательно, и её скорости v = Q/w. Над сосудом 1 расположен бачок с краской 4, из которого краска при помощи тонкой трубки 5 подводится к входному сечению трубки 2. Подача краски регулируется вентилем 6.

В результате опытов было установлено, что при скоростях v, меньших некоторой критической скорости v_к, краска, попадающая в трубку 2, двигается прямолинейно, не перемешиваясь с другими слоями воды (рисунок 6.2 а). На рисунках а-г показан только небольшой фрагмент трубы А установки Рейнольдса. При постепенном увеличении расхода воды движение струйки краски становится волнообразным (б), затем появляются отдельные завихрения (в) и когда скорость воды в трубе 2 становится больше критического значения v > v_к, струйка краски полностью размывается, перемешивается с водой, а течение воды становится хаотическим (г). В этом случае жидкость, имея в целом поступательный характер, движется хаотически; отдельные её частицы перемещаются по случайным траекториям. При этом движении траектории частиц, проходящие в разные моменты времени через какую-либо неподвижную элементарную площадку, имеют разный вид, а движение самих частиц может проходить в поперечном и обратном направлении при общем поступательном движении вперёд.

На рисунке 6.2 а показан ламинарный режим движения жидкости, б, в – переходные режимы, г – турбулентный режим.

Рейнольдс на своей установке провёл множество опытов. Он менял скорость потока, брал трубки различных диаметров и опять менял скорость потока. При этом критическая скорость, полученная для трубки одного диаметра v'_к, не равнялась критической скорости, полученной для трубки другого диаметра: v'_к ¹ v"_к. Кроме того, Рейнольдс менял вязкость жидкости, изменяя её температуру, или брал жидкость с другой вязкостью. В результате он пришёл к выводу, что режим течения любой жидкости зависит от комплексной величины, связывающей скорость жидкости, характерный диаметр тела, с которым она взаимодействует, и вязкость:

.

(6.1)

Это тот же самый параметр, который был определён ранее при выводе безразмерных уравнений Навье-Стокса (5.31), (5.32). Там он являлся параметром, связывающим натурный и модельный потоки; в данном случае критерий Re является показателем характера потока и мерой его турбулентности.

Всё сказанное о характере течения капельной жидкости в той же мере относится и к газам.

При движении жидкости в трубах ламинарный характер течения будет устойчивым при значениях числа Re до 2000. При увеличении чисел Re до 3000 линии тока начинают искажаться, малые возмущения не затухают, и при числах Re более 3000 поток становится турбулентным. Ставились многочисленные опыты, в которых за счёт создания искусственных условий удавалось затянуть ламинарный характер движения до больших значений числа Re (вплоть до Re = 40000), но при малейшем возмущении ламинарный режим течения мгновенно переходил в турбулентный. С другой стороны, при значениях числа Re < 2000 никакое, даже сильное внешнее возмущение, не могло вывести поток из ламинарного состояния. Любое возмущение быстро затухало.

При практических расчётах движения жидкости за критическое число принято считать Re = 2300. Ниже этого числа поток считается ламинарным, выше – турбулентным. В открытых руслах критическое число Re = 200¸300.

На величину критического числа очень влияет отклонение трубы от цилиндричности, т.е. диффузорность или конфузорность.

Шероховатость стенок трубы не влияет на величину критического числа Re, так как нижнее число Re связано с устойчивостью потока, а не с наличием или отсутствием возмущений в нем.

 

Пример 6.1. Определить наибольшую величину диаметра трубы d, при котором на достаточном удалении от входа будет иметь место ламинарное течение, если расход керосина Q = 0,002 м³/с, кинематическая вязкость u = 5×10^–6 м²/с. Найти также скорость течения керосина.

Решение. Максимальный диаметр трубы, при котором сохраняется ламинарное течение, можно найти через критическое число Рейнольдса

Скорость потока выражается через расход

Подставляя выражение скорости в число Rе_кр, получаем

Отсюда

Скорость при этом будет равна

¨

Пример 6.2. По трубе диаметром d = 50 мм движется вода. Определить: а) расход, при котором турбулентный режим движения сменится на ламинарный, если температура воды t­ = 15⁰С;

б) режим движения при расходе Q =110 см³/с и температуре t­ = 5⁰С.

Решение. Из таблицы 7 в приложении находим u₅ = 1,518×10^–6 м²/с, u₁₅ = 1,139×10^–6 м²/с. Изменение режима течения можно найти по критическому числу Рейнольдса Rе_кр.

а) Выражая скорость через расход и подставляя в число Rе_кр (пример 6.1), находим расход:

б) При данных условиях число Rе равно

Течение ламинарное.  ¨

 

Пример 6.3. По конической сходящейся трубе движется вода, температура которой t­ = 15⁰С, с постоянным расходом Q. Определить:

а) может ли произойти смена режима движения воды в трубе, если в начальном сечении режим ламинарный?

б) в сечении с каким диаметром будет наблюдаться смена режима движения, если расход Q = 207 см³/с?

Решение. В конической трубе при сужении скорость будет увеличиваться обратно пропорционально уменьшению квадрату диаметра (пример 6.1), следовательно, число Рейнольдса будет увеличиваться обратно пропорционально уменьшению диаметра

В какой-то момент число Rе достигнет критической величины и произойдёт смена режима. Смена режима произойдёт в сечении с диаметром

¨

 

6.1 Мгновенная скорость

         Структуру турбулентного потока можно представить следующим образом. Выделим в потоке некоторый объём Q и проведём сечение 1-1, плоскость которого перпендикулярна направлению перемещения жидкости (рисунок 6.3). При турбулентном движении некоторые, случайным образом выделенные объёмы жидкости ­a, b, c разной величины и формы, приходят в беспорядочное неустановившееся вращение, причём эти объёмы могут распадаться на более мелкие и изменяться по течению. В своём поступательном движении они пересекают сечение 1-1. Зафиксируем на этом сечении произвольную точку А. Через эту точку будут проходить частицы жидкости, имеющие поступательное и вращательное движение относительно перемещающихся центров О. По этой причине скорость в точке А будет всё время изменяться как по величине, так и по направлению.

Рассмотрим две частицы – М₁ и М₂, которые попадают в точку А в разные моменты времени. Частица М₁, двигаясь по некоторой траектории, попадает в точку А в момент времени t₁ со скоростью u'_A. Частица М₂, двигаясь по другой траектории, попадает в точку А в момент времени t₂ со скоростью u"_А, причём скорость u"_А отличается от скорости u'_А. В другой точке В пространства будет наблюдаться аналогичная картина.

Действительная скорость u движущейся жидкой частицы в данный момент времени в данной точке пространства называется мгновенной скоростью. Мгновенная скорость в данной точке пространства изменяется во времени как по величине, так и по направлению.

Пульсации мгновенной скорости. Рассмотрим некоторое поперечное сечение 1-1, выделим на нём точку О и из точки О проведём координатные оси х и у (рисунок 6.4). х проходит перпендикулярно сечению, у – по касательной. Выделим вокруг точки О элементарную площадку dw. Проекции вектора скорости u на оси координат представляют продольную и поперечную составляющие мгновенной скорости.

Продольная составляющая всегда будет иметь постоянное направление, а величина её будет изменяться во времени. Изменение продольной составляющей скорости и_х в данной точке пространства О во времени показано на рисунке 6.5 а. Из графика видно, что колебания скорости происходят относительно некоторой постоянной величины и_х, представляющей осреднённую продольную скорость.

Поперечная составляющая мгновенной скорости может изменяться как по величине, так и по направлению оси у. График изменения поперечной составляющей во времени показан на рисунке 6.5 б. Изменение скорости происходят относительно оси Оу, т.е. эта скорость не имеет какого-либо преимущественного постоянного направления.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Действительная мгновенная скорость потока в данной точке представляется состоящей из двух скоростей: осреднённой по времени скорости и отклонения действительной скорости от осреднённой, которое называется пульсационной скоростью. На рисунке 6.5 показаны проекции пульсаций продольной и поперечной составляющей мгновенной скорости на оси Ох и Оу.

Явление пульсации можно наблюдать при измерении давления в турбулентном потоке жидкостным U-образным манометром. Столб жидкости в каждом колене будет непрерывно колебаться.

Осреднение скорости. Для количественного описания развитого турбулентного движения Рейнольдс предложил следующий метод. Проекции мгновенной скорости на оси координат представляются в виде суммы проекций осреднённой скорости и пульсационной составляющей. Мгновенное давление также представляются в виде суммы осреднённого во времени давления и пульсационной составляющей:

(6.2)

где u_x, u_y, u_z – проекции мгновенной скорости на оси координат;

      – осреднённые по времени проекции скоростей;

      – проекции пульсационных составляющих скорости.

Примем следующие допущения: в развитом турбулентном потоке пульсации малы по сравнению со средними скоростями потока; величины осреднённых скоростей слабо зависят от способа осреднения.

Осредненное значение скорости определяется как интеграл по достаточно большому промежутку времени от действительного значения скорости

,

(6.3)

где промежуток t₀ называется периодом осреднения.

Предположим, что для каждого рассматриваемого турбулентного движения существует такой достаточно большой по сравнению с периодом турбулентных пульсаций, но малый по сравнению с характерным для осредненного турбулентного движения интервалом времени (периодом колебательного движения, временем прохождения телом своей длины и т.д.) постоянный период осреднения t₀, что сглаживание во времени (6.3) приводит к осредненной величине, при повторном сглаживании уже не изменяющейся. Рассмотрим это на примере произвольной функции j. Осреднённое значение по времени для произвольной функции будет иметь вид

(6.3')

Повторное осреднение не приводит к изменению функции:

(6.4)

Если в результате осреднения (6.3'), проведенного в данной точке в разные моменты времени, будут получаться одни и те же значения `j, то такое осредненное движение называется стационарным, а само турбулентное движение квазистационарным.

Предположение (6.4) эквивалентно утверждению о равенстве нулю средних значений пульсаций величины j, равных . Действительно, в силу линейности операции осреднения (6.3') и равенства (6.4) имеем

.

(6.5)

В квазистационарном турбулентном движении осредненное значение `j будет функцией только координат, так что если y означает еще одну пульсационную функцию времени и координат, то согласно (6.3') получим

(6.6)

По определению осреднения следует, что среднее значение производной от некоторой функции по координате равно производной от среднего значения функции по той же координате

(6.7)

так как операции дифференцирования по координате и интегрирования по времени независимы.

Таким образом, учитывая данные условия, осредненные по времени значения пульсационных величин равны нулю

(6.8)

Пульсационные составляющие скоростей, как и все другие периодически изменяющиеся величины, могут быть охарактеризованы частотой и амплитудой, причем спектр частот изменяется в широких пределах – от 5 гц до 100 кгц.

Средняя амплитуда пульсации характеризуется величинами, равными

(6.9)

Степень интенсивности турбулентности – средняя квадратичная величина скорости пульсации, отнесенная к средней скорости потока

	(6.10)
где

Интенсивность турбулентности изменяется от 0,3 % в атмосфере до 7-8 % в машинах.

 

6.2 Уравнения осредненного турбулентного движения вязкой

жидкости

Система дифференциальных уравнений Навье-Стокса движения среды при отсутствии массовых сил имеет вид

	(6.11)

 

Пользуясь уравнением неразрывности, конвективную составляющую скорости в левой части можно представить в виде

(6.12)

Подставляем полученные выражения (6.12) в (6.11) и проведём операцию осреднения

.

(6.13)

Осреднение проекций скорости даёт

(6.14)

так как

Осреднение проекций произведения скоростей даёт

 

	(6.15)

Учитывая, что осреднение пульсационной составляющей равно нулю, окончательно получаем

(6.16)

Подставляя (6.14) и (6.16) в (6.13), получаем

         В полученных уравнениях раскрываем скобки, группируем члены и, учитывая уравнение неразрывности, получаем

Окончательно группируем все члены и получаем систему уравнений

	(6.17)

Эта система уравнений называется системой уравнений Рейнольдса. Уравнение неразрывности остается таким же, как и для действительных скоростей, а в уравнениях движения появляются новые члены. Новые слагаемые в уравнении Рейнольдса – это дополнительные напряжения поверхностных сил, возникающих из-за начальной турбулентности.

Преобразуем в уравнениях Рейнольдса (6.17) правые части следующим образом

	(6.18)

Последние скобки в правых частях уравнений представляют собой уравнение неразрывности, которое равно нулю.

         Запишем уравнения динамики сплошной среды в напряжениях (3.4), учитывая отсутствие массовых сил, в следующем виде

(6.19)

         Из сравнения уравнений (6.18) и (6.19) видно, что соответствующие компоненты, определяющие напряжения в точке жидкого объёма, будут

(6.20)

Очевидно, что новые слагаемые в уравнении Рейнольдса (6.17) можно рассматривать как дополнительный тензор турбулентных напряжений, обусловленный осреднённой величиной переноса пульсационного количества движения rи¢  пульсационной скорости и¢. В компактном виде тензор записывается следующим образом

(6.21)

Тензор П обладает свойством симметрии, что отражено в его записи (6.21).

Учитывая дополнительные вязкие напряжения, обусловленные пульсациями, обобщённый закон Ньютона (5.2) можно распространить и на турбулентное течение.

(6.22)

Или в явном виде

	(6.22¢)

При этом необходимо помнить, что турбулентная вязкость не является физическим свойством жидкости, а зависит от характера течения и вводится чисто по аналогии с динамической вязкостью.

Используя данный приём осреднения, можно получить осреднённое уравнение распространения тепла в турбулентном движении.

Для описания ламинарных течений была предложена схема слоистых потоков. Каждый выделенный слой жидкости скользит относительно друг друга и граница между слоями является непроницаемой для макрочастиц жидкости. Взаимодействие между слоями осуществляется за счёт молекулярного обмена массой и энергией. Этот молекулярный обмен и обуславливает вязкое трение.

Представление в турбулентном потоке мгновенной скорости в виде суммы средней и пульсационной составляющей позволяет интерпретировать турбулентное течение также в виде скользящих относительно друг друга слоёв. Эти слои можно выбрать по осреднённой скорости. Линия тока осреднённого движения остаётся непроницаемой для этого условия вводимого движения, но проницаема для пульсационного движения, которое переносит из слоя в слой сквозь линии тока осреднённого движения некоторое количество вещества, тепла и других физических субстанций. Носителем переносимой субстанции являются конечные объёмы жидкости. Такое слоистое движение называется стратифицированным. Стратификация может проводиться не только по скорости, но и по другим различным характеристикам потока, например, плотности, температуре.

Рассматривая установившееся осреднённое движение в плоской трубе (рисунок 6.6), можно представить линии тока осреднённого движения в виде прямых, параллельных оси трубы. Это стратификация по скорости. При установившемся движении во всех сечениях трубы имеет место одинаковый профиль осреднённых скоростей `и(у). Форма профиля зависит от характера турбулентного движения. Линии тока пульсационного движения пересекают линии тока осреднённого движения, проникают из одного слоя в другой и создают при этом перемещение жидкости сквозь площадки, расположенные вдоль линий тока осреднённого движения. Такое перемешивание называется турбулентным перемешиванием. Перенос количества движения пульсационными потоками создаёт турбулентное трение между слоями.

Пульсационные потоки представляют собой потоки вихрей разного масштаба, обладающие определённой кинетической энергией. Перемешивание вихрей между смежными слоями уменьшает или увеличивает кинетическую энергию слоёв, причём перенос кинетической энергии в турбулентном движении гораздо более эффективен, чем молекулярный перенос энергии между слоями в ламинарном движении. Вследствие этого и профили эпюр скоростей в турбулентном потоке имеют не параболический вид, а трапециевидный, и чем больше турбулизирован поток, тем больше профиль приближается к равномерному.

Кинетическая энергия вихрей зависит от интенсивности пульсаций скорости на соответствующей частоте. Поскольку пульсации давления и скорости происходят в определённом диапазоне частот, то возникает вопрос о распределении кинетической энергии вихрей по частотам. Такую зависимость можно получить только экспериментальным путём, измеряя пульсации скорости и давления при различных числах Рейнольдса. Экспериментально установлено, что распределение энергии по частотам представляет собой нормальный закон распределения Гаусса. Распределение энергии по частотам называется энергетическим спектром турбулентного потока.

Размеры вихрей в турбулентном потоке весьма разнообразны и имеют верхний и нижний пределы. Верхний предел размера вихрей лимитируется размерами канала, ограничивающего поток. Атмосферные потоки, практически ничем не ограниченные, могут иметь размеры турбулентного вихря в несколько десятков и сотен километров.

Нижний предел размера вихрей определяется влиянием вязкости и уменьшается с возрастанием скорости осреднённого потока. Однако это уменьшение не может быть бесконечным. Так, например, для умеренных скоростей потока в пределах до 100 м/с размер вихря будет не менее 1 мм, что неизмеримо больше длины свободного пробега молекул, которая имеет порядок 10^–4 мм. Следовательно, газы в атмосферных условиях и, тем более, жидкости при исследовании турбулентных течений могут рассматриваться как сплошные среды.

 

Глава 7. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ И ОТКРЫТЫХ

РУСЛАХ

 

В предыдущих главах кратко упоминалось о том, что при движении жидкости в трубах и открытых руслах скорость в сечении потока изменяется от нулевых значений у стенок до максимального значения на оси трубы или на свободной поверхности. Жидкость, движущаяся в трубе, может быть представлена в виде отдельных бесконечно тонких цилиндрических слоёв, которые перемещаются с различными скоростями, увеличивающимися к оси трубы (рисунок 6.6). Слои жидкости, движущиеся быстрее, увлекают за собой слои, движущиеся медленнее, а более медленные слои тормозят слои, движущиеся быстрее. В ламинарном течении это происходит за счёт обмена энергией и массой между соседними слоями на молекулярном уровне. В турбулентном потоке обмен массой и энергией происходит за счёт проникновения в смежные слои масс вещества, перемещаемого за счёт пульсационного движения. При такой схеме движения при скольжении на поверхности смежных слоёв развиваются силы трения. В результате жидкий объём деформируется, за счёт чего возникают потери напора движущейся жидкости, при этом различают два вида потерь напора:

1) потерю напора по длине – распределяется по всей длине потока равномерно (при равномерном движении) или неравномерно (при плавно изменяющемся потоке). Такую потерю напора обозначим h_l;

2) местные потери напора, возникающие только в отдельных местах потока. Такие потери вызваны резкой деформацией потока. Каждая местная потеря напора обозначается h_j.

В общем случае для участка трубопровода, заключённого между двумя сечениями, справедливо равенство

(7.1)

где h_w – полная потеря напора для рассматриваемого участка трубы (потеря напора в уравнении Бернулли).

Движение вязкой жидкости характеризуется наличием сил трения. При установившемся равномерном движении работа внешних сил (поверхностных и объёмных), приложенных к какому-либо участку потока, всегда равна работе сил трения (внутренних и внешних). В результате работы сил трения механическая энергия жидкости переходит в тепло.

Величина потери напора h_w есть мера той механической энергии жидкости, принадлежащей единице веса, которая за счёт работы сил трения, распределённых по длине потока и сосредоточенных в отдельных его узлах, переходит в тепло и безвозвратно теряется потоком.

Между силами трения в жидкости и потерями напора h_w существует зависимость, которая называется основным уравнением установившегося равномерного движения жидкости.

 

 

7.1 Основное уравнение установившегося равномерного движения

жидкости

Представим часть напорной круглой трубы длины l, ограниченной сечениями 1-1 и 2-2 (рисунок 7.1). Ось s направлена по течению жидкости в трубе. В случае равномерного течения жидкости пьезометрическая линия Р-Р является наклонной прямой, причём её падение по длине трубы выражает потерю напора h_l.

При равномерном движении средние скорости v постоянны, т.к. труба цилиндрическая и все её сечения равны между собой. Напишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 относительно плоскости сравнения 0-0 с учётом потерь напора на выделенном участке

(7.2)

Определим все внешние силы, действующие на выделенную часть потока сечениями 1-1 и 2-2, в проекции на ось s.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Собственный вес выделенного участка

где w - площадь сечения трубы.

Сила G приложена к центру тяжести выделенного объёма и направлена вертикально вниз. Проекция силы тяжести на ось SS  

где a – угол наклона оси трубы к горизонту.

Из чертежа видно, что

тогда

(7.3)

2 Силы Р₁ и Р₂ давления на торцевые сечения жидкого отсека со стороны соседних отброшенных объёмов жидкости

(7.4)

где р₁ и р₂ – гидродинамические давления в центрах тяжести сечений 1-1 и 2-2. Силы Р₁ и Р₂ проектируются на ось s без искажений.

3 Проекция на ось s сил нормального давления на боковую поверхность потока со стороны стенок трубы равна нулю.

4 Сила внешнего трения на стенке Т₀ со стороны стенок трубы и боковой поверхности потока направлена против течения и проектируется на ось s без искажения. В результате действия сил внешнего трения на стенке возникают касательные напряжения t₀. Тогда сила трения Т₀ запишется следующим образом

(7.5)

где c – смачиваемый периметр.

5 Силы внутреннего трения Т действуют между слоями жидкости (рисунок 7.2).

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим поперечное сечение трубы и выделим в нём две соприкасающиеся  струйки а и b. В общем случае скорости струек а и b не равны: u_a ¹ u_b. Поэтому струйка а, двигаясь с большей скоростью, старается увлечь за собой струйку b; при этом к струйке b приложена сила трения Т_b, направленная по течению. К струйке а со стороны струйки b будет приложена сила внутреннего трения Т_а, направленная против течения.

Силы внутреннего трения оказываются парными, причём

но сумма работ этих парных сил не равна нулю, поскольку перемещение струек а и b, вызванные этими силами, различны:

Так как течение установившееся, то все силы находятся в равновесии и сумма проекций всех сил на ось s равна нулю

(7.6)

или подставляя (7.3), (7.4) и (7.5) в (7.6)

Разделив на rgw, получаем

(7.7)

Сравнивая (7.2) и (7.7), находим, что

(7.8)

Введём гидравлический радиус трубы

.

(7.9)

Тогда

(7.10)

Разделив на l,

но

пьезометрический уклон. Тогда окончательно

(7.11)

(7.11) – основное уравнение установившегося равномерного движения. Это уравнение можно применять как для ламинарного, так и для турбулентного потоков. Оно даёт возможность определять потери напора по длине при равномерном движении жидкости:

.

(7.12)

Величина потерь напора h_l, обусловливается работой сил внутреннего и внешнего трения.

Уравнения (7.11) и (7.12) справедливы не только для напорного движения жидкости в круглой трубе постоянного сечения, но и для любого случая равномерного установившегося течения в открытом русле любой цилиндрической формы.

Найдём распределение внутренних касательных напряжений в сечении круглой трубы.

Выделим внутри круглой цилиндрической напорной трубы радиуса r₀ цилиндрический продольный жидкий столб радиуса r (рисунок 7.3). Применяя к нему уравнение (7.11)

           

где R' – гидравлический радиус выделенного столба жидкости, R' = r/2.

Тогда можно написать

(7.13)

Отсюда видно, что касательное напряжение продольного внутреннего трения для сечения 1-1 распределяется в круглой цилиндрической трубе по линейному закону.

 

7.2 Законы внутреннего трения в ламинарном потоке

Возьмём в продольном разрезе потока (рисунок 7.4) сечение АВ и соответствующую ему эпюру скоростей АВС и выделим два слоя жидкости, из которых первый слой движется со скоростью и₁, а второй – со скоростью и₂.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поверхность соприкосновения 1-1 этих жидких слоёв имеет площадь s. Вдоль этой поверхности в вязкой жидкости развиваются парные силы внутреннего трения Т₁ и Т₂. |T₁| = |T₂|. Первый слой способствует ускорению второго; второй слой тормозит первый.

Согласно закону Ньютона сила Т продольного внутреннего трения в параллельноструйном потоке жидкости прямо пропорциональна градиенту скорости, прямо пропорциональна площади s поверхности соприкосновения данных слоёв жидкости, не зависит от давления, но зависит от физических свойств жидкости:

(7.14)

где m –коэффициент динамической вязкости.

Толщина выделенных слоёв жидкости бесконечно мала, тогда для величин du и dn можно написать

(7.15)

где q – угол, образованный вертикалью и касательной к эпюре скоростей в точке соприкосновения слоёв на линии 1-1.

Касательные напряжения продольного внутреннего трения для ламинарного режима при прямолинейном движении

(7.16)

На дне D-D имеется весьма тонкий неподвижный слой, как бы прилипший к стенке, по которому совершается скольжение жидкости. Поэтому непосредственно на стенке и = 0.

Градиент скорости у стенки равен

(7.17)

Силу Т₀ и напряжение t₀ на стенке в случае ламинарного режима можно представить зависимостями

(7.18)

где c – площадь смоченной поверхности стенки.

Имея зависимости (7.12), (7.15) и (7.18) можно через величину t установить аналитическую связь между потерями напора h_l и физическими свойствами жидкости, а также распределением скоростей и по сечению потока.

 

7.3 Распределение скоростей и по сечению потока в круглой трубе

при ламинарном течении жидкости

 

При ламинарном движении векторы скорости частиц направлены параллельно оси потока.

Рассмотрим круглую трубу радиуса r₀ и покажем кривой АСВ эпюру скоростей для сечения АВ (рисунок 7.5).

Найдём уравнение кривой АСВ. Выделим центральный цилиндрический столб движущейся жидкости радиуса r. Для продольного

 

 

 

касательного напряжения трения t по боковой поверхности этого столба можно написать два выражения:

1) согласно (7.5) имеем

(7.19)

где гидравлический радиус рассматриваемого столба

;

2) согласно закону Ньютона (1.28)

(7.20)

Здесь при выбранном направлении r величина dи/dn отрицательна.

Решая совместно (7.19) и (7.20), получаем

Или, разделяя переменные,

Интегрируя,

 Постоянную интегрирования С находим из условия, что при r = r₀ скорость и = 0. Отсюда

Подставляя в предыдущую формулу, окончательно получаем уравнение кривой АСВ – параболу

(7.21)

где i – пьезометрический уклон.

Подставляя в (7.21) r = 0, получаем максимальную величину скорости на оси трубы

(7.22)

 

7.4 Формулы Пуазейля и Вейсбаха-Дарси

Найдём величину расхода жидкости Q для круглой трубы в случае ламинарного течения (рисунок 7.5). Элементарный расход dQ, проходящий через элементарную часть площади сечения dw в виде кольца радиусом r, равен

Подставим сюда (7.21):

Интегрируя это выражение по всей площади сечения, получаем

(7.23)

Средняя скорость

(7.24)

или, учитывая, что i = h_l/l,

откуда

–

(7.25)

 – формула Пуазейля.

В случае ламинарного движения потеря напора h_l

- зависит от свойств жидкости (m, r);

- прямо пропорциональна средней скорости v в первой степени;

- не зависит от шероховатости стенок русла.

Для круглой трубы в случае ламинарного режима (7.25) можно представить в виде, разделив и умножив на 2v

откуда получаем формулу для гидравлических потерь напора по длине, которая носит название формулы Вейсбаха-Дарси:

(7.26)

         l – коэффициент сопротивления трения. Для ламинарного режима он равен

.

(7.27)

 

 

7.5 Турбулентные касательные напряжения в осреднённом потоке

Переходя от действительного потока к осреднённому, мы отбрасываем поперечные пульсации скорости и¢_у. Но поперечные пульсации скорости должны существенно влиять на формирование эпюры продольных осреднённых скоростей и, следовательно, на величину потерь напора h_l.

Представим плоский турбулентный поток и эпюру осреднённых продольных скоростей (рисунок 7.6). Выделим условные линии тока (y₁ – l), (y₁), (y₁ + l). Направление главного потока совпадает с осью Ох, следовательно, осреднённые скорости

(7.28)

Так как в потоке существуют поперечные пульсации скорости и¢_у, то существует обмен объёмами жидкости между двумя слоями. Частицы верхнего слоя, попавшие в нижний слой, ускоряют движение жидкости в пределах нижнего слоя; частицы нижнего слоя, попавшие в верхний, тормозят его в пределах слоя.

Эффект перемешивания частиц жидкости аналогичен действию сил трения по поверхности у₁. Таким образом, турбулентному потоку можно приписать условные силы трения Т¢ по поверхности контакта слоёв. Напряжения, обусловленные этим условным трением, называются турбулентными касательными напряжениями t_t, которое, как уже говорилось, не является физическим свойством жидкости, а зависит от масштаба турбулентности.

Сделав такое предположение, турбулентные касательные напряжения можно представить по предложению Ж. Буссинеска, в том же виде, как и для ламинарного течения (7.16). Учитывая условия (7.28), из всех касательных напряжений в тензоре напряжений (6.21) остаются только касательные напряжения

(7.29)

По предложению Л. Прандтля механизм турбулентного течения представляется следующим образом. В турбулентном течении возникают жидкие объёмы, обладающие собственной скоростью и движущиеся на некотором расстоянии друг от друга, как в продольном, так и в поперечном направлении с сохранением составляющей импульса в направлении оси 0х. Пусть, например, один такой объём, возникший в слое (у₁ – l') и обладающий скоростью u(у₁ – l'), перемещается на расстояние l' в направлении, перпендикулярном к главному течению. При сохранении импульса в направлении оси 0х рассматриваемый объём в верхнем слое у₁ будет иметь меньшую скорость, чем окружающая его среда. Разность скоростей между верхним слоем у₁ и рассматриваемым объёмом равна

Это выражение получено из разложения скорости u(у₁ – l') в ряд Тейлора и отбрасывания членов разложения, порядок которых выше первого. При этом пульсационная скорость и'_у > 0.

Точно также жидкий объём, попадающий в слой у₁ из слоя (у₁ + l'), имеет в новом месте большую скорость, чем окружающая его среда. Разность скоростей

а пульсационная составляющая и'_у < 0. Величины Dи_х1 и Dи_х2 можно рассматривать как турбулентные пульсации скорости в слое у₁. Осреднение во времени абсолютной величины этих пульсаций будет

(7.30)

Величину l' Л. Прандтль назвал путём смешения. Величина l' представляет собой то расстояние в поперечном направлении течения, которое частица жидкости, двигаясь со средней скоростью своего первоначального слоя, должна пройти для того, что бы, попав в следующий слой, смешалась с окружающей жидкостью и отдала ей всю разницу количества движения.

Исследования показали, что продольная и поперечная пульсационные скорости одного порядка

(7.31)

где С – некоторая постоянная величина, играющая роль коэффициента пропорциональности.

Найдём величину осреднённого значения , входящего в формулу (7.29). Частицы жидкости, приходящие в слой у₁ снизу (и'_у > 0), вызывают отрицательную пульсацию и'_х < 0. для таких частиц произведение < 0. Частицы жидкости, приходящие в слой у₁ сверху (и'_у < 0), вызывают положительную пульсацию и'_х > 0. Произведение этих пульсаций опять отрицательно: < 0. Следовательно, осреднённое во времени значение отличается от нуля и отрицательно. Поэтому можно принять, что

(7.32)

где k – коэффициент корреляции между продольной и поперечной пульсациями скорости и лежит в пределах 0 < k < 1.

Подставляя в (7.32) выражения (7.30) и (7.31), получим

(7.33)

С₁ в этой формуле не совпадает с С в формуле (7.32), так как в него включён и коэффициент k. Включим новую постоянную С₁ в осреднённую величину l'. Тогда

(7.34)

Внеся это значение в (7.29), получим значение турбулентного касательного напряжения

(7.35)

Отсюда

(7.36)

Аналогично ламинарному потоку можно ввести условный коэффициент кинематической турбулентной вязкости

(7.37)

Здесь производная взята по направлению п, нормальному к основному осреднённому потоку.

Величину l, входящую в последние формулы, только пропорциональную введённому пути смешения l', также называют путём смешения, считая коэффициент пропорциональности входящим в её определение. В настоящее время неизвестной величине l не придают обязательный смысл пути смешения, а считают, что это величина характеризует геометрическую структуру турбулентности потока, средний размер участвующих в переносе масс и называют масштабом турбулентности. Масштаб турбулентности так же, как и коэффициент турбулентной вязкости, не является физическим параметром вещества, а является только функцией точки.

Длину пути смешения обычно представляют как

(7.38)

где у – расстояние от стенки до точки, в которой определяют турбулентное касательное напряжение;

k – универсальная постоянная Прандтля, для круглой трубы k » 0,4.

В турбулентном потоке, так же как и в ламинарном, существуют вязкие напряжения, связанные с силами внутреннего трения. Следовательно, полное касательное напряжение в турбулентном потоке можно представить в виде суммы вязкого и турбулентного напряжения:

(7.39)

 Если число Re невелико, то в суммарном касательном напряжении будет преобладать молекулярная вязкость m. При увеличении числа Re масштаб турбулентности l увеличивается, и величины молекулярной и турбулентной вязкости становятся соизмеримыми. При больших числах Рейнольдса в квадратичной области течения величина молекулярной вязкости становится незначительной по сравнению с турбулентной вязкостью и ей в этом случае можно пренебречь.

 

7.6 Распределение скоростей в турбулентном потоке

Подставим выражение (7.38) для длины пути смешения в (7.35). Тогда касательное напряжение турбулентной вязкости примет вид

(7.40)

Решая (7.40) относительно du/dу, разделяя переменные и интегрируя по у, получим профиль скоростей при турбулентном движении.

	(7.41)

Эта формула введена в предположении, что исследуется движение в некотором удалении от стенки, поэтому такое решение может не удовлетворяться при у = 0. Произвольную постоянную С нельзя находить из граничных условий на стенке.

Для определения С необходимо воспользоваться понятием ламинарного подслоя.

Будем искать такое расстояние от стенки у = d_л, для которого при у < d_л существенно преобладает вязкое трение (ламинарное движение), а при у  > d_л – турбулентное трение (турбулентное движение). Величина d_л называется толщиной ламинарного подслоя.

На самом деле резкого перехода от ламинарного движения к турбулентному нет.

Определим толщину ламинарного подслоя, воспользовавшись методом размерностей. Будем считать толщину подслоя однозначной функцией от величин, её определяющих – вязкости, плотности среды и напряжения трения на стенке t₀:

Используя размерности величин m, r и t_w и имея в виду, что a – безразмерная константа, получим уравнение для размерностей в следующем виде

или

.

Приравнивая слева и справа в уравнении показатели степени при м, кг и с, получим систему простых алгебраических уравнений

Решение системы

Отсюда окончательно получим, что толщина ламинарного подслоя равна

(7.42)

Введём обозначения

Величина V_* имеет размерность скорости и определяется трением на стенке и плотностью жидкости. Она называется динамической скоростью. l_* имеет размерность длины и называется динамической длиной. Число Re, определённое по динамической скорости и динамической длине, всегда равно единице.

В новых обозначениях толщина подслоя будет равна

(7.43)

Предполагается, что в подслое величина скорости есть линейная функция у и, пользуясь формулой распределения скоростей при ламинарном обтекании пластины

получим значение скорости на границе подслоя и_л:

или

(7.44)

Таким образом, получаем граничные условия (при у = d_л = al_*, и = и_л = aV_*).

Подставляя граничные условия в (7.41), получим

откуда

(7.45)

Подставляя С в (7.41), получаем

(7.46)

Учитывая, что a и k – константы, получаем закон распределения скоростей в турбулентном потоке

(7.47)

где

         На основании экспериментов, проведённых И. Никурадзе, были получены достаточно точные значения коэффициентов А = 2,5 и В = 5,5.

Таким образом, в отличие от ламинарного течения, где на достаточно большом удалении от входа в трубу профиль скорости параболический, в турбулентном потоке профиль осреднённых скоростей вдоль осевого направления потока подчиняется логарифмическому закону и зависит от целого ряда параметров.

 

7.7 Потери напора по длине трубы при движении жидкости

В выражении для толщины ламинарного подслоя (7.42) знаменатель  имеет размерность скорости. Тогда, если умножить и разделить правую часть (7.42) на d –диаметр трубы, то получим

(7.48)

т.е. толщина ламинарного подслоя, прилегающего к твёрдой поверхности, зависит от вязкости протекающей среды и её скорости, входящих в число Rе.

Потери напора в самой трубе должны также зависеть и от свойств, присущих самой трубе. Такими свойствами является величина шероховатости или высота мельчайших выступов, покрывающих всю поверхность трубы. Трубы изготавливаются из различных материалов и с различной чистотой обработки поверхности. Трубы из нержавеющей стали и латуни имеют высокую чистоту обработки, но, тем не менее, и на таких поверхностях имеются выступы. Величина их порядка 2¸10 мкм. Новые трубы из углеродистой стали имеют большую шероховатость порядка 20¸50 мкм. На трубах, бывших в эксплуатации, появляется ржавчина, накипь, отложения солей и шероховатость таких труб увеличивается в среднем до 0,5¸1 мм. Наибольшую величину шероховатости имеют чугунные, асбоцементные и керамические трубы. Величина шероховатости различных труб дана в приложении.

Рассмотрим влияние шероховатости труб и числа Рейнольдса потока в трубе на потерю напора. На рисунке 7.7 показана условно внутренняя поверхность шероховатой трубы.

 

 

При ламинарном движении слои скользят друг по другу и по ближайшему к стенке слою, лежащему выше вершин выступов шероховатости. В этом случае шероховатость практически не влияет на потери напора.

При увеличении скорости течения поток в трубе становится турбулентным, но на стенке вследствие прилипания жидкости скорость равна нулю и увеличивается до скорости турбулентного течения в пределах толщины ламинарного подслоя d_л, порядок которой определяется в (7.48). Если толщина ламинарного подслоя выше выступов шероховатости (рисунок 7.7б), то турбулентное ядро потока скользит по ламинарному подслою, и выступы шероховатости, так же как и в ламинарном течении, на него не влияют. Это явление наблюдается в тех случаях, когда выступы очень мелкие, а турбулентность потока значительная, или при наличии больших выступов число Rе недостаточно велико и ламинарный подслой имеет толщину, достаточную для того, чтобы полностью покрыть все выступы.

При более развитом турбулентном потоке (большие числа Rе) ламинарный пограничный подслой вытесняется и становится настолько тонким, что выступы шероховатости поднимаются над этим слоем и проникают в турбулентное ядро (рисунок 7.7в). В этом случае тормозящее действие на поток начинает оказывать шероховатость, и потери напора уже зависят и от турбулентного трения и от шероховатости. В этом случае шероховатость труб необходимо вводить в расчёты.

Потери напора для любого типа течения определяются формулой Вейсбаха-Дарси (7.26), но коэффициент сопротивления l зависит от числа Рейнольдса и шероховатости труб. Следовательно, в каждом конкретном случае расчёта потерь напора необходимо определять коэффициент сопротивления. Наглядная зависимость коэффициента сопротивления от числа Rе и шероховатости труб дана в графике И. Никурадзе (рисунок 7.8).

Весь график можно разбить на четыре характерные зоны.

Первая зона – зона ламинарного режима представлена прямой 1. В этом случае коэффициент сопротивления не зависит от шероховатости, а зависит только от числа Rе. Его значения укладываются на одну линию. Величина коэффициента сопротивления вычисляется по формуле (7.27)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула справедлива для чисел Rе < 2000. Потери напора, вычисленные по формуле Вейсбаха-Дарси, прямо пропорциональны первой степени скорости (скорость, входящая в число Rе в формуле Вейсбаха-Дарси, будет стоять в знаменателе и сократится с квадратом скорости).

Вторая зона – зона, расположенная в диапазоне чисел Rе = 2000¸4000, является зоной неустойчивых режимов (переходная зона). При движении жидкости по трубе на отдельных участках возникают области турбулентного режима, которые разрастаются и затем исчезают. В связи с этим данная зона называется зоной перемежающейся турбулентности. В этом случае коэффициент сопротивления в формуле Вейсбаха-Дарси вычисляется как для технически гладкой трубы (7.49).

Третья зона – зона технически гладких труб лежит в области чисел Рейнольдса от 4000 до Rе » (1¸2)×10⁵. Все значения коэффициента сопротивления укладываются на одну линию 2. При движении турбулентного ядра ламинарный подслой полностью покрывает все выступы шероховатости, поэтому потеря напора зависит только от числа Рейнольдса. Величина коэффициента сопротивления вычисляется по формуле Филоненко

(7.49)

Для технически гладких труб справедлива также формула Блазиуса в диапазоне до Rе » 10⁵

(7.50)

Обе эти формулы дают расхождение порядка 1 %. Потеря напора в области гладкостенных течений прямо пропорциональна скорости в степени » 1,75.

Четвёртая зона – зона развитого турбулентного течения разбивается на две области: область доквадратичного сопротивления, лежащую между линией 2 гладкостенного сопротивления и линией АВ. Вторая область четвёртой зоны лежит правее линии АВ. В первой области коэффициент сопротивления l зависит как от шероховатости, так и от числа Rе. Относительная шероховатость (отношение радиуса трубы к средней высоте выступов) является параметром и на графике представлена семейством кривых, отходящих от линии 2 гладкостенного течения. Чем меньше величина шероховатости, тем ниже расположена кривая. В этой области коэффициент сопротивления вычисляется по формуле А.Д. Альтшуля

(7.51)

Эта формула удобна для расчёта, хорошо аппроксимирует изменение коэффициента l в диапазоне чисел Rе от » 10⁴ до » 4×10⁵. На нижнем пределе эта формула хорошо совпадает с формулой Блазиуса (7.50), а на верхнем – с формулой Шифринсона (7.52). Так как число Рейнольдса, а, следовательно, и скорость стоят в этой формуле в знаменателе в степени 0,25, то потери напора по формуле Вейсбаха-Дарси будут прямо пропорциональны скорости в степени » 1,75. Поэтому эта область также называется областью доквадратичного сопротивления.

Вторая область четвёртой зоны лежит правее линии АВ, которая отсекает ветви семейства кривых, расположенных практически горизонтально, т.е. явно просматривается отсутствие зависимости коэффициента сопротивления от числа Rе. Величина l зависит только от параметра относительной шероховатости (семейство линий). Коэффициент сопротивления в этой области вычисляется по формуле Шифринсона

(7.52)

Потери напора прямо пропорциональны квадрату скорости и эта область носит название области квадратичного сопротивления.

При построении графика (рисунок 7.8) в экспериментах использовались трубы с искусственной песочной шероховатостью. Брались различные рассевки песка и отдельные монодисперсные фракции наклеивались внутри труб, которые затем продувались, и измерялось их сопротивление.

Однако применяемые в действительности материалы отличаются друг от друга не только размером зёрен шероховатости, но также и их формой. Опыты показывают, что при одной и той же абсолютной шероховатости трубы из разного материала могут иметь совершенно различные коэффициенты гидравлического сопротивления, зависящие от формы выступов, густоты и характера их расположения. Так как все эти факторы не поддаются какому-либо учёту, то в практику расчётов было введено понятие эквивалентной шероховатости. Под эквивалентной шероховатостью понимают такую высоту выступов, сложенных из монофракционного песка, которая даёт при расчётах одинаковый с заданной шероховатостью коэффициент сопротивления l. Таким образом эквивалентная шероховатость не определяется непосредственным измерением высоты выступов, а находится из гидравлических испытаний трубопроводов.

 

7.8 Местные гидравлические сопротивления

Местным гидравлическим сопротивлением является любая причина, вызывающая искажение профиля скоростей и отрыв потока от стенки на малом участке трубопровода. Такой причиной может быть любое препятствие на пути потока, изменение размеров сечения потока, повороты потока, различная арматура, применяющаяся на трубопроводах.

На рисунке 7.9 показан поток, огибающий преграду. При приближении к препятствию линии тока транзитной струи искривляются и огибают препятствие; при этом происходит отрыв потока от стенки в точке а. За препятствием нижние линии тока подходят к стенке в точке d. Зона отрыва авсd, обозначенная буквой А, лежит по обе стороны препятствия. На рисунке 7.9б показаны профили скоростей в различных сечениях. В зоне отрыва возникают вихревые течения с обратным направлением скорости, поэтому эта зона называется также водоворотной областью. Поверхность раздела между транзитной струёй и водоворотной областью выражена нечётко. Она носит неустановившийся и размытый характер. Периодически с этой поверхности срываются вихри, которые уносятся транзитной струёй. В турбулентном потоке за линией тока в транзитной струе и в водоворотной области принимаются линии тока осреднённой скорости в преимущественном направлении потока.

В сечении 2-2 наблюдается повышенная пульсация скоростей и деформация эпюры скоростей. На участке между сечениями 2-2 и 3-3 происходит затухание пульсаций до величин, характерных для равномерного движения и выравнивание эпюры скоростей. В сечении 3-3 эпюра скоростей имеет такую же форму, какая была характерна для равномерного потока в сечении 1-1. Этот участок называется переходным.

Через поверхность раздела транзитной струи и водоворотной зоны благодаря пульсациям происходит интенсивный обмен объёмами жидкости. Поэтому турбулентные касательные напряжения, действующие вдоль поверхности раздела, велики, что вызывает достаточно значительные потери напора в пределах водоворотной зоны. Так же достаточно большие потери напора в пределах переходного участка.

На рисунке 7.10 показана теневая фотография потока, огибающего препятствие. На первой фотографии (а) показана начальная фаза движения от состояния покоя. Линии тока плавно огибают препятствие. С увеличением скорости потока (б) чётко виден вихрь, образующийся за препятствием. При дальнейшем увеличении скорости (в) виден отрыв потока перед препятствием и хорошо выраженная вихревая зона за препятствием.

                                                                                                                              

 

 

Сходная картина движения наблюдается и в случае других типов местных сопротивлений – при повороте потока, сужении или расширении трубопровода. При любом местном сопротивлении наблюдается отрыв потока от стенки и возникновение водоворотной области, и искажение профиля скоростей. На некотором удалении от местного сопротивления равномерность течения восстанавливается.

Ниже рассматриваются некоторые частные случаи местных сопротивлений.

 

7.8.1 Резкое расширение потока

При резком расширении трубопровода труба, имеющая диаметр d₁, переходит в трубу, имеющую больший диаметр d₂ (рисунок 7.11).

Струя, выходящая из первой трубы, на некотором расстоянии l_в расширяется и в сечении 2-2 занимает всё пространство второй трубы. На этом участке имеет место отрыв потока с кольцевой водоворотной областью. На водоворотном участке от сечения 1-1 до сечения 2-2 происходит сильное искажение профиля скоростей; на переходном участке от сечения 2-2 до сечения 3-3 происходит восстановление профиля скоростей до характерного при равномерном течении. На участке от сечения 1-1 до сечения 3-3 имеет место местная потеря напора, которая называется потерей напора на резкое расширение h_j. Для данного частного случая потерю напора h_j можно обозначить h_рр.

 

 

 

 

 

 

 

Напишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 3-3

(7.53)

Для простоты будем считать, что труба расположена горизонтально. Тогда z₁ = z₃, и уравнение запишется в виде

Разность давлений (р₁ – р₃) найдём из уравнения импульсов (5.29), которое приложим к отсеку жидкости между сечениями 1-1 и 3-3.

(7.55)

В сечении 1-1 и 3-3 профили скоростей соответствуют установившемуся потоку и коэффициент Буссинеска можно принять a₀ = 1. Так как расстояние между сечениями 1-1 и 3-3 невелико, то силой трения жидкости о стенку Т₀  можно пренебречь ввиду малости площади омываемой поверхности. Проекция силы тяжести жидкости, находящейся в рассматриваемом отсеке, на горизонтальную ось трубы равна нулю G_х = 0; Р_1х и Р_3х – проекции на ось 0х сил гидродинамического давления, действующих на торцевые стенки сечения 1-1 и 3-3 выделенного отсека транзитной струи, т.е. со стороны жидкости, находящейся слева и справа от этого отсека. R_х – проекция на ось реакции стенок равна давлению вертикальной стенки аd, имеющей кольцевую форму, на жидкость. Давление в сечении 3-3 распределяется по гидростатическому закону. Примем, что давление по всему сечению 1-1 распределяется тоже по гидростатическому закону, тогда

(7.56)

Учитывая (7.56) и принятые допущения, (7.55) перепишем в виде

(7.57)

Разделив обе части равенства (7.57) на rg и учитывая, что Q = v₃w₃, получаем

(7.58)

Подставив полученное выражение в уравнение Бернулли, получим

(7.59)

Окончательно

(7.60)

Это выражение носит название формулы Борда, а разность скоростей (v₁ – v₃) называется потерянной скоростью.

Из (7.60) можно сделать следующее заключение: потеря напора при резком расширении равна скоростному напору, отвечающему потерянной скорости.

Приведём это выражение к более удобному виду. Вынося за скобки  v₁, получим

Обозначив

получим

(7.61)

         Коэффициент z_рр называется коэффициент сопротивления при резком расширении потока. В этой формуле потери напора вычисляются по большей скорости v₁ в первой меньшей трубе. Формула (7.61) носит название формулы Вейсбаха и применима к любому типу местного сопротивления с учётом соответствующего коэффициента сопротивления.

Если в равенстве (7.60) за скобку вынести скорость v₃, то

(7.62)

В этой формуле z¢_рр тоже коэффициент сопротивления при резком расширении потока. При вычислении потерь напора по этой формуле нужно брать меньшую скорость в широкой трубе.

Формулы (7.61) и (7.62) написаны для вычисления потерь напора при течении в трубах воды и h_рр имеет размерность метры водяного столба. Если в трубе течёт жидкость с другой плотностью или газ, то расчёт необходимо вести с учётом плотности среды:

(7.63)

В этом случае потери давления имеют размерность в паскалях (Па или н/м²).

В частном случае, когда резкое расширение велико, например, вытекание воды из трубы под уровень в бассейн, то w₂ – площадь поперечного сечения бассейна, будет несоизмеримо больше, чем площадь поперечного сечения трубы. Тогда отношение площадей w₁/w₂ можно считать равной нулю и коэффициент сопротивления будет равен z_вых = 1. При этом потеря напора составит

(7.64)

 

7.8.2 Резкое сужение трубопровода

На рисунке 7.12 показан тип сужения, потери напора при котором будут наибольшими. Такой тип сужения называется наиболее резким сужением.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теоретическое решение в этом случае возможно, если удовлетворяется условие а > 0,5d₂. Гидродинамические условия течения характеризуются тем, что элементарные объёмы жидкости М, двигаясь вдоль стенки аb в точке b резко меняют направление своего движения на противоположное. За счёт сил инерции струя отрывается от стенки bс и на входном участке трубы возникает кольцевая водоворотная область А. Область А можно разделить на два участка транзитной струи – один участок, сужающийся до наиболее сжатого сечения с-с, другой расширяющийся за сжатым сечением с-с. Опыты показали, что потери напора на сужающейся части транзитной струи для турбулентного потока относительно малы, так как пульсации скоростей на сужающемся участке уменьшаются и, кроме того, длина сужающегося участка невелика – приблизительно 0,5d₂. Практически вся потеря напора происходит в расширяющейся части струи между сечениями с-с и 2-2. Следовательно, потери напора можно найти, используя формулу Борда, подставив в (7.60) вместо скорости v₁ скорость v_с в сжатом сечении с-с.

(7.65)

Введём коэффициент сжатия струи

(7.66)

где w_с и w₂ – площади соответствующих сечений.

Тогда потери напора будут

(7.67)

Здесь  – коэффициент сопротивления наиболее сжатого сечения. Для того чтобы найти неизвестный коэффициент сжатия e, нужно связать уравнением Бернулли два сечения – 1-1 и с-с:

(7.68)

откуда

(7.69)

Для нахождения разности (р₁ – р_с) воспользуемся уравнением импульсов (5.29), которое приложим к отсеку жидкости между сечениями 1-1 и с-с. Реакция стенки 1¢-1¢ равна силе давления, действующей на стенку со стороны жидкости р¢. Эта сила распределяется по гидростатическому закону. Тогда

(7.70)

Разность сил давления в уравнении (5.29) равна

(7.71)

Учитывая, что стенка 1¢-1¢ кольцевая, её реакция, согласно (7.70)

(7.72)

и имеет знак минус.

Проекции силы веса на ось 0х G_х = 0. Силы внешнего трения можно не учитывать, так как рассматриваемый участок очень короткий; коэффициент Буссинеска принимаем a₀ = 1. Тогда уравнение импульсов (5.29) запишется следующим образом

(7.73)

Раскрыв скобки, разделив все члены на rg и w₂ и написав полученное уравнение относительно разности давлений (р₁ – р_с), получим

Полученную разность подставляем в уравнение Бернулли (7.69)

(7.74)

Сократив на 2g,  представив скорости, где необходимо, как отношение расхода к соответствующему сечению и сокращая Q, получим

Умножая на w₂ и помня, что w_с/w₂ = e, напишем

Деля на v_с и заменяя скорости площадями, получим уравнение для нахождения e

(7.75)

Решением этого уравнения будет

(7.76)

Подставляя полученное решение в (7.67), окончательно получим величину потерь напора для наиболее резкого сужения

(7.77)

В общем случае местную потерю напора при сужении трубопровода можно определить по формуле

(7.78)

где коэффициент сопротивления

(7.79)

Коэффициент x называется коэффициентом смягчения сужения. Этот коэффициент определяется опытным путём, и для каждого типа сужения будет иметь своё значение. На рисунке 7.13 показаны три типа разных сужений трубопровода.

 

 

 

 

 

 

Резкое сужение а) – x = 0,5. Следовательно, коэффициент сопротивления

(7.80)

При постепенном сужении б) и плавном сужении в) трубопровода величина x зависит от размера а, угла раскрытия b и радиуса скругления r.

Аналогично случаю вытекания воды из трубы в бассейн под уровень, при вытекании воды из бассейна в трубу площадь w₁  можно считать бесконечно большой по сравнению с площадью трубы. Тогда из (7.80) очевидно, что z_рс = 0,5.

 

7.8.3 Другие типы местных сопротивлений

7.8.3.1 Поворот трубы.

К наиболее часто встречающимся типам местных сопротивлений, кроме расширения и сужения трубы, относится поворот потока в колене трубы.

Проходя колено трубы, поток искривляется, и давление на вогнутой стороне внутренней стенки р_н будет больше, чем на выпуклой р_в. Вследствие этого нарушается симметрия эпюры скоростей и происходит отрыв потока на вогнутой стенке в самом колене и на выпуклой стенке за коленом (рисунок 7.14).

При резком повороте трубы (рисунок 7.14б) потери напора гораздо больше, чем при плавном. Их можно оценить по формуле Вейсбаха, если принять во внимание скорость в наиболее сжатом сечении и в невозмущённом потоке

(7.81)

 

 

 

Отсюда коэффициент местного сопротивления колена

(7.82)

Из экспериментальных данных получено, что при повороте на 90⁰ e = 0,5, следовательно, z_к90 = 1, что достаточно хорошо согласуется с опытными данными.

Более точную формулу для расчёта коэффициента сопротивления при резком повороте на 90⁰ даёт эмпирическая зависимость, где учитывается и коэффициент сопротивления трения l:

(7.83)

Для других значений угла поворота, больших 90⁰, коэффициент сопротивления можно определить по формуле

(7.84)

При плавном повороте потока сопротивление меньше и зависит от отношения диаметра трубы к радиусу гиба и коэффициента сопротивления трения. Вычисляется по формуле А.Д. Альтшуля

(7.85)

Если поворот трубы отличается от 90⁰, то в эту формулу вводится поправка

(7.86)

         где а – поправочный коэффициент, зависящий от угла поворота. Значения коэффициента а даны в таблице в приложении.

 

7.8.3.2 Потери напора в сетках

Для предотвращения попадания песка, гальки и посторонних предметов в насос на всасывающей линии трубопровода устанавливают сетчатые фильтры. Обычно сетка плетётся из проволоки и имеет квадратную форму ячеек (рисунок 7.15)

Сетка имеет следующие геометрические характеристики: t – шаг сетки, а – размер стороны ячейки сетки, d – диаметр проволоки, из которой изготовлена сетка, т –коэффициент скважности т = а²/t². Для определения потерь напора на сетке можно воспользоваться формулой Вейсбаха

(7.87)

Коэффициент сопротивления сетки вычисляется по эмпирической формуле

(7.88)

Так как сетка загромождает проходное сечение, то скорость воды в ячейках сетки будет больше, чем в сечении трубы

(7.89)

Это необходимо учитывать при вычислении числа Рейнольдса:

(7.90)

 

7.8.3.3 Потери напора в тройниках

Тройники представляют собой часть трубопровода, в которой поток жидкости разделяется на два потока или два потока сливаются вместе в один поток. Конструктивно тройники могут отличаться углом разветвления и диаметром составляющих тройник труб. Соответственно, в каждой трубе будет своя скорость. При вычислении потерь напора в тройнике можно воспользоваться формулой Вейсбаха. Коэффициент сопротивления в этой формуле берётся из таблиц, которые составляются для каждого типа разветвления отдельно. При пользовании таблицами необходимо обратить внимание, к скорости какой трубы отнесён этот коэффициент. В приложении приведены коэффициенты сопротивления для четырёх типов тройников.

 

7.8.3.4 Диафрагмы

Диафрагма представляет собой плоский диск с отверстием в центре. Отверстие имеет острую кромку и в направлении движения потока расширяется в форме конуса. Диафрагмы специальной конструкции служат для определения расхода среды по измерению перепада давления до и после диафрагмы. Простые диафрагмы служат для создания в трубопроводе дополнительного сопротивления для регулирования расхода воды в параллельных трубопроводах. Потери напора на диафрагме вычисляются по формуле Вейсбаха, а коэффициент сопротивления зависит от отношения площадей сечений трубы и отверстия диафрагмы и от места установки диафрагмы в трубе (рисунок 7.16). Коэффициент сопротивления диафрагмы, установленной на входе в трубу (рисунок 7.16а) вычисляется по формуле

(7.91)

где w и w_д – площади поперечного сечения трубы и отверстия

 диафрагмы.

Отрыв потока от стенки и водоворотная область возникают за диафрагмой.

 

 

 

 

 

 

 

 

Коэффициент сопротивления диафрагмы, установленной в конце трубы, рассчитывается по формуле

(7.92)

Отрыв потока и кольцевая водоворотная область образуются перед диафрагмой.

Коэффициент сопротивления диафрагмы, установленной в трубе в зоне установившегося потока, определяется по формуле

(7.93)

В этом случае отрыв потока и кольцевые водоворотные области возникают до и после диафрагмы.

Из (7.91)-(7.93) видно, что наименьшее значение коэффициента сопротивления будет у диафрагмы, расположенной внутри трубы, наибольшее – в конце.

 

7.8.3.5 Регулирующая и запорная арматура

На трубопроводах устанавливается различная арматура, которая служит для регулирования расхода или полного перекрытия потока. К ней относятся задвижки, затворы, шиберы, прямые и обратные клапана и др. В каждом из этих устройств можно искусственно изменять проходное сечение, тем самым создавая дополнительную потерю напора и регулируя расход.

Потери напора в арматуре, как и для других местных сопротивлений, вычисляются по формуле Вейсбаха с учётом величины коэффициента местного сопротивления.

 

7.9 Суммарные потери в трубопроводе

Любое местное сопротивление деформирует поток. Установлено, что эпюра скоростей выравнивается и принимает форму, характерную для невозмущённого потока примерно на расстоянии 50 калибров (50d) после вентиля (d – диаметр трубы). После прямоугольного отвода профиль скорости выравнивается через 40d. Если местное сопротивление расположено в следе возмущённого потока от предыдущего сопротивления, то потери напора в нём будут больше, чем были бы вычислены по формуле Вейсбаха-Дарси. Это явление налагает некоторые ограничения на расположение местных сопротивлений. Для того чтобы свести потери напора в трубопроводе до минимума, все местные сопротивления должны находиться в области невозмущённого потока. Как показывает практика, расстояние между местными сопротивлениями должно быть не меньше (15¸20)d. В этом случае можно считать, что взаимное влияние местных сопротивлений отсутствует, и общие потери напора будут равны сумме потерь напора от каждого отдельного сопротивления.

Рассмотрим трубопровод длиной l с постоянным диаметром и расходом. Полная потеря напора в таком трубопроводе будет складываться из потерь напора на трение и потерь напора на местных сопротивлениях (7.1). Потери напора на трение определяются формулой Вейсбаха-Дарси (7.26), потери напора на местных сопротивлениях – по формуле Вейсбаха (7.61) с учётом коэффициента сопротивления z. Каждое сопротивление вносит свой вклад в потерю напора независимо друг от друга. Тогда для трубопровода, имеющего п местных сопротивлений, можно написать

(7.94)

В скобке сумма всех коэффициентов местных сопротивлений и коэффициента сопротивления трения называется коэффициентом сопротивления трубопровода:

(7.95)

 

7.10 Типы трубопроводов

Все существующие системы трубопроводов можно разделить на две основные группы:

- простые трубопроводы, представляющие собой одну линию труб без боковых ответвлений с постоянным расходом по всей длине.

- сложные трубопроводы, имеющие по длине различные ответвления разной длины и диаметра и подающие воду во множество разных точек.

В свою очередь простые трубопроводы можно разделить на короткие и длинные трубопроводы.

К коротким трубопроводам относятся такие, в которых потери на местных сопротивлениях соизмеримы с потерями на трение по длине.

К длинным трубопроводам относятся такие, в которых потери напора по длине намного больше потерь на местных сопротивлениях h_l h_j. Обычно трубопроводы считаются длинными, если потери на местных сопротивлениях составляют 3¸5 % от общих потерь напора. При расчёте длинных трубопроводов потерями на местных сопротивлениях или пренебрегают, или вводят в расчёт эквивалентную длину трубопровода l_э. Эквивалентную длину принимают больше реальной длины на дополнительную величину Dl, потери напора на которой равны суммарным потерям на всех местных сопротивлениях h_Dl = h_j. Таким образом, труба как бы удлиняется на 3¸5 %.

Простые трубопроводы могут иметь постоянный диаметр по всей длине или состоять из отдельных участков разного диаметра (рисунок 7.17).

 

 

 

Сложные трубопроводные сети могут быть с параллельным соединением труб, разветвлёнными (или тупиковыми) и замкнутыми (или кольцевыми). Типы сложных трубопроводов показаны на рисунке 7.18.

 

 

 

 

 

 

Разветвлённая трубопроводная сеть состоит из основного трубопровода и присоединённых к нему отдельных трубопроводов с незамкнутыми концевыми участками. Отдельные ветви могут иметь непрерывный расход по всей своей длине или на отдельном участке.

Замкнутая или кольцевая сеть получается из тупиковой путём замыкания концевых участков добавленными трубопроводами. Кольцевая сеть обеспечивает надёжную подачу воды в любые точки благодаря возможности перераспределения расходов, пропускаемых по всей сети в целом. Места разветвления трубопроводов во всех схемах называются узлами.

 

 

7.10.1 Расчёт простых трубопроводов

Рассмотрим трубопровод постоянного диаметра со сливом воды в атмосферу. Разность высот между источником воды в начале трубопровода и концом равна Н (рисунок 7.19а). Соединяем уравнением Бернулли сечение 1-1, совпадающее с поверхностью воды в источнике, с сечением 2-2, проходящим через срез трубы на выходе

Давление р₁ = р₂ = р_а – атмосферное, скорость v₁ = 0, так как уровень воды в источнике постоянный, разность отметок z₁ – z₂ = Н. Тогда уравнение Бернулли приводится к виду

(7.96)

Единица в скобках правой части означает кинетическую энергию v₂²/2g, с которой вода вытекает из трубы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если конец трубы не открыт в атмосферу, а лежит ниже уровня воды в приёмном резервуаре (рисунок 19б), то уравнением Бернулли связываем поверхность воды 1-1 в источнике и поверхность воды 2-2 в приёмном резервуаре

(7.97)

Здесь р₁ = р₂ = р_а; z₁ – z₂ = Н; v₁ = v₂ = 0, так как уровень воды в обоих резервуарах постоянен; v – скорость воды в трубопроводе. Тогда уравнение (7.97) принимает вид

(7.98)

Сумма коэффициентов местных сопротивлений учитывает все местные сопротивления, кроме сопротивления выхода воды под уровень в резервуар. Единица в скобках в правой части в отличие от предыдущего случая (7.96), означает не кинетическую энергию выхода воды из трубы, а коэффициент местного сопротивления при внезапном расширении в ёмкость большого размера (7.64). Таким образом, при одинаковом написании формул (7.96) и (7.98) разница состоит в том, что в первом случае потери напора складываются из суммы всех потерь напора на местных сопротивлениях и на кинетическую энергию, выносимую потоком из трубы. Во втором случае напор Н равен сумме потерь только на сопротивлениях.

 

7.10.2 Основные задачи расчёта трубопровода.

При расчёте трубопровода могут возникнуть три основные задачи.

Первая задача. Имеется готовый трубопровод длиной l с диаметром труб d. Необходимый расход воды Q. Требуется определить, какой напор Н (высота водонапорной башни или напор насоса) необходим, чтобы в этих условиях обеспечить расход ­Q. Задача решается непосредственным использованием формулы (7.96), куда вместо скорости v нужно подставить её значение через Q: v = 4Q/(pd²)

(7.99)

Вторая задача. Дан простой водопровод длиной l с диаметром труб d. Требуется узнать, какой максимальный расход воды может пропустить эта линия при существующем напоре Н. Задача решается с помощью формулы (7.99). Разрешив её относительно Q, получим

(7.100)

где m_Т – коэффициент расхода трубопровода.

Для нахождения неизвестных коэффициентов l и z, зависящих от  числа Rе, в первом приближении принимаем квадратичный закон сопротивления. Таким образом, найдя Q_кв, можно вычислить скорость v и число Rе. Во втором приближении, вычислив l и z  с учётом числа Rе, находим по (7.100) действительный расход воды.

Третья задача. Дано расстояние между источником воды и потребителем l, требуемый расход Q и располагаемый напор Н. Нужно найти диаметр труб для проектируемого трубопровода. Задача является неопределённой, так как неизвестны числа Rе и l. Для решения можно применить графический метод. Уравнение (7.100) записывается следующим образом:

(7.101)

Далее, задаются рядом значений d₁, d₂,… d_п и вычисляют соответствующие значения Q₁, Q₂, … Q_п и строят график Q = f(d), из которого определяют диаметр, отвечающий заданному расходу. Следует отметить, что трубы изготавливаются согласно стандартам определённых диаметров. Полученный по графику диаметр может не совпасть со стандартным диаметром трубы. В этом случае нужно взять ближайший больший стандартный диаметр и уточнить расход по формуле (7.100).

 

7.10.3 Последовательное соединение труб.

При последовательном соединении труб разного диаметра (рисунок 7.17б) общее сопротивление трубопровода складывается из суммы сопротивлений всех участков Н = h₁ + h₂ + … + h_п = Sh_i. Потери напора на каждом участке, кроме последнего, равны

В этих формулах местное сопротивление при переходе с одного диаметра трубы к другому (резкое расширение и резкое сужение) следует относить к участку с более тонкой трубой, если z рассчитывается по формулам (7.61) и (7.80). При расчёте последнего участка необходимо учесть сопротивление выхода из трубы под уровень воды или кинетическую энергию потока при свободном выходе.

Тогда суммарный требуемый напор для преодоления всех сопротивлений запишется в виде

(7.102)

Из (7.102) видно, что решение первой и второй задач в этом случае будет таким же, как и для трубопровода постоянного диаметра. Решение третьей задачи становится неопределённым. В этом случае нужно задаться диаметрами для п – 1 из п участков, а для одного из участков найти диаметр, как описано выше.

Преобразуем (7.102) следующим образом. Вынесем за квадратную скобку 1/d_n⁴. Тогда уравнение (7.102) запишется в виде

Тогда расход через систему последовательно соединённых труб будет равен

(7.103)

где

–

(7.104)

– коэффициент расхода системы.

 

7.10.4 Расчёт длинных трубопроводов в квадратичной области

сопротивления

Если трубопровод длинный, и потерями напора на местных сопротивлениях можно пренебречь, то вводится понятие удельного сопротивления трубопровода. Взяв формулу Вейсбаха-Дарси (7.26)

и подставив вместо v его выражение через Q, получим

(7.105)

В этой формуле

(7.106)

удельное сопротивление трубопровода.

Величина

(7.107)

называется модулем расхода.

Произведение удельного сопротивления на длину трубы равно полному сопротивлению трубы

(7.108)

Величины А, S и К являются обобщёнными гидравлическими параметрами трубопровода.

В квадратичной области сопротивления коэффициент l не зависит от числа Rе, а зависит только от диаметра трубы и величины шероховатости. Следовательно, удельное сопротивление А и модуль расхода К также зависят только от диаметра и шероховатости. Для определённой величины шероховатости эта зависимость будет только от диаметра. Такая зависимость даёт возможность затабулировать значения А и К для определённой величины шероховатости (см. таблицы в приложении). Таблицы зависимости А и К от диаметра позволяют значительно упростить расчёт трубопроводов, что особенно существенно для второй и третьей задачи.

При решении второй задачи из таблиц находят значение А_кв или К_кв для конкретного материала и шероховатости трубы. Полученные значения подставляются в

,

(7.109)

полученную из (7.105), или в

(7.110)

Для решения третьей задачи (нахождения диаметра трубы) из (7.105) находится А_кв:

(7.111)

или находится К_кв из

(7.112)

По найденному значению А_кв или К_кв из таблиц находится соответствующий диаметр трубы. Если найденное значение диаметра не совпадает со значением стандартного диаметра, то следует выбрать ближайший больший диаметр трубы и затем уточнить расход.

Задача с последовательным соединением труб разного диаметра тоже решается довольно просто с помощью удельного сопротивления трубы А_кв. Общие потери напора в такой трубе

Заменяя потери напора для каждого участка через удельные сопротивления, получим

(7.113)

где

Отсюда расход в таких трубопроводах равен

(7.114)

Потери напора на каждом участке равны

(7.115)

Зная все h_i, можно построить пьезометрическую линию для всего трубопровода.

 

7.10.5 Расчёт трубопровода в неквадратичной области

сопротивления

При движении жидкости в трубах в неквадратичной области сопротивления приведённые в предыдущем разделе формулы могут дать значительную погрешность, так как параметры А и К зависят не только от диаметра трубы и шероховатости, но и от числа Рейнольдса.

Чтобы найти поправочный коэффициент y  на неквадратичность течения, запишем формулу (7.105) в виде

(7.116)

Найдём отношение l/l_кв = y:

(7.117)

Таким образом поправочный коэффициент y  на неквадратичность течения зависит от шероховатости и скорости потока. Следовательно, y  можно затабулировать в зависимости от скорости y = f(v) для различного размера шероховатости и вязкости протекающей жидкости. Расчёт трубопровода в доквадратичной области сопротивления проводится следующим образом. По данному диаметру трубы находят из таблиц её удельное сопротивление в квадратичной области А_кв. Затем по формуле (7.109) определяют пропускную способность трубопровода в квадратичной области Q_кв и находят скорость потока v. Из таблиц или по формуле (7.117) по найденной скорости находят поправочный коэффициент y  и затем – искомый расход:

(7.118)

Для нахождения диаметра трубы, по формуле (7.111) находят удельное сопротивление трубопровода в квадратичной области А_кв, затем по таблицам находят соответствующий диаметр трубы, используя линейную интерполяцию. По найденному диаметру вычисляется скорость

По формуле (7.117) находят поправку y  и вычисляют удельное сопротивление трубы в доквадратичной области:

(7.119)

Из таблиц по найденному значению А находят диаметр трубы. Если он не совпадает со стандартным диаметром, то выбирают ближайший больший диаметр и проверяют расход и сопротивление.

 

Пример 7.1. Вода из водонапорной башни высотой Н = 15 м подаётся по полиэтиленовому трубопроводу диаметром d = 150 мм на расстояние l = 1,5 км. Определить, на какую высоту z в конце трубопровода будет подаваться вода при расходе Q = 16 л/с. Шероховатость трубы k = 0,085 мм.

Решение. Скорость воды в трубе

Вязкость воды при температуре 20⁰С из таблицы 7 приложения u = 1,003×10^–6, число Рейнольдса

Коэффициент сопротивления

Для компенсации потерь на местных сопротивлениях принимаем эквивалентную длину трубы на 5 % больше действительной: l_э = 1575 м.

По формуле (7.99) находим потери напора в трубе

Потери напора можно найти и другим способом: из таблицы 14 приложения находим величину удельного сопротивления полиэтиленовой трубы при скорости воды v = 0,905 м/с; А =21,12 с²/м⁶.

Подставляя это значение в формулу (7.105), находим

Геодезическая высота, на которую будет подниматься вода при расходе 16 л/с равна

¨

Пример 7.2. Определить диаметр трубопровода для подачи расхода Q = 15 л/с от водонапорной башни А до потребителя В при длине трубопровода l = 1000 м, отметке уровня воды в башне Н_А = 32 м, геодезической отметке в конце трубопровода z_В = 2 м и свободном напоре Н_св > 12 м. Трубы стальные.

Решение. Для учёта местных сопротивлений принимаем эквивалентную длину трубы l_э = 1050 м. По формуле (7.105) находим необходимое удельное сопротивление трубы

По таблице 13 приложения принимаем диаметр трубопровода (ближайший больший) d =150 мм, которому соответствует удельное квадратичное сопротивление А = 45 с²/м⁶. В такой трубе скорость воды будет

Поправка на неквадратичность сопротивления по формуле (7.117) равна

следовательно, её не будем учитывать.

Уточним напор в конце трубопровода

Свободный напор в конце трубопровода

Для уменьшения свободного напора разбиваем трубопровод на два участка с разными диаметрами. Принимаем диаметр одного участка d₁ = 150 мм, другого – d₂ = 125 мм. Скорость воды на втором участке

лежит в квадратичной области сопротивления. Удельное сопротивление трубы из таблицы 13 приложения А_кв = 106 с²/м⁶.Тогда можно написать равенство

откуда

Действительная длина первого участка l₁ = l_1э0,95 = 487 м. Тогда длина второго участка равна l₂ = 1000 – 487 = 513 м.   ¨

 

7.10.6 Сифон

К простым трубопроводам относится сифон, представляющий собой самотечную трубу, часть которой находится выше уровня источника (рисунок 7.20). Для того, чтобы сифон включился в работу, его надо сначала каким-то образом заполнить водой. Выделим сечение 2-2, проходящее через высшую точку трубопровода. Баланс сил относительно плоскости 2-2 будет следующий. С левой стороны действует положительное атмосферное давление р_а и отрицательное давление столба жидкости в трубе высотой h₁:                                                       

С правой стороны плоскости 2-2 действует положительное атмосферное давление р_а и отрицательное давление столба жидкости высотой h₂:

Очевидно, что давление р₁ больше, чем р₂, следовательно, равновесия в такой системе быть не может, и вода будет перемещаться слева направо.

Если рассматривать установившееся движение жидкости в сифоне, то нужно соединить уравнением Бернулли сечение 1-1 и 3-3, проведённые через поверхность жидкости в резервуарах.

В качестве плоскости сравнения 0-0 возьмём плоскость, совпадающую с сечением 3-3. Тогда z₁ = Н, z₃ = 0, р₁ = р₃ = р_а, v₁ = v₃ = 0 и уравнение Бернулли принимает вид

(7.120)

Гидравлические потери в трубопроводе равны

где v – средняя скорость движения воды в сифоне.

Расход воды в сифоне

(7.121)

Здесь

(7.122)

– коэффициент расхода сифона.

Особенностью сифона является то, что в области верхней точки давление ниже атмосферного, т.е., там возникает вакуум.

Для нахождения максимальной величины вакуума соединим уравнением Бернулли сечения 1-1 и 2-2. Плоскость сравнения 0¢-0¢ проведём через поверхность воды в левом резервуаре.

где р – давление в верхней точке сифона, Па;

      v – средняя скорость движения воды в сифоне, м/с;

      l₁ – длина трубы от начала до верхней точки, м;

      Sz₁ – сумма коэффициентов местных сопротивлений от начала            трубы до верхней точки.

(7.123)

Здесь разность р_а/(rg) – р/(rg) равна максимальному значению вакуума в верхней точке. Проведя сечение 2-2 на любой высотной отметке трубы, можно найти значение вакуума в любом сечении сифона. При этом нужно учитывать, что h₁ будет отметкой высоты от уровня жидкости в верхнем резервуаре до выбранного сечения; l₁ – длина трубы от начала до выбранного сечения, Sz₁ – сумма коэффициентов местных сопротивлений, которые расположены на участке от начала трубы до выбранного сечения.

Величина вакуума зависит от высоты h₁, и если h₁ велико, то это приводит к возникновению кавитации, так как парциальное давление растворённого в воде газа и давление паров воды могут превысить величину давления в верхней части трубы. При увеличении высоты h₁ может произойти разрыв потока, и сифон перестанет действовать.

Обычно в верхней части сифона образуется паровоздушный мешок, который перекрывает часть сечения, тем самым уменьшая расход воды.

 

7.10.7 Расчёт сложных трубопроводов

Сложные сети водоснабжения, к которым относятся разветвлённые и замкнутые сети, состоят из более простых участков и элементов. К таким участкам можно отнести параллельное соединение труб, непрерывную раздачу жидкости по длине трубы, разветвлённые участки и отдельные замкнутые кольца.

 

7.10.7.1 Параллельное соединение труб

Параллельное соединение труб является элементом сложной схемы, в которой трубопровод в какой-то точке А разветвляется на несколько веток, каждая из которых может иметь разный диаметр и длину, и затем в какой-то точке В эти трубы соединяются в один общий трубопровод (рисунок 7.21).

Считается, что известный расход Q до разветвления и после соединения труб не изменяется. Очевидно, что общий расход через трубу до разветвления равен сумме расходов через каждую отдельную ветку:  Пьезометры, установленные в узлах А и В, покажут потерю напора

С другой стороны, потеря напора в каждой отдельной ветке равна

т.е. для каждой ветки потери напора равны разности напоров в точках А и В начала и конца разветвления. Учитывая это, можно написать

(7.124)

Потери напора в каждой ветке можно выразить через удельное сопротивление этой ветки:

(7.125)

Отсюда можно выразить расход в каждой ветке

(7.126)

Общий расход

(7.127)

Вводя понятие проводимости трубы

(7.128)

получим

(7.130)

где р₀ – суммарная проводимость всех труб.

Потеря напора между точками А и В и равенство (7.130) дают

(7.131)

Тогда расход через каждую отдельную ветку, согласно (7.126) и (7.131)

(7.132)

Найденные значения h_wAB и Q_i справедливы для квадратичной области сопротивления. Для потоков в доквадратичной области сопротивления нужно по найденным расходам  Q_i найти скорости в каждой ветке и по этим скоростям определить поправочный коэффициент y_i на неквадратичность сопротивления. Удельное сопротивление каждой ветки в доквадратичной области равно

Повторив процесс вычисления по формулам (7.129)-(7.132), находят уточнённые значения h_w и Q_i.

 

7.10.7.2 Потери напора при непрерывной раздаче

Другим элементом сложного трубопровода является непрерывный отбор воды вдоль трубы, а расход в самой трубе непрерывно уменьшается (рисунок 7.22). Расход, отдаваемый на сторону воды, на единицу длины обозначим через q. При равномерной раздаче воды, показанной на рисунке, общий расход в трубе уменьшается по линейному закону. На конце трубы расход равен Q_т и называется транзитным расходом. Следовательно, в начале трубы расход будет Q_m + ql. Вместе с уменьшением расхода будет также уменьшаться пьезометрический напор, следовательно, будет уменьшаться и пьезометрический уклон i вдоль оси трубы. В таком случае пьезометрическая линия получается плавной кривой, выгнутой вниз.

Определим величину потерь напора по длине h_l при переменном расходе. Обозначим через Q_х расход в произвольном сечении трубы х. Тогда

(7.133)

Потери напора на бесконечно малом участке dх в сечении х, согласно формуле (7.105), равны

(7.134)

Подставляя (7.133) в (7.134), получим

(7.135)

Интегрируя (7.135) в пределах от х = 0 до х = l, получим

(7.136)

Взяв интеграл, получим

(7.137)

где

–

(7.138)

– так называемый расчётный расход.

Если весь расход уходит на сторону и в конце трубы транзитный расход Q_т = 0, то

(7.139)

При наличии транзитного расхода расчётный расход можно вычислить по приближённой формуле, полученной из (7.138) и (7.139):

(7.140)

 

7.11 Движение газов в трубопроводах

Магистральные газопроводы, вентиляционная сеть промышленных предприятий, централизованное снабжение цехов сжатым воздухом, подача воздуха в шахты, газовоздушные тракты тепловых электростанций – далеко не полный перечень примеров передачи воздуха и газа по трубопроводным системам.

Расчёт газовоздушных сетей, в отличие от водопроводных сетей, имеет ту особенность, что газ сжимаем, и плотность его в различных сечениях трубопровода меняется, при этом меняется и его скорость при постоянном диаметре трубопровода. Поэтому при расчётах обычно рассматривается два варианта: движение при малых относительных перепадах давления и движение при больших относительных перепадах давления. Под относительным перепадом давления понимается отношение разности давления в начале и конце рассматриваемого участка к среднему давлению на участке: Dр/р_ср. Согласно такому определению малым перепадом давления считается Dр/р_ср < 5 %, когда можно пренебречь сжимаемостью газа.

Большим перепадом давления считается Dр/р_ср > 5 %, когда сжимаемостью газа пренебрегать уже нельзя во избежание больших погрешностей в расчётах.

 

7.11.1 Течение газа при малых перепадах давления

В этом случае уравнение Бернулли, записанное для потока реального газа (5.21), можно переписать в виде

(7.141)

где Dр_w – потери давления.

Поскольку плотность газа мала, то давлением, связанным с нивелирной высотой rg(z₁ – z₂) можно пренебречь по сравнению с изменением давления (р₁ – р₂). Если трубопровод имеет постоянное сечение, то скорости v₁ и v₂ равны. Тогда уравнение (7.141) примет вид

(7.142)

т.е. перепад давление на рассматриваемом трубопроводе равен потерям давления на трение и потерям давления на местных сопротивлениях, которые равны

(7.143)

 

7.11.2 Расчёт газопроводов при больших перепадах давления

Большие перепады давления характерны для магистральных газопроводов на участке в сотни километров между двумя газоперекачивающими станциями. Давление, создаваемое на газоперекачивающей станции в несколько МПа, по мере движения газа уменьшается, и, подходя к следующей газоперекачивающей станции, газ имеет давление менее 1 МПа. При этом плотность газа уменьшается, следовательно, при постоянном диаметре трубопровода, скорость его должна увеличиваться. При расчёте таких газопроводов можно пренебречь как изменением давления за счёт нивелирного перепада высот, так и изменением скоростного напора по сравнению с тем перепадом давления, которое существует между станциями. Так как трубопровод весьма длинный, то можно также не учитывать и потери давления на местных сопротивлениях.

Тогда уравнение Бернулли для бесконечно малого участка трубы можно записать в следующем виде.

(7.144)

где d_тр – диаметр трубопровода.

При изотермическом течении газа, когда постоянно происходит теплообмен между газовым потоком и окружающей средой через стенку трубы, температуру газа можно считать практически постоянной и равной температуре окружающей среды.

Число Рейнольдса, входящее в формулы для определения коэффициента сопротивления l, в данном случае удобнее считать не через скорость потока, а через массовый расход:

(7.145)

Так как температура газа постоянная, то m = const и число Rе не меняется. Тогда из уравнения неразрывности r₁v₁ = rv (при постоянном диаметре трубы) для любого сечения (7.144) можно переписать

(7.146)

Заменяя отношение r₁²/r через уравнение состояния r = р/(RТ), получаем

(7.147)

В правой части этого уравнения все параметры уже не зависят от длины l, следовательно, интегрируя это уравнение слева от р₁ до р₂ и справа от 0 до l, получаем

(7.148)

Подставляя сюда r₁ из уравнения состояния р₁ = rRТ, получим

(7.149)

Представляя левую часть в виде

(7.149) приведём к виду

Так как

то получим окончательно

(7.150)

Таким образом, для потоков газа с большим перепадом давления получается та же формула Вейсбаха-Дарси, но дополненная коэффициентом, учитывающим сжимаемость газа

который показывает, что потери давления в длинном газовоздушном трубопроводе не зависят от абсолютного давления газа, а только от перепада давления между двумя газоперекачивающими станциями.

 

Глава 8. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЙ,

НАСАДКОВ И СВОБОДНЫЕ СТРУИ

 

В различных технических устройствах часто встречаются такие элементы, в которых жидкость в виде свободной струи вытекает из какого-либо сосуда через отверстие или насадок. Насадком называются короткие трубы, присоединённые к стенке резервуара, длина которых лежит в пределах l = (3¸8)d. При истечении жидкость в самом сосуде также приходит в движение. При относительно большом объёме сосуда и малом расходе движение жидкости в сосуде будет ламинарным; при увеличении расхода скорость жидкости в нём возрастает, и оно может перейти в турбулентное. На рисунке 8.1 приведены примеры сосудов с отверстием. На пути движения жидкости к отверстию линии тока искривляются. Это ведёт к некоторой потере напора, который оценивается коэффициентом скорости j. В зависимости от относительного размера сосуда и отверстия методика расчёта скорости и расхода жидкости будет различаться, например, если отношение площадей свободной поверхности жидкости и отверстия будет w₁/w > 4, то скоростью движения жидкости на свободной поверхности можно пренебречь. В этом случае погрешность не превышает 5 %.

 

 

 

 

 

 

                                                 

 

 

 

 

 

 

В зависимости от геометрических соотношений отверстия и сосуда, толщины стенок, расположения отверстия и его формы характер истечения будет меняться. Например, при течении жидкости через малое отверстие в боковой стенке можно пренебречь разностью гидростатического давления у верхнего и нижнего края отверстия.

В общем случае заглубление верхнего края отверстия А и нижнего края В будет различным, следовательно гидростатическое давление и скорость истечения в точках А и В тоже различны, но если пьезометрическая высота Н ³ 10d, то это различие не превышает 5 %.

Характер струи также меняется, если струя вытекает из отверстия в тонкой стенке или в толстой. Истечение струи может быть в атмосферу или под уровень жидкости. Ниже рассмотрены некоторые характерные случаи.

8.1 Истечение жидкости из малых отверстий в тонкой стенке при

постоянном напоре

Отверстие в сосуде будет малым (рисунок 8.2), если средняя скорость жидкости в объёме сосуда v₀ пренебрежимо мала, т.е. соблюдается неравенство

(8.1)

и скорости в верхней и нижней точках отверстия примерно равны друг другу и_А @ и_В, т.е. соблюдается неравенство

(8.2)

Здесь w₁ и w – площади сечения сосуда и отверстия;

         d – диаметр отверстия;

         Н – пьезометрическая высота.

Стенка считается тонкой, если края в отверстии имеют острую кромку, как показано на рисунке 8.1.

Рассмотрим течение жидкости через малое отверстие из замкнутого сосуда (рисунок 8.2). Давление на свободной поверхности жидкости р₀, площадь отверстия w, площадь струи за отверстием в сжатом сечении w_с, заглубление центра тяжести площади отверстия под уровень жидкости в сосуде Н, расстояние от острой кромки отверстия до наиболее сжатого сечения струи l₀. При выходе из сосуда струя резко сжимается на расстоянии l₀ за счёт инерции частиц жидкости, движущихся к отверстию по криволинейным траекториям. Для круглого отверстия l₀ @ 0,5d.

Частицы жидкости М, движущиеся вдоль стенок сосуда, при выходе из отверстия будут продолжать двигаться по границам струи. При подходе жидкости к отверстию линии тока не параллельны между собой, поэтому до наиболее сжатого сечения С-С движение резкоизменяющееся. После наиболее сжатого сечения С-С линии тока становятся практически параллельными друг другу, дальнейшее сжатие струи пренебрежимо мало и течение можно считать плавно изменяющимся. Эпюра скоростей для струи между точками А и В в сжатом сечении близка к прямоугольной. Следовательно, к сечению С-С уже можно применять уравнение Бернулли.

Напишем уравнение Бернулли для сечения 1-1, проведённое через свободную поверхность жидкости, и сечения 2-2, проведённое на линии С-С наиболее сжатого сечения. Плоскость сравнения 0-0 проведём через центр тяжести площади отверстия.

В этом уравнении z₁ = Н, р₁ = р₀, v₁ @ 0 согласно условию (8.1), z₂ = 0, р₂ = р_а, a @ 1 ввиду равномерности эпюры скоростей в сжатом сечении, v₂ = v_с. Величина потерь напора от сечения 1-1 до сечения 2-2

(8.3)

z₀ – коэффициент сопротивления, учитывающий потери напора от сечения 1-1 до сечения 2-2. Уравнение Бернулли принимает вид

(8.4)

Введём обозначение

Н_пр – приведённый напор. Тогда вместо (8.4)

(8.5)

Откуда

(8.6)

или

(8.7)

где                                                                               (8.8)

j      учитывает потери напора и называется коэффициентом скорости.

В частном случае, когда р₀ = р_а, Н_пр = Н и вместо (8.7) получаем

(8.9)

Для идеальной жидкости h_f = 0, z₀ = 0, j = 1,0.

(8.10)

Вводя обозначение w_с/w = e, которое назовём степенью сжатия струи, найдём расход Q для случая открытого сосуда р₀ = р_а.

	(8.11)
или	(8.12)

где m₀ = ej – коэффициент расхода отверстия, учитывающий потери напора h_f и степень сжатия струи e.

Пример 8.1. Определить коэффициенты расхода, скорости, сжатия и сопротивления при истечении воды в атмосферу через отверстие диаметром d₀ = 10 мм под напором h = 2 м, если расход Q = 0,294 л/с, а координаты центра одного из сечений струи х = 3 м, у = 1,2 м.

Решение. Прежде всего необходимо найти скорость в наиболее сжатом сечении, которая равна скорости в любом другом сечении струи правее сечения с-с, так как струя не расширяется.

Какая-то элементарная масса воды движется горизонтально на расстояние х и одновременно падает за это же время на высоту у. Эти два события можно связать следующим образом:

Отсюда можно найти скорость

По найденной скорости можно найти площадь наиболее сжатого сечения

Коэффициент сжатия струи находится как отношение площади струи в наиболее сжатом сечении к площади отверстия

Коэффициент скорости j находится из (8.7)

Коэффициент расхода

Коэффициент сопротивления можно найти из (8.8)

¨

 

8.2 Характер сжатия струи

Рассмотренные выше течения относились к тому случаю, когда малые отверстия находились в достаточном удалении от поверхности жидкости в сосуде, от боковых стенок и дна. При этом линии тока были симметричны относительно оси, проведённой через центр тяжести сечения отверстия, боковые стенки и дно не оказывали влияния на их конфигурацию. В этом случае сжатие струи было равномерным со всех сторон. Такое сжатие называется полным и коэффициент Кориолиса можно принять a = 1.

В свою очередь полное сжатие будет называться совершенным, если расстояние от края отверстия до ближайшей стенки будет более трёх линейных размеров отверстия (рисунок 8.3). Для круглого отверстия это l > 3d, для квадратного – l > 3а (d – диаметр отверстия, а – сторона квадрата). Если это расстояние меньше трёх линейных размеров, то линии тока между ближайшей стенкой и отверстием будут иметь меньшую кривизну, осевая симметрия линий тока нарушается, и такое сжатие носит название несовершенного. В этом случае a ¹ 1.

Если часть периметра отверстия непосредственно примыкает к стенке, которая становится направляющей для линии тока, то с этой стороны струя не будет сжиматься. Такое сжатие струи называется неполным. Степень неполноты сжатия струи характеризуется отношением части периметра без сжатия ко всему периметру отверстия.

Явление сжатия струи довольно сложно. При вытекании струи из малого отверстия в атмосферу вместе со сжатием происходит и изменение формы струи, которое называется инверсией струи. Обуславливается это явление в основном действием поверхностного натяжения и различными условиями сжатия по периметру отверстия. Условия сжатия зависят от близости отверстия к стенке и его формы. Наибольшей деформации струйка подвергается при истечении из некруглых отверстий. На рисунке 8.4 показана эволюция сечения струйки при истечении из круглого, квадратного и треугольного отверстия.

Для малых отверстий в тонкой стенке при отсутствия сжатия струи коэффициент расхода в среднем равен m = 0,60¸0,62. Для точных расчётов необходимо пользоваться таблицами. На основании опытных данных показано, что коэффициенты расхода для круглых и квадратных отверстий убывают при увеличении напора и увеличении площади отверстия.

В случае неполного сжатия струи коэффициент расхода увеличивается по сравнению с полным сжатием:

(8.13)

где с – эмпирический коэффициент, зависящий от формы отверстия:   для круглых отверстий с = 0,13; для прямоугольных с = 0,15;

               c_н – периметр той части контура отверстия, на которой отсутствует  сжатие;

                c – периметр всего отверстия.

Несовершенное сжатие учитывается в зависимости от соотношения площади отверстия w и общей площади стенки W, в которой расположено отверстие:

(8.14)

Если отверстие расположено не в стенке сосуда, а в поперечной стенке патрубка, то коэффициент расхода определяется по формуле

(8.15)

где а, b – эмпирические коэффициенты, зависящие от формы отверстия: для круглых отверстий а = 0,0456, b = 14,421; для прямоугольных отверстий а = 0,076, b = 9;

               b = w/W; w и W - площади поперечных сечений отверстия и патрубка.

На коэффициент расхода сильное влияние оказывает вязкость жидкости, связанная с числом Рейнольдса, которое при истечении из отверстия определяется по формуле

(8.16)

Следовательно, коэффициенты расхода и скорости должны зависеть от рода и температуры жидкости. Критериальные зависимости от числа Рейнольдса дают следующее.

При истечении с большими числами Рейнольдса (Re > 100000) приближённо можно принимать следующие значения коэффициентов истечения:

e = 0,62¸0,63; j = 0,97¸0,98; m = 0,61; z₀ = 0,06.

Если число Re < 100000, то в зависимости от его значения применяются различные выражения. Согласно В.С. Яблонскому можно использовать следующие формулы:

	(8.17)
	(8.18)   (8.19)     (8.20)

При Re > 300000 коэффициент расхода практически постоянен и равен m = 0,595 @ 0,6.

На рисунке 8.5 показаны зависимости коэффициента сжатия e, скорости j и расхода m для круглого отверстия, построенного по приведённым формулам.

Если абсолютная величина малого отверстия d < 0,03 м и при этом напор невелик, то на величину коэффициента истечения начинает заметно влиять поверхностное натяжение жидкости. С увеличением поверхностного натяжения коэффициент скорости j уменьшается, коэффициент сжатия струи e возрастает, коэффициент расхода m уменьшается. Зависимость величины коэффициента расхода в этом случае удобно выражать через число Вебера, которое равно

(8.21)

Эта зависимость приведена в таблице 8.1, которой можно пользоваться при Re > 1000 и Н/d > 10.

 

Т а б л и ц а  8.1 – Зависимость коэффициента расхода m от числа We

We	104	103	500	300	200	100	50
m	0,60	0,62	0,63	0,64	0,65	0,66	0,68

 

8.3 Траектория струи

Рассмотрим свободно падающую струю, вытекающую из малого отверстия в вертикальной стенке (рисунок 8.6). Под траекторией струи будем понимать траекторию её осевой линии. Начало координат расположим в центре наиболее сжатого сечения, отстоящего от стенки резервуара на расстояние l₀. Ось у направим вниз. В начале координат поместим частицу жидкости, имеющую некоторую массу. Скорость движения этой частицы равна скорости движения жидкости в сжатом сечении v_с. Исходя из этого, частица в течение времени t пройдёт в направлении оси х расстояние

(8.22)

 Одновременно она будет падать вниз и за это же время пройдёт в направлении оси у расстояние

(8.23)

Разрешая (8.22) относительно времени t и подставляя в (8.23), получаем уравнение траектории материальной частицы, имеющей начальную скорость v_с:

                       (8.24)

где .

Это уравнение параболы. Зная высоту у₀, с которой падает струя, из (8.24) можно найти дальнобойность струи, т.е. расстояние х₀:

При вытекании струи из отверстия в наклонной стенке необходимо учесть угол наклона стенки.

 

8.4 Истечение под уровень

Жидкость перетекает из одной части открытого сосуда в другую через малое отверстие в тонкой перегородке (рисунок 8.7).

Уравнение Бернулли в этом случае можно записать в следующем виде                                                     

                                                       (8.25)

 

где – v₁, v₂ – скорости жидкости на свободной поверхности в сечениях 1-1 и 2-2, м/с;

 – потеря напора от сечения 1-1 до сжатого сечения, равная по величине потерям напора при истечении из незатопленного отверстия, м;

h_w(c-2) – потери напора, вызванные резким расширением струи от сжатого сечения до сечения второго резервуара площадью w₂; эти потери определяются по формуле Борда:

Подставляя эти значения в (8.25), получим

(8.26)

         Если обозначить отношения w/w₁ = п и w/w₂ = т, и выразить скорости v₁ и v₂ через скорость v_с, получим

 

Тогда скорость в сжатом сечении выразится формулой

(8.27)

где j₃ – коэффициент скорости при истечении из затопленного отверстия

(8.28)

Расход определяется по зависимости

(8.29)

где m₃ – коэффициент расхода при истечении под уровень.

(8.30)

Когда w₁ и w₂ велики по сравнению с площадью отверстия w, то можно принять, что п, т ® 0 и

(8.31)

 

8.5 Измерительные диафрагмы

Перепад давления при прохождении жидкости или газа через отверстие используется для определения расхода. Связь между расходом и перепадом давления определяется равенством (8.29) или

.

(8.32)

Для измерения расхода используются измерительные диафрагмы, устанавливаемые в трубе (рисунок 8.8). Так как площадь поперечного сечения в трубе до диафрагмы и после неё одинаковы, то для определения коэффициента расхода m_з в формуле (8.30) нужно принимать п = т. Тогда (8.30) запишется в виде

(8.33)

Давление р₁ и р₂, согласно уравнению Бернулли, необходимо измерять в точках, достаточно удалённых от диафрагмы, где отсутствуют возмущения, вызванные наличием диафрагмы, и поток можно считать плавно изменяющимся. Однако при таком способе измерения расхода достаточно трудно рассчитывать точное значение коэффициента сжимаемости e.

В технике для точного измерения расхода используют специальные стандартные диафрагмы и разность давления измеряют непосредственно перед и после диафрагмы в зоне отрыва потока и наличия кольцевых водоворотных течений.

Стандартная диафрагма (рисунок 8.8) представляет собой круглую плоскую пластину с отверстием в центре. Отверстие со стороны набегающего потока имеет узкую цилиндрическую полку шириной е, после которой коническое расширение. Угол конуса обычно равен j = 45⁰.

Так как давление измеряется непосредственно около диафрагмы в зоне сильно возмущённого потока, то пользоваться формулами (8.29) и (8.32) нельзя. Для определения массового и объёмного расхода  используют формулы

             (8.34)

 

(8.35)

В этих формулах e_р – коэффициент сжатия струи, d – диаметр отверстия диафрагмы, м. Коэффициент расхода m_з зависит от диаметра отверстия диафрагмы и отношения площадей отверстия диафрагмы и трубы.

Для стандартных диафрагм, применяемых в трубопроводах с внутренним диаметром менее 50 мм коэффициент расхода равен

(8.36)   (8.37)

где d¢ - диаметр отверстия диафрагмы, мм;

      a_с – коэффициент, определяемый из равенств (7.38).

(8.38)

где т = d¢²/D¢²– относительная площадь сужающего устройства;

      D¢ - внутренний диаметр трубопровода перед сужающим   устройством, мм.

Поправочный множитель e_р для газов определяется по формуле для стандартных диафрагм, установленных в трубопроводах с внутренним диаметром  менее 50 мм

,

(8.39)

где k – показатель адиабаты;

      Dр – перепад давления на диафрагме, Па;

      р – абсолютное давление перед диафрагмой, Па.

Поправочный множитель e_р для жидкостей равен 1.

Кроме стандартных диафрагм в трубопроводах любого внутреннего диаметра применяют другие типы сужающих устройств, например уже рассмотренные сопла Вентури. Однако надо иметь в виду, что формулы для расчёта коэффициента расхода m_с и коэффициента расширения e_р для каждого типа сужающего устройства будут свои и приведены в Руководящих нормативных документах.

 

8.6 Истечение жидкости через большие отверстия

При несоблюдении неравенств (8.1) и (8.2) отверстие нельзя считать малым и пренебрегать изменением напора и скорости по высоте отверстия. В этом случае для нахождения расхода необходимо суммировать элементарные расходы по высоте сечения. За элементарный расход принимается расход через бесконечно узкую горизонтальную полосу в отверстии, размер которой dw = b_zdz. Здесь b_z – переменная ширина отверстия, зависящая от конфигурации отверстия (рисунок 8.8).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Элементарный расход

(8.40)

для получения суммарного расхода (8.40) записывается в виде определённого интеграла с пределами от напора в верхнем крае отверстия до напора в нижнем крае отверстия:

(8.41)

Коэффициент расхода m принимается постоянным и равным коэффициенту расхода отверстия. Ширина b_z записывается как функция от z.

Прямоугольное отверстие. Ширина b_z постоянна и не зависит от заглубления z. Тогда (8.41) запишется в виде

(8.42)

Обозначим высоту отверстия h₁ – h₂ = l. Тогда

Подставляя полученные значения h₁ и h₂ в (7.41), получим

(8.43)

Выражения, заключённые в круглые скобки, можно записать в виде бинома Ньютона

Ограничиваясь только четырьмя членами и подставляя полученные ряды в (8.42),

(8.44)

Если выражение в квадратных скобках будет близко к 1, то (8.44) приближённо можно принять

.

(8.45)

 

Круглое отверстие. Уравнение (8.41) для круглого отверстия принимает вид

(8.46)

Заменяем в (8.46) переменный напор и ширину отверстия их значениями:

Суммарный расход через большое круглое отверстие определится после подстановки этих значений в (8.46)

(8.47)

Для упрощения этого выражения разложим в ряд выражение в скобках, стоящее под знаком интеграла, и ограничимся первыми четырьмя членами разложения:

Подставляя это разложение под знак интеграла и вынося постоянные за знак интеграла, получим четыре интегральных выражения, содержащие sinj и cosj. Оценим эти интегралы.

Подставляем полученные значения интегралов в (8.47) и получим суммарный расход

(8.48)

Приближённо можно считать, что выражение в круглых скобках равно единице и, учитывая, что pr² = w, можно написать

(8.49)

В таблице 8.2 приведены значения коэффициентов расхода m для больших отверстий, которыми можно пользоваться при приближённых расчётах.

 

Т а б л и ц а  8.2 – Значения коэффициента расхода m для больших отверстий

№	Характеристика отверстия	m
1	Отверстие средних размеров со сжатием струи со всех сторон при отсутствии направляющих стенок	0,65
2	Большое отверстие с несовершенным, но всесторонним сжатием без более точного определения условий подвода воды к отверстию	0,7
3	Донные отверстия без сжатия по дну со значительным влиянием бокового сжатия	0,65-0,7
4	То же с умеренным влиянием бокового сжатия	0,7-0,75
5	То же с весьма плавными подходами	0,8-0,85
6	То же с весьма плавными подходами со всех сторон	0,9

 

8.7 Истечение жидкости через насадки при постоянном напоре

Насадком называется короткая труба, присоединённая к отверстию в тонкой стенке. Обычно длина насадка составляет 2-3 диаметра отверстия. В этом случае при расчёте расхода обычно пренебрегают сопротивлением насадка по длине. При более длинном насадке сопротивление трения необходимо учитывать.

По своему конструктивному оформлению насадки бывают цилиндрическими внешними (насадки Вентури), цилиндрическими внутренними (насадки Борда), коническими сходящимися и расходящимися и коноидальными, которые имеют форму струи жидкости, вытекающей из отверстия в тонкой стенке. Все эти типы насадок показаны на рисунке 8.10.

        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При входе в насадок струя жидкости сжимается за счёт сил инерции точно так же, как и при истечении из отверстия в тонкой стенке. Однако далее поток расширяется до диаметра насадка и диаметр вытекающей струи равен выходному диаметру насадка в отличие от струи, вытекающей из отверстия в тонкой стенке, где диаметр струи меньше диаметра отверстия. Таким образом, поток в насадке можно разделить на две зоны (рисунок 7.11): центральную, где частицы жидкости перемещаются поступательно, и кольцевую водоворотную зону, где жидкость совершает интенсивное вихревое движение. Минимальная площадь сечения основного потока называется сжатым сечением.

При выходе потока из насадка давление в струе равно атмосферному. В сжатом сечении скорость потока выше, чем в выходном, следовательно, давление там согласно уравнению Бернулли будет ниже атмосферного, т.е. там образуется вакуум, величина которого зависит от скорости движения жидкости или, по существу, от напора. Вследствие образования вакуума жидкость подсасывается из резервуара. Скорость протекания жидкости в отверстии увеличивается, так как увеличивается полный напор, слагающийся из напора над центром тяжести входного отверстия и величины вакуума в сжатом сечении.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Истечение жидкости через отверстие в толстой стенке (рисунок 8.12а) аналогично с гидравлической точки зрения истечению через цилиндрический насадок Вентури. После входного сечения а-а жидкость сжимается, затем расширяется и в выходном сечении в-в струя имеет диаметр, равный диаметру отверстия. Толщина стенки а-в называется гидравлической толщиной стенки и она равна длине насадка. Если при протекании через отверстие в стенке струя во входном сечении отделяется от образующей отверстия (рисунок 8.12б), то такое течение надо рассматривать как истечение из отверстия в тонкой стенке. В этом случае гидравлическая толщина стенки равна нулю.

Скорость v и расход Q при постоянном протекании жидкости через насадок определяется по тем же формулам, что и для отверстия в тонкой стенке, но коэффициенты скорости j и расхода m для каждого типа насадка будут иметь свои значения.

 

8.7.1 Внешний цилиндрический насадок

Механизм сжатия струи в этом случае такой же, как и при резком сужении трубопровода. На входе в патрубок возникает кольцевая водоворотная область, а транзитная струя сначала сжимается, затем расширяется до диаметра патрубка (рисунок 8.11). На выходе из патрубка в сечении В-В площадь поперечного сечения струйки w_в равна площади отверстия w, к которому присоединён патрубок. В сечении В-В давление в струе равно атмосферному давлению и сжатие струи на выходе отсутствует.

Поскольку скорость течения транзитной струи в водоворотной зоне выше, чем в сечении В-В, то там возникает вакуум, максимальная величина которого будет в сечении с-с. Соответственно пьезометрическая линия р₁р₂р₃р₄ имеет провал в зоне сжатия потока.

Соединяя уравнением Бернулли сечения 1-1 и В-В (рисунок 8.11) и делая такие же выкладки, как в разделе 8.1, получаем следующие выражения для истечения струи из патрубка в атмосферу:

(8.50)

где v_В – скорость струи в сечении В-В.

Коэффициент скорости в этом случае равен

(8.51)

где z_нас – коэффициент сопротивления насадка.

При этом расход равен

(8.52)

где m_н – коэффициент расхода насадка. m_н = e_Вj = j, так как

(8.53)

В случае истечения под уровень (рисунок 8.13) уравнением Бернулли соединяют сечения 1-1 и 2-2, лежащие на поверхности воды в обеих ёмкостях. Проделав те же операции, что и в разделе 8.4, получают следующие зависимости

(8.54)

где j – коэффициент скорости, равный

Численные значения коэффициентов в случае внешнего цилиндрического насадка равны следующим величинам.

Коэффициент сжатия для сечения В-В e_В = 1 (8.53), а для наиболее сжатого сечения с-с e_с равен коэффициенту сжатия при истечении из отверстия в тонкой стенке  e_с = 0,63¸0,64. Коэффициент сопротивления при истечении из насадка в атмосферу равен коэффициенту сопротивления на вход в трубу e_н = e_вх = 0,5, а при истечении под уровень z_н.пу = z_вх + z_вых = 0,5 + 1,0 = 1,5. Коэффициент скорости в обоих случаях равен

(8.55)

Величину коэффициента сопротивления насадка от сечения с-с до сечения В-В z_сВ можно найти следующим образом.

Величина коэффициента сопротивления от сечения 1-1 до сечения с-с z_1с, если её отнести к скорости в сжатом сечении v_с, равна коэффициенту сопротивления отверстия в тонкой стенке z_отв = 0,06. Если коэффициент сопротивления z_1с отнесён к скорости потока на выходе из насадка, то его величина будет равна

Следовательно

(8,56)

 

8.7.2 Величина вакуума во внешнем цилиндрическом насадке

Соединим уравнением Бернулли сечения с-с и В-В (рисунок 8.11)

(8.57)

Потери напора между сечениями с-с и В-В и скорость v_с равны

(8.58)

Подставляя (8.58) в (8.57), получаем

или

(8.59)

Подставив выражение для скорости (5.51) в (8.59), получаем

(8.60)

где

Обычно принимают, что при истечении в атмосферу максимальный вакуум в сечении с-с равен

(8.61)

В случае истечения под уровень уравнением Бернулли соединяют сечения с-с и 2-2 (рисунок 8.13), и, рассуждая, как в предыдущем случае, получают

(8.62)

При большой величине h₂ в сечении с-с вакуум может получиться отрицательным, т.е. там будет положительное давление.

Пример 8.2. Через водоспуск плотины, имеющий форму цилиндрического насадка, необходимо пропускать расход Q = 2,3 м³/с при напоре Н = 10 м.

Определить диаметр водоспуска d и минимальную глубину h затопления его оси под низовой уровень, необходимую, чтобы вакуумметрическая высота внутри водоспуска не превышала h = 6 м. Коэффициент расхода водоспуска m = 0,82, коэффициент сжатия струи на входе в водоспуск e = 0,63.

Решение. Скорость воды в водоспуске

Площадь поперечного сечения и диаметр водоспуска

Коэффициент k:

Максимальная глубина заглубления по (8.62)

¨

 

8.7.3 Внутренний цилиндрический насадок

Насадки такого типа (рисунок 8.14) отличаются от внешнего цилиндрического насадка только условиями входа. Если длина насадка не менее (3,5¸4)d, то коэффициент сжатия e_с можно считать равным коэффициенту сжатия e_рс для наиболее резкого сужения, как в формуле (7.80):

(8.62)

Коэффициент сопротивления в данном случае больше, чем для внешнего цилиндрического насадка, следовательно, потеря напора, а также скорость и вакуум в сечении с-с тоже больше. Коэффициент сопротивления насадка z_н = 1,0. Остальные коэффициенты равны

(8.63)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчётные формулы те же, что и для внешнего цилиндрического насадка.

 

8.8 Истечение жидкости через отверстия и насадки при переменном напоре

Истечение жидкости из резервуара или бассейна при переменном напоре происходит в том случае, если при этом меняется высота Н уровня жидкости. Это происходит тогда, когда вода в бак не поступает или поступление воды не равно расходу. Обычно в этом случае представляет интерес время опорожнения бассейна.

Рассмотрим простейший случай, когда жидкость вытекает в атмосферу через малое отверстие в стенке цилиндрического резервуара. Так как напор является переменной величиной, то движение будет неустановившимся.

Рассмотрим бесконечно малый промежуток времени dt. За это время уровень воды в баке понизится на бесконечно малую величину dН. Движение жидкости в этот промежуток времени можно считать установившимся. Тогда для этого промежутка времени можно использовать выведенные ранее формулы.

Объём воды, который вытекает из резервуара за время dt с одной стороны равен (–WdН), а с другой – где W и w – площади поперечного сечения резервуара и отверстия. Знак минус в первом случае взят потому, что величина dН отрицательная. Приравнивая эти два выражения, получаем

Разделяя переменные получим уравнение

(8.64)

Так как резервуар цилиндрический, то площадь его поперечного сечения W постоянна по всей высоте Н. Интегрируя это выражение от h₁ до h₂, получим

(8.65)

Время полного опорожнения до сечения 3-3 можно найти, если принять h₂ = 0:

(8.66)

где Q₁ – расход жидкости при напоре h₁;

      t¢ – время полного опорожнения резервуара, если предположить, что из резервуара в течении всего времени вытекает постоянный расход Q₁.

При истечении жидкости под уровень расчётные формулы остаются теми же самыми, но под величиной Н нужно понимать не заглубление отверстия, а разность уровней жидкости в сообщающихся резервуарах.

В том случае, если одновременно с вытеканием воды через отверстие в резервуар втекает вода, то закон изменения уровня воды со временем будет другой. Рассмотрим случай, когда расход втекающей воды Q¢ меньше, чем расход вытекающей воды Q: Q¢ < Q. Тогда уменьшение объёма воды (–WdН) будет равно объёму воды, вытекающей через отверстие, минус объём втекающей воды:

откуда

(8.67)

Интегрируя от h₁ до h₂, получаем

(8.68)

Если сосуд имеет не цилиндрическую или призматическую форму, и площадь его сечения меняется с высотой Н, то площадь W выносить за знак интеграла нельзя и уравнение

вычисляется по методу конечных разностей.

 

Пример 8.3. Из конического сосуда высотой h = 2 м через отверстие в днище диаметром d₀ = 0,02 м вытекает вода. Сколько времени потребуется для полного опорожнения сосуда, если коэффициент расхода m₀ = 0,6, а

а) диаметр сосуда в верхней части d₁ = 1 м, а на днище d₂ = 0,5 м;

б) диаметр сосуда в верхней части d₁ = 0,5 м, а на днище d₂ = 1 м.

Решение. Для решения задачи нужно воспользоваться уравнением (8.64) для истечения жидкости при переменном напоре. Так как в примере величина W переменная, зависящая от высоты х, то (8.64) примет вид

Зависимость диаметра от высоты для варианта (а) и (б) отличаются

а)  где  Тогда

Дифференциальное уравнение запишется следующим образом

Интегрируя

Вычислим каждый интеграл отдельно.

Время опорожнения сосуда будет равно

б) Во втором случае зависимость диаметра от высоты х равна

Дифференциальное уравнение примет вид

При интегрировании получим три интеграла

Время опорожнения сосуда будет равно

Разница во времени вытекания воды из сосудов равна 31,8 – 20,7 = 11,1 м.  ¨

 

         Пример 8.4. В резервуар глубиной h = 4 м, имеющий в поперечном сечении форму квадрата со стороной аха = 6х6 м², стекает вода с расходом Q' = 0,2 м³/с.Найти время наполнения резервуара, если одновременно из него вытекает вода через имеющееся в дне отверстие площадью w₀ = 0,007 м².

Решение. Воспользуемся уравнением (8.67). В этом случае приток воды Q' больше, чем расход в дне резервуара. Подставляя численные значения в это уравнение, получим

Проинтегрируем это уравнение

Для решения этого интеграла нужно сделать замену переменных:

х = и²; dх = 2иdи. Тогда получим

Это интеграл типа

Применяя этот интеграл к интегралу t, получим

¨

 

 

8.8.1 Истечение при переменном напоре в сообщающихся резервуарах

Два сообщающихся резервуара соединены между собой короткой трубой (рисунок 8.16). Площади поперечных сечений этих резервуаров W₁ и W₂; w – площадь сечения соединительной трубы. При перетоке  воды уровень в первом резервуаре понижается, во втором – повышается. Через какое-то время t уровни в обоих резервуарах выравниваются, и переток воды прекращается.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть в начальный момент напоры в резервуарах будут h₁ и h₂, а их разность – Н. За бесконечно малый промежуток dt уровень в первом резервуаре понизится на dh₁, а во втором повысится на dh₂. Изменение напора составит

(8.69)

Изменение объёмов жидкости в резервуарах (–W₁dh₁) и W₂dh₂; при этом должно соблюдаться равенство

отсюда

(8.70)

Подставляя (8.70) в (8.69), получим

(8.71)

С другой стороны, уменьшение объёма воды в первом резервуаре за время dt равно

После разделения переменных

(8.72)

Подставляя сюда (8.71), получаем

(8.73)

Интегрируя от Н₁ до Н₂, найдём время t, необходимое для перетока воды

(8.74)

Полное выравнивание уровней наступит когда Н₂ = 0. Тогда

(8.75)

 

8.9 Свободная незатопленная струя

Свободной незатопленной струёй называется струя жидкости, вытекающая через отверстие или насадок в воздушное пространство и не ограниченная твёрдыми стенками. Ограничиваясь случаем истечения струи через круглое отверстие, можно выделить в струе три характерных участка: компактный участок, где сохраняется сплошность движения струи, раздробленный участок, где сплошность струи нарушается и струя расширяется, и распылённая часть струи, где поток распадается на отдельные капли.

Поперечное сечение компактной части струи не остаётся круглым, а постепенно деформируется (рисунок 8.4). Разрушение компактной части струи на втором и третьем участках происходит за счёт турбулентного обмена между воздушной и водной средой через границу струи. На практике к струям разного назначения предъявляются различные требования.

Большой интерес представляет взаимодействие струи с твёрдой преградой, установленной на пути струи. Сила воздействия свободной струи на преграду определяется изменением количества движения струи, происходящим в результате её отклонения преградой. Рассмотрим свободную струю, падающую на плоскую стенку, расположенную под углом a к оси струи (рисунок 8.17а). Уравнение количества движения в проекцию на ось х запишется следующим образом

(8.76)

где Q₀, Q₁, Q₂ – расходы жидкости через сечения 0-0, 1-1, 2-2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь неизвестными являются расход Q₁ или Q₂, так как Q₁ + Q₂ = Q₀, и сила давления струи на стенку Р. Пренебрегая силой тяжести и гидравлическими сопротивлениями, можно принять, что скорости струи перед преградой и после равны v₀ = v₁ = v₂. При этом предположении сила действия свободной струи на плоскую стенку, размеры которой велики по сравнению с диаметром струи, равна

(8.77)

Если такая стенка расположена перпендикулярно оси струи, то Q₁ = Q₂  a = 90⁰ и (8.76) примет вид

(8.78)

Если струя рассекается симметричным клином (рисунок 8.17б), то формула (8.76) упрощается

(8.79)

Это же уравнение можно применить для вычисления силы давления струи на криволинейную стенку (рисунок 8.17в). В этом случае надо учитывать, что угол a > 90⁰. максимальная сила давления Р_тах будет в том случае, если симметричная криволинейная стенка поворачивает поток на 180⁰.

При поступательном перемещении криволинейной стенки (рисунок 8.18) со скоростью и в направлении движения струи на неё будет действовать сила

(8.80)

где w₀ = v₀ – u – относительная скорость натекания струи на стенку;

Q_w = w₀w₀ = (v₀ – u)w₀ – расход струи по отношению к стенке.

Если пренебречь гидравлическими сопротивлениями при обтекании стенки, то относительные скорости равны w₀ = w₁, а сила действия струи на стенку запишется в виде

(8.81)

Если учитывать гидравлические потери при взаимодействии струи со стенкой, то уравнение Бернулли, записанное для относительной скорости

примет вид

                   (8.82)

При этом сила действия струи

       (8.83)

         Полезная механическая мощность струи равна произведению силы воздействия струи на стенку на скорость стенки

(8.84)

         Общая затраченная мощность равна произведению расхода струи на кинетическую энергию струи

(8.85)

Их отношение определяет кпд работы струи по перемещению стенки

(8.86)

         Профиль, изображённый на рисунке 8.18 является поперечным сечением лопатки колеса активной турбины, которая обычно устанавливается на гидроэлектростанциях на горных реках, для которых характерен малый расход воды, но очень высокий напор h до нескольких сотен метров.

На таком рабочем колесе весь расход воды используется рядом лопаток, следующих друг за другом. В этом случае суммарная сила действия струи на лопатки равна

(8.87)

Соответственно кпд процесса преобразования кинетической энергии струи в полезную механическую работу колеса турбины равен

(8.88)

Максимальное значение кпд достигается при u/v₀ = 1/2:

(8.89)

Пример 8.5. В активной ковшевой гидротурбине струя воды, диаметр которой d = 50 мм и скорость воды v = 70 м/с, натекает на ковш выходной угол которого b = 10⁰. Коэффициент сопротивления ковша, выражающий потери напора при протекании воды по ковшу через относительную скорость выхода, равен z = 0,2.

Определить силу действия струи на неподвижный ковш и на ковш, перемещающийся поступательно с постоянной скоростью u = 35 м/с.

Решение. Так как по условию требуется определить силу действия на отдельный ковш, то нужно воспользоваться формулой (8.83):

Для неподвижного ковша u = v₀.

Для движущегося ковша

¨

 

Рассмотрим движение жидкости в межлопаточном пространстве рабочего колеса центробежного нагнетателя (рисунок 8.19). Взаимодействие потока жидкости или газа и рабочего колеса определяется значениями абсолютной, относительной и окружной скоростями на входе и на выходе из межлопаточных каналов. Окружная скорость u = wR направлена по касательной к окружности колеса в направлении его вращения. w – угловая скорость вращения. w – относительная скорость, т.е. скорость потока относительно системы координат, связанных с вращающимся колесом, направлена по касательной к лопатке на входе и выходе из межлопаточного пространства. с – абсолютная скорость жидкости относительно системы координат, связанных с неподвижным корпусом. Эти три скорости образуют параллелограмм скоростей, в котором абсолютная скорость представляет собой векторную сумму окружной и относительной скоростей.

 

 

 

 

Чтобы определить суммарный момент реакции лопаток колеса при воздействии на них потока, необходимо воспользоваться теоремой об изменении момента количества движения. Согласно этой теореме при установившемся движении изменение момента количества движения потока жидкости, проходящего через рабочее колесо в единицу времени, равно моменту сил реакции лопаток.

Момент количества движения определяется следующим образом. Пусть секундный массовый расход жидкости т движется во вращающемся поле с абсолютной скоростью с относительно центра вращения 0. Расстояние между центром вращения и центром массы т равно R. Момент количества движения равен произведению количества движения в направлении вектора скорости с на плечо, перпендикулярное вектору тс

(8.90)

Но

В свою очередь с×cosa = c_u – проекция абсолютной скорости на окружную скорость и. Окончательно

(8.91)

 Применяя полученное равенство (8.91) к рабочему колесу нагнетателя и допуская, что все траектории жидких частиц на входе и на выходе из межлопаточного канала одинаковы, то разность моментов количества движения жидкости на входе и выходе рабочего колеса будет равна моменту сил М₀ реакции лопаток:

(8.92)

Чтобы выразить момент реакции лопаток через циркуляцию Г (2.21'), нужно (8.92) умножить и разделить на 2p:

(8.93)

где Г = 2pRс_и – циркуляция по замкнутому контуру вокруг лопатки.

Таким образом величина М₀ есть проекция на ось вращения суммарного момента всех внешних сил, действующих на жидкость в межлопаточном пространстве рабочего колеса нагнетателя.

Если не учитывать массовые силы, то величина М₀ равна моменту поверхностных сил, действующих со стороны жидкости на стенку канала.

Равенства (8.92) и (8.93) получены Л. Эйлером и носят название турбинных уравнений Эйлера.

 

Глава 9. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ

 

Многие жидкости обладают очень малой вязкостью. К ним относятся вода, воздух и другие жидкости, с которыми часто приходится иметь дело на практике. Малая величина вязкости предполагает большие числа Рейнольдса Re. Следовательно, такие жидкости при больших числах Re можно с достаточно высокой степенью точности рассматривать как идеальные. Но такое приближение неправомерно для движения жидкости вблизи твёрдых стенок. На границе с твёрдой стенкой происходит как бы прилипание жидкости к омываемой поверхности и её скорость на этой поверхности становится равной нулю. По мере удаления от стенки скорость быстро увеличивается и на некотором расстоянии d становится равной тому значению, которое она имела бы при обтекании данного тела идеальной жидкостью, лишённой трения (рисунок 9.1). Следовательно, при больших числах Re падение скорости до нуля происходит в тонком пристеночном слое жидкости. Этот слой называется пограничным слоем и характеризуется наличием в нём больших градиентов скорости. Движение в пограничном слое может быть как ламинарным, так и турбулентным. За пределами пограничного слоя при установившемся движении поток имеет постоянную скорость U и называется внешним потоком. Граница между пограничным слоем и внешним потоком не является резкой и переход между движением в пограничном слое и внешнем потоке происходит непрерывным образом. За толщину пограничного слоя обычно принимают то значение d­, при котором скорость в слое достигает 99 % от скорости  внешнего потока: u = 0,99U.

Касательные напряжения трения в пограничном слое можно выразить законом Ньютона

Порядок этой величины равен . Следовательно, даже при малых значениях вязкости m величина t в пограничном слое будет конечной вследствие малости d. Вязкие силы в пограничном слое имеют тот же порядок, что и силы инерционные. Исходя из этого, можно оценить толщину пограничного слоя. Сила трения, приходящаяся не единицу объёма жидкости, заключённой в пограничном слое, т.е. t/d, имеют порядок . С другой стороны, обтекаемое тело имеет в направлении внешнего потока размер порядка l, тогда инерционная сила, приходящаяся на единицу объёма жидкости, будет иметь порядок . Так как порядок силы трения и инерционной силы, приходящейся на единицу объёма одинаков, то есть, , то .                                                               (9.1)

Здесь число Рейнольдса соответствует длине пластины. Таким образом, толщина пограничного слоя оказывается величиной обратно пропорциональной корню квадратному из числа Re, что подтверждает тот факт, что при больших числах Re величина d будет малой. В этом соотношении остаётся неопределённым численный множитель в правой части, переводящий пропорциональность в равенство. На основании решения Г. Блазиуса для плоской пластины этот множитель приближённо равен 5, следовательно, для ламинарного течения относительная толщина пограничного слоя равна

(9.1')

(9.1') определяет толщину пограничного слоя в конце пластины длиной l. Если вместо длины пластины рассматривать текущую координату х, то получим зависимость толщины пограничного слоя от расстояния х, отсчитываемого от передней кромки пластины:

(9.1'')

Рассмотренная картина течения будет иметь место только при обтекании плоских или плавно изогнутых стенок. У тел плохо обтекаемых в кормовой части происходит отрыв потока от поверхности тела, при этом образуется вихревая зона. Наличие вихревой зоны существенно меняет закон распределения скоростей во внешнем потоке. Это необходимо учитывать при расчёте пограничного слоя, т.е. определить, где и при каких условиях происходит отрыв. Этот вопрос будет рассмотрен при выводе уравнений течения в пограничном слое.

По аналогии с полем скоростей можно ввести поле температур и концентраций вещества при наличии диффузии. Если температура тела и потока будут различны, то величина области, в которой происходит изменение  от температуры тела до температуры потока, будет зависеть от теплового числа Рейнольдса

где U – скорость внешнего потока, м/с;

      l – характерный размер, например, длина обтекаемой твёрдой стенки, м;

      a – коэффициент температуропроводности, м²/с.

Температура области, прилегающая к обтекаемому телу, в которой при больших числах Re_Т происходит изменение от температуры тела до температуры потока, называется температурным пограничным слоем.

Если концентрация вещества на поверхности обтекаемого тела отличается от концентрации вещества в потоке во время движения, то около твёрдой поверхности устанавливается диффузионный пограничный слой. Такой слой может возникнуть при больших значениях диффузионного числа Рейнольдса

,

где D – коэффициент диффузии, м²/с.

Примеры гидродинамического, теплового и диффузионного пограничных слоёв показаны на рисунке 9.2.

 

 

При обтекании тела могут присутствовать все три типа пограничных слоёв одновременно, причём их толщины в общем случае различны.

 

9.1 Толщина вытеснения

Рассмотрим обтекание полуограниченной плоской пластины невозмущённым потоком вязкой жидкости, линии тока которой параллельны пластине (рисунок 9.3).

Рассмотрим баланс расходов в слое толщиной d левее и правее оси 0у. Для плоской задачи расход левее оси 0у в сечении I-I равен Ud. При установившемся течении этот расход будет больше, чем в сечении II-II в слое у = d, так как в пограничном слое скорость меняется от 0 до U. Для того, чтобы через сечение II-II проходил тот же расход, что и через сечение I-I, необходимо увеличить сечение потока. Поэтому линия тока а-а должна отклониться от своего первоначального положения на некоторую величину а-а¢ = d*. Баланс расходов в сечении I-I и II-II запишется следующим образом

,

(9.2)

         где  Ud* – расход в сечении II-II в слое толщиной d*;

                 – расход в сечении II-II в слое толщиной d.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из (9.2) находим d*:

.

(9.3)

Так как , то (9.3) можно записать в виде

.

(9.4)

Величина d* называется толщиной вытеснения и представляет собой величину смещения действительной линии тока вязкой жидкости от линии тока идеальной жидкости, обусловленного влиянием сил вязкости в пограничном слое. Толщина вытеснения характеризует ту часть расхода, которая теряется в пограничном слое толщиной d из-за тормозящего действия силы трения на твёрдой поверхности. Толщина вытеснения не зависит от того, как определяется толщина пограничного слоя, так как уже при некотором значении у скорость на внешней границе слоя практически равна U и поэтому (9.4) принимает вид

(9.5)

         Для определения толщины пограничного слоя используются и другие интегральные соотношения:

– толщина потери импульса;	(9.6)
– толщина потери энергии	(9.7)

         Толщина потери импульса. Вследствие трения поток импульса в пограничном слое уменьшается по сравнению с потоком импульса в потенциальном течении на величину

         С другой стороны, это же уменьшение потока импульса равно , следовательно

Откуда находим толщину потери импульса

.

(9.8)

Для того, чтобы сделать представление о величине толщины вытеснения, толщины потери импульса и толщины потери энергии более наглядным, то для простого линейного распределения скорости в пограничном слое для них получаются следующие значения (рисунок 9.4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Толщина вытеснения –  ;

Толщина потери импульса –  ;

Толщина потери энергии –

 

9.2 Уравнения ламинарного пограничного слоя

Уравнения движения в ламинарном пограничном слое можно получить из общих уравнений движения вязкой жидкости. Рассмотрим случай пристенного безотрывного стационарного пограничного слоя на плоском участке поверхности тела при отсутствии массовых сил. Тогда уравнения Навье-Стокса (5.7) примут вид

(9.9)

Для упрощения системы уравнений (9.9) необходимо оценить порядок малости всех членов, входящих в эти уравнения.

Так как пограничный слой очень тонкий, то движение в нём будет происходить в основном параллельно обтекаемой поверхности, т.е. скорость u_у будет мала по сравнению с u_х. Вдоль направления оси у скорость меняется быстро – заметное изменение её происходит на расстояниях порядка толщины d пограничного слоя. В направлении оси х скорость меняется медленно; заметное изменение её происходит здесь на протяжении расстояний порядка характерной длины l продольного размера тела. Поэтому её производные по у велики по сравнению с производными по х. Следовательно, в первом из уравнений (9.9) можно пренебречь производной  по сравнению с производной . Давление в пограничном слое равно давлению во внешнем потоке и его изменение по высоте слоя незначительно, поэтому производная  мала по сравнению с  и можно положить , т.е. в пограничном слое нет поперечного градиента давления. Тогда в первом из уравнений (9.9) вместо  можно написать полную производную . Эту производную можно выразить с помощью скорости U внешнего потока: так как движение внешнего потока потенциально, то справедливо уравнение Бернулли . Взяв производную по х, получим

.

Таким образом, получаем систему уравнений движения в ламинарном слое в виде

(9.10)

Эти уравнения носят название уравнений Прандтля. Граничные условия к этим уравнениям требуют обращения в нуль скорости на стенке:

                            u_х = u_у = 0 при у = 0.

При удалении от стенки продольная скорость должна асимптотически приближаться к скорости основного потока:

                            u_х = U  при у ® ¥.

Уравнения (9.10) остаются справедливыми и в более общем случае двумерного обтекания тела, например, поперечного обтекания бесконечно длинного цилиндра.

 

9.3 Уравнения Прандтля в безразмерном виде

Введём вместо координат х, у и скоростей u_х, u_у безразмерные переменные х¢, у¢, u¢_х, u¢_у. За характерные масштабы длины, скорости и давления примем: l – продольный размер, пропорциональный длине тела вдоль оси 0х;  – поперечный размер, соответствующий толщине пограничного слоя ; U_¥ – масштаб скорости внешнего потока на бесконечном удалении от обтекаемого тела;  . Тогда можно написать

(9.11)

Уравнения (9.10) преобразуются следующим образом

(9.12)

Разделим первое уравнение на постоянный коэффициент при первом члене U_¥²/l. Во втором уравнении U_¥/l выносится за скобки и сокращается, после чего уравнение неразрывности остаётся в прежнем виде.

Величины U_¥ и U одного порядка, поэтому U_¥²/U² = 1; , поэтому коэффициент при  будет равен единице. Таким образом, окончательно получим

(9.13)

Уравнения (9.13) и граничные условия к ним не содержат вязкости. Это значит, что их решения не зависят от числа Рейнольдса, следовательно, при изменении числа Re вся картина течения в пограничном слое подвергается лишь подобному преобразованию, при котором продольные расстояния и скорости остаются неизменными, а поперечные должны измениться как  .

 

9.4 Отрыв пограничного слоя

При обтекании вязкой жидкостью поверхностей, имеющих заметную кривизну, наблюдается отрыв пограничного слоя. При этом непосредственно за точкой отрыва возникают сложные нестационарные обратные движения с замкнутыми линиями тока, похожими на вихри. Они периодически отрываются от тела, уносятся потоком, разрушаются и создают в дальнем следе за телом хаотическое турбулентное движение. На процесс отрыва пограничного слоя влияют три фактора: инерция потока; вязкое взаимодействие между смежными слоями жидкости и с твёрдой поверхностью; обратный перепад давления, направленный в сторону, противоположную движению. На рисунке 9.5 схематически показан процесс отрыва пограничного слоя на выпуклой поверхности.

В начальной части криволинейной поверхности, в конфузорной области, скорость потока возрастает, следовательно, давление уменьшается от точки к точке. Градиент давления в этой части профиля отрицательный , способствующий движению жидкости в пограничном слое. В точке М перехода конфузорной части в диффузорную давление достигает минимума, градиент давления равен нулю . Вниз по течению, в диффузионной области профиля, за точкой минимума давления М, давление возрастает и dр/dх > 0; при этом жидкость в пограничном слое движется из области меньшего давления в область большего давления. Так как в пограничном слое поле давлений такое же, как и поле давлений во внешнем потоке, а в непосредственной близости от твёрдой поверхности скорости малы, следовательно, кинетическая энергия тоже мала, то она не может преодолеть подтормаживающего перепада давления. В этом случае торможение жидкости вызывает остановку, а далее и обратное движение. Встреча набегающего внешнего потока с противоположно движущейся в пограничном слое жидкостью приводит к резкому оттеснению линий тока от поверхности тела, к утолщению пограничного слоя и к отрыву его от поверхности тела. До точки отрыва S, как видно из рисунка 9.5, (du/dу)_у=0 > 0, за точкой отрыва (du/dу)_у=0 < 0. В самой точке отрыва имеем условие отрыва

(9.14)

Таким образом, при рассмотрении механизма движения отрыв может возникнуть только в диффузионной области пограничного слоя, где одновременно существуют вязкие взаимодействия в жидкости и обратный по отношению к направлению потока перепад давления. Точка отрыва S всегда расположена ниже по течению по сравнению с точкой М минимума давления (максимума внешней скорости). С математической точки зрения точка отрыва есть особая точка решения уравнения Прандтля.

Условия отрыва (9.14) сохраняют свой вид и после перехода к безразмерным величинам. Так как выраженное в этих новых переменных уравнение для определения точки отрыва не будет явно содержать числа Re, то безразмерная абсцисса точки отрыва х¢_s = х_s/l, являющаяся корнем этого уравнения, тоже не будет зависеть от Re.

В условиях отрыва пограничного слоя заметно искажается внешний безвихревой поток. При этом обтекание тела перестаёт быть плавным. Область пограничного слоя, включая сорвавшийся слой и аэродинамический след, уже не является тонкой, несмотря на большие значения числа Re. В этом случае необходимо учитывать обратное влияние пограничного слоя на потенциальное обтекание. Нормальная составляющая скорости u_у по величине становится одного порядка с продольной составляющей u_х.

Следствием отрыва пограничного слоя является резкое повышение сопротивления обтекаемых тел, вызывающее большую потерю энергии на кормовой части, вибрации, которые могут привести к разрушению. При течении в трубах и каналах отрыв пограничного слоя приводит к уменьшению расхода жидкости и уменьшению коэффициента полезного действия. В технике отрыв пограничного слоя является нежелательным явлением, поэтому разрабатываются различные меры, которые могут препятствовать отрыву пограничного слоя.

С физической точки зрения наиболее простым способом предотвращения отрыва является уменьшение разности между скоростями внешнего потока и обтекаемой стенки путём приведения стенки в движение в направлении внешнего потока. На примере вращающегося цилиндра Л. Прандтль показал, что этот способ весьма эффективен. На той стороне цилиндра, где вращающаяся стенка движется в одном направлении с внешним потоком, отрыва пограничного слоя не происходит совсем. Но и на другой стороне цилиндра, на которой стенка и внешний поток движутся в противоположных направлениях, отрыв получается очень незначительный. В результате около вращающегося цилиндра возникает течение с циркуляцией и большой поперечной силой, которое с большой степенью приближения можно рассматривать как течение без трения. Такое явление известно под названием эффекта Магнуса. Оно проявляется, например, при играх с мячом, когда он получает срезывающий удар с закруткой. Делались попытки использовать поперечную силу, возникающую при вращении цилиндра, для движения судов (ротор Флеттнера). Цилиндр достаточно большого диаметра и высоты ставился вместо мачты и когда он приводился во вращение, при поперечном ветре возникала сила, которая двигала судно вперёд. Однако в технических условиях для тел иной формы такой способ предотвращения отрыва пограничного слоя осуществить довольно трудно.

Сдувание пограничного слоя. Другой способ предотвращения отрыва состоит в увеличении скорости пограничного слоя. В этом случае к частицам жидкости, замедлившим своё движение вблизи стенки, подводится новая энергия. Это достигается разными путями. Один из них состоит в том, что в пограничный слой изнутри тела вдувается струя жидкости (рисунок 9.6а), другой – непосредственным использованием энергии внешнего потока (рисунок 9.6б). Для этого в обтекаемом теле устраивается щель, через которую в заторможенный пограничный слой поступает жидкость из области высокого давления (разрезное крыло). В этом случае в ближайшем к стенке слое скорость частиц увеличивается за счёт подвода энергии извне, что устраняет опасность отрыва. При практическом применении выдувания изнутри крыла требуется особенно тщательное выполнение формы щели, так как выдуваемая струя может распасться на вихри. В авиации для повышения максимальной подъёмной силы крыла используется выдувание струи воздуха на задней кромке крыла и через щель в конце крыла.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Действие разрезного крыла основано на том, что поток жидкости, выходящей из щели между предкрылком АВ и основным крылом СD, уносит пограничный слой, образовавшийся на предкрылке АВ во внешний поток раньше, чем он успевает оторваться. Начиная с точки С, образуется новый пограничный слой, который достигает задней кромки крыла D без отрыва. Устройство предкрылка позволяет отодвинуть отрыв до значительно больших углов атаки и достичь, таким образом, значительно больших коэффициентов подъёмной силы.

Вдувание другого газа. Если через пористую стенку вдувать в пограничный слой лёгкий газ, отличающийся от газа во внешнем потоке, то благодаря этому уменьшается теплоотдача между стенкой и внешним потоком. Этот способ применяют при высоких сверхзвуковых скоростях или при высокой температуре внешнего потока для тепловой защиты. При таком вдувании в пограничном слое образуется смесь газов. К обмену импульсов и теплообмену присоединяется ещё массообмен вследствие диффузии, вызванной разностью концентраций, и термической диффузии. Аналогичные явления возникают и в тех случаях, когда на обтекаемой стенке испаряется тонкая плёнка жидкости. Данные способы используются для тепловой защиты лопаток газовых турбин.

Охлаждение стенки можно использовать в определённом диапазоне сверхзвуковых скоростей для стабилизации пограничного слоя.

Отсасывание пограничного слоя. Этот способ стабилизации пограничного слоя наряду со способом сдувания имеет наибольшее практическое значение. Принцип действия отсасывания состоит в удалении из пограничного слоя частиц жидкости, заторможенных в области возрастания давления, прежде, чем они успевают вызвать отрыв потока от стенки (рисунок 9.7). Позади щели, через которую производится отсасывание, образуется новый пограничный слой с высокой кинетической энергией, который обладает способностью преодолеть определённое возрастание давления. Благодаря отсасыванию сильно уменьшается сопротивление давления. Этот способ широко применяется в авиации на крыльях самолётов. Путём отсасывания пограничного слоя можно достичь на подсасывающей стороне профиля при больших углах атаки значительно большего восстановления давления и, следовательно, значительно большей максимальной подъёмной силы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсасывание пограничного слоя применяется также для уменьшения сопротивления трения. С этой целью щель располагается в таком месте обтекаемого контура, чтобы точка перехода ламинарной формы течения в пограничном слое в турбулентную отодвинулась вниз по течению. В результате пограничный слой остаётся ламинарным на большом протяжении стенки, что приводит к уменьшению сопротивления трения.

Для аналитического исследования рассмотрим случай непрерывного отсасывания вдоль всей обтекаемой стенки. Такой способ можно осуществить на пористой стенке. Для учёта влияния отсасывания нормальная составляющая скорости на стенке u_у0(х) должна отличаться от нуля. Эта скорость будет отрицательная u_у0 < 0, если производится отсасывание жидкости внутрь обтекаемого тела, и положительная u_у0 > 0, если производится выдувание жидкости изнутри тела в пограничный слой. Предположим, что количество отсасываемой жидкости столь мало, что из пограничного слоя уходят только частицы жидкости, находящиеся в непосредственной близости от стенки. Такое предположение равносильно условию, что отношение скоростей отсасывания u_у0(х) и скорости внешнего потока U очень мало. При этом сохраняется условие прилипания жидкости к стенке; сохраняется и предположение, что касательное напряжение на стенке t₀ определяется законом Ньютона

.

В формулу для определения количества отсасываемой жидкости Q необходимо ввести безразмерный коэффициент с_Q. Тогда формула расхода записывается в виде

,

(9.15)

где F = bl – обтекаемая площадь, м²;

       b – ширина обтекаемой плоскости, м;

       l – длина обтекаемой плоскости, м.

Так как при плоском течении

,

то из (9.15) получаем с_Q

,

(9.16)

Причём в случае равномерно распределённого отсасывания (u_у0 = const)

(9.17)

Для плоского несжимаемого течения уравнения пограничного слоя при наличии отсасывания имеют вид

(9.18)

с граничными условиями

ux = 0, uy = uy0(x) при y = 0; ux = U(x) при y = ¥.

(9.19)

Уравнения (9.18) позволяют обнаружить без интегрирования качественное влияние отсасывания на отрыв пограничного слоя и на переход в нём ламинарной формы течения в турбулентную. Действительно, из (9.18) и (9.19) следует, что для линии тока, совпадающей со стенкой (у = 0), имеет место соотношение

(9.20)

Из этого соотношения видно, что в области повышенного давления (dр/dх > 0) при отсасывании вследствие того, что u_у0 < 0, кривизна профиля скоростей на стенке уменьшается. Это означает, что точка отрыва перемещается вниз по течению, а это приводит к повышению устойчивости пограничного слоя.

 

Пример 9.1. В качестве примера решения уравнения (9.18) рассмотрим продольное обтекание плоской пластины с равномерно распределённым отсасыванием (рисунок 9.7б). В этом случае система уравнений (9.18) принимает вид

(9.21)

Граничные условия:    u_x = 0, u_y = u_y0 = const < 0 при y = 0;

        u_x = U                            при y = ¥.

Система (9.21) обладает решением, для которого распределение скоростей не зависит от текущей длины х. Так как в этом случае ¶u_x/¶х º 0, то из уравнения неразрывности следует, что u_у(х, у) = const, и поэтому уравнение движения принимает вид

Решением этого уравнения будет

(9.22)

Это решение является и точным решением полных уравнений Навье-Стокса.

Для толщины вытеснения и толщины потери импульса получим следующие значения

(9.23)

Касательное напряжение на стенке равно

(9.24)

Следовательно, оно не зависит от вязкости. ¨

 

         9.5 Турбулентный пограничный слой

При внешнем обтекании тел любой формы на поверхности тела всегда будет существовать пограничный слой, который возникает в непосредственной близости от критической точки и является ламинарным. Если рассматривать плоскую пластину, то по мере удаления от передней кромки толщина пограничного слоя будет увеличиваться, а профили скоростей и_х будут подобны друг другу. Это является следствием постоянства давления во внешнем потоке. Толщина пограничного слоя при этом возрастает согласно (9.1") пропорционально .

При обтекании криволинейной поверхности градиент давления изменяется от точки к точке, и поэтому профили скоростей в пограничном слое в различных точках поверхности не являются подобными. В области повышенного давления на профиле скоростей появляется точка перегиба. Такой слой становится неустойчивым.

Критическое число Re_кр, при котором пограничный слой становится неустойчивым, будет также в области повышенного давления. Неустойчивость пограничного слоя приводит к его турбулизации (рисунок 9.8). Критическое число Re_кр для точки перехода можно выразить через координату точки перехода или через одну из характеристик толщины пограничного слоя. Значения Re_кр в зависимости от способа его выражения будут следующего порядка:

(9.25)

Переход ламинарного слоя в турбулентный происходит в некоторой области. Эта область ограничена началом разрушения ламинарного слоя и точкой появления устойчивого турбулентного слоя и называется переходной областью. В зоне развитого турбулентного пограничного слоя в непосредственной близости от поверхности твёрдого тела сохраняется вязкий ламинарный подслой. Координата точки перехода ламинарного слоя в турбулентный зависит от многих параметров внешнего потока. Среди этих параметров наиболее существенное влияние оказывают следующие:

1) степень турбулентности e внешнего потока, определяемая отношением осреднённой во времени амплитуды пульсаций скорости во внешнем потоке к его средней скорости;

2) масштаб турбулентности l, характеризующий пространственную протяжённость жидких объёмов;

3) частота пульсаций во внешнем потоке.

Кроме того, шероховатость самой поверхности тоже существенно влияет на положение точки перехода: с увеличением шероховатости обтекаемой поверхности точка перехода смещается к переднему краю поверхности, т.е. ламинарный участок уменьшается.

При больших скоростях, когда обтекаемую среду можно считать сжимаемой, на устойчивость пограничного слоя оказывает влияние подвод или отвод тепла. Передача тепла от потока к обтекаемой поверхности стабилизирует пограничный слой, передача тепла от поверхности к потоку сильно понижает устойчивость пограничного слоя.

 

9.6 Пограничный слой на пластине

Рассмотрим очень тонкую полубесконечную пластину бесконечной ширины, помещённую в установившийся однородный поток жидкости. Поток направлен параллельно плоскости пластины. В потоке идеальной жидкости такая пластина не будет вносить возмущений, скорость потока повсюду равна U, и пограничный слой на пластине отсутствует.

Для реальной вязкой жидкости должно соблюдаться условие прилипания жидкости на поверхности, в результате чего на пластине образуется пограничный слой. Линии тока основного потока вне пограничного слоя отклоняются в поперечном направлении. Уравнения Прандтля (9.10) примут вид

(9.26)

В безразмерном виде уравнения (9.13), учитывая, что вдоль плоской пластины скорость U постоянна, запишутся следующим образом

(9.27)

Определим толщину пограничного слоя согласно (9.1) и (9.25)

(9.28)

и введём безразмерную поперечную координату

Для тождественного удовлетворения уравнения неразрывности и_х и и_у можно выразить через функцию тока y:

(9.29)

Тогда уравнение (9.27) запишется в виде

(9.30)

с граничными условиями

(9.30¢)

Знак ¢ обозначает дифференцирование по h.

В результате решения этого уравнения Блазиусом были получены толщины слоя (9.1¢) и касательное напряжение на стенке при обтекании пластины

(9.31)

Для описания сопротивления трения вводится безразмерный коэффициент сопротивления трения с_f, зависящий от кинетической энергии потока:

(9.32)

Отсюда коэффициент трения

(9.33)

При ламинарном обтекании пластины, подставляя (9.31) в (9.33), получим

(9.34)

Средний по длине коэффициент сопротивления для пластины конечных размеров длиной l равен

(9.35)

Учитывая, что пластина двухсторонняя, коэффициент сопротивления необходимо удвоить. Тогда в результате интегрирования (9.35) получим

(9.36)

Зная коэффициент с_f можно найти сопротивление пластины конечных размеров при её продольном обтекании

(9.37)

где S – площадь пластины.

Однако, в реальных условиях течение происходит в режимах, когда стенка не является гидравлически гладкой. В качестве примера такого обтекания можно привести обтекание лопатки турбины или насоса, обтекание крыла самолёта, обтекание корпуса корабля, где в первом приближении элементы этих поверхностей можно принять за плоские пластины. Так же, как и в шероховатой трубе, на пластине важную роль играет относительная шероховатость. В трубе относительная шероховатость представляет собой отношение средней абсолютной высоты элементов шероховатости к диаметру трубы и по всей длине трубы остаётся величиной постоянной. Аналогом этой величины для пластины является отношение k/d – средней абсолютной величины элементов шероховатости к толщине пограничного слоя. Существенным отличием для пластины является то, что относительная шероховатость уменьшается по мере отдаления от передней кромки пластины, так как толщина пограничного слоя увеличивается вниз по течению. Это обстоятельство приводит к тому, что передняя и задняя части пластины ведут себя неодинаково в отношении сопротивления, вызываемого шероховатостью.

Примем для простоты, что пограничный слой становится турбулентным, начиная от передней кромки пластины. Тогда в передней части пластины, где пограничный слой ещё очень тонкий, отношение k/d велико, имеет место режим полного проявления шероховатости. Дальше, по мере утолщения пограничного слоя, отношение k/d уменьшается, следует переходный участок. Если пластина имеет достаточно большую длину, то в её кормовой части будет наблюдаться режим течения без проявления шероховатости. Границы между указанными участками определяются значениями безразмерной шероховатости и числом Рейнольдса Uk/u совершенно так же, как при течении в шероховатой трубе (смотри график Никурадзе, рисунок 7.8).

Для режима с полным проявлением шероховатости найденная эмпирическая зависимость коэффициента сопротивления от относительной шероховатости может быть представлена формулой

(9.38)

которая применима в области 10² < l/k <10⁶.

 

9.6.1 Допустимая высота шероховатости

Допустимой высотой шероховатости называется предельная высота элементов шероховатости, которая при обтекании поверхности ещё не вызывает увеличения сопротивления по сравнению с сопротивлением гладкой пластины. Понятие допустимой шероховатости важно с практической точки зрения, так как оно даёт возможность рассчитывать, к какой степени гладкости необходимо стремиться при обработке поверхностей, чтобы уменьшить сопротивление. Понятие о величине допустимой шероховатости различны для ламинарного и турбулентного пограничного слоя.

Турбулентный пограничный слой. В этом случае шероховатость не влечёт за собой увеличение сопротивления при условии, что элементы шероховатости не выступают за пределы ламинарного подслоя, толщина которого составляет только небольшую часть турбулентного пограничного слоя. Исследования течений в трубах показали, что условием гладкостенного течения является

(9.39)

где v – среднерасходная скорость в трубе.

Для пластины более наглядно и удобнее выражать допустимую величину шероховатости в виде отношения k/l. В этом случае условие гладкостенного течения выражается формулой

(9.40)

Эта формула даёт единственное значение допустимой шероховатости k_доп для всей длины пластины. Но в передней части пластины толщина пограничного слоя меньше, чем в остальной части и, следовательно, допустимая величина шероховатости увеличивается по мере удаления от передней кромки. Для учёта этого обстоятельства нужно ввести местный коэффициент трения

(9.41)

значения которого даны в таблице 17 в приложении. Тогда, учитывая, что

получим

(9.42)

Значения k_доп, которые даёт эта формула, при числах Re_х < 10⁶ приблизительно совпадают с теми значениями, которые даёт формула (9.40), но при больших числах Re_х значения k_доп получаются несколько выше, чем даёт (9.40). Поэтому можно пользоваться более простой формулой (9.40), получая k_доп с некоторым запасом. При этом условии из (9.40) видно, что k_доп не зависит от длины пластины. Она определяется только скоростью течения и кинематической вязкостью. Придав формуле (9.40) вид

(9.43)

можно сделать заключение, что если при испытании модели скорость и кинематическая вязкость имеют те же самые значения, как и при испытании натурного объекта, то в обоих случаях абсолютные допустимые высоты шероховатости должны быть одинаковыми. Для длинных тел это требование ведёт к чрезвычайно малому k_доп по сравнению с длиной тела. Например, лопатка турбины на первой ступени, работающая при температуре t » 500⁰С и давлении 10 МПа, и имеющая ширину l = 10 мм, должна иметь абсолютную высоту элементов шероховатости k_доп = 0,0005 мм. При этом кинематическая вязкость пара равна u = 0,8×10^-6 м²/с и число Re = сl/u = 2,5×10⁶, где с – абсолютная скорость пара на выходе из межлопаточного пространства. Лопатка шириной l = 100 мм, установленная в цилиндре среднего давления турбины, и работающая при температуре 200⁰С и давлении 0,5 МПа, должна иметь абсолютную величину элементов шероховатости не более k_доп £ 0,002 мм. При этом коэффициент кинематической вязкости пара u = 8×10^-6 м²/с, а число Re =5×10⁶. Такая чистота обработки практически недостижима. Кроме того, добиваться такой чистоты бесполезно, так как в процессе эксплуатации отложение солей на поверхности лопатки, с одной стороны, и эрозия, возникающая от ударов капелек воды, всегда присутствующих в паре при его охлаждении и конденсации, с другой стороны, приведут к тому, что высота элементов шероховатости станет выше допустимой.

Для того, чтобы выразить k_доп через более удобное соотношение k_доп/l, где l – характерный размер обтекаемого тела, например, длина пластины или ширина лопатки турбины, то (9.43) можно переписать в виде

(9.44)

где Re = Ul/u.

Ламинарный пограничный слой. В ламинарном пограничном слое наличие элементов шероховатости может привести к тому, что при некоторой высоте элементов, которую можно назвать критической k_кр, ламинарный пограничный слой переходит в турбулентный. Наличие такой шероховатости меняет величину сопротивления вследствие того, что точка перехода перемещается вперёд, вверх по течению. При этом в зависимости от формы тела сопротивление может увеличиваться или, наоборот, уменьшаться.

Увеличение сопротивления происходит в том случае, если для рассматриваемого тела преобладает сопротивление трения. Таким телом может быть профиль лопатки турбины или насоса, или профиль крыла.

Уменьшение сопротивления возникает у тел с преобладающим сопротивлением давления (круглый цилиндр, шар).

Согласно экспериментальным данным критическая высота шероховатости для ламинарного пограничного слоя определяется формулой

(9.45)

где  – динамическая скорость.

Если сравнивать ламинарный и турбулентный пограничный слой, то, как показали эксперименты, критическая высота шероховатости, вызывающая переход ламинарного течения в турбулентное, приблизительно в 10 раз больше, чем допустимая высота шероховатости при турбулентном пограничном слое. Таким образом, ламинарный пограничный слой допускает без увеличения сопротивления значительно более высокую шероховатость, чем турбулентный пограничный слой.

 

9.7 Силы, действующие на тело произвольной формы в потоке жидкости

На бесконечно тонкую пластину, помещённую в поток жидкости, движущийся параллельно пластине, действуют только силы трения. Реальные тела имеют определённую толщину и форму, следовательно, полная сила, действующая на тело, помещённое в поток жидкости, будет складываться из силы трения, обусловленной касательными напряжениями на поверхности тела, и сил, обусловленных нормальными напряжениями на поверхности тела. Силы нормального напряжения имеют сложную природу и состоят из нескольких компонент.

Подъёмная сила представляет собой компоненту полной силы и направлена перпендикулярно направлению движения потока жидкости. Величина её зависит от формы и положения тела в потоке. Подъёмная сила возникает при наличии циркуляции скорости (2.21¢) вокруг контура тела в плоскости ху.

Индуктивное сопротивление возникает за счёт отрыва пограничного слоя в диффузорной области обтекаемого тела и образования вихревого следа за телом. Чем шире и длиннее вихревой след, тем большую работу должен совершать поток для преодоления этой части полного сопротивления.

Сопротивление формы – это компонента результирующей сил давления, параллельная вектору скорости потока и направленная в ту же сторону. Это сопротивление сильно зависит от формы и положения тела в потоке.

Совокупность индуктивного сопротивления и сопротивления формы называется лобовым сопротивлением.

Лобовое сопротивление можно определить по формуле, предложенной Ньютоном:

(9.46)

где с_х – коэффициент лобового сопротивления;

w – миделево сечение обтекаемого тела.

Миделевым сечением любого тела называется площадь проекции этого тела на плоскость, перпендикулярную набегающему потоку.

Коэффициент лобового сопротивления зависит от многих факторов, основными из которых являются форма обтекаемого тела, число Рейнольдса, масштаб турбулентности набегающего потока и ориентация тела относительно направления скорости набегающего потока.

Шар. Для примера рассмотрим сначала обтекание шара. Шар интересен своей полной сферической симметрией, что позволяет найти аналитическое решение для коэффициента сопротивления.

Решение уравнения Навье-Стокса без учёта инерционных членов будет иметь вид

(9.47)

Две трети этой силы связаны с вязкими касательными напряжениями, действующими на поверхности шара, остальная часть обусловлена перепадом давления на его поверхности.

Разделив и умножив (9.47) на 8dU, получим

Здесь pd²/4 = w – площадь миделева сечения шара. Тогда

(9.48)

т.е. опять пришли к формуле Ньютона (9.46), в которой коэффициент лобового сопротивления равен

(9.49)

Формулы (9.47) и (9.49) хорошо согласуются с опытными данными только для малых чисел Рейнольдса порядка Re £ 1.

При увеличении числа Рейнольдса даже немногим больше единицы инерционными силами в кормовой части шара уже пренебрегать нельзя. Ламинарный пограничный слой развивается с увеличением скорости, и силы трения быстро уменьшаются. Для таких потоков Озееным было предложено решение

(9.50)

которое пригодно для чисел Рейнольдса в диапазоне до Re £ 5. Для чисел Re > 5 экспериментально получена универсальная зависимость в виде кривой, представленной на рисунке 9.9 в логарифмических координатах. Характер кривой можно объяснить тем, что по мере увеличения числа Re меняется положение точки отрыва пограничного слоя и его структура. В ламинарном пограничном слое точка отрыва находится в лобовой части сферы. В диапазоне изменений чисел Рейнольдса 10³ £ Re £ 10⁵ ламинарный слой постепенно переходит в турбулентный и точка отрыва смещается в кормовую часть (рисунок 9.10 а,б). В этом диапазоне чисел Рейнольдса сопротивление увеличивается за счёт увеличения разности давлений в лобовой и кормовой части шара. Интенсивность увеличения лобового сопротивления возрастает и кривая зависимости с_х = f(Re) приближается к горизонтали. Полный переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный имеет резкий характер (резкий провал кривой с_х), при критическом числе Re » 10⁵. Сопротивление шара резко падает и происходит так называемый кризис сопротивления. Угол между симметричными точками отрыва в кормовой части шара a » 120⁰ и величина области отрывного течения становится наименьшей (рисунок 9.10 в).

Для описания кривой с_х = f(Re) было предложено несколько эмпирических соотношений. Для значения чисел Re в диапазоне 3 < Re < 400 можно использовать зависимость

(9.51)

Для чисел Re £ 700 достаточно точно подходит зависимость

(9.52)

                                                                                             

 

 

 

 

 

 

 

Точность решений, сделанных по приведённым формулам, целесообразно проверять по таблице 18 в приложении, в которой даны точные результаты, относящиеся к кривой на рисунке 9.9.

На рисунке 9.9 показаны аналогичные зависимости, полученные для поперечного обтекания цилиндра (кривая 2) и диска (кривая 3), плоскость которого перпендикулярна вектору скорости набегающего потока. В приложении (таблица 16) даны коэффициенты сопротивления для некоторых тел. Наименьшим коэффициентом сопротивления обладает каплевидное тело со сферической носовой частью и острой кормовой частью.

Тонкие профили. При обтекании идеальной жидкостью несимметричных тел, произвольно ориентированных относительно направления вектора скорости потока, на них будет действовать сила F, направленная под некоторым углом к потоку (рисунок 9.11). Эту силу можно разложить на две составляющие: F_х – параллельную потоку, и  F_у – перпендикулярную потоку жидкости. F_х представляет собой лобовое сопротивление тела, F_у – подъёмную силу. Рассмотрим тонкий профиль, форма поперечного сечения которого характерна для лопаток турбины, насоса, вентилятора, крыла самолёта. При безотрывном обтекании при небольшом угле a, называемом углом атаки, поток после обтекания профиля приобретает составляющую импульса, направленную вниз. Из закона сохранения следует, что такой же импульс в противоположную сторону приобретает профиль.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассматривая линии тока, обтекающие профиль, видно, что за одно и то же время частицы, движущиеся вдоль линий тока, ниже профиля проходят меньший путь по сравнению с частицами, следующими вдоль линий тока выше профиля, следовательно, скорость их будет меньше. Согласно уравнению Бернулли давление ниже профиля должно быть больше, чем на верхней стороне профиля. Результирующей силой этой разности давлений и является сила F. На рисунке 9.11 (б) показана эпюра давлений, действующих на профиль при его обтекании потоком жидкости. Из эпюры видно, что подъёмная сила F_у создаётся в основном за счёт снижения давления над профилем.

Подъёмная сила пропорциональна динамическому давлению и площади профиля

(9.54)

где с_у – коэффициент подъёмной силы, зависящий от формы профиля и              угла атаки a.

Величина коэффициента подъёмной силы достигает максимума при определённом значении a, а затем резко падает (рисунок 9.12). Для профиля крыла значение a, соответствующее с_у.max, лежат в пределах a = 12¸18⁰ в зависимости от формы крыла. Резкое падение величины с_у происходит при срыве потока с верхней дифузорной части профиля.

Для расчёта подъёмной силы профиля Н.Е. Жуковским была предложена следующая схема. На поток идеальной жидкости, не имеющей вязкости, и обтекающей профиль, (рисунок 9.13 а) накладывается вихревой поток вокруг профиля (б), направление движения которого совпадает с основным потоком на верхней стороне профиля и направлено навстречу основному потоку на нижней стороне профиля. Сумма этих потоков даёт обтекание профиля реальной жидкостью (в). Приведённая схема расчёта обобщается в теореме Жуковского: подъёмная сила изолированного профиля шириной L, обтекаемого неограниченным потоком жидкости со скоростью U и циркуляцией по контуру профиля Г, равна произведению скорости потока, циркуляции скорости и плотности жидкости и повёрнутой на 90⁰ в сторону, обратную циркуляции

(9.55)

Действительно, распределение давления вблизи пограничного слоя  (рисунок 9.11б) связано со скоростью потока соотношением

(9.56)

 

 

 

 

 

 

 

 

Сила, действующая на элемент поверхности профиля шириной L равна

.

(9.57)

Она зависит от разности давлений снизу р_н и сверху р_в элемента профиля. Эта разность давлений может быть выражена с помощью (9.56) через скорости на нижней и верхней стороне профиля

(9.58)

Скорости и_н и и_в берутся в симметричных точках относительно хорды профиля длиной l, элемент длины dl – элемент длины хорды, сила dF направлена перпендикулярно хорде. Подставляя (9.58) в (9.56), приближённо принимая, что и_н + и_в » 2U и выполняя интегрирование, получим подъёмную силу

(9.59)

Циркуляция Г, определяющая подъёмную силу, пропорциональна углу атаки и для плоской пластины длиной l равна

(9.60)

Поскольку циркуляция имеет размерность [ul], то приходим к выражению подъёмной силы в виде (9.54).

Коэффициент подъёмной силы с_у определяется теоретическим расчётом или экспериментально. Согласно теории Жуковского для профиля в плоскопараллельном потоке при небольших углах атаки

(9.61)

где a – угол атаки (угол между направлением скорости внешнего    потока и хордой профиля);

               a₀ – угол нулевой подъёмной силы;

               т – коэффициент, зависящий от формы профиля. Для тонкой  слабоизогнутой пластины т = p.

Отношение подъёмной силы к силе лобового сопротивления называется качеством профиля.

Определив  лобовое сопротивление F_х и подъёмную силу F_у, можно рассмотреть вопрос о том, какая форма профиля будет иметь минимальное сопротивление и максимальное качество. Для того чтобы уменьшить сопротивление F_х необходимо сместить отрыв пограничного слоя как можно дальше к задней кромке профиля, чтобы турбулентный след за телом был как можно уже. Отрыв пограничного слоя возникает тем быстрее, чем больше градиент давления в дифузорной части обтекаемого тела. Для того чтобы сместить отрыв вниз по потоку, необходимо, чтобы профиль поверхности в дифузорной части тела изменялся плавно и заострялся на кормовой кромке. Тогда градиент давления dр_х/dх будет небольшим и стекающие с разных сторон поверхности профиля потоки будут плавно смыкаться, не образуя значительной вихревой дорожки.

Носовая часть профиля должна быть закруглена, так как при наличии здесь острой кромки скорость жидкости на ней обратилась бы в бесконечность, вслед за чем произошло бы сильное возрастание давления вниз по течению и неизбежный отрыв. Этот профиль может представлять тело вращения или иметь большой размах в ширину. Профиль может быть и несимметричным (типа профиля лопатки турбины или крыла самолёта). При обтекании тел такой формы отрыв происходит лишь в непосредственной близости задней кромки, в результате чего коэффициент сопротивления с_х примет минимальное значение. Такие профили называются хорошо обтекаемыми.

Влияние вязкого трения на сопротивление плохообтекаемых тел типа шара или цилиндра незначительна, но является единственной силой при обтекании тонкой пластины. Поэтому влияние трения для хорошо обтекаемых тел тоже существенно.

При повороте профиля на некоторый угол атаки a развивается большая подъёмная сила F_у. Сила сопротивления также увеличивается, но отношение F_х/F_у может достичь больших значений порядка 10¸100.

 

 

9.8 Затопленные струи

Ранее рассматривалось течение в трубах, открытых руслах или обтекание различных тел и профилей. В первом случае (внутренние течения) поток рассматривался целиком, во втором случае (внешние течения) рассматривался только пограничный слой на обтекаемом теле. Существуют также турбулентные течения, не ограниченные твёрдой стенкой. Такие течения называются свободными турбулентными течениями, которые наблюдаются в трёх случаях:

1) два спутных взаимодействующих потока движутся с различными скоростями;

2) затопленная струя;

3) след за неподвижным телом, обтекаемым безграничным потоком или спутное течение за телом, движущимся в безграничной жидкости или газе.

Во всех трёх случаях оба потока должны представлять собой среды с одинаковыми или слабо отличающимися физическими свойствами. Это может быть струя газа в газе или потоки газа с разной температурой, отличающиеся плотностью, струя воды в воде и т.д., но если жидкости не смешивающиеся, то это уже не будет свободным турбулентным течением. С практической точки зрения интерес представляет только турбулентные течения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Между двумя спутными потоками свободная граница или поверхность соприкосновения (рисунок 9.15а) возникает, если потоки движутся с разной скоростью в одном направлении. Частным случаем является движение одного слоя жидкости вдоль неподвижной жидкости (б). Такая поверхность разрыва скоростей неустойчива и поэтому вниз по течению от первой точки соприкосновения обоих потоков возникает зона турбулентного перемешивания, ширина которой возрастает в направлении течения.

Свободная затопленная струя возникает при истечении жидкости из отверстия или насадка (рисунок 9.15в) в другую жидкость со сходными физическими свойствами. На некотором расстоянии от отверстия свободная струя становится турбулентной, вследствие чего смешивается с окружающей её покоящейся жидкостью. Кроме того, струя увлекает за собой граничащую с ней жидкость и поэтому сечение струи непрерывно увеличивается по мере удаления от отверстия, но скорость уменьшается. При этом суммарный импульс струи остаётся постоянным.

След за неподвижным телом образуется при обтекании его жидкостью или спутное течение возникает за движущимся телом в неподвижной среде (рисунок 9.15г). В следе за неподвижным телом скорость меньше, чем во внешнем потоке. Такое понижение скорости означает, что здесь происходит потеря импульса, причиной которой является сопротивление тела. Толщина следа возрастает с расстоянием, а разность скоростей внешнего потока и следа уменьшается.

Все свободные турбулентные течения обладают свойством, характерным для пограничного слоя: поперечные размеры вдоль оси у малы по сравнению с продольными размерами вдоль оси х, в поперечном направлении всегда существует значительный градиент скорости ¶и_х/¶у. Следовательно, для расчёта свободной турбулентности можно использовать дифференциальные уравнения пограничного слоя, которые для плоской задачи можно написать в виде

(9.62)

Касательное напряжение t_t обусловлено турбулентным трением, а давление во всей области в случае свободной турбулентности постоянно.

Рассмотрим структуру свободной турбулентной струи (рисунок 9.16). Пусть струя вытекает из отверстия диаметром d_o, при этом предполагается, что скорость в выходном сечении струи во всех точках одинакова. Эта скорость будет сохраняться на некотором участке струи вниз по течению. Часть струи с одинаковой скоростью в сечении называется ядром струи. По мере удаления от выходного сечения за счёт турбулентного трения в пограничном слое струи сечение ядра уменьшается и на некотором расстоянии, называемого начальным участком, исчезает. Одновременно на краях струи образуется зона заторможенной жидкости, которая постепенно распространяется за счёт увлечения окружающей неподвижной жидкости. Скорость на начальном участке в зоне ядра постоянна, за пределами ядра снижается до нуля у края струи. За начальным участком следует основной участок, в котором скорость имеет максимум на оси струи, а пограничный слой занимает всё сечение струи. Угол раскрытия струи a зависит от степени турбулентности струи на выходе из отверстия и обычно лежит в пределах 24¸28⁰. Раскрытие струи линейно зависит от расстояния х. Точка пересечения продолжения границ струи внутрь от плоскости отверстия  называется полюсом струи.

Зависимость изменения продольной максимальной скорости и_max от расстояния х можно найти из условия, что количество движения массы жидкости в единицу времени есть величина постоянная во всех сечениях струи, включая начальный участок:

(9.63)

Подставляя вместо площади сечения струи w её выражение через радиус, получим

(9.64)

где R – радиус струи в произвольном сечении.

Представим (9.64) в безразмерном виде, разделив обе части на :

(9.65)

Представив безразмерные величины,  входящие в (9.65) в виде произведения двух сомножителей

уравнение (9.65) перепишется в виде

(9.66)

Данный интеграл равен некоторому числу, значение которого определил Прандтль

(9.67)

Тогда, подставляя это значение в (9.66), можно получить

(9.68)

где а – постоянная, зависящая от начальной скорости струи и₀ и радиуса отверстия r₀, из которого вытекает струя.

Учитывая, что радиус границы струи линейно зависит от расстояния х, R ~ а₁х, можно написать

(9.69)

где С – некоторая постоянная величина.

Таким образом максимальная скорость на оси струи обратно пропорциональна расстоянию от полюса.

Значения осредненных скоростей в произвольных точках струи в пределах основного участка определяются по уравнению Г. Шлихтинга

(9.70)

Рассмотрим основные расчётные характеристики осесимметричной струи. Подставим значение интеграла (9.67) в равенство (9.66)

После преобразования получим

(9.71)

В переходном сечении струи, на границе начального и основного участка, и₀ = и_мах, следовательно, безразмерный радиус имеет постоянное значение

Так как скорость в любом сечении струи изменяется от максимального значения на оси до нуля на границе, то расход жидкости через произвольное кольцевое сечение шириной dr тоже будет неравномерным. Следовательно, суммарный расход через всё сечение можно найти путём интегрирования элементарных расходов и×2pr×dr

(9.72)

Теоретически вычисленное значение интеграла в выражении (9.72) равно

(9.73)

Учитывая, что в выражении (9.72)  – расход жидкости в начальном сечении, возводя в квадрат выражение (9.71) и подставляя значение интеграла (9.73) в (9.72), окончательно получаем

(9.74)

Или в относительных величинах

(9.75)

В переходном сечении и_мах = и₀ и относительный расход равен

Таким образом в переходном сечении относительный расход, так же, как и граница струи, имеет постоянной значение.

 

         Глава 10  ДВУХФАЗНЫЕ ТЕЧЕНИЯ

 

Фазой называется одно из состояний вещества, которое может быть твёрдым, жидким или газообразным. Многофазная система состоит из непрерывной или сплошной среды и дисперсной среды, включающей несколько химических компонентов. Если непрерывная среда – газ, то дисперсная фаза может состоять из твёрдых частиц или капель жидкости или из их смеси. Если непрерывная среда – жидкость, то дисперсная фаза может состоять из твёрдых частиц, пузырьков газа или пара самой жидкости или капель жидкости, не смешивающейся со сплошной жидкостью.

Многофазное течение – это совместное течение системы, состоящей из нескольких фаз. Двухфазный поток – простейший случай многофазного течения. Поток, обе фазы которого состоят из разных химических веществ, называют ещё двухкомпонентным. К таким потокам относится, например, поток воздуховодяной смеси, в то время как пароводяной поток является двухфазным.

Динамика многофазных потоков включает рассмотрение движения отдельных фаз в общем движении потока, межфазные процессы обмена количеством движения, энергией и массой.

В промышленности чистые потоки встречаются редко, в основном в технических процессах имеют место различные виды многофазных систем. Примерами многофазных потоков, обычных для теплоэнергетического оборудования и оборудования в смежных областях промышленности могут служить следующие.

1) Газ - твёрдые частицы: пневмотранспорт угольной пыли и других сыпучих материалов; системы пылеулавливания, к которым относятся сухие циклоны, скрубберы с жидкой плёнкой, электрофильтры; газоходные системы, в которых дымовой газ после топки несёт частички золы; эжекторная подача пылевидного топлива в топку или шихты в плавильную камеру; топочные камеры с псевдоожиженным  слоем, в которых измельчённое топливо находится во взвешенном состоянии над колосниковой решёткой, через которую продувается воздух, и горение происходит в этом слое. В природе – это постоянно витающая в воздухе пыль и наиболее сильное проявление этого – пыльные бури, когда огромные массы пыли и песка переносятся на большие расстояния.

2) Газ - капли жидкости: различные распыливающие устройства, например, форсунки для распыла мазута в топке; распыл воды в мокрых скрубберах для повышения улавливания летучей золы после топки; потоки влажного пара в паровых турбинах; распыливание воды в капельных деаэраторах; движение потока воздуха и капель воды в градирнях. В природе дожди с ветром и бури.

3) Жидкость - пузырьки газа: кипящая вода в паровых котлах, парогенераторах, испарителях; барботирование воды паром в деаэраторах с целью удаления растворённого в воде газа. Рассмотренное ранее явление кавитации тоже представляет собой движение воды с пузырьками газа и пара около вращающихся лопастей насосов и гидротурбин.

4) Жидкость - твёрдые частицы: на тепловых электростанциях и крупных котельных используются системы гидрозолоудаления, в которых зола и шлак удаляются из-под топки потоком воды и по трубам транспортируются на золоотвалы. В природе много рек, которые несут лёсс, глину, песок, промышленные отходы.

 

10.1 Двухфазный поток газ – твёрдые частицы

Формирование двухфазного потока газ (жидкость)- твёрдые частицы можно проследить на псевдоожиженном слое. Пусть на перфорированную решётку помещён слой твёрдого сыпучего материала, например, дроблёного угля. Сквозь перфорированную решётку продувается газ. При малых расходах газа частицы будут неподвижны, а газ фильтруется сквозь слой между частицами. При увеличении расхода газа сопротивление слоя увеличивается, и в тот момент, когда оно станет равным весу материала, частицы становятся подвижными, положение частиц относительно друг друга меняется, при этом толщина слоя увеличивается, и он переходит во взвешенное состояние, которое называется псевдоожижением. В этом состоянии он приобретает некоторые свойства жидкости: он может вытекать через отверстия, тяжёлые частицы тонут в слое, а лёгкие всплывают, слой создаёт гидростатический напор, равный его весу. Если в слое содержатся частицы, разные по размеру и весу, то происходит расслоение – сначала в псевдоожиженное состояние переходят мелкие частицы, затем крупные.

В зависимости от того, продувается слой газом или взвешивающим агентом является жидкость, структура слоя меняется. При продувке газом наблюдается резкая неоднородность слоя, возникают газовые пузыри, агрегаты из частиц и между ними образуются каналы. При взвешивании жидкостью структура слоя однородна с равномерным распределением частиц в слое.

При дальнейшем увеличении скорости газа слой разрушается, и частицы уносятся за пределы устройства, в котором осуществляется продувка. Если унос частиц возмещается подачей на перфорированную решётку нового материала, то возникает устойчивый восходящий поток газовзвеси. Если концентрация частиц превосходит определённый предел, то устойчивость потока газовзвеси нарушается. Этот предел приблизительно равен

(10.1)

где V_т, V_г – объёмные расходы твёрдой и газообразной фазы.

При этом в потоке возникают пульсации давления, вследствие чего устройство может вибрировать, масса твёрдого материала движется толчками и, наконец, наступает состояние завала, когда расход через систему прекращается.

 10.1.1 Движение одиночной частицы в жидкости

Сначала рассмотрим осаждение частицы в неподвижном газе. В начальный момент движение частицы будет ускоренным под действием силы тяжести. При увеличении скорости сила лобового сопротивления частицы будет возрастать и в какой-то момент времени она станет равной силе веса частицы. С этого момента скорость падения частицы станет постоянной. Если рассматривать частицу сферической формы, то вес её будет равен

Сила лобового сопротивления в соответствии с (9.46) равна

В этих формулах r_т и r_г – плотность материала твёрдой фазы и воздуха;

и₀ – скорость равномерного падения частицы.

При равенстве сил G и F_х

Отсюда можно найти скорость осаждения частицы:

(10.2)

Если вместо падения частицы создать восходящий поток воздуха со скоростью и₀, то частица будет неподвижно висеть в этом потоке. Такая скорость и₀ называется скоростью витания.

При осаждении частицы в капельной жидкости вес частицы уменьшается на величину архимедовой выталкивающей силы:

Тогда постоянная скорость осаждения примет вид

(10.3)

где r_ж – плотность жидкости.

Для весьма малых сферических частиц, когда число Рейнольдса не превышает 1, можно воспользоваться величиной коэффициента сопротивления (9.49). Тогда скорость витания будет равна

(10.4)

Величина коэффициента сопротивления с_х для сферических тел обсуждалась в предыдущей главе и все рассмотренные коэффициенты сопротивления применимы к этим формулам, при этом необходимо принимать во внимание относительную скорость, т.е. разность скоростей частицы и несущей среды.

В природе сферические частицы практически не встречаются. Обычно частицы имеют неправильную форму, и коэффициент сопротивления с_х для сферы к ним не применим, так как он существенно зависит от формы тела и его ориентации относительно направления движения потока. При малых числах Re, когда обтекание можно считать ламинарным, частицы неправильной формы при свободном оседании сохраняют свою ориентацию. В связи с этим частицы одинаковой формы и размера могут падать с различной скоростью. Например, скорость витания тонких дисков может отличаться на 70 % в зависимости от их ориентации.

При турбулентном обтекании частиц независимо от их первоначальной ориентации они принимают определённое положение. Обычно это положение соответствует максимальному значению лобового сопротивления, следовательно, скорость свободного падения частиц неправильной формы в турбулентном потоке будет меньше, чем для сферы такого же объёма. Разница будет тем больше, чем больше форма частиц отличается от сферической, и увеличивается с возрастанием числа Re.

На основании опытных данных в области больших чисел Рейнольдса получены формулы для коэффициента сопротивления частиц неправильной формы. Для округлых частиц без острых выступов справедливы формулы

(10.5)

Для острозернистых и продолговатых частиц

(10.6)

Для небольших чисел Рейнольдса коэффициент сопротивления можно оценивать по формуле, погрешность которой не превышает 10 %:

где k_g – геометрический коэффициент формы частиц.

 

10.1.2 Движение множества частиц

Двухфазный поток имеет физические свойства, которые определяются свойствами несущей среды и дисперсной фазы. К таким свойствам относится плотность, которая определяется так же, как и для однофазного потока

(10.7)

где т_д = т_г + т_т – масса объёма смеси, состоящая из массы несущей среды т_г и массы дисперсной фазы т_т;

V_д = V_г + V_т – объём этой массы, состоящий из объёма несущей среды и объёма твёрдой фазы.

Содержание дисперсной фазы в двухфазном потоке определяется объёмной концентрацией (10.1)

(10.8)

или массовой концентрацией

(10.8¢)

Твёрдые частицы, перемещаемые потоком, имеют разные размеры, причём разница в размерах между крупными и мелкими частицами может быть значительной. Она зависит от типа мельницы, в которой измельчается материал, от целей, которые преследуются при измельчении, и от физических свойств самого материала. Неоднородность частиц по размерам характеризуется коэффициентом неоднородности:

(10.9)

где R₆₀ и R₁₀ – размеры частиц, которых содержится 60 % и 10 % в       единице объёма.

При расчётах можно пользоваться средней крупностью частиц

(10.10)

где Р_i – процентное содержание частиц со средним размером R_i в интервале размеров от R_i–1 до R_i, причём весь диапазон размеров разбит на п интервалов. Чем больше число интервалов п, тем более узким будет интервал размеров.

Вместе с понятием средней крупности вводится понятие относительной крупности:

(10.11)

представляющее собой отношение среднего размера частиц к диаметру трубопровода.

Кроме средней геометрической крупности R_ср вводится понятие средней гидравлической крупности, представляющее среднее значение скоростей витания частиц разного размера, перемещаемых потоком

(10.12)

где и_0i – средняя скорость витания частиц с размером в i-м интервале. Весь диапазон размера частиц разбит на п интервалов.

Относительной гидравлической крупностью называется отношение

(10.13)

При движении массы частиц в двухфазном потоке сопротивление частиц разного размера будет различным и их коэффициенты сопротивления тоже будут отличаться. Для характеристики двухфазного потока в целом вводится понятие среднего коэффициента сопротивления, который связан со средним размером частицы соотношением

(10.14)

При движении двухфазных потоков в трубопроводах потери давления можно рассчитывать по формуле Вейсбаха-Дарси (7.26), но коэффициент сопротивления будет отличаться от коэффициента сопротивления однофазного несущего потока:

(10.15)

где r_д – средняя плотность двухфазного потока, кг/м³;

l_д – коэффициент сопротивления двухфазного потока.

Коэффициент сопротивления l_д определяется из соотношения, полученного опытным путём:

(10.16)

где l – коэффициент сопротивления трения однофазного несущего      потока;

r – плотность однофазного несущего потока, кг/м³;

r_д – средняя плотность двухфазного потока, кг/м³;

С_м – массовая концентрация твёрдой фазы;

j – экспериментальный коэффициент, зависящий от физических      свойств двухфазного потока.

При транспортировке твёрдой фазы капельной жидкостью, т.е. при гидротранспорте, найдена эмпирическая формула для коэффициента j:

(10.17)

где К_н – коэффициент неоднородности;

v – скорость двухфазного потока, м/с;

d – диаметр трубопровода, м;

R_ср – средняя крупность частицы, м;

и_0ср – средняя скорость витания частицы, м/с.

При движении двухфазных сред в горизонтальных трубах и открытых каналах наблюдается тенденция к концентрации дисперсной фазы в нижней части трубы или у дна канала. Если скорость несущей среды достаточно мала, а расход дисперсной фазы велик, то частицы выпадают из потока и начинают загромождать сечение трубы. Это продолжается до тех пор, пока скорость газа в суженном сечении трубы не увеличится настолько, что выпавшие частицы начнут повторно уноситься потоком. Возникает динамическое равновесие между скоростью отложения частиц и скоростью их уноса. Поскольку частицы твёрдого материала обычно представляют полидисперсный спектр, то, как показывают эксперименты, наиболее мелкие частицы отлагаются в первую очередь, крупные частицы легче транспортируются. Для избежания выпадения частиц из потока и их отложения нужно увеличивать скорость несущего потока или уменьшать концентрацию твёрдой фазы. Очевидно, что должна существовать минимальная критическая скорость несущего потока, при которой данная концентрация взвеси не будет выпадать. Снижение этой критической скорости немедленно вызывает выпадение части твёрдых частиц на дно. Для гидротранспорта эту критическую скорость можно найти из эмпирического соотношения

(10.18)

В природе это явление можно наблюдать на быстрых реках, размывающих дно и берега русла. Размытая почва уносится водой, вода становится мутной, но при выходе на ровные участки или при впадении в водохранилище, скорость течения падает, вся переносимая взвесь начинает отлагаться на дне, заиливая водохранилище, вода осветляется и вытекает из водохранилища уже чистой и прозрачной.

При пневмотранспорте твёрдой фазы газовым потоком, в частности воздухом, критическую скорость приближённо можно найти из эмпирического соотношения

(10.19)

Потери давления в трубопроводе при пневмотранспорте можно найти, подставив выражение для коэффициента сопротивления (10.16) в (10.15)

(10.20)

где Dр – потери давления на том же участке трубопровода при       движении несущего потока без твёрдой фазы.

При движении двухфазных потоков в вертикальных и горизонтальных трубах, кроме рассмотренных, возникают другие явления, которые оказывают влияние на характер движения дисперсного вещества. Наиболее важным из них является взаимодействие между частицами различного размера, которое приводит к перераспределению материала и влияет на условия теплообмена между фазами в потоке. Кроме того, при определённых условиях может происходить слипание частиц (коагуляция) или их дробление (диспергирование).

При турбулентном движении, которое обычно встречается на практике, на характер движения дисперсной фазы оказывает влияние увлечение частиц турбулентными пульсациями. Это увлечение тем существеннее, чем меньше размер и масса частицы. В свою очередь наличие взвешенных частиц в турбулентном потоке снижает значение коэффициента турбулентной вязкости и степени турбулентности потока.

При столкновении частиц между собой и со стенками частицы приобретают вращательное движение, которое обуславливает возникновение поперечных сил (эффект Магнуса), о которых уже упоминалось в разделе 9.4. Возникновению вращательного движения частицы при столкновении можно объяснить тем, что частицы получают импульс в виде пары сил. Такой импульс возникает вследствие касательного удара или несимметричного воздействия газового потока на частицу. Кроме того, вращение может быть обусловлено несовпадением центра тяжести частицы с центром приложения сил аэродинамического сопротивления. Это особенно существенно для частиц неправильной формы. Вращение может возникнуть при различной степени шероховатости разных частей поверхности частицы. Все эти факторы могут действовать в любой комбинации.

При движении двухфазного потока в горизонтальных трубопроводах сила Магнуса, действующая на вращающуюся частицу, направлена вертикально и может превосходить вес частицы. В этом случае происходит дополнительное взвешивание частиц, и их концентрация в потоке может быть больше, чем это определено критической скоростью. При безотрывном обтекании частицы, когда число Re достаточно мало, величина поперечной силы Магнуса равна

(10.21)

где r – радиус частицы, м;

r – плотность несущей среды, кг/м³;

w – угловая скорость, 1/с;

v – скорость газа, м/с;

u – скорость частицы, м/с.

В случае отрывного обтекания частиц в области высоких значений числа Re величина силы Магнуса примерно на порядок ниже по сравнению с величиной, вычисленной по (10,21).

 

10.2 Двухфазные течения жидкость-газ

Различные структуры двухфазных потоков, в которых несущей сплошной средой является капельная жидкость, а дисперсной пузырьки газа или пара, можно проследить на примере вертикального испарительного канала парогенератора (рисунок 10.1). Снизу в канал поступает вода. По мере нагревания в ней образуются пузырьки пара, затем часть пузырьков сливается и образуется большой пузырь. Эта область называется пузырьково-снарядная. Эта зона заканчивается полным слиянием всех мелких пузырьков в большой паровой пузырь. Эта область течения называется снарядной. Объединение больших пузырей приводит к образованию кольцевых зон жидкости, которая охватывает периметр трубы. Такое течение носит название снарядно-кольцевого. По мере слипания всех паровых пузырей пар сосредотачивается в центре трубы, а по стенкам трубы движется жидкость в виде кольца в поперечном сечении трубы. Этот тип течения называется кольцевым. Затем пар заполняет всё пространство и превращается в сплошную несущую фазу, в которой остатки жидкой фазы переносятся в виде капель. При дальнейшем нагревании жидкость полностью испаряется, и поток состоит из одной сплошной гомогенной паровой фазы.

 

10.2.1 Пузырьковое течение

Пузырьковое течение характеризуется присутствием отдельных пузырьков в сплошной жидкой среде. Существуют различные типы пузырькового течения, для которых область объёмного газосодержания лежит от одиночного изолированного пузырька в большом объёме жидкости до пенистого течения, когда на долю жидкости приходится менее 1 % объёма среды. В энергетике пузырьковое течение характерно для барботажных устройств, испарителей, работающих при высоких давлениях, поверхностных дисцилляторов, в криогенной технике.

Стабилизированный равновесный пузырьковый режим течения встречается весьма редко, так как пузырьки, присутствующие в жидкости, стремятся слиться друг с другом, и пузырьковая структура теряет свою однородность. При испарении или конденсации в канале пузырьки существуют как переходная структура между другими типами течения. Для выяснения влияния пузырьков на динамику общего течения необходимо выяснить способы образования пузырьков в жидкости.

Одним из наиболее простых способов образования является вдув газа в неподвижную жидкость через круглое отверстие радиуса r₀, расположенное на днище сосуда. Радиус образующегося пузырька r_b можно найти из условия равновесия выталкивающей архимедовой силы, действующей на пузырёк, с одной стороны, и силы поверхностного натяжения, удерживающей пузырёк над отверстием с помощью цилиндрической шейки, связывающей пузырёк и отверстие, с другой стороны

(10.22)

 Отсюда находим радиус пузырька

(10.23)

где r_ж и r_г – плотности жидкости и газа, кг/м³;

r₀ – радиус отверстия.

На основе экспериментальных данных Кутателадзе предложил достаточно точную эмпирическую формулу для вычисления радиуса пузырька

(10.24)

При непрерывном образовании пузырьков, т.е. при непрерывной продувке газа через отверстие, на процесс образования пузырьков оказывают влияние такие факторы, как физические свойства жидкости и газа, конструктивные особенности отверстия, способ подачи газа.

С увеличением расхода газа через отверстие размер пузырька несколько увеличивается по сравнению с размером, вычисленным по формуле (10.24), так как пузырьку требуется ещё некоторое время, чтобы оторваться от отверстия. При достаточно большой скорости газа в отверстии образуются уже не отдельные пузырьки, а истекает струя газа, которая в дальнейшем дробится на отдельные пузырьки. Условие образования газовой струи определяется неравенством

(10.25)

где v_г – скорость газа в отверстии, м/с.

Размер пузырька, отрывающегося с поверхности паровой плёнки, которая образуется над нагреваемой горизонтальной поверхностью, определяется приближённой формулой

(10.26)

Пузырьки могут также образовываться путём испарения жидкости и высвобождения растворённого в жидкости газа, например, при возникновении кавитации. Такие пузырьки образуются при наличии центров парообразования, которыми являются различные нерастворимые примеси, всегда присутствующие в жидкости, или микродефекты на стенках сосуда. Размер пузырька, образующегося на горизонтальной поверхности в таких условиях, можно оценить по формуле Фритца, пригодной для квазистатического состояния:

(10.27)

где b – краевой угол в градусах.

Если образование пузырьков протекает довольно быстро, то (10.27) даёт большую погрешность.

Рассмотренные случаи относятся к покоящейся жидкости. Если жидкость находится в движении, то возникающие касательные напряжения оказывают влияние на размер зарождающихся и движущихся пузырьков.

 

10.2.1.1 Вертикальное пузырьковое течение

Для одиночной твёрдой сферической частицы, падающей в жидкости с постоянной скоростью, (скоростью витания) была получена формула (10.4). Эта формула справедлива в предположении, что скорость жидкости на поверхности твёрдой сферы равна нулю. Однако для газового пузырька предположение о неподвижности жидкости на его границе неверно, так как пузырёк сам по себе деформируем, а газ, заключённый внутри его, обладает вязкостью. Для установившейся скорости всплытия пузырька получена формула, отличающаяся от (10.4) поправкой на вязкость газа:

(10.28)

Если коэффициент динамической вязкости газа намного меньше, чем жидкости (m_г << m_ж), то (10.28) сведётся к

(10.29)

При очень больших размерах пузырька, когда его форма имеет сферическую верхнюю часть, а нижняя часть плоская, то поверхностным натяжением и вязкостью можно пренебречь. В этом случае скорость всплытия пузырька определяется простым выражением

(10.30)

где r₀ – радиус кривизны в окрестности вершины пузырька с углом охвата приблизительно 100⁰.

(10.30) можно переписать, используя вместо радиуса объём пузырька

(10.31)

Этот объём имеет сфера радиуса r_b:

Подставляя выражение объёма V_b в (10.31), получим установившуюся скорость подъёма пузырька, выраженную через радиус r_b эквивалентного сферического пузырька, имеющего тот же объём, что и рассматриваемый пузырёк в формуле (10.30):

(10.32)

 

10.2.1.2 Интегральные соотношения пузырькового течения.

В технических устройствах, применяемых в промышленных установках, для барботажа жидкости газ пропускается через листы и сетки, имеющие множество отверстий. В испарительных трубах пузырьки пара образуются во всей массе жидкости и занимают значительную часть объёма смеси. В этих условиях неизбежно взаимодействие пузырьков между собой, что влияет на их скорость движения. Применимость вышеприведённых формул также ограничивается сложной геометрией промышленных установок. Для описания сложных пузырьковых течений необходимо ввести некоторые интегральные соотношения.

Объёмные и массовые расходы двухфазного потока складываются как и в случае потока газ-твердые частицы, из объёмных и массовых расходов обоих фаз:

(10.33)

Средняя объёмная концентрация оценивается так же, как и в (10.8), причём сумма объёмов V_ж + V_г должна быть достаточно большой. Если объём для оценки концентрации выбрать малым то значения С_V могут быть равными только 0 или 1.

В задачах, связанных с кипением или конденсацией, необходимо знать часть общего массового расхода через заданное сечение, приходящееся на каждый из компонентов. Поэтому расходное массовое газосодержание (паросодержание) определяется как и в (10.8¢).

Важной характеристикой потока является плотность объёмного расхода или приведённая плотность, представляющая собой произведение объёмной доли компонента на его скорость

(10.34)

Очевидно, что суммарная приведённая скорость смеси равна

Плотность потока массы или массовая скорость определяется как произведение массы компонента на его скорость

(10.35)

Относительная скорость равна разности скоростей компонентов

(10.36)

Скорость дрейфа определяется как разность скоростей между скоростью компонента и скоростью смеси

(10.37)

Плотность потока дрейфа или приведённая скорость дрейфа представляет собой плотность объёмного расхода компонента через поверхность, движущуюся со скоростью смеси

(10.38)

Преобразуем первое равенство из (10.38) следующим образом

(10.39)

Таким же образом преобразуем второе равенство из (10.38)

(10.40)

Сравнивая эти два выражения видно, что

(10.41)

Преобразуем (10.41) следующим образом

(10.42)

Следовательно, приведённая скорость дрейфа прямо пропорциональна относительной скорости.

Приведённую скорость дрейфа можно выразить в виде функции основных параметров с помощью соотношения

(10.43)

где п – показатель степени, который находится экспериментальным путём в каждом отдельном случае.

Скорость витания u₀ определяется соотношениями (10.28), (10.29), (10.32).

 

10.2.1.3 Границы пузырькового режима течения

Режим пузырькового течения определяется по граничным значениям объёмного газосодержания. При однонаправленном движении обоих фаз нижнего граничного значения объёмного газосодержание не существует. Причины нарушения пузырькового режима течения могут быть следующие:

1) слияние пузырей при их образовании или в процесс их движения по каналу.

2) особенности процесса вдувания газовой фазы в поток жидкости или генерации паровой фазы в испарительном канале и взаимодействии фаз при течении в канале.

Скорость слияния пузырьков очень чувствительна к наличию примесей. Градиенты скорости и турбулентность вызывают увеличение скорости слияния небольших пузырьков и одновременно способствуют дроблению крупных пузырьков. В инженерной практике обычно используется приближённое эмпирическое правило, согласно которому переход от пузырькового течения к снарядному происходит при величине объёмного газосодержания порядка 10 %. При некоторых специфических условиях отмечались случаи начала разрушения пузырькового режима и при больших значениях газосодержания.

Второй случай нарушения режима пузырькового течения тесно связан с характеристиками всей системы. Например, в канале парогенератора пузырьковое течение может смениться снарядным при подавлении центров парообразования, так что пар будет образовываться в виде отдельных больших пузырей вместо множества мелких.

Влияние устройства ввода. Если газ вводится в поток жидкости через пористую поверхность, то при определённых условиях на пористой поверхности происходит переход от режима генерации небольших пузырьков к образованию паровой подушки, которая периодически разрушается с образованием отдельных пузырей в форме снарядов.

 

10.2.2 Снарядное течение

Снарядное течение характеризуется последовательным прохождением по каналу одиночных больших пузырей, занимающих почти всё его поперечное сечение. Рассматривая интегральные характеристики снарядного течения, выделим одиночную ячейку, состоящую из одного пузыря и части жидких пробок по обе стороны от него (рисунок 10.2).

При заданной величине суммарного объёмного расхода средняя плотность суммарного объёмного расхода вычисляется из простого соотношения

(10.44)

где w – площадь поперечного сечения канала, м².

Динамика движения рассматриваемого пузыря определяется этой скоростью, длиной пузыря, геометрическими характеристиками канала и свойствами жидкости. Не учитывая влияния следа предыдущего пузыря, эпюра скоростей в канале будет определяться числом Рейнольдса двухфазного потока и шероховатостью стенок канала. Следовательно, динамика пузыря зависит от средней плотности суммарного объёмного расхода, а не от приведённых скоростей жидкой и газовой фазы. Кроме того, так как каждая единичная ячейка независима, динамика пузыря не связана с объёмным газосодержанием С_V.

Скорость пузыря является функцией средней скорости суммарного объёмного расхода, геометрии канала, свойств жидкости и распределения массовых сил. Во всех случаях длина пузыря не является существенной характеристикой, так как его движение полностью определяется динамикой его носовой и хвостовой части. Скорость дрейфа газовой фазы равна разности скорости пузыря и скорости смеси

(10.45)

Таким образом, скорость дрейфа также не зависит от объёмного газосодержания, а зависит только от приведённой скорости.

Величина объёмного газосодержания может быть выведена из второго уравнения (10.34), если известны скорость пузыря и приведённая скорость газовой фазы

(10.46)

 

10.2.2.1 Вертикальное снарядное течение

Рассмотрим сначала всплытие пузыря в неподвижной жидкости. Пренебрегая вязкостью газа, скорость всплытия пузыря и₀ определяется взаимодействием подъёмной силы, инерции жидкости, вязкости жидкости и поверхностного натяжения. Силы, вызванные тремя последними факторами, зависят от конфигурации пузыря и характера движения. Соотношение между подъёмной силой и этими тремя силами может быть выражено через три безразмерных комплекса

(10.47)

где d – характерный размер поперечного сечения канала.

Общее решение задачи представляет собой функцию этих трёх параметров. Наиболее простые решения получаются в том случае, если движение определяется только одним безразмерным комплексом. Рассмотрим эти решения отдельно.

Преобладающее влияние инерционных сил. Если можно пренебречь вязкостью и поверхностным натяжением, то скорость подъёма пузыря определяется только первым из безразмерных комплексов (10.47)

(10.48)

Приближённое аналитическое решение этой задачи для снарядного течения в цилиндрическом канале даёт значение k₁ в диапазоне k₁ = 0,33¸0,35, что достаточно хорошо согласуется с экспериментальными данными k₁ = 0,345.

Преобладающее влияние вязких сил. Если в потоке преобладают силы вязкости, то уравнение скорости подъёма пузыря, полученное из второго безразмерного комплекса (10.47) будет

(10.49)

В случае круглых вертикальных труб k₂ = 0,0096¸0,01.

Преобладающее влияние сил поверхностного натяжения. Силы поверхностного натяжения преобладают в том случае, когда пузырь вообще не движется. Форма пузыря в статических условиях становится такой, при которой гидростатические силы полностью уравновешиваются силами поверхностного натяжения. В случае вертикальных круглых труб равновесие будет иметь место при

(10.50)

Общий случай. Так как в общем случае решение описывается тремя параметрами, то его можно представить в виде графика, взяв в качестве переменных любые два безразмерные комплекса, а третий независимый комплекс принять как параметр. Если из первых двух комплексов исключить и₀, то получим новый комплекс

(10.51)

И безразмерная скорость k₁ может быть графически представлена как функция N_ж: k₁ = f(N_ж).

10.2.2.2 Горизонтальное снарядное течение

При горизонтальном снарядном течении скорость дрейфа и₀ = 0, но средняя скорость движения пузырей отличается от средней скорости жидкости (рисунок 10.3).

 

 

 

 

 

 

Вдоль пузыря давление постоянно, а плёнка жидкости на стенке неподвижна за счёт прилипания. При средней толщине плёнки d толщина поперечного сечения, занимаемая пузырём, равна

(10.52)

Из условия неразрывности приведённой скорости в этом сечении

(10.53)

где С₁ – коэффициент пропорциональности.

В случае тонкой плёнки

(10.54)

Следовательно, При числах Re > 3000 справедливо выражение для скорости пузыря через суммарный объёмный расход фаз

(10.55)

При отсутствии вязких и инерционных сил в газовой фазе и считая движение пузырей независимым, скорость движения, как и в случае вертикального подъёма, может определяться безразмерными параметрами

(10.56)

Первый комплекс представляет отношение скорости жидкости в пробке к скорости пузыря. Его величина обратная к коэффициенту С₁. Второй комплекс – число Рейнольдса для жидкости в пробке, третий характеризует соотношение вязких сил и сил поверхностного натяжения, четвёртый – соотношение подъёмной силы и силы поверхностного натяжения. Три последних комплекса аналогичны комплексам (10.47) для случая вертикального течения.

Значение величины С₁ можно определить по эмпирической формуле

(10.57)

Если С₁ > 2, то пузырь движется со скоростью, превышающей скорость жидкости в пробке на оси трубы. При С₁ < 2 характер течения жидкости относительно пузыря будет сильно отличаться. В этом случае скорость пузыря будет больше среднерасходной скорости жидкости .

Другим важным параметром, характеризующим долю поперечного сечения, занятую жидкостью на участке, где находится пузырь, является величина

(10.58)

В случае, когда силы инерции пренебрежимо малы, и движение определяется силами вязкости и силами поверхностного натяжения, величину т можно найти из соотношения

(10.59)

которое при малых значениях (m_жv_b/s) сводится к

(10.60)

С помощью параметра т можно рассчитать толщину жидкой плёнки вокруг пузыря, но сам расчёт должен проводиться методом последовательных приближений, так как величина v_b обычно неизвестна.

Объёмное газосодержание определяется по (10.46), куда подставляется скорость движения пузыря из (10,55)

(10.61)

Эта формула справедлива при числах Re > 3000.

 

10.2.2.3 Границы снарядного режима течения

Нижней границей снарядного режима течения можно считать объёмное газосодержание С_V » 10 %. При этом и меньшем газосодержании в режиме пузырькового течения процесс агломерации пузырьков протекает медленно и пузырьки, характерные для снарядного течения, образуются лишь в очень длинных трубах.

Верхняя граница снарядного течения определяется действием на пузырь касательных напряжений со стороны жидкой фазы и лобовым сопротивлением пузыря. В результате относительного движения жидкой фазы пузырь дробится на более мелкие пузыри. В его хвостовой части образуются нитевидные струи, которые в свою очередь дробятся на мелкие пузырьки, которые уносятся жидкой фазой. Процесс дробления происходит медленно, и длинные пузыри, сопровождаемые мелкими пузырьками, наблюдаются в некотором диапазоне расходов. Существование этого процесса в горизонтальных потоках определяется условием

(10.62)

Переход к чисто кольцевому режиму в вертикальных каналах без нисходящих потоков жидкости определяется критерием

(10.63)

При скоростях, меньших, рассчитанных по этой формуле, происходит непрерывное перекрытие газового ядра жидкими пробками и их разрушение вследствие последовательной смены процессов захлёбывания течения и слияния пузырей. Такое течение называется снарядно-кольцевым и является промежуточным между снарядным течением и кольцевым.

 

10.2.3 Кольцевые течения

При кольцевом режиме течения по стенкам канала движется плёнка жидкости, а в центральной части канала газ образует ядро потока. Если в газовом потоке распределяется значительное число уносимых капель жидкости, то в этом случае режим течения называется дисперсно-кольцевым, который является переходным режимом от кольцевого течения к дисперсному. Кольцевой режим течения характерен для каналов испарителей, трубопроводов природного газа, систем парового нагрева.

В горизонтальных трубах происходит расслоение потока, и жидкость скапливается в нижней части. Поток становится несимметричным. Аналитические расчёты таких потоков представляются достаточно сложными.

В вертикальных трубах расслоения потока не происходит, но в вертикальном потоке действуют массовые силы в направлении течения. Кроме того, в вертикальных каналах могут существовать восходящие и нисходящие движения любого компонента.

Наиболее простым случаем вертикального кольцевого течения является течение со стекающей плёнкой. Если скорость газа достаточно мала, то касательное напряжение на поверхности раздела фаз и градиент давления пренебрежимо малы. Пренебрегая кривизной стенок, уравнение течения тонких плёнок имеет следующий вид

(10.64)

где r – толщина плёнки;

у – расстояние от стенки.

Для ламинарного течения это уравнение приобретает вид

(10.65)

Разделяя переменные и интегрируя, получаем

(10.66)

Повторное интегрирование по толщине плёнки даёт объёмные расход жидкости на единицу ширины плёнки:

(10.67)

Полный объёмный расход жидкости в тонкой плёнке, стекающей по стенке трубы диаметром d, составляет

(10.68)

Приведённая скорость жидкой плёнки равна

(10.69)

Если в центре вертикальной трубы снизу вверх движется газ, а по стенкам стекает вниз плёнка жидкости, то на поверхности плёнки возникает касательное напряжение, тормозящее движение плёнки. Пока плёнка гладкая и устойчивая, касательное напряжение мало. При увеличении расхода газа при неизменном расходе жидкости на поверхности раздела жидкости возникают волны, и течение становится хаотичным, а градиент давления газовой фазы возрастает. Этот процесс называется захлёбыванием течения. Это явление обусловлено внезапным возникновением неустойчивого течения, сопровождающимся увеличением градиента давления на порядок.

Соотношения для режима захлёбывания в вертикальных трубах в общем виде записывается следующим образом

(10.70)

Здесь

(10.71)     (10.72)

Это безразмерные комплексы, связывающие потоки количества движения с гидростатическими силами.

В случае турбулентного течения т = 1, а величина С зависит от конструктивного выполнения концов канала и способов подвода и отвода жидкости и газа. Для труб с острыми выходными кромками С = 0,725. Если концевыми эффектами можно пренебречь, то 0,88 < С < 1.

Для осуществления вертикального восходящего однонаправленного движения обоих фаз необходимо, чтобы плёнка увлекалась газом и двигалась вверх. Это может быть осуществлено, если будет удовлетворяться неравенство

(10.73)

в интервалах значений С, определяемых уравнением (10.70).

Верхняя и нижняя границы вертикального кольцевого движения определяются следующими механизмами.

Нижняя граница определяется перекрытием газового ядра жидкостью из плёнки с последующим переходом кольцевого течения в снарядное.

Верхняя граница определяется уносом капель с поверхности плёнки с последующим переходом от кольцевого режима течения к дисперсно-кольцевому, что характерно для высокоскоростных потоков.

 

10.2.4 Дисперсное течение

Поведение капель, взвешенных в жидкости, во многих отношениях аналогично поведению газовых пузырьков в жидкости. Основное отличие между поведением капель и пузырьков заключается в том, что пузырьки в гораздо более плотной жидкости в своём движении следуют за движением жидкости, практически полностью совпадая с ним. Капли ввиду своей большой инерционности, запаздывают, и для того, чтобы их движение совпало с движением несущего газа, нужен участок гораздо большей протяжённости.

При истечении жидкости из отверстия радиусом r₀ размер одиночной капли можно оценить по соотношению, аналогичному (19.24):

(10.74)

только необходимо иметь в виду, что в данном случае жидкость уже будет дисперсной средой, в газ – сплошной.

Аналогично формуле (10.26) можно сделать оценку размера капли, если она образуется при конденсации влаги на обращённой вниз горизонтальной поверхности, например, потолке:

(10.75)

При увеличении скорости истечения жидкости из отверстия возникает струйное течение, а капли образуются в результате дробления струи. Если пренебречь плотностью окружающей среды, то радиус образующихся капель будет равен

(10.76)

Дальнейшее увеличение скорости струи приводит к резко выраженной неустойчивости и струя начинает распадаться уже вблизи устья отверстия, образуя расходящийся поток очень мелких капель. Этот процесс называется распыливанием. Дробление происходит под действием аэродинамических сил, обусловленных относительным движением фаз. В промышленности для получения потока мелкодисперсных капель применяют и другие методы дробления, например, механические, электрические или с помощью мощного акустического поля.

Основным безразмерным параметром, характеризующим устойчивость одиночной капли, является число Вебера (5.39), рассчитанное по относительной скорости и плотности газа:

(10.77)

Для невязких жидкостей критическое число Вебера, по достижении которого начинается дробление капель, приблизительно равно 12.

Вязкость жидкости оказывает стабилизирующее влияние на распад, которое характеризуется параметром устойчивости m_ж²/(r_жds). При параметре устойчивости менее пяти диаметр капли можно найти из

.

(10.78)

На практике для расчёта размера капли используется эмпирическая формула

(10.79)

где v₀ – начальная относительная скорость.

d_ж – диаметр жидкой капли.

 

Пример 10.1. Сравнить рассчитанные по уравнениям (10.78) и (10.79) размеры капель при распыливании бензина в карбюраторе, если скорость воздуха в горловине карбюратора v₀ = 76,3 м/с, отношение массового расхода воздуха к массовому расходу бензина 18. Коэффициент поверхностного натяжения бензина s = 2,88×10^-2 н/м, плотность бензина r_б = 875 кг/м³, коэффициент динамической вязкости m_б = 0,647×10^-3 н×с/м², плотность воздуха r_в = 1,21 кг/м³.

Решение. Оценивая диаметр капли по формуле (10.78), в первом приближении пренебрегаем влиянием параметра устойчивости:

Параметр устойчивости равен

Эта величина мала по сравнению с 1, стоящей в квадратной скобке (10.78), и ею можно пренебречь.

По уравнению (10.79)

Разница в расчётах составляет d » 10 %.     ¨

 

 

Приложения

Т а б л и ц а  1 – Плотность чистой воды r при различных температурах

t0C	Плотность r, кг/м3	t0C	Плотность r, кг/м3	t0C	Плотность r, кг/м3	t0C	Плотность r, кг/м3	t0C	Плотность r, кг/м3
0	999,80	48	988,96	61	982,72	74	975,48	87	967,24
4	1000,00	49	988,52	62	982,20	75	974,89	88	966,68
10	999,70	50	988,07	63	981,67	76	974,29	89	966,01
20	998,20	51	987,62	64	981,13	77	973,68	90	965,34
30	995,67	52	987,15	65	980,59	78	973,07	91	964,67
40	992,24	53	986,69	66	980,05	79	972,45	92	963,99
41	991,86	54	986,21	67	979,50	80	971,83	93	963,30
42	991,47	55	985,73	68	978,94	81	971,23	94	962,61
43	991,07	56	985,25	69	978, 38	82	970,57	95	961,92
44	990,66	57	984,75	70	977,81	83	969,94	96	961,22
45	990,25	58	984,25	71	977,23	84	969,30	97	960,51
46	989,82	59	983,75	72	976,66	85	968,65	98	959,81
47	989,40	60	983,24	73	976,07	86	968,00	99	959,09

 

Т а б л и ц а  2 – Плотность воздуха при различных давлениях, кг/м³

r, бар Т0К	1	2	3	5	10
200	1,746	3,500	5,326	8,811	17,835
220	1,586	3,177	4,773	7,981	16,093
240	1,453	2,910	4,369	7,299	14,676
260	1,340	2,684	4,029	6,725	13,497
270	1,291	2,583	3,877	6,472	12,979
280	1,245	2,491	3,738	6,234	12,500
290	1,202	2,404	3,608	6,017	12,055
300	1,161	2,323	3,487	5,814	11,643
310	1,124	2,248	3,373	5,624	11,259
320	1, 086	2,178	3,270	5,447	10,899
330	1,056	2,111	3,168	5,280	10,562
340	1,025	2,049	3,074	5,123	10,246
350	0,995	1,990	2,985	4,975	9,950
375	0,929	1,857	2,786	4,640	9,276
400	0,871	1,741	2,611	4,350	8,688

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а  3 – Давление паров некоторых жидкостей на линии насыщения, кПа

Т-ра, 0С	Вода	Ртуть	Спирт	Бензин	Керосин
0	0,6108	2,727×10-5	1,66	-	-
4	0,8129	-	-	-	-
10	1,2271	7,101×10-5	3,52	-	-
20	2,3368	1,729×10-4	6,86	10,646	4,66
30	4,2417	3,68×10-4	10,86	16,396	7,465
40	7,3749	8,626×10-4	18,67	19,728	11,197
50	12,335	1,786×10-3	29,16	27,460	15,596
60	19,919	3,536×10-3	47,16	38,124	21,328
70	31,161	6,724×10-3	75,08	53,853	27,993
80	47,359	1,232×10-2	-	-	35,991
90	70,108	2,182×10-2	-	-	-
98	94,301	-	-	-	-
100	101,325	3,754×10-2	-	-	-

 

Т а б л и ц а  4 – Показатели адиабаты и газовые постоянные некоторых газов

Газ	Химическая формула	Молекулярный вес, М
Азот	N2	28	1,40	297
Аргон	Ar	39,9	1,68	208
Бутан	С4Н10	58	1,08	129,2
Водород	H2	2	1,41	4121
Воздух	-	29	1,40	287
Водяной пар	H2O	18	1,30*)	463
Гелий	He	4	1,66	2078
Двуокись углерода	CO2	44	1,30	189
Изобутан	С4Н10	58	1,09	140,7
Изобутилен	С4Н8	56	1,09	133,9
Изопентан	С5Н12	72	1,07	103,5
Кислород	O2	32	1,40	259,7
Криптон	Kr	83,8	1,67	100,3
Ксенон	Xe	131,3	1,70	63,8
Метан	CH4	16	1,71	522,4
Неон	Ne	20,2	1,68	411,4
Окись углерода	CO	28	-	296
Пропан	С3Н8	44	1,12	182,9
Пропилен	С3Н6	42	1,125	175,9
Светильный газ	-	11,5	-	720
Этан	С2Н6	30	1,181	272,2
Этилен	С2Н4	28	1,25	294

^*) – показатель адиабаты для перегретого пара. Для насыщенного пара k = 1,13.

Т а б л и ц а  5 – Коэффициент объёмного сжатия воды b_р = f(p, t)

t0C	bр×1010, Па–1, при давлении Па×10–4
	50	100	200	390	780
0	5,40	5,37	5,31	5,23	5,15
5	5,29	5,23	5,18	5,08	4,93
10	5,23	5,18	5,08	4,98	4,81
15	5,18	5,10	5,03	4,88	4,70
20	5,15	5,05	4,95	4,81	4,60

 

Т а б л и ц а  6– Коэффициент объёмного расширения воды b_t = f(p, t)

t0C	bt×106, C–1, при давлении Па×10–5
	1	100	200	500	900
1-10	14	43	72	149	229
10-20	150	165	183	236	289
40-50	422	422	426	429	437
60-70	556	548	539	523	514
90-100	719	704	-	661	621

 

Т а б л и ц а  7 – Коэффициенты u = f(t)*⁾ и m = f(t) чистой воды

t,0C	u×106,м2/с	m×103, Па×с	t,0C	u×106,м2/с	m×103, Па×с	t, 0C	u×106,м2/с	m×103, Па×с	t, 0C	u×106,м2/с	m×103, Па×с	t, 0C	u×106,м2/с	m×103, Па×с
0	1,791	1,791	20	1,003	1,002	40	0,658	0,653	60	0,474	0,466	80	0,365	0,354
1	1,731	1,731	21	0,080	0,978	41	0,646	0,641	61	0,468	0,459	81	0,360	0,350
2	1,673	1,673	22	0,957	0,954	42	0,635	0,629	62	0,461	0,453	82	0,356	0,346
3	1,619	1,619	23	0,934	0,932	43	0,623	0,618	63	0,454	0,446	83	0,352	0,341
4	1,567	1,567	24	0,913	0,911	44	0,613	0,607	64	0,448	0,440	84	0,348	0,337
5	1,518	1,518	25	0,893	0,890	45	0,602	0,596	65	0,442	0,433	85	0,344	0,333
6	1,471	1,471	26	0,873	0,870	46	0,592	0,586	66	0,436	0,427	86	0,340	0,329
7	1,427	1,427	27	0,854	0,851	47	0,582	0,576	67	0,430	0,421	87	0,337	0,326
8	1,385	1,385	28	0,836	0,832	48	0,572	0,566	68	0,424	0,415	88	0,333	0,322
9	1,345	1,344	29	0,818	0,815	49	0,563	0,556	69	0,419	0,410	89	0,329	0,318
10	1,306	1,306	30	0,801	0,797	50	0,553	0,547	70	0,413	0,404	90	0,326	0,314
11	1,270	1,269	31	0,784	0,781	51	0,546	0,538	71	0,408	0,398	91	0,322	0,311
12	1,235	1,234	32	0,768	0,765	52	0,536	0,529	72	0,402	0,393	92	0,319	0,307
13	1,201	1,200	33	0,753	0,749	53	0,527	0,520	73	0,397	0,388	93	0,316	0,304
14	1,169	1,168	34	0,738	0,734	54	0,519	0,512	74	0,392	0,383	94	0,312	0,301
15	1,139	1,138	35	0,724	0,719	55	0,511	0,504	75	0,387	0,378	95	0,309	0,297
16	1,109	1,108	36	0,710	0,705	56	0,504	0,496	76	0,383	0,373	96	0,306	0,294
17	1,081	1,080	37	0,696	0,692	57	0,496	0,488	77	0,378	0,368	97	0,303	0,291
18	1,054	1,053	38	0,683	0,678	58	0,489	0,481	78	0,373	0,363	98	0,300	0,288
19	1,028	1,027	39	0,670	0,665	59	0,481	0,474	79	0,369	0,359	99	0,297	0,285

*⁾ Коэффициент кинематической вязкости сточной воды u при температуре 20 ⁰С лежит в диапазоне (1,11-1,2)×10^-6 м²/с.

Т а б л и ц а  8 – Поверхностное натяжение некоторых жидкостей

Жидкость	Температура, 0С	Поверхностное натяжение, s×103 Н/м	Формула зависимости s от температуры
Азот жидкий	– 196	8,3
Анилин	20	42,9
Ацетон	0 20 40 60	26,2 23,7 21,2 18,6
Бензол	0 30 60	31,6 27,6 23,7
Вода	0 20 60 100 130	75,6 72,8 66,2 58,9 52,8
Кислород жидкий	-183	13,2
Кислота муравьиная	17 80	37,5 30,8
Оливковое масло	20	32,0
Парафиновое масло	25	26,4
Сероуглерод	19 46	33,6 29,4
Скипидар	15	27,3
Спирт метиловый	20	22,6
Спирт пропиловый	20	23,8
Спирт этиловый	0 20 40 60	24,1 22,8 20,2 18,4
Толуол	15	28,8
Уксусная кислота	20	27,8
Хлороформ	10 60	28,5 21,7
Четырёххлористый углерод	20	26,8
Этилацетат	20	23,9
Эфир диэтиловый	0 20	19,3 17,0

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а  9 – Момент инерции некоторых плоских фигур относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести фигуры J_c, положение центра тяжести у_с, площадь фигуры s

Фигура	Jc	yc	s

 

 

Т а б л и ц а  10 – Значения коэффициента а в зависимости от угла поворота трубы в формуле (7.86)

a	а	a	а	a	а	a	а
160	0,4	120	0,83	80	1,05	0	1,33
150	0,55	110	0,88	60	1,13	-	-
140	0,65	100	0,95	40	1,20	-	-
130	0,75	90	1,0	20	1,27	-	-

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а  11 – Значения величины шероховатости различных труб

Материал и вид трубы	Состояние трубы	k, мм
Тянутые трубы из стали и цветных металлов	Новые, технически гладкие
Бесшовные стальные трубы	Новые и чистые, тщательно уложенные   После нескольких лет эксплуатации
Стальные трубы сварные	Новые и чистые   С незначительной коррозией после очистки Умеренно заржавевшие   Старые заржавевшие     Сильно заржавевшие или с большими отложениями
Чугунные трубы	Новые асфальтированные   Новые без покрытия   Бывшие в употреблении   Очень старые	До 3,0
Асбоцементные трубы
Бетонные трубы	Новые из предварительно напряжённого бетона Новые центробежные   Бывшие в употреблении   Из необработанного бетона	1,0 – 3,0

 

 

Т а б л и ц а   12 – Удельное сопротивление трубопровода, с²/м⁶

(при k = 0,1 мм)

d, мм	Aкв	d, мм	Aкв
100	168,6	500	0,0346
150	19,15	600	0,0131
200	4,21	700	0,00591
250	1,32	800	0,00303
300	0,504	900	0,00158
400	0,111	1000	0,00091

 

Т а б л и ц а  13 – Удельное сопротивление трубопровода, с²/м⁶ для бывших в эксплуатации стальных и чугунных труб

d, мм	Aкв для		d, мм	Aкв для
	стальных	чугунных		стальных	чугунных
75	-	1709	350	0,41	0,46
80	1168	-	400	0,206	0,228
100	267	368	450	1,109	0,119
125	106	111	500	0,062	0,068
150	45,0	41,8	600	0,024	0,026
175	19,0	-	700	0,015	0,015
200	9,27	9,03	800	0,00566	0,00566
225	4,82	-	900	0,00303	0,00303
250	2,58	2,75	1000	0,00174	0,00174
275	1,53	-	1200	0,00066	-
300	0,94	1,03	1400	0,00029	-

 

Т а б л и ц а  14 – Удельное сопротивление трубопровода, с²/м⁶ для асбоцементных и полиэтиленовых труб, работающих в переходной области, в зависимости от температуры

d, мм	А0 при скорости v, м/с
	0,5	0,75	1,0	1,5	2,0
Асбоцементные трубы
75	931	873	835	788	760
100	210	196	188	177	171
123	71,5	67,0	64,1	60,5	58,3
147	28,3	26,5	25,4	24,0	23,1
189	8,81	8,26	7,90	7,46	7,19
235	2,49	2,33	2,23	2,11	2,03
279	1,01	0,95	0,91	0,86	0,83
322	0,48	0,45	0,43	0,41	0,39
368	0,25	0,23	0,22	0,21	0,20
386	0,19	0,18	0,17	0,16	0,15
356	0,079	0,074	0,071	0,067	0,065
546	0,031	0,029	0,028	0,026	0,025
576	0,023	0,022	0,021	0,020	0,019
672	0,0106	0,0099	0,0095	0,0090	0,086
768	0,0054	0,0050	0,0048	0,0045	0,0044
864	0,0029	0,0027	0,0026	0,0025	0,0024
950	0,0017	0,0016	0,0015	0,0014	0,0014
Полиэтиленовые трубы
70	1286	1177	1104	1011	950
80	641	586	550	503	472
100	200	183	171	157	147
125	62,4	57,2	53,6	49,1	46,1
150	24,0	21,9	20,6	18,9	17,7

 

Т а б л и ц а  15 – Значения коэффициента сопротивления с_х = f(Re) для шара

Reш	сх	Reш	сх	Reш	сх	Reш	сх
0,05	480	1,0	26,5	20	2,55	500	0,55
0,1	240	2	14,4	50	1,5	1000	0,46
0,2	120	5	6,9	100	1,07	2000	0,42
0,5	49,5	10	4,1	200	0,77	5000	0,385

 

Т а б л и ц а  16 – Значения коэффициента сопротивления различных тел в квадратичной области сопротивления

Обтекаемое тело	Коэффициент сопротивления Сх
Диск  (плоскость перпендикулярна потоку)	1,11
Полусфера	1,35- 1,40
Полусфера	0,30-0,40
Шар	0,4
Каплевидное тело	0,045
Каплевидное тело	0,1

 

Т а б л и ц а  17 – Местный и полный коэффициенты сопротивления для продольно обтекаемой гладкой пластины при логарифмическом законе распределения скоростей

Rel×10–6	c'f×103	cf×103	Rel×10–6	c'f×103	cf×103
0,107	5,51	7,03	9,70	2,53	3,02
0,225	4,54	6,04	18,7	2,30	2,71
0,355	4,38	5,48	34,3	2,11	2,48
0,548	4,03	5,05	51,8	2,00	2,34
0,864	3,74	4,59	102	1,83	2,12
1,20	3,53	4,33	229	1,65	1,90
2,07	3,22	3,92	425	1,53	1,75
3,43	2,97	3,57	768	1,42	1,63
6,43	2,69	3,23	1476	1,32	1,50

 

Т а б л и ц а  18 – Значения коэффициента сопротивления с_х для шара в зависимости от числа Рейнольдса

Re	cx	Re	cx	Re	cx	Re	cx
0,05	480	1,0	26,5	20	2,55	500	0,55
0,1	240	2	14,4	50	1,5	1000	0,46
0,2	120	5	6,9	100	1,07	2000	0,42
0,5	49,5	10	4,1	200	0,77	5000	0,385

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а  19 – Скорость осаждения частиц разного размера в неподвижной воде при температуре 20⁰С

dcp, м×103	u0cp, м/с×102	dcp, м×103	u0cp, м/с×102	dcp, м×103	u0cp, м/с×102	dcp, м×103	u0cp, м/с×102
0,01	0,007	0,35	3,78	0,9	8,75	3,25	20,1
0,03	0,062	0,4	4,32	0,95	9,06	3,5	20,85
0,05	0,178	0,45	4,86	1,0	9,44	3,75	21,55
0,08	0,443	0,5	5,4	1,25	11,5	4,0	22,25
0,1	0,692	0,55	5,94	1,5	12,56	4,25	22,95
0,13	1,16	0,6	6,48	1,75	13,92	4,5	23,65
0,15	1,557	0,65	7,02	2,0	15,29	4,75	24,3
0,18	1,74	0,7	7,32	2,25	16,62	5	24,9
0,2	2,16	0,75	7,7	2,5	17,65	-	-
0,25	2,7	0,8	8,07	2,75	18,5	-	-
0,3	3,24	0,85	8,4	3,0	19,25	-	-

 

 

Список литературы  

1. Альтшуль А.Д., Животовский Л.С., Иванов Л.П. Гидравлика и аэродинамика. – М.: Стройиздат, 1987. – 414 с.

2. Повх И.Л. Техническая гидромеханика. – Л.: Машиностроение, 1976,  – 504 с.

3. Емцев Б.Т. Техническая гидолмеханика. – М.: Машиностроение, 1978. – 463 с.

4. Чугаев Р.Р. Гидравлика. – Л.: Энергоиздат, 1982. – 670 с.

5. Дейч М.Е. Техническая газодинамика. – М.: Энергия, 1974. – 522 с.

6. Примеры расчётов по гидравлике /А.Д. Альтшуль, В.И. Калицун, Ф.Г. Майрановский, П.П. Пальгунов. – М.: Стройиздат, 1977. – 255 с.

7. Сборник задач по машиностроительной гидравлике /Под ред. И.И. Куколевского и Л.Г. Подвидза. – М.: Машиностроение, 1984. – 464 с.

 

Содержание

Введение	3
Глава 1  Физические свойства жидкостей и газов	5
1.1 Плотность и удельный объём	5
1.2 Газовые смеси	9
1.3 Парциальное давление	12
1.4 Сжимаемость	13
1.5 Температурное расширение	14
1.6 Вязкость	16
1.7 Поверхностное натяжение и смачиваемость	22
Глава 2  Основные понятия и определения течения жидкости	28
2.1 Скорость и ускорение	28
2.2 Вращательное движение	29
2.3 Линии тока, трубки тока, траектории	31
2.4 Три вида движения частицы	34
2.5 Вихревое движение жидкости	40
2.6 Потенциальное движение жидкости	42
2.7 Силы, действующие в потоке жидкости	45
2.8 Понятие об идеальной жидкости	48
Глава 3  Основные уравнения движения идеальной жидкости	50
3.1 Уравнения Эйлера движения идеальной жидкости	50
3.2 Уравнения Эйлера в форме Громека-Лемба	51
3.3 Уравнение неразрывности	52
3.4 Интеграл Бернулли для линии тока	55
3.5 Явления кавитации	62
Глава 4  Гидростатика	67
4.1 Уравнение Эйлера покоящейся жидкости	67
4.2 Равновесие жидкости, находящейся под действием силы            тяжести	68
4.3 Пьезометрическая высота	70
4.4 Сообщающиеся сосуды	73
4.5 Относительное равновесие жидкости	75
4.6 Давление жидкости на плоские поверхности	80
4.7 Давление жидкости на цилиндрические поверхности	86
4.8 Закон Архимеда	90
Глава 5  Движение вязкой жидкости	93
5.1 Давление в движущейся реальной жидкости	93
5.2 Обобщённый закон Ньютона	94
5.3 Уравнения Навье-Стокса	95
5.4 Уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости	97
5.5 Уравнение изменения количества движения	101
5.6 Закон подобия для потоков вязкой несжимаемой жидкости	103
5.7 Аэродинамические трубы	111
Глава 6  Режимы течения жидкости. Турбулентность	114
6.1 Мгновенная скорость	118
6.2 Уравнения осреднённого турбулентного движения вязкой            жидкости	121
Глава 7  Движение жидкости в трубах и открытых руслах	129
7.1 Основное уравнение установившегося равномерного            движения жидкости	130
7.2 Законы внутреннего трения в ламинарном потоке	133
7.3 Распределение скоростей по сечению потока в круглой трубе            при ламинарном течении жидкости	134
7.4 Формулы Пуазейля и Вейсбаха-Дарси	136
7.5 Турбулентные касательные напряжения в осреднённом потоке	137
7.6 Распределение скоростей в турбулентном потоке	140
7.7 Потери напора по длине трубы при движении жидкости	143
7.8 Местные гидравлические сопротивления	147
7.9 Суммарные потери в трубопроводе	158
7.10 Типы трубопроводов	158
7.11 Движение газов в трубопроводах	172
Глава 8 Истечение жидкостей из отверстий, насадков и свободные                  струи	176
8.1 Истечение жидкости из малых отверстий в тонкой стенке при            постоянном напоре	177
8.2 Характер сжатия струи	180
8.3 Траектория струи	183
8.4 Истечение под уровень	183
8.5 Измерительные диафрагмы	185
8.6 Истечение жидкости через большие отверстия	187
8.7 Истечение жидкости через насадки при постоянном напоре	190
8.8 Истечение жидкости через отверстия и насадки при            переменном напоре	195
8.9 Свободная незатопленная струя	200
Глава 9 Пограничный слой	205
9.1 Толщина вытеснения	207
9.2 Уравнения ламинарного пограничного слоя	210
9.3 Уравнения Прандтля в безразмерном виде	211
9.4 Отрыв пограничного слоя	112
9.5 Турбулентный пограничный слой	218
9.6 Пограничный слой на тонкой пластине	220
9.7 Силы, действующие на тело произвольной формы в потоке            жидкости	225
9.8 Затопленные струи	231
Глава 10 Двухфазные течения	236
10.1 Двухфазные течения газ-твёрдые частицы	237
10.2 Двухфазные течения жидкость-газ	244
Приложения	259
Список литературы	267